混沌系统研究数学专业毕业论文.doc

引 言常微分方程理论从创立到现在已有300多年的历史了。在二十世纪六、七十年代之后，随着信息技术的快速发展，常微分方程也相应进入了新的时期，从“求所有解”的时代转向“求特殊解”的时代。也正是在这一阶段，科学工作者发现了混沌与微分方程直接相关。在二十世纪六十年代美国Lorenz在气象数值研究中发现了第一个混沌吸引子，自此，混沌在许多的领域中不断地发展。近几十年来，随着一些专家学者对混沌理论以及其应用的广泛研究，人们已经开始对混沌现象的相关规律以及其在自然学科、社会学科中的应用有了一个广泛的认识与了解。对于极为著名的“蝴蝶效应”常被用来说明在动力系统中存在着一类对初值特别地敏感的不稳定系统。但对于混沌系统的研究到目前为止还并不是很充分，对于数值计算也无法进行全面的定性分析。更者，解对于初值特别的敏感，这致使近似的数值解与方程的真实解之间的逼近程度是有限的。最近一些学者从数学理论的高度严格论证了蝴蝶吸引子的存在性的信息。对于Lorenz混沌系统而言，它一般在大范围内是收敛的，即是耗散的，在小范围内是不稳定的，即是混沌的。俄罗斯的学者Leonov在经过大量地研究后，得出了目前为止所有混沌系统中第一个也是唯一的一个全局最终有界的结果，即Lorenz系统的吸引集的一个圆柱形估计式以及一个球形估计式。混沌对初值非常的敏感，这使得学者们长期以来一致认为混沌系统是不可控的，而两个混沌系统更加不会同步。在九十年代美国首次利用混沌同步得到了保密通信使得人们对混沌的理论及应用产生了很大的兴趣。自此，出现了大量的研究论文。自从Lorenz在一个简单的三维自治系统中首先发现了混沌吸引子之后，人们又经过不断地研究发现了新的混沌吸引子。在这几年，一些研究学者又不断地在研究Lorenz混沌系统的最终有界性。本文对于一个新的混沌系统进行了研究，一些学者对这个新的混沌系统以及其动力学行为等一些方面进行研究之后，得出了这类混沌系统的全局指数吸引集的一些结论，但是却没有包括该混沌系统的所有正参数的情况。为此，本文根据全局指数吸引集的定义以及李雅普诺夫稳定性的理论，通过构造新的广义正定的李雅普诺夫函数簇，并结合一些其它的数学方法，给出一些新的吸引集的指数估计，对此进行一定严格地证明，同时设计了一个线性反馈控制器，得到了两个混沌系统的指数同步的相关结论。第一章 预备知识、基本工具1.1 常微分方程的基本定理本节主要介绍了常微分方程的几个基本定理。考虑微分方程组 . （1.1）其中， ，是定义域为，值域为的连续函数，且（1.1）式也可写为向量形式： .对，若有正常数，使 .那么就称在上满足利普希茨条件。如果对于某一正实数，所有的偏导存在，并在上满足 则也满足利普希茨条件。定理1.1 如果在上连续，并且满足利普希茨条件，那么对，总有，使得在内存在唯一解满足 此时也称（1.1）式的柯西问题的解存在唯一。定理1.2 设在上连续，满足利普希茨条件，则有1） 若（1.1）式的两个均位于内的解，在上均有定义，那么对于，在时，有在上恒成立。2）若连续，那么也连续。考虑依赖于参数的微分方程组 （1.2）其中，且对每一满足利普希茨条件。定理1.3 1） 对于，使得在时，（1.2）式有惟一的解满足初值在上有定义，并且是的连续函数。2） 若是的连续可微函数，那么对连续可微。1.2 微分、积分不等式本节主要介绍一些微分积分不等式用以研究之后的问题。定理1.4 设纯量函数在区间上连续，在含曲线的某一区域内连续。右导数存在且有 如果是 在内的右行最大解，那么就有，.定理1.5 设函数在矩形区域上连续且对于不减，在上连续，在上，且满足积分不等式 ，满足微分不等式 那么就有.由定理1.6进而得出结论：设是上的连续非负实值函数，如果对，满足 ，那么对，则有 .定理1.6（第一比较定理）设纯量函数在平面区域上连续且有 .如果分别为 与的解，那么1） 在且属于两者的共存区间时，2） 在且属于两者的共存区间时，定理1.7（第二比较定理）设是平面上的连续函数且有 ，如果分别是方程 与的唯一解，其中，那么1） ，2） .1.3 几个重要的函数本节主要对李雅普诺夫函数，狄尼导数的相关定义进行了描述。首先介绍李雅普诺夫函数的相关定义。设，是包含原点的维子集，是定义在上的连续函数，是定义在上的连续函数，定义1.1 若，且只有零解，则称函数在上是正定（负定）函数。定义1.2 若，且有非零解，则称在上是半正定（半负定）函数，或称为常正（常负）函数。定义1.3 若正定（负定），使得在上成立，并且则称在上正定（负定）。若，则称在上是半正定（半负定）的。对于狄尼导数，它使得用不可导的李雅普诺夫函数证明定理时证法要简单得多。下面介绍狄尼导数。设，对，有1） 称为在处的右上导数；2） 称为在处的右下导数；3） 称为在处的左上导数；4） 称为在处的左下导数。上述四个导数统称为狄尼导数。在满足利普希茨条件时，上述导数均有限，且当且仅当四个导数相等时的导数存在。1.4 Hurwitz矩阵，M矩阵判定的简化形式本节主要对Hurwitz矩阵以及M矩阵进行了简单的介绍。设如果，那么为Hurwitz多项式，即为Hurwitz矩阵这里在或者时，这里要判断个行列式的正负。定义1.4 对于一个是矩阵，如果满足下列条件1）2）那么称该矩阵为一个矩阵。与该定义等价的矩阵的判别条件有;(1) ，是一个非负矩阵，即(2) ，并且，使得或者(3) ，仅有负实部特征值，即是一个霍尔维茨矩阵。1.5 稳定性与吸引性本节主要介绍了稳定性与吸引性的概念以及稳定性定理。考虑微分方程组 ， （1.3）现在来讨论此方程组的零解邻近解的性态。定义1.5 如果对，使得在满足时，方程组（1.3）由初值条件确定的解，对，有，那么就称（1.3）的零解是稳定的。如果，即使，但存在，有，那么称（1.3）的零解是不稳定的。定义1.6 如果对，在，时，满足 ，那么称（1.3）的零解是吸引的。定义1.7 如果，在时有，那么就称（1.3）的解是指数稳定的。定义1.8 如果，在时，有那么就称（1.3）的解是全局指数稳定的。对于下面的维非自治微分方程 为上的连续函数，保证上式解的唯一性，且有。定理1.8 如果为正定函数，其中满足，使得 那么上式的零解是稳定的。第二章 新混沌系统的全局吸引集的结果及应用2.1 新混沌系统的全局吸引集 本节主要是介绍了一个新的混沌系统的全局吸引集的一些相关理论。考虑下面的混沌系统 （2.1）式中：系统的参数满足。记。对于 即可称为（2.1）式的广义正定径向无界的李雅普诺夫函数。定义2.1 如果，对于时，有 ，则称为（2.1）的一个全局吸引集。如果对于，有，那么就称为正向不变集。如果还有，在时有指数估计式 ，则称为（2.1）式的一个全局指数吸引集。定理2.1 令，,其中，那么（2.1）有全局指数吸引集估计式： 特别地， ，为（2.1）式的全局吸引集。证明 对于李雅普诺夫函数 （2.2）估计沿着（2.1）的正半轨线关于时间的导数有 而对于 故有。 时，在时有： （2.3）对于微分方程 有解则对于（2.3）有：，即，则有，那么为全局吸引集。 时，在时有： （2.4） 对于微分方程 有解则对于（2.4）有：，即，则有，那么为全局吸引集。综上可得：系统（2.1）式有全局指数吸引集估计式： 且特别地有 ，为（2.1）的全局吸引集。2.2 新混沌系统的线性反馈全局指数同步本节主要是对于第一节中的混沌系统的线性反馈的全局指数同步的相关理论进行了详细的介绍。对于混沌系统（2.1）设其驱动系统与响应系统分别为： （2.5） （2.6）取，那么就有误差动力系统： （2.7）式中的为控制信号，且满足。定义2.2 对于以及其相对应的，如果满足 ，其中，是依赖于始值的常数，那么就称（2.7）的零解是全局指数稳定的，且称（2.5）与（2.6）是全局指数同步的。定理2.2 对于，我们总可以选择线性反馈控制 （2.8）使得系统（2.7）的零解全局指数稳定，从而系统（2.5）与（2.6）全局指数同步。 证明 在时，有矩阵令，则有：，并且存在，使得 ，即可使得满足 故只要有，那么为矩阵，故为Hurwitz矩阵。在时，有矩阵令，则有，并有，使得 ，即可使得满足 ， 所以只要有，则有，则为矩阵，则为Hurwitz矩阵。对混沌系统（2.7）作向量的李雅普诺夫函数 沿着混沌系统（2.7）的解求狄尼导数，有 当时，有 （2.9）当时，有 （2.10）在微分不等式（2.9），（2.10）中考虑比较方程 求该方程，解得： 由是Hurwitz矩阵，所以为常数，使得 在时，有 则有结论（2.7）的零解全局指数稳定，从而有（2.5）与（2.6）全局指数同步。 定理2.3 选取 ，则有（2.7）的零解全局指数稳定，从而（2.5）与（2.6）全局指数同步。 证明 考虑正定径向无界的李雅普诺夫函数 ， （2.11）令有在时， 对于矩阵有，由有 由有 ，故是负定的。由于是对称矩阵，则为正定矩阵，使得 ，其中为矩阵的特征值。那么令，则有 而于是有 解得：，则有 在时有对于矩阵有由有 由有 所以式负定的。于是有 解得：，则有 故（2.7）的零解全局指数稳定，从而（2.5）与（2.6）全局指数同步。 定理2.4 选取 则有（2.7）的零解全局指数稳定，从而（2.5）与（2.6）全局指数同步。 证明 同样的考虑函数 在时有对于矩阵有，由有 由有 故是负定的。于是有 解得：故有 ，在时有对于矩阵有，由有 由有 故是负定的。于是有 解得：故有 则结论成立。 定理2.5 设，选取 ，那么（2.7）的零解全局指数稳定，式（2.5）与（2.6）全局指数同步。证明 仍然考虑下列正定的径向无界的李雅普诺夫函数 在时有对于矩阵有，由，可得： 以及 ，则有是负定的。于是就有 解得：即有 ，在时有对于矩阵有，由，可得： 以及 ，则有是负定的。于是就有 解得：即有 ，由此结论成立，即（2.7）的零解全局指数稳定，式（2.5）与（2.6）全局指数同步。 结论本文在第一章、第二章中分别写了有关常微分方程的一些基本的概念与定理等研究的理论与工具以及对于一个新的混沌系统的全局吸引集和全局指数同步的相关的结论与应用。在第一章中，首先对常微分方程理论中的几个最基本的定理进行了介绍，之后又对微分和积分不等式的相关定理进行了叙述，还叙述了比较著名的比较定理，随后简要地给出了李雅普诺夫函数、狄尼导数的定义及其相关定理。其中李雅普诺夫函数是核心工具。紧接着介绍了Hurwitz矩阵，M矩阵判定的简化形式。最后系统地介绍了各种稳定性、吸引性的相关数学定义与定理，这些工具概念对第二章的内容的研究有重要的作用，贯穿文章始终。 在第二章中，首先对文献【22】中所提出的一个新的混沌系统的全局吸引集的定义进行了简要地介绍，之后通过构造新的李雅普诺夫函数以及运用积分不等式，比较定理等工具对该混沌系统的全局吸引集以及全局指数吸引集估计式的定理进行了详细的证明。接着叙述了该混沌系统线性反馈的全局指数同步的定义，又通过构造向量的李雅普诺夫函数，普通的李雅普诺夫函数以及霍尔维茨矩阵，狄尼导数等工具，选择了四种线性反馈控制，对混沌系统的误差动力系统的零解稳定性，该混沌系统的驱动系统和响应系统的全局指数同步的结论进行了详细的证明。谢 辞本文是在钱守国老师的耐心指导下完成的，钱老师从选择课题直到全稿的完成都提出了很多宝贵的意见。在此，对钱守国老师表示衷心的感谢！同时对所有给与帮助的老师以及同学，还有参考文献的相关作者一并表示深深的谢意。感谢数学科学学院的各位老师四年来的悉心教导，使我学到了很多的知识与道理，感谢四年来与我并肩的同学们。最后感谢我的家人，感谢他们一直以来对我无微不至的关怀！ 参考文献1 Lorenz Z N.Deterministic Non-periodic Flow.J Atoms Sci,1963,20:1301412 Lorenz E.N.The Essence of 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