矩阵多项式秩的若干新结果 高等代数毕业论文.doc

编号 莆田学院毕 业 论 文课题名称： 矩阵多项式秩的若干新结果 系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 2003级 指导教师 2007 年 6 月目 录0 引言10.1 记号与定义10.2 研究现状11 预备知识32 主要结论及其证明53 关于猜想1和猜想2的解决94 结论的一些应用11参考文献14致 谢15矩阵多项式秩的若干新结果摘 要本文证明了矩阵多项式秩的一个新结果：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。利用这个结果可以推导出诸多文献的重要结果及其一些新结论。2004年，文献1提出矩阵的一次多项式秩的恒等式的两个猜想，作为本文所得结果的应用，可以在更一般的情况下证明这个两个猜想是正确的。【关键词】矩阵多项式 互素多项式 猜想 Some New Results of Rank of Matrix PolynomialAbstractA new result of rank of matrix polynomial is proved in this paper:The sum of ranks of two matrix polynomials is equal to the sum of ranks of the greatest common factor matrix and the minimal common multiple matrix.We can prove lots of important results and some new conclusions from this result.In 2004,the paper 1 gives two conjectures about the identity of rank of simple polynomial .As the application of the results in this paper ,we can prove that the two conjectures are right in more common situation.【Key Words】Matrix Polynomial; Coprime Polynomial; Conjecture莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位毕业设计（论文）作者签名： 日期： 2007 年 月 日莆田学院学士学位毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。指导教师签名：日期： 年 月 日0引言 0.1记号与定义 本文使用以下记号： 表示数域上关于的多项式的全体； 表示数域上阶矩阵的全体； 表示矩阵的秩； 表示矩阵的特征多项式；表示矩阵的最小多项式；表示由的列向量生成的子空间；表示线性空间的维数；表示是的首项系数为1的最大公因式；表示是的首项系数为1的最小公倍式。定义1：若，则称为幂等矩阵。定义2：若，则称为幂矩阵。定义3：若，则称为对合矩阵。定义4：若，则称为幂么矩阵。0.2 研究现状矩阵的秩是矩阵理论的一个重要内容，已有不少的文章讨论矩阵秩的问题，现将近几年来一些文章的主要结论列如下： 命题1（文献1的定理2）设则有命题2（文献1的定理3）设则有命题3（文献2的定理2）设，对任意的两两互异的数，则命题4（文献2的定理3）设，且可逆，可交换，则对任意的两两互异的数，有命题5（文献3的定理1）设，则可逆的充分必要条件是。命题6（文献3的定理2）设，如果，则可逆。命题7（文献4的定理1）设，则可逆的充要条件是。命题8（文献4的定理2）设是阶矩阵的矩阵多项式，则可逆的充要条件是。命题9（文献5的定理1，文献6的定理3） 设 则可逆的充分必要条件是的特征根均不是的根。命题10（文献7的定理1）设，若互素，且，则。 命题11（文献7的命题4）设，若，是两两互素的，且，则有命题12（文献8的定理1，文献9的的定理3）设，且，则命题13（文献8的命题4）设，若，是两两互素的，且，则命题14（文献9的推论3、定理4、推论5）设，则 命题15（文献10的命题2、命题3、命题4）设，则 若，且为奇数，则 若，且为偶数，则 若，则而且，文献1还提出了以下两个猜想：猜想1 设，当满足适当条件时，则猜想2 设，试问在满足什么条件时，则 其中：是是多项式。 对于猜想1，若数域为复数域的情况下，文献2利用Jordan标准形的方法已经给出了证明。下文我们将给出矩阵多项式秩的几个结果，利用这些结果不仅可以推导出以上的15个命题，而且在更一般的情况下证明了猜想1和猜想2是正确的。1预备知识引理1 设分块矩阵 （其中为任意矩阵），证明 证明 不妨设的列向量组的一个极大线性无关组为，（其中），从而；的列向量组的一个极大线性无关组为，（其中），从而。1） 当时，中与所在列的个列向量是的列向量组的一个极大无关组，所以 2） 当时，中线性相关的列向量添加了中的分量后，有可能是线性无关的，所以，的列向量组的极大线性无关组所含向量个数可能等于，也可能大于，因此引理2 （Sylvester分式）设则。 证明 由可得 但是由引理1可知 所以得。引理3 设，则有。 证明 设，是由的列向量组生成的的子空间，则，同理有， 由维数公式得 因为，则 由于的列向量是的列向量的线性组合，则，又，则， 所以， 综上所述，可得。引理4 设，对任意，若可逆，则。 证明 见文献13。引理5 设不全为零，且首项系数为1，则 证明 设，则，显然。 （1） 所以是与的公倍式。 （2）设为与的任一公倍式，则有 所以 由于不全为零，故，所以，故又因为，所以。设，代入得故，知是与的最小公倍式，又的首项系数为1，故2主要结论及其证明定理1 设，则有证明 设满足，由于，则存在满足 因此有。现对作如下初等变换： 由初等变换不改变秩可得根据引理5知 所以 记：本定理用语言可以表述为：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。本定理的证明虽然简单，却是一个重要的结论，由它可以推导出一些重要的结论。推论1 设，若设，则 证明 由于， 所以 根据定理1知 故 由此可知，命题6只是推论1的一个特例，因为在命题6中， ，由推论1知，故可逆。而且命题6数域为复数域，推论1可在任意数域成立。推论2 设，则可逆的充要条件是。 证明 充分性，由推论1可知，则可逆。 必要性，设，则存在满足所以 由可逆，则知可逆，从而 由引理4知，设，则 故 由此可知，命题5，命题7，命题8只是推论2的一个特例： 对命题5与命题8，由于表示的特征多项式，由推论2就可知可逆的充要条件是，并且命题5与命题8的成立被限制在复数域上。 对命题7，其讨论的数域为复数域，而推论2为任意数域。定理2 设，则有证明 因为，所以， ， 根据定理1就可得 说明 定理2是一个很重要的结论（文献8，文献9等的主要结果），但也只是定理1的一个特例，由于其重要性在此将它独立为一个定理。同时可以看出命题1也只是定理2的一个特例，因为在命题1中，则和是互素的，由定理2可知 由定理2还可以得到以下推论：推论3 设，则的充要条件是。证明 若，则由定理2知 若，而由定理2知 所以，故 由此可知，命题2和命题10是推论3的特例： 在命题2中，则和是互素的，由推论3可知 对命题10，只给出了推论3成立的充分条件。推论4 设，且，则 证明 由于，且，则有 根据定理2即可得证。推论5 设，则有 证明 由于， 所以， 同理， 则有 由定理2可得：定理3（关于矩阵多项式乘积秩的界） 设则（1）即 证明 由引理2可得， 由于，根据引理3，得 所以结论成立。说明 由定理2可知，当 时(1)式中左边的等号成立，而(1)式右边等号何时成立有待于进一步的探讨。3关于猜想1和猜想2的解决 为解决猜想1和猜想2，我们先得对定理2做进一步的推广，考虑个多项式的情况。定理4 设，是两两互素的，则证明 对用数学归纳法证明。 当时，由定理2知，结论成立； 假设时结论成立，现考虑时的情况， 当时，令，由于对时，总有，则有，即。 因为时，结论成立，所以 （1） 又因为，由定理2可得 所以 代入（1）式可得 综上可知，命题是成立的。推论6 设，是两两互素的，则的充要条件是。由定理4、推论6可知：命题3、命题11、命题13是它们的一些特例：对命题3，在复数域上，两两互异，所以是两两互素的，由定理4即可得定理4是对命题11结论的进一步精确；命题13只是推论6的一个充分命题。以下我们利用定理4来解决猜想1和猜想2。推论7 设，当两两互异时，则证明 令，当时，则有 由定理3就可得 说明 推论7表明了猜想1是正确的。对于猜想1，文献2也给出了证明，但文献2只讨论复数域上的情况，证明思路是利用矩阵的Jordan标准形，证明时分多步讨论，过程比较复杂。相比于本文的定理4，定理4更具一般性，定理4不受数域的限制，证明过程相对比较简单，而且结论应用不受矩阵多项式次数的限制，文献2的定理2只能用于一次矩阵多项式的情况。推论8 设，且，当两两互异时，则 其中：是是多项式。 证明 令，当时，则有 然而，再由，化简整理后就可化为与的多项式，化简整理后与的系数设为和，则有说明 推论8表明了猜想2是正确的。其它文献至今没有完全解决猜想2，然而利用定理4就可以很容易地得到猜想2成立的一个充分条件。4结论的一些应用应用1 设，则有。 证明 令，则，由推论2可得应用2 设，则有 证明 先证明， 令，由定理1即可得 所以得证； 再证， 令，显然是两两互素的，由推论6可得 即得证。应用3 设，则有 证明 可以由推论3证得； 可由推论6证得； 证明， 令，由于为的根，则，因此，由推论6得证；当为奇数时，令，由定理1可得 所以 。 当为偶数时，同理可证。 说明 问题1、问题2、问题3给出了幂等类的一些用秩表示的等价刻画，而且比较命题14、命题15可知，问题2、问题3给出了更多等价刻画，而且也证明了命题15的逆命题是成立的。同样的，我们可以得到幂么矩阵相应的等价刻画。应用4 设，则应用5（命题9） 设则可逆的充分必要条件是的特征根均不是的根。 证明 根据推论2知， 的特征根均不是的根 得证。 本题也说明了命题9与推论2是等价，只是表达上的差异。应用6（命题4）设，且可逆，可以交换，则对任意的两两互异的数，有 证明 由条件得，由定理4，得本题可视为猜想1的一个推广。参考文献1李书超，蒋君，向世斌等一类矩阵秩的恒等式及其推广J武汉科技大学学报（自然科学版），2004，27(1)：96-982王廷明，黎伯堂一类矩阵秩的恒等式的证明J山东大学学报（理学版），2007，42 (2)：43-453彭学梅矩阵多项式可逆性判定J高等数学研究，2004，7(3)：39-404吴华安矩阵多项式的逆矩阵的求法J大学数学，2004，20(4)：89-915郭忠海矩阵多项式可逆性判别及矩阵逆的求法J电力学报，2003，18(2)：98-996段炼幂等阵，幂零阵多项式可逆的充要条件及一般方阵多项式可逆性的判定J数学通报，2002（9）：38-397蒋永泉互素多项式在矩阵秩中的应用J徐州师范大学学报（自然科学版），2004，22(3)：71-738邹晓光互素多项式在矩阵的秩的一个简单结论及其应用J金华职业技术学院学报，2006，6(1)：80-819胡付高关于一类矩阵秩的恒等式注记J武汉科技大学学报（自然科学版），2004，27(3)：322-32310严坤妹一类矩阵的秩 J福建商业高等专科学校学报，2005 (4)：59-6011樊恽等代数学辞典 M华东师范大学出版社，1994：90-11612北京大学数学系高等代数（第二版）M北京：高等教育出版社，200213赵晓萍，贝淑坤，李立斌.矩阵多项式的逆J .吉林师范学院学报,1999，203，9-10.致 谢我非常感谢我的指导老师 ，感谢他对我论文的选题、确定方向、内容等的细心指导，给我们提供了大量的资料，并指导我们对参考文献的阅读。也感谢这四年来的各位老师的辛勤栽培及辅导员的关怀帮助，特别是陈梅香老师对我论文的认真修改并提出宝贵的建议。在写论文过程中，江飞的毕业论文给我提供了思路，也表示感谢。当然也感谢和我同一组的各位同学如 等在这次论文中给我的帮助。