特征值和特征向量的求法毕业论文.doc

引言在有限维线性空间中，取了一组基后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每一个给定的线性变换，希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.本文主要地就来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究具有基本的重要意义.本文通过自己四年来的理论学习，通过认真分析查阅资料，归纳总结了几种求特征值和特征向量的求法的，以期对矩阵的进一步研究有一定的参考价值1 特征值与特征向量的理论1.1特征值与特征向量的定义定义1 设是数域上线性空间的一个线性变换，如果对于数域中的一数,存在一个非零向量，使得 （1-1）那么成为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变（>0）,或者方向相反(<0),至于=0时,特征向量就被线性变换变成0.如果是线性变换的属于特征值的特征向量,那么的任何一个非零倍数也是的属于的特征向量.因为从(1-1)式可以推出=()这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.现在来给出寻找特征值和特征向量的方法.设是数域上维线性空间，是它的一组基，线性变换在这组基下的矩阵是.设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是.则的坐标是的坐标是因此（1-1）式相当于坐标之间的等式 = （1-2） 或=0这说明特征向量的坐标满足齐次方程组即 （1-3）由于0，所以它的坐标不全为零，即齐次方程组有非零解.我们知道，齐次方程组（1-3）有非零节的充分必要条件是它的系数行列式为零，即=0我们引入以下的定义.定义2 （）设是数域上一阶矩阵，是一个文字.矩阵的行列式 = 称为的特征多项式，这是数域上的一个次多项式.上面的分析说明，如果是线性变换的特征值，那么 一定是矩阵的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即=0，那么齐次线性方程组（1-3）就有非零解.这时，如果是方程组（1-3）的一个非零解，那么非零向量=满足（1-1），即是线性变换的一个特征值，就是属于特征值的一个特征向量.1.2特征值与特征向量的性质性质1 若为 的特征值，且 可逆、,则 为的特征值.证明 设为的特征值，则=0(i=1、2n)设的属于的特征向量为 则则=即有 =为的特征值，由于最多只有个特征值为的特征值性质2 若为的特征值，则为的特征值=+证明 设为的属于的特征向量，则=(+) = + + + =+ = 又0 是的特征值性质3 阶矩阵的每一行元素之和为，则一定是的特征值证明 设= 则由题设条件知：=是的特征值推论 若为的特征值，且可逆，则 为 的特征值(为的伴随矩阵).证明 因为 =而 的特征值为.再由性质2知 是的特征值.性质4 如果是正交矩阵的特征值，那么也是的特征值.证明 设是的特征值，那么存在非零向量使得= 用作用之后得=.又的特征值一定不为零 ，所以 0是的特征值，是正交矩阵 =为的特征值又与相似，与有相同的特征根也是特征根.性质5设是对应于特征值的特征向量， 是的对应与的特征向量.证明 若= 则= (1)并有 = (2)给(1)右乘以，(2)左乘以相减得,0=- 则=0.性质6设、均为阶矩阵,则 与有相同的特征值.证明 设，即是的特征值，是对应的特征向量.用左乘之得.（1）若 ，则 .否则，若，这与和矛盾.可见也是的特征值(此时，对应的特征向量是) .（2）若，即有零特征值，则0=即0也是特征值.综合（1）与（2）得证与有相同的特征值.性质7相似的矩阵有相同的特征多项式. 证明 设，即有可逆矩阵，使=.于是=.性质7正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.1.3特征值、特征向量常用的结论1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的；即如果分别是属于不同特征值的特征向量，则线性无关.只证明两个向量的情形：假设另一方面，由条件可得：.由于，故结论成立.对于多个向量，同理可证.2. 设：证明 由条件可得：；这是一个关于，便得到上面的第一个等式；然后再令，便得到第二个等式.3.由上面第二个等式可以得到：4.若，；例 ,且;5.关注秩为1 的方阵此时若,即两边用.若若当必有一个0特征值.由上讨论可得：，再由前面特征值的性质：从而可得：是的特征值，重数是1，而0特征值其重数为；特征值对应的特征向量是0特征值对应的特征向量是方程组：的非0的解向量，求出其方程组的一个基础解系，就找出了属于0特征值的全部特征向量.2 特征值与特征向特量的求法2.1矩阵的特征值与特征向量的求法 (1)利用定义设是数域上级方阵若存在及则称是的特征值，称为属于的特征向量由定义不难得出以下结论1） 设是的特征值，则当可逆时，特征值2） 设是的特征值，则当可逆时，的伴随矩阵的特征值，且当时，有例 已知三级矩阵的特征值为1，-1,0，对应特征向量分别为,，求的特征值和特征向量.解 首先，要求的特征值，必须证明可逆并且求出.设是的任一特征值，则故可逆.由上述证明及题目所给条件，.于是，即的特征值为，对应的特征向量分别为，.(1)基本计算法1）求出矩阵的特征多项式2）求出的全部根3）把特征值 逐个代入齐次线性方程组 并求它的基础解系，即为的属于特征根的线性无关的特征向量例 设 是四维线性空间的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为求的特征值和特征向量.解 的特征多项式为所以的特征值为： 所以的属于特征值0 的线性无关特征向量为，.属于1的特征向量为：，属于 的特征向量为：.例 求矩阵的特征值与特征向量：=解 的特征多项式为=所以的特征值为1（2重），-2.把代入齐次线性方程组（1-3），得其基础解系为 ；把代入（1-3），得其基础解系为.所以，的特征值为1，-2.属于1的特征向量为：；属于-2的特征向量为：.因为凡是的属于的特征向量都是齐次线性方程组（1-3）的解；反过来，凡是方程组（1-3）的非零解一定都是的属于的特征向量，所以，为了求的属于的全部特征向量，只需找出方程组（1-3）的一个基础解系，设为，那么的属于的全部的特征向量就是其中，可以取数域中任意的数.需要注意的是：因为特征向量是非零向量，所以，必须不全为零. (2) 用初等变换法利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中.引理 矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵,其秩不变. 即若为矩阵, 、分别是和阶可逆矩阵,则,.由此可知,若, 且为阶单位矩阵,则形如的矩阵必可经过一系列初等列变换化成的形式，其中为矩阵且, , 分别为和矩阵, 为零矩阵.定理1 设为矩阵,其秩, ,则必存在阶可逆矩阵,使， 且的个列向量就是齐次线性方程组的基础解系. 证明 此处只需证明的列向量是的基础解系即可. 事实上,由 即，从而,. 这说明,的个列向量是齐次线性方程组的解向量.另设矩阵的列向量为则由=(,)知向量组即为的列向量,因可逆,所以向量组线性无关,因此的列向量就是的基础解系.例 求齐次线性方程组解 利用初等列变换,得.从而, ,所求基础解系为. 定理2 设齐次线性方程组=0的系数矩阵的秩，= 的非奇异的后列便构成线性方程组的一个基础解系.证明 =.又=.从而=0，即的列，即的诸列为方程组=0的列向量.因为为非奇异矩阵，所以的列线性无关，故它们构成方程组=0的一个基础解系.如何求矩阵，从而得到，从上面的证明过程可以看出，需要进行如下计算：因矩阵的秩为 ,有列线性无关向量组，于是矩阵经一系列的初等变换成为,其中，由此便得到.定理3 阶矩阵的特征矩阵 经列的初等变换可成为下三角矩阵：=G()其中、的根就是 的特征多项式=的根由定理 2 知：当列出等变换 时，对矩阵的每个特征根，如果秩=-，则在矩阵中，如果中恰有个0列，则中与这个0列相应的列便是方程组=0的基础解系，即为的属于特征根 的线性无关的特征向量；如果中0列少于个，则对继续作列的初等变换，知道中的列的个数为，然后再同上取中与这个0列对应的列.例 求矩阵的特征根与特征向量.解 = .由=0知的特征根，当时，特征向量，.当时，特征向量，这里用初等列变换的方法同时求出了矩阵的特征值与特征向量,完全类似地,利用初等行变换也可以实现这一过程,其方法如下:（1）对矩阵施行初等行变换将其化为矩阵，如果中有个0行，则 中与个0行相应的行便是方程组的基础解系，即为A的属于特征根的线性无关的特征向量；（2）如果中0行少于个，则对继续作行的初等变换，直到中的行的个数为，然后再同上取中与这个0行对应的行.例 求矩阵的特征值与特征向量.解 因为特征矩阵所以 =.由知的特征根为，当时，特征向量，.当时，特征向量待添加的隐藏文字内容2.2.2 线性变换的特征值与特征向量的求法2.2.1 利用定义求解：1）在线性空间中取一组基 ，写出在这组基下的矩阵；2）求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换的全部的特征值；3）把所求得的特征值逐个代入方程组（1-3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值，而相应的线性方程（1-3）的解也就称为的属于这个特征值的特征向量.注：（）如果是的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，且对任意的非零常数,也是的属于特征值的特征向量.（）如果，都是的属于特征值的特征向量且当时也是的属于的特征项量.例 已知的线性变换求的特征值与特征向量.解 取的基1，t，可求得在该基下的矩阵为因为，所以的特征值为，.可求得对应特征向量的特征向量为，；而对应特征值的特征向量为.故的特征值为，；对应特征值的线性无关特征向量为，全部特征向量为，；对应线性无关特征向量为，全部特征向量为结束语 由线性变换的特征值，特征向量的概念不难推出，求线性变换的特征值与特征向量可以转化为求矩阵的特征值与特征向量线性变换的特征值实质上就是其对应矩阵的特征值，线性变换的特征向量实质上就是以对应矩阵的特征向量为坐标与以上的基进行组合本文首先介绍了特征值与特征向量的概念及性质，接着介绍了特征值与特征向量的有关性质，并且特征值与特征向量的常用结论作了详细的介绍，重点介绍了利用矩阵的初等变矩阵换不仅给出了求齐次线性方程组基础解系的方法,同时给出了一种同步求解阶方阵的特征值与特征向量的方法.把一些比较复杂的问题转化到初等变换的问题上来解决，这种方法既直接又简便； 特征值与特征向量是线性变换的重要知识点，可以利用它来证明矩阵是否可对角化，它们不仅在数学的各分支，如微分方程，差分方程中有重要应用，而且在其他科学领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用参考文献1北京大学数学系，高等代数（第三版）M.北京：高教出版社，2003.7.2孙东升.矩阵与变换模块训练学生思维能力的几点做法J.数学通报，2009，（10）：25-36.3冯天祥.再谈初等变换法在矩阵计算中的应用J.重庆三峡学院学报，2008,5（03）：36-40.4刘国琪.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解J. 数学通报，1996，（2）：40-42.5徐仲.高等代数考研教案 M.西安：西北工业大学出版社，2006.6.6罗家洪.矩阵分析引论（第二版）M.广州：华南理工大学出版社，2000.5.7王向东，周士谨.高等代数的常用方法（第二版）M.科学出版社，1989.5.8威尔.代数特征值问题（第三版）M.北京：科学出版社，2001.4.9张贤科，许莆华. 高等代数学（第二版）M.北京：清华出版社，1998.2.10张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第四版) M. 北京:高等教育出版社,1999.3.11张贤达.矩阵分析与应用M.北京:清华大学出版，1998.6 .12赵树源.线性代数 M.北京：中国人民大学出版社，1980.5.13北京大学数力系编.高等代数（第一版）M.北京：高等教育出版社，1978.3.14刘先忠,杨明.线性代数(第2版) M.北京:高等教育出版社,2003.6.15张肇炽，曹锡华线性代数及应用M.西安：西北工业大学出版社，1998.4.16孟道骥高等代数与解析几何M.北京：科学出版社，1998.4.17同济大学数学教研室.线性代数（第三版）M.北京:高等教育出版社，1999.2.18北京大学数学力学系高等代数（第二版）M.北京：高等教育出版社，19886.致谢毕业论文即将结束，很幸运，在我大学的最后一次作业的完成中，能得到王老师的指导与帮助，有了一次宝贵的机会跟王老师接触.王老师严谨治学的态度，在我的心里留下深刻的影响，在以后的日子里，我要学习王老师的求实精神.我想在此感谢我的指导教师王新民王老师治学严谨，认真负责，无论是在理论学习阶段，还是在论文的选题、资料查询、开题、研究和撰写的每一个环节都给予我悉心的指导和耐心的帮助特别是在处理电子稿时，对于我们不能解决的问题，王老师多次亲自上机指导，在整个写毕业论文的过程中，我收获很多，不仅学会了很多论文的技巧方法，而且也学会了很多为人处世的道理，王老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给予了我无尽的启迪，我会把王老师当作我以后学习和工作的榜样，我愿借此机会向我的指导老师王新民表示衷心的感谢!回顾大学四年的学习生活，我为自己有机会在潍坊学院就读，静心钻研，潜心研究，并取得初步研究成果而感到欣慰 最后，我要感谢四年的大学生活，感谢数学与应用数学专业的所有老师同学以及我的家人和那些永远也不能忘记的朋友，他们的支持与情感，是我永远的财富！