求解高次方程的历史研究毕业论文.doc

某某大学学士学位论文 论文题目: 求解高次方程的历史研究 院(部)名 称: 信息与计算科学 学 生 姓 名: 专 业: 信息与计算科学 学 号: 指导教师姓名: 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制摘要高次方程的求解是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于数学和其他学科领域。在国防、科研、学术、工程很多领域往往都需要求解高次方程的解或确定多项式的零点等。本文在前人的研究的基础上，以求解高次方程的发展时间的顺序为主线，对高方程的求解进行了全面的分析与研究。简单介绍了一次方程的发展理论，简单回顾了一下我们初中时学过的一元二次方程求解的几种方法，因式分解法、开平方法、配方法、公式法、介绍了不是很常用的三次及四次方程的求解公式，论述了各国数学家对二次方程求解到五次方程求解的漫长过程，重点研究了五次及以上方程的解法，介绍了五次方程的解法和伽罗瓦理论研究。数学思想对数学研究和发展的作用是巨大的，数学思想如同数学的概念、定理、法则一样是数学史上的宝贵财富，并且是数学知识所不能代替的。关键词 高次方程 ， 伽罗瓦理论 ，近似解 ，数学思想ABSTRCT Solving equation of higher degree is an important part of algebra, widely used in mathematics and other disciplines. In many fields of national defense, scientific research, academic, engineering often requires the solution of high-order equation or polynomial. In this paper, based on the previous studies, the development time for solving equations of higher order as the main line, a comprehensive analysis and Research on Gao Fangcheng's solution. Introduces an equation of the development theory, a brief review of our junior high school when the school had a two order equation solving methods, the factorization method, the Kaiping method, method, formula method, introduces the calculation formula is not very common three times and four times of equation, discusses the mathematicians the two equations to five equations to solve the long process, focus on the solution of five and above equations, introduces the five equations and Galois theory. Role of mathematics thought and mathematics research and development is enormous, mathematical thought as mathematical concept, theorem, law is the valuable wealth of history of mathematics, and mathematics knowledge cannot replace.目录第一章一到四次方程的解法11.1一元二次方程的几种解法11.2一般三次方程的求根公式21.3一般四次方程的求根公式5第二章五次及以上的方程的解法72.2能用根式求解的五次方程9第三章从五次根式求解到伽罗瓦理论及其数学研究153.1提出五次方程求根公式153.2拉格朗日疑怀疑求根公式的存在性163.2阿贝尔提出高于四次的方程不能用根号求解163.2.1高次方程不都是代数可解的163.2.2阿贝尔的后续研究173.2.3伽罗瓦群论创建的群173.2.4伽罗瓦群论的证明思路173.2.5伽罗瓦群论的深远影响183.3伽罗瓦群论的数学哲学意蕴19结论.19参考文献 . 20致谢 .20第一章 一到四次方程的解法1.1一元二次方程的几种解法定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，任何关于x的一元二次方程，经过变形整理，都可以化成一元二次方程根的解法：a) 因式分解法是最常用的方法。一般情况下，如果一元二次方程中等号左边的部分比较容易分解，那么优先选用因式分解法。b) 开平方法适用于形如的形式的一元二次方程，解时先将其变形为的形式，再利用平方根的定义解答。c) 配方法d) 公式法是一种“万能”方法，在因式分解法不能轻易奏效时，往往用公式法。使用该法，要先将方程整理成的一般形式。 求根公式：（注意a、b、c的符号）一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： 一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0；0）： (韦达定理)一元二次方程应用题得到的两个根，要从实际意义的角度进行检验，舍去不合题意的根。 1.2一般三次方程的求根公式 一般三次方程的求根公式为是否有根，其中的，均为常数，且0。 十九世纪前，解方程一直是数学中的一个中心问题之一，早在3000多年以前，古巴比伦就已经掌握了使用配方法求解一元二次方程。但是由于当时还没有系统地把符号引进代数学中，而且当时人们还不知道零、负数以及复数等概念，所以并没有出现所谓的求根公式。接下来，人们自然要研究如何解一元三次方程，但是直到100年以前，除了特殊的情况外，数学家们对三次方程有没有解决的办法，有的人甚至宣布一般的三次方程没有办法求解。 意大利的数学家首先在该问题上取得了突破。在1500年左右，意大利伯伦亚大学的数学教授费罗（S。Ferro，14651526）把所有的三次方程简化成下述三种类型，其中p，q均为正数。在这里面需要说明的是，由于当时负数的概念没有被广泛的接受，人们就把上面三个方程分别加以研究。事实上，费罗解出了所有形如（其中p，q为正数）的三次方程，但是没有发表他的解法，在1510年左右秘密地传给了他的学生费奥尔（A。M。Fior）等少数人这是因为在16世纪和17世纪人们经常把自己的数学发现秘而不宣，借此向对手们提出挑战。1530年，意大利北部布利西亚的塔尔塔利亚（Tartaglia，14991557）重新发现了费罗的方法，并称他已经解决了（其中p，q为正数）这种类型的三次方程。塔维塔利亚出身贫寒，靠自学掌握了很多的数学知识。他在意大利的很多地方讲授科学知识，而且以此谋生。其实，他的真名是N。Fontana，塔尔塔利亚事实他的一个外号，意思是“口吃者”。这是因为他在小时候被一个法国的士兵砍伤了脸部造成了口吃，大家就习惯叫他的外号，就忘了他的真名，他人很洒脱，干脆就把“塔尔塔利亚”当成自己的名字，而且还以塔尔塔利亚为名发表论文和出版书籍。1535年，当费奥尔听说塔尔塔利亚能解出三次方程时，立即向除他提出了挑战，并要求公开进行公开竞赛，比赛时双方各出三十个求解三次方程的题目，但是塔尔塔利亚解出了费奥尔的全部题目，而费奥尔对塔尔塔利亚提出的许多形如的方程却一筹莫展，根本纠结不出来，塔尔塔利亚大获全胜，而且从此名声大噪。意大利帕维亚的卡当（J。Cardon，15011576）是一位业余数学家，对于代数方程的求解也有着浓厚的兴趣，曾经多次恳求塔尔塔利亚告诉他解三次方程的解法，而且发誓为此保密，。1539年，塔尔塔利亚终于禁不住卡当的再三请求，把他自己的解法写出了一首枯涩难懂的诗告诉了卡当，没有想到卡当没有履行自己的诺言，在1545年出版的数学名著大法中，公布了三次方程的求解公式，当然，卡当也做出了自己的贡献，他把卡尔卡利亚的方法进行了推广，得出了三次方程的一般解法，而且补充了很多的几何证明。塔尔塔利亚为此非常难过的气愤，抗议卡当的背信弃义，并和卡当的学生费拉里（L。Ferrari，15221565）公开发生了争吵，双方甚至相互谩骂。有趣的是卡当自己对此始终保持沉默，没有参与其中。由于大法一书在当时影响深远，被视为16世纪最重要的数学著作，由此三次方程的解法至今仍以“卡当公式”而著称于世。到了1732年，大数学家欧拉最卡当的三次方程解法做了完整的论述，强调了三次方称总有一个根，具体做出了根的求法。按照欧拉的整理，下面对卡当公式加以简介。 为了求解一般三次方程，其中首先通过一个代换可以消去二次项，得到一个关于y的三次方程 所以，一般三次方程的求解问题可以归结为下述不含二次项的三次方程： （1）为了求解方程（1），可令，则方程（1）化为 两边同时乘以，得到一个关于z的六次方程 （2）把方程（2）看成的二次方程，根据一元二次方程的求根公式可得： (3) 现在再设为三次本源单位根，即1， ，为的全部根。再令， 这里注意的是，由于复数开立方取值不定，每一个非零负数都有三个不同的立方根，所以，均表示均取一个立方根即可。为了简化计算，做一个约定：因为，恰为方程（2）关于的一元二次方程的两个根，由于二次方程根与系数的关系可知,故可以进一步选取和使得。于是从方程解出以及时可以分别求出x的三个值为同理，当时，由代换分别求出x的三个解显然与上述三个解相同。也就是说，上述z的6个值只能给出x的3个值它们为三次方程（1）的全部根。如果把和的根式表示代入中，则三次方程的求根公式。由此可以回答此类问题：类似一元二次方程有求根公式，一般一元三次方程也有求根公式。 上述给出了求解一般三次方程的方法，但是关于三次方程的方法，但是关于三次方程的内容还有很多。，类似一元二次方程，可以对三次方程（1）定义其判别式：假定在方程（1）中的p，q均为实数，则从判别式出发，能够直接得出根的一些基本性质：（1） 如果>0,则方程（1）仅有一个实根和两个互为共轭的复数根;（2） 如果=0，则方程（1）的三个根都是实根，但是有两个根相等；（3） 如果<0,则方程（1）的三个根都是实根，并且互相不想等； 这里略去了它们的证明过程。值得一提的是情形（3），当<0时，从公式（3）可知都成了虚数，然而最后得到三个根却都是实数。这说明实系数方程在求解实根的过程中，竟然要借助于负数的开平方运算以得到实根，。因为16世纪的数学家还没有虚数的概念，这对于他们来说是难以理解和接受的。为此，卡当和他同代的许多数学家都试图除掉公式中的虚数，期望在求根的过程中能够避免使用虚数。但结果是徒劳的，他们是白白浪费了宝贵的精力和时间，因为直到16世纪初出现的伽罗瓦理论才证明在情形（3）不存在值包含实数根式的求公式，换句话说卡当公式中的虚数情形是不可能避免的。1.3一般四次方程的求根公式一般四次方程其中均为常数，而且不为0。 在历史上，三次方程的成功解出立即为求解一般的四次方程铺平了道路这一伟大的业绩由卡当的仆人和他的学生费拉里完成的。他们通过配方法成功的把一般的四次方程的解法归结为两个二次方程和一个三次方程的求解，其解法发表在大法一书中，通常费拉里方法。 通过出去手首项系数，可以设一般的四次方程为 （1）用配方法把（1）改写成以下形式 两边加上，可以得到 （2）费拉里的巧妙想法是通过选择y的值，设法使方程（2）的左边和右边一样也是一个完全平方的形式这就把方程（2）关于x的四次方程分解成x的两个二次方程，从而根据一元二次方程的求根公式得到x的四个根。为此，只需令右边关于x的二次式的判别式等于零，也就是 （4）通过开平方，方程（4）就可以化为x的两个二次方程： 按照等式右边的正负号，一次整理为x的一个二次方程 （5）和x的另一个二次方程 （6）最后根据一元二次方程的求根公式，从（5）中解出x的两个根，记为和；再从（6）中解出x的的两个根，记为和另外加入让取（3）中的三次方程的其他的两个根，则就不难验证相应的方程（5）和（6）仍将产生相同的，只不过足标要做一些相应的改变。总之，x的四个取值，就是方程（1）的全根，由此表明一般四次方程也有求根公式第二章 五次及以上的方程的解法2.1一般五次方程的解法在很多领域都经常用到代数方程的解，或者是确定代数方程的零点。对于二次方程、三次方程、四次方程都已经有了求解公式，五次及五次以上的高次方程还没有相应的求解公式。求实根的数值解法方法有很多，大多数都是从粗试解开始，通过迭代找出精确解。这些方法大都存在明显的不足，尤其是粗试解的盲目性比较大。针对这种情况，人们就提出了求解高次方程实根的近似公式法。这种方法在很大程度上克服了粗试解的盲目性，计算量比较小而且规范，速度比较小，精确度也很高。先建立近似公式，我们设实系数高次代数方程为： （1）其根为 再根据且近似等于即将方程(1)各项展开为近似表示整理后得： （2）(2)式即为方程(1)的实根近似解公式。如果方程(1)的实根全部为为负数,则将方程(1)中奇次幂项反符号,用公式(2)求实根。求出实根后再反其符号就是实根近似解。以该近似解为基础,使用加权平均方法逐步求出该实数根精确解。设为(2)式求出的近似解,且。观察方程(1),在附近，不是很大范围(界限为)内找出与反符号的,在此处即,进而确定与之对应的一个值。假设,则 （3）式为容易推得的加权平均公式。为经加权平均后更接近精确解的近似实根。往往经过几次迭代即可得到精确解。对于情况,方法相同。如果需要求出下一个实根,就应在求得一个实根后首先将方程(1)降次数,并写出新方程,再用(2)、(3)式对新方程求解令一个实根。降次数的依据是如下各项系数关系表达式 （4）得到新方程： （5）其中m=n-1,方程(5)中已无实根,但仍含有方程(1)的其它全部根,对方程(5)使用(2)、(3)式即可求出第二个实根。这样可直接求出全部实根。按(2)式求出的无法进行加权平均是方程无实根的标志。如果方程的根值很大,近似公式法仍可以适用,只不过应首先将原方程变换成根值被缩小k倍的方程,然后利用近似公式法对此方程解出近似根,并用近似公式法求出该方程的精确解,再将根值乘以k即为原方程的精确解。例如方程(1)有大值根,则方程(1)根值被缩小k倍后方程为 （6）对方程(6)用近似公式法求出精确解,原方程(1)的精确解则为若方程(6)的解始终偏离太大,则应改变k值再求解。若方程根的值很小,可将其根值扩大k后倍求解。作法相同,只是此时k<1。2.2能用根式求解的五次方程五次方程可以表示为 （1）十六世纪人们就已经知道不存在把方程（1）的表示出来的统一公式，不过，方程（1）中的系数p，q，r，s满足某些条件时，方程（1）仍可能用根式表示。本文用五阶循环行列式来推演方程（1）的5种情形下的求解问题。 假设五次单位根为： 再令 其中考虑五阶行列式与另一个数字行列式根据行列式相乘和的周期性，有=从以上式子中可以消去r，得 将展开按x的降幂排列。得到恒等式 （2）其中 （3）如果能从（3）中解得y，z，v，u，那么比照式（2）和方程（1），即可得方程（1）的根。其中（） （4）以下具体讨论五种情形下方程（1）的解法情形1 令从而由式（3）得 以上式子中左端函数相关，即有正好满足条件 故只需从前式解出代入（4）式中即可得此情形下方程（1）的所有根情形2 可令 从而由（3）式得到 以上前两式相同，将第一式两端分别5次乘方，再与第（3）式联立，可以解出 再由（4）式即可得到次情形下的方程（1）的所有根，其中这与三次方程的卡尔丹公式相似。情形3可令 从而由式（3）可得 以上四个方程中仅有三个未知数，使它们的左端函数必定相关，由前两式可得 再由第三式得 于是 其中根号前面的正负号需要根据前面由式（3）所得四式选择确定。将y，z，u代入其中式整理成 此即系数所需之条件。进而由式（4）可以得到情形下方程（1）的所有根。 情形4 可令 从而有式（3）之第一式得 利用式（3）的第三式可得 所以又因q=0，所以有 还有 所以 是方程 的两个根，并且 是方程 的两个根。于是 由于y，z，u，v多解需要根据先前所得等式挑选确定，再把它们代入式（3）中第四整理成 因为所需条件，由此得到根。情形5 可令 从而由式（3）第二式得 设 因由式（3）之第一式，可以得到 于是从式（3）之第三式可以得到 由恒等式 有 由恒等式 得到 即 对上述方程做变换 可得 利用卡尔丹公式求得其根为 在按照情形4算出，便得，代入式（3）之第四式，经过化简整理成系数所需条件，由式（4）得到根。第三章从五次根式求解到伽罗瓦理论及其数学研究3.1提出五次方程求根公式古巴比伦时期人们就已经使用配方法得知有根，而且寻找三次方程的求根公式，16世纪欧洲文艺复兴时期，几个意大利数学家把求四次方程的根化为求一个三次方程和两个二次方程的根，因此认为四次方程的求解问题也解决了。既然有了这个突破，数学家们就以极大的兴趣和自信致力于寻找五次方程的求解方法。他们发现，对次数不超过四次的方程，都有求根公式，每个根都可以用原方程的系数经过加减乘除和开方运算表出。我们把这件事简称为可用根号求解，人们断言：对于次方程来说，也一定存在求根公式。研究并非一帆风顺。17世纪代数学家奇尔恩豪斯宣称，他找到了一元五次方程的一般解法，通过变形把高次方程转化为比较简单的低次方程的方法求解。很快，人们发现他的方法，要求一个六次的辅助方程，他的解法失败了。3.2拉格朗日疑怀疑求根公式的存在性对于一个正面的问题，正面解决出现困难，我们可以从反面去思考，也许这样才能更好地解决问题。虽然代数学已经取得了如此的进展，还是有很多数学家在怀疑求根公式存在性。拉格朗日是最开始怀疑这种求根公式的存在性的数学家。他分析了前人所得的次数低于五的代数方程都可以作适当的变量代换化为求解次数较低的辅助方程，但是按这种方法得到的辅助方程的次数却升到六次，所以此方法不行。1771年，拉格朗日发表了一篇论文关于方程的代数解法的思考。他还找出一个一般的方法同时解决次方程的求根公式，因为他认为2，3，4次的方程解决已经存在偶然性了。到了1813年，他的徒弟，意大利的内科医生鲁菲尼证明了拉格朗日所采用的寻找预解式的方法对于五次方程的确是失效的。1801年，高斯已经意识到了这个问题是不能解决的。可是，包拉格朗日在内没有人给出“不存在性”的证明。不可能性的证明。3.2阿贝尔提出高于四次的方程不能用根号求解3.2.1高次方程不都是代数可解的最开始证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威的数学家阿贝尔。他于1828年3月29日完成了题目为“关于一类特殊的代数可解方程”的文章，发表在克雷尔杂志的第四卷（1829）上。它解决了任意次的特殊方程的可解性问题，其中分圆方程就属于这一类。在此篇论文中，阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出，并且任意两个根与（这里均为有理函数），满足关系，那么所考虑的方程总是代数可解的。假定这个方程是不可约的，那么可把原方程的解法分别化成个阶方程、个阶方程、个阶方程的解法。3.2.2阿贝尔的后续研究阿贝尔遗作中有一篇未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”文中叙述了方程论的发展状况，又重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来伽罗瓦遗作的出版开辟了道路。阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为在解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免计算的复杂性。在代数方程可解性理论研究中，他提出了一个研究纲领，也就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解，他试图刻画可用根式求解的方程的特性，但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题。后来伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，建立了现在所谓的伽罗瓦理论。3.2.3伽罗瓦群论创建的群伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日的做法相似，也是从方程的根的置换入手。在他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好引导他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，定义了置换群的概念他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程理论问题转化为群论的问题来解决。他引入了不少有关群论的新的概念，产生了伽罗瓦群论，后人都称他为群论的创始人。3.2.4伽罗瓦群论的证明思路对有理系数的次方程： （1）假设它的个根的每一个变换叫做一个置换，个根共有个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。(1)引进基域及基域上不可约方程的概念；(2)考虑所有根置换构成的群(3)引进伽罗瓦预解式；(4)引进伽罗瓦群进而证明其主要定理；(5)利用群和域的关系，使得方程的伽罗瓦群同构于原来的群；(6)引进可解群的概念，方程根式可解当且仅当方程群是可解的；(7)证明一般五次方程不可用根式求解伽罗瓦理论对于一般的次方程，这个群由个根的全部置换组成。它的阶当然是，这个群称为级对称群。对每个级对称群，不难找到合成序列这里的极大正规子群具有阶它仅有的正规子群是恒等元素。因此指数是2和。当大于4， 不为素数因此，大于4的一般方程不能用根式求解。3.2.5伽罗瓦群论的深远影响伽罗瓦创立群论是为了应用于方程理论，但他并不局限在此方面，他把群论进行了推广，作用于其他研究领域。很遗憾的是，伽罗瓦群论的理论太深奥，对于19世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想，以至他的论文没有得到发表。更不幸的是伽罗瓦在21岁时便因一场决斗而逝去。刘维尔并于1846年在他主办的纯粹与应用数学杂志上编辑出版了伽罗瓦的一部分手稿。其中包括伽罗瓦一生中被保留下来的5篇论文和3封给舍瓦列耶的信。直到1866年，他的理论才为人们所理解和接受伽罗瓦超越时代的天才思想才逐渐被人们所理解和承认，至今已成为一门蓬勃发展的学科抽象代数学。伽罗瓦避开了拉格朗日的难以捉摸的预解式而巧妙地应用了置换群这一工具，他不但证明了一般代数方程（1），当时不可能用根号求根，而且还建立了具体数学系数的代数方程可用根号求解的判别准则，举出不能用根号求解的数字系数代数方程的实例。他透彻地解决了这个长达二百多年来使不少数学家伤脑筋的问题。许多数学家的努力没有取得成绩，原因在于问题的解的存在性，实际上无解本身一种答案。著名的希尔伯特的“23个问题”有好几个都是无解的，但是这并不妨碍数学问题在数学史上产生深远的影响。在1900年巴黎数学家代表大会上的讲演中，希尔伯特谈到不可解问题时说：“也许正是不仅如此，加上其他哲学上的因素，给人们以这样的信念，即每个确定的数学问题都应该能够得到明确的解决，或者是成功地对所给的问题作出回答，或者是证明该问题的解的不可能性，从而指明解答原先问题的一切努力归于失败通过不可证明性，这些问题对科学来说是最满意、最有用的解决方式了。”希尔伯特又引用永动机的失败的例子，说明了自然力的不存在性。伽罗瓦所发现的结果，他的奇特思想和巧妙方法，利用同构性构建置换群和方程根之间的运算，反过来说明了可解群的种类，现在又成为全部代数的中心内容3.3伽罗瓦群论的数学哲学意蕴伽罗瓦在数学观和方法论上是很独特的，创建了“群结构”思想方法，并且预见了它的重要性。他认为：“在人类的全部知识中，纯粹分析是一个非物质化、最符合逻辑而且又是唯一地完全不以感性认识为转移的知识部分。因此数学家不应该带着主观意识去认识和发现真理，也不能凭着主观意识去研究和探索真理。人们不能凭空想象五次根式的存在，人们完全可以对其提出质疑，而应该使计算听命自己的意志，把数学运算归类，学会按照容易程度，而不是按照外部特征加以分类“这就是我所理解的未来数学家的任务，也是我要走的路。结论16世纪人们发现三次、四次代数方程的根，它们都可以表示成方程系数的加、减、乘、除以及开方来表示，称为方程的根式解。历史上，第一个宣布“不可能用根式解四次以上的方程”的数学家是拉格朗日。拉格朗日在1770年发表关于代数方程解的思考的文章中，指出五次及五次以上的方程不可能有象三、四次方程那样的得到一般解。接着1799年意大利数学家鲁菲尼得出这样一个结论，不可运用加减乘除及开方的代数方法和方程的系数表示出五次方程根的一般解。但他的证明既不完整，也不充分、严谨。所以，他的结论也被人们认定为假说。但人类的智慧是无限的。19世纪初，阿贝尔还在读中学时侯，就被五次方程求根公式的问题吸引了，全力以赴投入研究这个问题。经过多年的苦心钻研，阿贝尔终于解决了一元五次方程解的问题，以严谨的公式证明了鲁菲尼假说，解决了五次方程求根公式这颗数学难题。阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解，另一方面也举例证明了有的方程能用根式解。能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢？阿贝尔在解决这个问题之前，就病死了。科学的接力棒总是要继续往传下去的。法国的年轻数学家伽罗瓦解决了这一问题，他在18291831年间完成的著作中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件。在这个问题论述中，伽罗瓦实际上建立了“群”的理论，当然伽罗瓦用到的只是一种特殊的群，即置换群。五次方程根式解的问题终于被证实了。数学问题尽管艰深无比，但人类的智慧是无穷无尽的。参考文献1赵增逊.  从求根公式到预解式J. 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