非线性电路的仿真与分析毕业论文.doc

非线性电路的仿真与分析摘要：近20年来，由于计算机技术的高度发展，使得对于混沌的研究成为当今科学研究的前沿，并发展成一门新兴的学科。本文从理论分析与仿真两个角度分别研究非线性电路中的混沌现象。简要介绍了混沌及其特征，混沌产生的机理和条件，以及非线性电路分析仿真的算法。在分析与仿真蔡氏电路的基础上，构造一个变形蔡氏电路模型，对其电路的非线性元件利用分段线性化方法处理，接着利用非线性电路模型的仿真算法四阶龙格-库塔算法，并用MATLAB编程语言对该非线性微分方程进行分析与仿真该变形蔡氏电路通向混沌的道路。结果表明该变形蔡氏电路也和蔡氏电路一样，在不同的参数下存在有丰富的分岔和混沌现象，并在特定参数下存在所谓的“双涡卷”混沌吸引子。关键字：混沌；四阶龙格-库塔算法；非线性电路模型；MATLAB仿真分析Abstract: In recent 20 years, because of the development of computer technology, chaos research has become the advanced positions of science research, and chaos has been a new academic subject. The chaos phenomenon in nonlinear circuit is studied by MATLAB simulation and theoretical analysis in the paper. This paper introduces simply chaos and its characteristic, the chaos output mechanism and condition, and the calculable method of analytic simulation of nonlinear circuit. In the foundation of the analysis and simulation of Chuas circuit, a modified Chuas circuit model is constructed. Its nonlinear component is processed using the way of the segment lining. Then the simulated calculable method of fourth rank Rounge-kutta and the language of MATLAB are used to analyze the nonlinear differential equation and to simulate the way of this modified Chuas circuit to the chaos. The result is that the modified Chuas circuit exists abundantly bifurcation and chaos phenomenon under the different parameter, and exists so-called" double scroll" chaos attractor under the particular parameter as soon as Chuas one.Key words: Chaos; Calculable way of fourth rank Rounge-kutta; Nonlinear circuit model; Analysis of MATLAB simulation.目 录引言1一 非线性电路简介3二 基于VISUAL C + + 的非线性电路实验7（一） 电路实验及模拟实验算法分析 8（二） 模拟实验算法分析9（三） 实验室结果与模拟结果对比分析11二 基于蔡氏电路的混沌仿真与分析17（一） 蔡氏电路模型 18（二） 蔡氏电路仿真研究23三 基于MATLAB 的混沌系统仿真与分析24（一） 混沌系统的MATLAB 分析25（二） 参数A= 0. 6 时系统的混沌特性分析28（三） 系统的庞加莱截面29参考文献34引言非线性是自然界中普遍存在的自然现象，正视非线性现象才构成了变化莫测的世界。长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述运动，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多的情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。从此非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则和非周期性，这是由非线性系统产生的。绝大多数的电子电路与系统本身是非线性的，但电子工程师仍然把更多的注意力投入到线性的现象和模型研究与应用中，虽然解决了实际中的一些工程问题，但这是以忽略非线性因素为代价的，或者仅仅考虑了弱非线性。对线性模型的进一步研究，可以发现仅考虑线性特性有很大的局限性，尤其它将阻碍对非线性系统特性的研究，而这种非线性系统的复杂性在信息的传输、编码、存储、安全等方面具有很大的优势。今天，世界各国有关研究非线性的组织已经意识到开发非线性动力系统的潜力，欧洲、美国、日本的科学家们也正进行一些相关非线性的意义重大的项目研究。非线性电路中混沌现象的发现也是出于偶然。1927年，范德坡（Van Der Pol）无意中听到氖灯中张弛振荡器的“一种不规则的噪声”，他当时没有认识到这就是混沌现象，反而称之为“次要的险象”。1978年日本京都大学上田宗亮（Yoshisuke Ueda）对非线性电感加上正弦电压的电路做仿真实验，发现以杜芬（Duffing）方程描述的非线性电路中有7/3阶超次谐波振荡和随机转变过程。1980年上田和赤松（N. Akamatsu）对负阻元件与电容并联后通过电阻电感加上正弦电压的电路做仿真实验，发现以范德坡方程描述的非线性电路中的奇异吸引子和拟周期振荡。1981年麻省理工学院林塞（P. S. Linsay）对变容二极管通过电阻电感加上正弦电压的电路作实验，证实了费根包姆关于周期倍增导致混沌的预言，并验证了费根包姆数。这是分叉与混沌的第一个实验。虽然人们对非线性电路实验研究了数十年，但这还是首次发现这样的分频和混沌现象。1983年美国加州大学伯克利分校的蔡少棠（L. O. Chua）教授设计了一个能够产生复杂混沌现象的最简单的三阶自治电路蔡氏电路（Chuas circuit），该电路分别被计算机数值模拟和实际电路中首次观察到的混沌现象所确认，并给出了严格的数学证明。1因为蔡氏电路能够展现出最丰富的混沌动力学特性，它成了人们研究混沌机理的范例，2345而且在它的基础上，不断有人提出新的混沌电路实现方案，6为混沌的实际应用打下了基础。78 1990年，混沌控制方法和混沌同步思想的先后提出，拉开了利用混沌的序幕。随混沌控制方法和同步技术的发展，大大推进了混沌在保密通信、密码学、自动控制、人工智能、信号分析和处理等方面的应用。“简单电路是否产生混沌现象”是混沌工程学极富挑战性的课题之一。混沌学与工程领域相互结合，产生了各种新颖的理论与技术。例如：混沌计算机图形学、混沌生物工程学、混沌图象处理技术、混沌控制理论、混沌噪声理论、计算机非线性分析理论与技术（下一代人工智能）等。混沌的研究对现代科技已经和正在发挥巨大而广泛的作用，涉及到电子、信息、控制等诸多应用领域，电路中混沌的研究和讨论无疑是非常有意义的工作。非线性电路涉及到非线性微分方程，除少数情况外，非线性微分方程一般都无精确的解析解，因此，常用计算机进行模拟，观察解的表现，以判断是否存在混沌现象。本文在对三阶蔡氏电路的分析和MATLAB仿真的基础上，构造一个以非线性荷控电容为核心，与“蔡氏电路”具有相同的元件个数、同样紧凑结构的三阶变形蔡氏电路。采用分段线性化方法和四阶龙格-库塔算法，用MATLAB进行分析与仿真其通向混沌的道路。 二、非线性电路简介含有除独立电源之外的非线性元件的电路。电工中常利用某些元器件的非线性。这里的非线性元件不包括独立电源。例如，避雷器的非线性特性表现为高电压下电阻值变小，这可用于保护雷电下的电工设备。非线性元器件在电工中得到广泛应用。例如避雷器的非线性特性表现在高电压下电阻值变小，这性质被用来保护雷电下的电工设备；铁心线圈的非线性由磁场的磁饱和引起，这性质被用来制造直流电流互感器。非线性电路的研究和其他学科的非线性问题的研究相互促进。20世纪20年代，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程成为研究混沌的先声。非线性元件电路是指由非线性元件构成的电路,如线圈,电容等够成的LR,CR,LC,LCR电路等,这些可构成微分电路或积分电路,这就是非线性电路。 特点 稳态不唯一用刀开关断开直流电路时，由于电弧的非线性使这时的电路出现由不同起始条件决定的两个稳态一个有电弧，因而电路中有电流；另一个电弧熄灭，因而电路中无电流。线性电路通常只有一个稳态。但有些非线性电路的稳态可以不止一个。例如，用刀开关断开某个直流电路，当开关的刀和固定触头之间的距离不够大（例如距离为d）时,刀与触头之间可以出现稳定的电弧，电路中有电流，这是电路的一个稳态；增加上述距离使电弧熄灭后,再使此距离减少到d,却见不到电弧,电路中没有电流，这是另一个稳态。电弧的非线性特性使这个电路有两个稳态。电路处于何种稳态由起始条件决定。自激振荡在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压（或电流）却可以有周期变化的分量，电路里出现了自激振荡。音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件，可产生其波形接近正弦的周期振荡。在含有直流独立电源的线性电路中，稳态下的电压、电流是不随时间变化的直流电压、直流电流。但在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压(或电流)却可以有周期变化的分量，电路里出现了自激振荡。例如，音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件而成为非线性电路。这个电路可以产生其波形接近正弦的周期振荡。自激振荡可以分为两种。软激励：电路接通后就能激起振荡。硬激励：电路接通后，一般不能激起振荡，电路处于直流稳态。必须另外加一个幅度较大、作用时间很短的激励，电路里才会激起振荡。在这样的电路中便有两个稳态：一个是直流稳态，一个是含周期振荡的稳态。谐波正弦激励作用于非线性电路且电路有周期响应时，响应的波形一般为非正弦的，含有高次谐波分量或次谐波分量。例如，整流电路中的电流常会有高次谐波分量。也可以有频率低于激励频率的次谐波分量。整流电路中的电流常会有高次谐波分量。将铁心线圈和合适的电容器串联接到正弦电压源上，构成铁磁谐振电路，其中的电流可含有频率是电源频率1/3的次谐波分量，称1/3次谐波。跳跃现象非线性电路中，参数（电阻、电感、振幅、频率等）改变到分岔值时响应会突变，出现跳跃现象。铁磁谐振电路中就会发生电流跳跃现象。电路的响应与电路的各种参数有关。电阻、电感、正弦电源的振幅和频率都是参数。当某个参数有微小变化时，响应一般也有微小变化。但在非线性电路里，当参数改变到分岔值时，响应会突变，出现跳跃现象。考虑一个有合适电容值的铁磁谐振电路，以正弦电压源的有效值U 作为控制参数。平滑地、缓慢地改变U 时,电流有效值I一般随之平滑地变化，图中两条实线表示这种变化，箭头代表变化方向。当电压U由0增加时，电流按曲线变化。当U 达到分岔值U2时,电流会突然增加,以后电流沿曲线变化。当U由大于U2的值减少到分岔值U1时,电流会突然减少。电流跳跃性变化用图中虚线表示。平滑地改变电源的频率，也可以看到类似的现象。频率捕捉正弦激励作用于自激振荡电路时，若激励频率与自激振荡频率二者相差很小，响应会与激励同步。正弦激励作用于自激振荡电路时，看来有两种频率的振荡在电路里起作用，一个是激励的频率，一个是自激振荡频率。但当二者相差很小时，电路里只存在频率为激励频率的振荡：响应与激励同步。这种现象称为频率捕捉。混沌20世纪20年代 ，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程，成为研究混沌现象的先声。非线性电路可以出现的一种稳态响应波形，看似无规律可循，类似随机输出。它的频谱中有连续频谱成分。响应对起始条件极为敏感。在两组相差极微小的起始条件下，经过较长的时间以后两个响应的波形差别很大。这种稳态响应是一种混沌现象。在三阶（或三阶以上）自治电路和二阶（或二阶以上）非自治电路里可以出现混沌。低阶电路的混沌常作为理论研究对象。 三、基于Visual C + + 的非线性电路实验 在Visual C + + 开发环境下,通过龙格库塔方法求解非线性电路微分方程组,得到数值解并模拟显示李萨茹图形。在相同线路参数下模拟结果与实验室实验中观察到的结果一致,同时模拟显示可以容易地得到稳定的X ,Y方向上的输出波形。通过该模拟实验可以很好地观察研究非线性电路中的混沌现象。1 非线性电路实验模型该实验基本电路采用蔡氏电路模型, 其结构如图1 所示。其中含有一个非线性元件R ,它是一个有源非线性负阻器件, 同时含有三个储能元件C1 , C2 , L 和一个可变电阻Rv ,实验中即是通过改变R来观测实验现象。实验中需测量非线性负阻元件的伏安特性曲线,先假设其伏安特性曲线表达式为: I = F(U) ;同时为了保证数值模拟尽量与实验室实验结果相吻合,该模拟实验增加考虑了电感电阻的影响。线路的非线性动力学方程为:式中U1 ,U2 分别表示加在电容C1 , C2 上的电压; iL 表示流过电感L 的电流, R0 为电感电阻,如图1 所示。现以x 代替U1 , y 代替U2 , z 代替i L ,方程可化简如下:化简后的偏微分方程组中仅含有x , y , z 三个变量,其余均为线路决定的常数。2 电路实验及模拟实验算法分析 非线性电路实验实验室中使用NCE21 型非线性电路混沌实验仪5 ,电路如图2 所示。其中电容C1 为100 nF ,电容C2 为10 nF ;电感L = 17. 5 mH(可设定) ;电阻Rv 为可调电阻,实验中把Rv 更换为电阻箱。非线性元件伏安特性曲线及其负压方向上表达式如图3 所示。在实验中记录下图形随电阻箱阻值变化的图像及对应阻值。模拟实验算法分析实验室中通过示波器测得的x , y 端波形频率约为3 kHz ,相应的周期为0. 33 ms。要完成微分方程组(4) 、(5) 、(6) 的求解,可采用四阶龙格库塔方法5 。由于该算法中数据是离散化的,方程中自变量t 是均匀变化(时间均匀流失) , 故并未对方程作进一步化简。如果要合成李萨如图形,至少要求x , y 端输出一个完整的波形, 考虑到最终波形的完整性以及程序计算起步阶段的不稳定性,可考虑选取12 个周期, 也即0. 33 ×12 =3. 96 ms ,该延迟时间可与示波器刷新的频率吻合,在现今计算机运算速度下,可设时间变化步长h = 100 ns ,每个周期内计算33 000 次左右,这样模拟输出点( x , y) 的个数= 12 ×33 000 40 万。由于在实验室实验中,观察波形时,示波器x 方向上倍率为1 V (2 V) , y 方向上倍率为0. 5 V (1 V) ,为体现模拟图像与实验图像的一致,在算法中,当要显示坐标点时, x 坐标的值除以2 。程序运行结果表明,这样的设定符合要求,并有很好的视觉效果。(主程序见附录)实验室结果与模拟结果对比分析模拟实验一该组实验中,测得电感L = 16. 9 mH;电感电阻R0 = 2. 6;由于原实验箱只作定性观察,其中电容和电感误差允许10 %5 。其中电感通过串联谐振法已测得,考虑到非线性电路本身(非线性负阻元件近似线性拟合,线路自身电阻,电感电容随电流的变化等等) 的各种不确定因素, 对各个变量进行准确测量不一定会提高实验精度, 本程序即通过“倒过来验证”的方法确定C1 , C2。在对模拟数据的测试过程中,发现当改变C1 为10. 96 nF时,模拟实验与实验室实验结果吻合的较好。并且在改变电感的下组实验中较好吻合。所以可以认为这些参数设定能够近似代表实验室线路。说明:(1) 在出现双吸引子后没有一直减小可变电阻。(2) 模拟实验与实验室实验中,均可看到电阻变小到一定程度时出现类似于磁滞回线的图像。(3) 当电阻较大时,模拟实验也可观察到一个大斑点,与实验室情况相似。(4) 部分具有代表性波形合成图像所示。其中左侧为示波器上对应阻值的照相图像,右侧为对应阻值模拟显示的截屏图。模拟实验二该组实验中,电感变为21. 78 mH ,电感电阻R0 = 2. 6 ,其他线路参数与第一组实验相同。该组实验中,模拟与实验室结果对比。说明:(1) 第一组说明中的a ,b ,c 在此均符合。(2) 模拟实验中,可以观察到“被切割”的合成图像,随着电阻变小图像又自动慢慢“修复”。与实验室中示波器观察到的现象一致。(3) 模拟实验中,阵发混沌期间会在小范围内再次出现4 倍周期图像,阻值在1988 附近,同样在实验室中,当阻值在1986 附近也出现类似情况。(4) 部分具有代表性的波形合成图像如图5所示。相应电阻虽有所差异,但误差并不大。模拟结果补充说明在实验室实验中由于示波器扫描频率不符合等原因,当分别观察每个示波器输入端的波形时,很难观察到正常的波形。在模拟实验中,由于数值计算的结果方便显示,可观察到完整稳定的波形。此处以第一组实验中双吸引子为对象。模拟显示波形如下:其中,水平方向为y 方向(U2 ) 上输出, 垂直方向为x 方向(U1 ) 上输出, 中间为合成图像。通过图像可以清晰地看到各输出端的波形。实验中通过改变C1 , C2 , L 等参数可以清楚地看到非线性电路对这些参数的极度敏感性; 在一定范围内,通过在0 附近设定不同的线路初值( x , y , z) ,可以看到波形输出的一致性; 在观察计算机绘出图形的过程中,可以看到线条“行走”的连续渐变; 观察双吸引子时, 可看到线条对称出现,对称中心处出现拐点等现象。诸多现象说明了混沌现象的有序性,并有着自身演变规律。印证了“混沌现象并不是杂乱无章的,而是按照一定的规律在变化着。”实验室与计算机上分别模拟了三组数据,上面仅给出两组。各组结果均吻合的很好。模拟实验充分说明了计算机模拟非线性混沌问题的可行性,方便性。由此也可看出非线性电路的丰富内容。 基于蔡氏电路的混沌仿真与分析混沌是非线性系统中的常见现象。该文对产生混沌现象的最简单三阶自治电路蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型对其进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。蔡氏电路模型自治动力系统产生混沌现象需要以下条件:系统至少有三个状态变量,并且存在一定的非线性环节。蔡氏电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻,电路如图1 所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分。其中线性部分包括:电阻R、电感L (含内阻r) 和两个电容C1 与C2 ;非线性部分只有一个分段线性电阻Rn ,其伏安特性如图2 所示,非线性电阻采用如图3所示的电路。电路图中选用的具体参数或器件为: r = 10 ,C1= 4700pF , C2 = 0. 1F ,L =8. 2mH , R1 = R2 = 300 , R3= 1. 2k ,R4 = R5 = 3. 3k ,R6 =R7 = 47k ,VC = - VE = 9V ,运算放大器采用LM741 ,二级管采用IN4148 ,为了调节混沌现象出现的条件,R 采用图3 非线性电阻的实现电路可变电阻,调节范围为0到3K。 下面分析图3 中非线性电阻的伏安特性:二极管D1 和D2 都截至时, A 和B 点的电压为:VA = VE ×R4/ ( R4 + R6)VB = VC ×R5/ ( R5 + R7)当vC1 E( = VD + VB ) 时,其中VD 为二极管导通电压, vC1 为电容C1 两端的电压。D1 截止, D2 导通,m0 = i/ vC1= 1/ R5 - R2/ ( R1 R3)当| vC1| E 时, D1 、D2 截止:m1 = i/ vC= - R2/ ( R1 R3)当vC1 - E 时, D1 导通, D2 截止:m2 = i/ vC1= 1/ R4 - R2/ ( R1 R3) = m0这样,电流i 对于电压vC1 的函数可以表示为:式(1) 也可以用下式表示:i ( vC1) = m0 vC1+ ( m1 - m0) (| vC1+ E | - | vC1- E | ) / 2这样就可以得到如图2 所示的非线性电阻伏安特性。可以通过调节电阻R 的阻值来改变vC1 的大小, 非线性电阻中的运放LM741 工作在线性放大区域中,由它及和其相连的电阻组成线性负阻,运放本身并没有产生非线性。蔡氏电路(图1) 的电路模型为:其中vC2为电容C2 两端的电压, iL 为通过电感L 的电流。蔡氏电路数学模型及其分析式(2) 中,取x1 = vC1, x2 = vC2, x3 = RiL / C2 ,= t/ RC2 ,a = m1 R , b = m0 R , = C2/ C1 , = R2 C2/ L ,其中x1 、x2 、x3为系统状态变量,自变量为时间, 可以得到蔡氏电路的数学模型:其中式中微分都是相对变量。将(3) 式可以化为:令X = ( x1 , x2 , x3) T 考虑平衡态ÛX = 0 ,即:根据f ( x) 的不同形式,在R3 的三个子空间:中都有唯一的平衡点,分别是:P+ = ( k ,0 , - k) D1O = (0 ,0 ,0) D0P- = ( - k ,0 , k) D- 1其中k = ( b - a) / ( b + 1) 。在三个子空间中, (5) 式为线性方程,令K = ( k ,0 , - k) T , (5) 式可以改写为其中在子空间D0 中c = a ,子空间D1 和D- 1 中c = b。参数,a , b 可以根据前面的电路参数求得,分别为21. 3 ,23. 9 , - 1.1 , - 0. 7。子空间D1 和D- 1 中平衡点处的特征值为- 8. 46 ,0.54 ±j4. 21。子空间D0 中平衡点处的特征值为4. 08 , - 1. 47 ±j3. 21。由此得出三个子空间中的平衡点都是鞍点。到目前为止, 还不知道系统是否出现混沌现象, 还需要进一步判断。Lyapunov 指数是判断系统混沌现象的最常见方法,它能够定量地描述动力系统在相空间中相邻轨道的发散程度。若动力系统在一定区域内的第一个Lyapunov指数1 >0 ,则动力系统在这个区域上出现混沌现象,并且对于初值是敏感的。在平衡点处的局部区域内计算以上蔡氏电路的第一个Lyapunov 指数,可以得到:1 = 0. 283 ,可见1 > 0 ,蔡氏电路的运动处于混沌状态。蔡氏电路仿真研究根据以上建立的数学模型, 对蔡氏电路进行仿真研究。通过调整系统初始值或R 的阻值,可以观察到蔡氏电路丰富的非线性动态特性。仿真中步长定为0. 01 秒,运行20000 次。R 固定为1. 429K,当系统初始值为vC1= 0. 001 , vC2= 0 , iL =0 时,出现双涡卷混沌吸引子,如图4 所示;当初始值为vC1=3. 08832 , vC2= - 1. 0423 , iL = 6. 93155 ,出现如图5 所示的稳定周期轨道。当固定初始值为vC1= 0. 001 , vC2= 0 , iL = 0 时,R 由小变大,当R = 1. 285K时,开始出现稳定周期轨道;当R= 1. 429K时,开始出现双涡卷混沌吸引子。由上述分析及仿真结果可知,虽然蔡氏电路非常简单,但其非线性动力学行为却极其丰富,只要选择合适的电路参数,就能出现混沌现象。基于Matlab 的混沌系统仿真与分析对混沌现象和特征进行简要描述并用Matlab 软件对一个混沌系统进行仿真和分析。给出了这个混沌系统的Simulink 模型, 通过编程计算画出了此系统的分岔图, 刻画了系统参数A = 0. 6 时的混沌吸引子形状、系统的庞加莱截面和功率谱, 揭示了此系统混沌的本质。最后给出了系统的电路实现形式。混沌及其特征所谓混沌是指某种对初始条件敏感的运动, 是在确定性系统中出现的一种貌似无规则, 类似随机的现象, 是普遍存在的复杂运动形式和自然现象。他无序中又有序, 混沌是非线性系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为, 因此非线性是产生混沌的必要条件, 但并非所有非线性系统都会产生混沌 1 。一般认为一个确定的非线性系统, 如果含有貌似噪声的有界行为, 且又表现若干特性, 便可称为混沌系统, 此处所说特性主要有以下方面:( 1) 振荡信号的功率谱连续分布, 且可能是带状分布的, 这个特征表明振荡为非周期性, 也说明信号貌似噪声的原因。( 2) 在相空间, 该系统的相相邻的轨道线彼此以指数规律迅速分离, 从而导致对初始值的极端敏感性, 这就使系统的行为长期不可预测。( 3) 在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内, 轨道线具有遍历性和混合性2 。Mat lab 是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件, 具有很高的编程效率。这些功能使得他在线性代数、矩阵分析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等众多领域的理论研究和工程设计中得到广泛的应用 3 。混沌学理论所研究的是非线性问题, 处理非线性在数学上比线性要复杂得多, 绝大部分非线性微分方程是不可积的,难以用解析式表达, 只能采用数值解法, 而强大的数学工具 Mat lab 做这些工作就显得游刃有余。下面针对一个混沌系统进行实例分析。混沌系统的Matlab 分析混沌系统的描述用Matlab 分析三阶非线性常微分方程:x56321 .= - A x#- x56322 .- | x | + 1 可以在控制参数A 的合适取值范围内产生混沌。令x56322 . = y , y56322 . = z , 方程可转化为一阶微分方程组:待添加的隐藏文字内容2令x56322 . = y56322 . = z56322 . = 0, 可得到系统( 1) 的平衡点有2 个: S+= ( 1, 0, 0) , S- = (- 1, 0, 0) , 对称的落在x 轴的两侧。系统的分岔图为了得到合适的参数A 的取值范围, 可以计算方程组105现代电子技术%2006 年第10 期总第225 期56321 . 56322 . 集成电路的解x ( t) 对参数A 的分岔图, 设初始条件为( 0, 0, 0) , 应用Mat lab软件编写程序, 可以画出参数0. 58 & A & 0. 8 时系统的分岔图( 图1) 。由图1 可见, 当参数A 由0. 8 向0. 64 逼近时系统以倍周期分岔进入混沌, A 值小于0. 64 以后, 出现类似于平方映射那样的带有大大小小窗口的典型的混沌带。系统的Simulink 模型Mat lab 提供的Simulink 是一个基于Windows 环境下的以图形进行编程的软件, 可以用来对动态系统建模、仿真和分析。编程时只需选择需要的模块, 用鼠标把他们联结起来, 并设定每一方块的参数, 在用Simulink 模拟混沌系统时候, 可根据非线性方程建立方块图, 并设置参数进行模拟, 即可得到对应的数值解, 此方法具有直观、方便、灵活等特点 。对此系统建模, 取A = 0. 6, 可得到图2 的模型。其中: Sum 是求和模块; Int egrat or( Int egrator1, Int e!grator2, Int egrator3) 是积分模块; Product 是求积模块, 实现输入变量的乘积; Gain 是增益模块, 实现输入变量的增益, 此处对应的是参数A 的值; Const 是常数模块, 用于获得一个常数, Abs 是绝对值模块, 用来求输入变量的绝对值, XY 是显示模块, 可显示XY 平面的轨迹。变换Gain模块的值( 即参数A 的值) 即可模拟系统在取不同参数值时的状态。参数A= 0. 6 时系统的混沌特性分析 系统的吸引子刻画由分岔图可知, 参数A = 0. 6 时系统处于混沌状态, 用Mat lab 可以刻画出此时系统的混沌吸引子如图3 所示。图3( a) 为吸引子的三维视图, ( b) 为吸引子的x - y轴投影。系统的庞加莱截面庞加莱截面方法被广泛的应用到非线性动力学的研究中。他不仅很易区别周期与非周期, 而且也能清楚地反映出动力系统在庞加莱截面上的相应结构。图4 描述了用Matlab 仿真得到的A = 0. 6 时系统在z = - 1截面(左图) 和z = 0 截面( 右图) 上的庞加莱图。在庞加莱截面上, 经过足够长的时间后, 由相点描绘的混沌吸引子内部结构逐步的显露出来, 由图可知此吸引子具有非常丰富的内部结构层次。系统的功率谱功率谱分析是计算机实验和实验室观察分岔和混沌的重要方法。由于混沌系统是非周期的, 所以他的功率谱是连续的, 同时因为混沌运动极为复杂, 在倍周期分岔中,每分岔一次, 功率谱中就出现一批对应新分频及倍频的峰, 所以混沌的谱不是平谱, 即谱中出现了噪声背景和宽峰6 。图5 描述了A = 0. 6 时此系统的功率谱。系统的电路实现为了研究此系统的动力学行为, 可以去参数A = 0. 6,具体电路实现如图6 所示。106微电子技术王晓辉等: 基于Mat lab 的混沌系统仿真与分析由图6 可见, 该电路以- x56321 .为电压驱动, 用了3 个串联的反向积分器, 以产生x#, - x 和x 等3 个量, 并按一定比例将3 个信号和1 个有电池产生的直流电压相加, 反馈到第1 个积分器的输入端。因此, 该电路可以看成1 个由3 个90相移器与一个非线性反馈组成的振荡器。当电路中的电阻取值为1 k56322 . , 电容为0. 1 F 时, 电路给出首次霍夫分岔的基频振荡频率为1 592 H z。在研究混沌时, M at lab 在数值计算和动态仿真方面的特点得到了很好的利用, 二者的结合可以促进混沌学科更快地向前发展。本文重点对提出的混沌系统进行建模与仿真, 研究了他的定性特征。这些分析有助于更好地理解这个混沌系统的本质, 同时对深入研究一般的混沌系统具有启发和理论意义。 参考文献1 丁益民,徐扬子. 大学物理实验M ,北京:科学出版社. 2008.2 刘昕,李保权. 基于MATLAB 的非线性电路的数值模拟J . 文章编号:100820570 (2008) 122320213202.3 孙鑫,余安萍. 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