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学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院 数学与应用数学研究方向代数学学生姓名 学号200920134781指导教师姓名 指导教师职称教 授 2014年4 月 16日 矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebraWhile as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matricesThe decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problemsIn this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so onFirstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are givenAnd then，specific decomposition ways of theirs are illustratedFinally，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examplesKeywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition目录摘要IABSTRACTII目录III一、引言1二、矩阵的QR分解1（一）矩阵QR分解的基本概念及定理1（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例1三、矩阵的三角分解8（一）矩阵三角分解的基本概念及定理8（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例9四、矩阵的满秩分解15（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理15（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例15五、矩阵的奇异值分解17（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理17（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例18六、结论20参考文献20致谢21一、引言矩阵分解是代数学中的一个重要概念把一个矩阵分解成若干个矩阵的和或乘积的形式是解决某些线性代数问题的重要方法，如解矩阵方程和最小二乘问题等本文将从矩阵的QR分解，满秩分解，三角分解以及奇异值分解等方面对矩阵分解进行探讨对于本文中所涉及到的一些概念，我们做如下规定：用表示实数域；表示实数域上维向量空间；表示复数域上维向量空间； 表示实数域上矩阵空间；表示复数域上矩阵空间；表示单位矩阵；表示矩阵（或向量）的转置；表示矩阵（或向量）的共轭转置；表示阶对角矩阵二、矩阵的QR分解（一）矩阵QR分解的基本概念及定理定义 对于阶复矩阵，若满足，则称是酉矩阵定义 如果方阵可以分解成一个酉（正交）矩阵与一个复（实）上三角矩阵的乘积，即，则称上式为的一个分解定理 如果阶方阵为非奇异实(复)矩阵，则存在正交(酉)矩阵和非奇异实(复)上三角矩阵，使得且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外，分解式是唯一的（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例1、利用正交化方法进行分解方法：1写出矩阵的列向量组； 2把列向量组按照方法进行正交化； 3得出矩阵的分解例2.1 用正交化方法求矩阵的分解解 令，将正交化得 记，则，再将单位化，得令=，记，则，=，则有2、变换法求矩阵的分解在平面解析几何中，使向量顺时针旋转角度后变为向量的旋转变换为 ，其中因为旋转变换不改变向量的模，所以它是正交变换，从而是正交矩阵，且定义 一般的，在维欧式空间中取定一组标准正交基，在平面中旋转，它的矩阵表示是，为旋转角，其他元素为0令，则，这时，叫做矩阵（初等旋转矩阵），它所确定的线性变换叫做变换（初等旋转变换）变换可以将向量或矩阵中指定的元素化为零定理 设是阶非奇异实矩阵，则存在由有限个初等旋转矩阵的乘积构成的正交矩阵和一个上三角矩阵，使得例2.2 用变换求矩阵的分解解 （1）对的第一列，取，则（2）然后对的右下方子矩阵，取，则，则（3）再令，于是得到3、变换求矩阵的分解一般的，在中，是非零的单位向量，将向量映射为关于与正交的维子空间对称的向量的镜像变换定义如下定义 设是非零的单位向量，阶矩阵称为矩阵(初等反射矩阵)，变换（）称为变换（初等反射变换）定理 设是阶非奇异矩阵，则存在由有限个初等反射矩阵的乘积构成的正交矩阵和一个上三角矩阵，使得例2.3 用方法求矩阵的分解解 （1）对的第一列，取单位向量，于是，从而（2）对的第1列，取单位向量，作，从而（3）令，从而可得，以及正交阵4、利用初等变换求矩阵的分解矩阵的初等变换共有三种，其中把数域上矩阵的某一行(列)的倍加到另一行(列)上，这种初等变换称为第三种行(列)初等变换（为任意实数）定理 设是一实矩阵，若是列满秩矩阵，则对称正定，因而有唯一的三角分解式，其中是单位下三角，是对角元全为正数的的对角矩阵定理 若是一个列满秩矩阵，则总可经过一对第三种行和列的初等变换分解为的形式，其中是一个列正交矩阵，是非奇异上三角矩阵步骤：1求出对称正定矩阵；2对同时进行相应的第三种初等行和列变换，得到对角矩阵且主对角线上元素全为正实数因为对矩阵施行行初等变换相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵，对矩阵施行列初等变换相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵，所以存在下三角矩阵和上三角矩阵 (显然可逆)，使得，； 3设，其中为单位矩阵4令，则是一个列正交矩阵，是一个非奇异上三角矩阵，即得分解式例2.4 用初等变换求矩阵的分解解 ，对只用第三种初等变换，则，因此可得 5、利用行(列)初等变换法步骤如下： (i)构造矩阵； (ii)对用第三种列初等变换，将化为下三角矩阵，同时化为列正交矩阵； (iii)对上述得到的矩阵，再用第二种列初等变换化的各列为单位向量，则化为(列) 正交矩阵，同时例2.5将矩阵分解为的形式解 因为，所以，用1乘以第一列加到第二列，则有，于是可得， 正交化法，即对矩阵的列向量组进行正交化来求矩阵的QR分解，思路简单、清晰，适用于低阶矩阵的QR分解实际上，我们一般不用正交化法作QR分解，而是借助变换和变换对矩阵进行QR分解方法需要作最多个矩阵的连乘，当较大时，计算量较大，因此常利用变换进行QR分解只需作个矩阵，计算量大约是方法的一半而对于初等变换法和列初等变换，它们的思路都比较简单，但计算易出错，比较适用于低阶矩阵的QR分解三、矩阵的三角分解（一）矩阵三角分解的基本概念及定理定义 设是阶矩阵，如果的对角线下(上)方的元素全为零，即对， (对,)，则称矩阵A为上(下)三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵对角元全为1的上(下)三角矩阵称为单位上(下)三角矩阵定义 设是阶矩阵，如果有下三角矩阵和上三角矩阵使得，则称能作三角分解，并且称为的三角分解或分解如果的三角分解中，为单位下三角矩阵，为上三角形矩阵，此时的三角分解称为（杜利特）分解；若为下三角形矩阵，为单位上三角矩阵，则称此三角分解为（克劳特）分解矩阵的三角分解是不唯一的（分解和分解就是两种不同的分解方式）因为如果的三角分解为，设是非奇异的任意对角矩阵，则也是的三角分解，其中是下三角形矩阵，是上三角形矩阵，由于的任意性，的三角分解有无穷多种关于矩阵的三角分解有如下结论：定理（分解定理） 设是阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵和上三角矩阵使得的充分必要条件是的前个顺序主子式均非零，即定理（分解定理） 设是阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵，对角矩阵和单位上三角矩阵使得 的充分必要条件是的所有顺序主子式均不为零，即 ，并且 ， ，推论 设是阶矩阵，则可以唯一地进行分解和分解的充分必要条件是的顺序主子式注 矩阵的分解与分解都需要假设的前阶顺序主子式非零如果这个条件不满足，可以给左(或右)乘以置换矩阵(以阶单位矩阵的个列向量为列作成的阶矩阵)，就把的行（或列）的次序重新排列使之满足这个条件，从而有如下的行交换的矩阵分解定理定理 设是阶非奇异矩阵，则存在置换矩阵，使得的个顺序主子式均非零，且有，其中，为单位下三角矩阵，为上三角矩阵，为单位上三角矩阵，为对角矩阵（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例1、消元法消元法的基本思想是利用矩阵的初等行变换化矩阵为上三角矩阵对于一般的阶方阵，不妨令 可按如下步骤分解：（不妨设，以下类似）首先将乘以第一行加到第行上，可把变形为，这相当于用单位下三角矩阵左乘矩阵而得到，再将 乘以的第二行加到第行上（），可把变形为 ，这相当于用单位下三角矩阵 左乘以而得到，如此一直进行下去直到第步，就被化为一个上三角矩阵，记为：，此时 上述对进行的一系列行初等变换，相当于用单位下三角矩阵 依次左乘，即：，由于均为单位下三角阵，所以它们的逆矩阵都存在，并且这些逆矩阵及其乘积也是单位下三角阵因此， 即最后令 ，则例3.1 求解方程组： 解 方程组为，其中：， ，首先对进行三角分解先对施行行初等变换化为上三角矩阵这相当于用如下的三个初等矩阵依次左乘，即 ，其中由于初等矩阵都是非奇异方阵，故其逆矩阵均存在，因此，而，令，则故，即 于是方程组变为或令，则有，其中于是有，即 ，容易求得 又解，即 ，可求得， 故原方程组的解为2、分解法令第1步：的第1行乘以的第列：的第行乘以的第1列：可得第2步：的第2行乘的第列：最后可得 （3.1）例3.2 用分解法求矩阵的分解解 令，代入公式（3.1）得 ，3、分解当是对称正定时，有如下分解：定理 若对称正定，则存在唯一的对角元为正的下三角形矩阵，使分解为，这种分解称为分解由，得当时，有 （3.2） 当时，有， （3.3） 注 当时，有，对，由式（3.2）和式（3.3）逐列求得的元素，即得的分解例3.3 用平方根法分解矩阵解 先验证系数矩阵为对称正定，对称是显然的，又，故对称正定可用分解，由式（3.2）和（3.3）计算求得于是，注 分解法要求用到开方运算，为避免开方运算，可将分解为(其中为单位下三角矩阵)，这种分解方法称为改进平方根法四、矩阵的满秩分解（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理定义 设是矩阵，>0如果存在的列满秩矩阵和的行满秩矩阵，使得，则称此分解为矩阵的满秩分解定理 任何矩阵都有满秩分解实际上对任何一个矩阵只需用第三种初等变换就可将其化为阶梯形，而第三种初等矩阵 的逆矩阵为，若干个第三种初等矩阵的乘积仍为初等矩阵（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例1、利用初等变换法例4.1 求矩阵的满秩分解解 ，其中各个变换所对应的初等矩阵依次为， ，则取的前两列构成，则2、化为标准形求满秩分解定义 设是矩阵，满足：(i)的前行中每一行中至少含有一个非零元素，且每行第一个非零元素是1，而后行元素均为0(ii)设中第行的第一个非零元素1位于第 ()列，有(iii)的第列构成阶单位矩阵的前列则称为的标准形实际上矩阵的标准形就是在阶梯形基础上进一步化为最简形，再到标准形标准形方法求矩阵的满秩分解，省去了求初等行变换矩阵的逆矩阵，方法更简便，效率更高例4.2 求矩阵的满秩分解解 经过行初等变换，我们有 故矩阵的秩为2令，则为矩阵的一个满秩分解注 该例中矩阵的列向量极大线性无关组不唯一，导致其满秩分解也不唯一取不同的列向量极大线性无关组，则可得到不同的满秩分解例如取第1，3列为极大线性无关组，则，此时令，则为矩阵的另一个满秩分解再如取第1，4列为极大列无关组，则 ，此时令，则为矩阵的另一个满秩分解 注 矩阵的秩永远不会超过其行数和列数如果阶方阵的秩远小于其阶数，则满秩分解可以大大简化求解方程特征值的计算设阶方阵有满秩分解，我们有 (4.1)如果阶方阵的秩远小于其阶数，则通过上式右边的行列式来求的特征值要比直接计算左边的行列式要简单得多例4.3 求阶矩阵的特征值解 易知矩阵的秩为1，其满秩分解为，由等式(4.1)得，所以矩阵的特征值为 五、矩阵的奇异值分解（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理奇异值分解是现代数值计算的最基本和最重要的工具之一矩阵的奇异值分解在优化问题、特征值问题、最小二乘问题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有着重要的应用引理 设，则 引理 设，则（1）与的特征值均为非负实数；（2）与的非零特征值相同，并且非零特征值的个数（重特征值按重数计算）等于定义 设，如果存在非负实数和非零向量，使得，则称为的奇异值，和分别称为对应于奇异值的右奇异向量和左奇异向量设，且的特征值为 由引理5.2知，记，称为的奇异值.定理 设 是矩阵，且，则存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得 ， 其中 ，且（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例求解奇异值分解的步骤如下：1、确定，计算，求其特征值，可得的正奇异值则，且2、确定，求非零特征值对应的特征向量，将其用正交化法化为正交向量，即得再取和的列向量拼成的标准正交基，即得到3、确定，求，取，计算在中取，使得与的列向量成的标准正交基，从而为酉矩阵，则例5.1 求矩阵的奇异值分解解 因为 ，所以的非零奇异值为对应于特征值5和2的标准正交特征向量为，则而对应于特征值5和2的标准正交特征向量为对应于特征值0的标准正交特征向量为故 因此的奇异值分解为 六、结论本文首先介绍了矩阵分解的定义及相关定理，然后着重探讨了几种特殊类型的矩阵分解形式，如QR分解，三角分解，满秩分解，奇异值分解等，并对这些分解形式的各种分解方法进行了全面的归纳和总结，最后对这些不同的分解方法给出了相应的应用举例从这些不同的分解形式中，我们可以看出矩阵分解对于解决代数学中的许多问题都具有非常重要的意义它不仅能够简化计算，而且在求矩阵的秩，特征值以及解线性方程组等方面优势显著对于矩阵的分解，其内容非常丰富，除上面提到的几种分解形式外，还有其它的一些分解形式，如谱分解、Schur分解等由于时间仓促和本人水平有限，对矩阵分解理论的探讨也只是浅尝辄止，未能面面俱到，但是对矩阵分解理论的研究仍然是十分必要的参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数M第三版北京：高等教育出版社，2009：187-1882许立炜，赵礼峰矩阵论M北京：科学出版社，2011：91-1133谢冬秀，雷纪纲，陈桂芝矩阵理论及方法M北京：科学出版社，2012：48-1004李建东矩阵QR分解的三种方法J吕梁高等专科学校学报，2009，25(1)：16-195刘秀梅矩阵QR分解途径的研究J内江师范学院学报，2007，22（4）：18-206戴华矩阵论M北京：科学出版社，2001：118-1427苏文洵矩阵的三角分解与解线性方程组J重庆电力高等专科学校学报，2008，13（4）：75-788房月华，陈萍矩阵的满秩分解及其方法J衡水学院学报，2011，13(4)：16-189王金林矩阵满秩分解的二种方法J南昌航空工业学院学报（自然科学版），2004，18（3）：37-4010靳全勤初等变换的一个应用：矩阵的满秩分解J大学数学，2009，25(5)：195-197