中考数学易错题专题复习四边形.docx

四边形易错点1：平行四边形的性质与判定.易错题1：如图，在平行四边形ABCD中，AD2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_（把所有正确结论的序号都填在横线上）.DCFBCD；EFCF；SBEC2SCEF；DFE3AEF. 错解：正解：赏析：本题由于不能灵活运用平行四边形与三角形的有关内容而造成错解，添加适当的辅助线是解决本题的关键.正确的解法是：如图1，分别延长EF、CD相交于点G.四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD，又AD2AB，F是AD的中点，DFDC，DCFDFC，又DFCFCB，DCFDFCFCB，DCFBCD，正确；ABCD，BECFCD，又CEAB，FCD90°，又AFDG，AFDF，AFEDFG，AFEDFG（ASA），EFGF，EFCF，正确；SBECBE×CE，SECGCG×CE，又E在线段AB上，BEABCDCG，SBECSECG，又EFGF，SEFCSFCG（等底同高的三角形面积相等），SECG2SEFC，SBEC2SEFC，错误；FGFC，GFCG，AEFFCG，BCD2AEF，又BCDA，A2AEF，又DFEAAEF，DFE3AEF，正确.故答案填. 易错点2：平行四边形与三角形面积求法的区别；平行四边形与特殊平行四边形的关系.易错题2：如图，点P为平行四边形ABCD的边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2.若S2，则S1S2_.错解：6正解：8赏析：本题若没有掌握平行四边形面积的特殊性，容易造成错解.如图2，过点P作PHCB，交CB的延长线于点H，过点A作AGCB，交CB的延长线于点G.则SPBCCB×PH，SABCCB×AG，SABCDCB×AG，四边形ABCD为平行四边形，四边形AGHP为矩形，PHAG，SABCSPBCSABCD，又SPDCSPABSPBCSABCD，SPDCS1，SPABS2，S1S2SABCD，E、F分别为PB、PC的中点，EFCB，PEFPBC，PEF的面积为2，SPBC8，SABCD16，S1S2×168.易错点3：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，过对称中心的任意一条直线把它的面积平分；对角线将平行四边形面积四等分.易错题3：如图，已知：在ABC中，ABAC，若将ABC绕点C顺时针旋转180°得到FEC.（1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；（2）若ABC的面积为4cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当ABC为多少度时，四边形ABFE是矩形？请说明理由.错解：（1）AEBF.理由如下：由旋转可得ACFC，BCEC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，ACEFCB，ACEFCB（SAS），AEBF.（2）SABC4，S四边形ABFE2 SABC，S四边形ABFE4×28（cm2）.（3）当ABC45°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：ABC45°，ABAC，BAE90°，四边形ABFE是矩形.正解：（1）AEBF ，AEBF. 理由如下：将ABC绕点C顺时针旋转180°得到FEC，由旋转可得ACFC，BCEC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，四边形ABFE是平行四边形，AEBF ，AEBF.（2）由旋转可得ABCFEC，SABCSFEC，又ACFC，BCEC，SABCSACE SFECSBFC，SABFE4 SABC4×416（cm2）.（3）当ABC60°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：ABAC，ABC60°，ABC是等边三角形，BCAC，又ACFC，BCEC，AFBE，又四边形ABFE是平行四边形，四边形ABFE是矩形.赏析：第（1）小题错在只得出了数量关系，没有判断位置关系；第（2）小题可能是根据一条对角线把平行四边形的面积平分而造成错解，这里ABC的面积不是四边形ABFE面积的一半，且没有证明四边形ABFE是平行四边形；第（3）小题错在由条件只能得到BAC90°，而不是BAE90°，且没有证明四边形ABFE是平行四边形.易错点4：平行四边形中全等三角形与相似三角形的运用.易错题4：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，P为对角线BD上一点，过点P作EFAC，交AB于点E，交BC于点F，AC3，BD8，设BPx，EFy，则y与x之间的函数关系图象是（ ）错解：A正解：B赏析：本题错解的主要原因是只考虑了点P在BO上时的情况.虽然图中点P在BO上，但题目中说的是P为对角线BD上一点，所以应分两种情况讨论求解：当P在BO上时，即0x4，四边形ABCD是平行四边形，BD8，BODO4，EFAC，BEFBAC，BPFBOC，又AC3，BPx，EFy，yx；当P在DO上时，即4x8，如图3，四边形ABCD是平行四边形，BD8，BODO4，EFAC，DEFDAC，DPFDOC，又AC3，DPDBBP8x，EFy，yx6.y与x的函数是分段函数，其关系图象的两部分都是直线，故选B.易错点5：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系.易错题5：如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接FG.下列结论：AGD112.5°；tanAED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是菱形；BE2OG.其中正确结论的序号是_.错解：正解：赏析：本题的综合性较强，不能很好地利用正方形的特殊性质是造成错解的主要原因.对于：四边形ABCD是正方形，ADBDACABD45°，由折叠可得ADEFDE，ADEFDEADB×45°22.5°，AGD180°DACADE180°45°22.5°112.5°，故正确；对于：由折叠可得EFB90°，又ABD45°，BEF是等腰直角三角形，BEEF，又EFAE，BEAE，ADAB(1)AE.在RtADE中，tanAED1，故错误；对于：由折叠可得AGFG，又在RtOGF中，GFOG，AGOG，又SAGDAG×DO，SOGDGO×DO，SAGDSOGD，故错误；对于：AGD112.5°，AGE180°AGD180°112.5°67.5°，又在RtAED中，ADE22.5°，AED90°ADE90°22.5°67.5°，AEAG，又由折叠可得，AEFE，AGFG，AEEFGFAG，四边形AEFG是菱形，故正确；对于：四边形AEFG是菱形，EFGF，ABGF，GFOABO45°，GFO、EBF均为等腰直角三角形，GFGO，EFGO，又BEEF，BE×GO2GO，故正确.本题答案为. 易错点6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等操作型问题.易错题6：已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积之比为14，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BNPM，连接MN交PB于点F，作MEBP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.错解：（1）如图1，四边形ABCD是矩形，ADBC，DCAB，DABBCD90°.由折叠可得ABOAPO，APAB，POBO，PAOBAO，APOB，APO90°，APDPOC，又DC，OCPPDA.OCP与PDA的面积之比为14，.PD2OC，DA2CP,AD8，CP4，BC8.设OPx，则OBx，CO8x.在RtPCO中，C90°，CP4，OPx，CO8x，由勾股定理得x2(8x)242.解得x6，ABAP2OP2×612.（2）如图3，P是CD边的中点，DPDC.DCAB，ABAP，DPAP.D90°，在RtDAP中，sinDAP，DAP45°，DAB90°，PAB90°45°45°，又PAOBAO，OAB22.5°.（3）当点M、N在移动过程中，线段EF的长度发生变化，因为当点M、N在移动时，点E、F也随之移动，所以线段EF的长度发生变化.正解：（1）如图1，四边形ABCD是矩形，ADBC，DCAB，DABBCD90°.由折叠可得ABOAPO，APAB，POBO，PAOBAO，APOB，APO90°，APD180°APOCPO180°90°CPO90°CPO，又在RtPCO中，POC90°CPO，APDPOC，又DC，OCPPDA.OCP与PDA的面积之比为14，且OCPPDA，.PD2OC，DA2CP,AD8，CP4，BC8.设OPx，则OBx，CO8x.在RtPCO中，C90°，CP4，OPx，CO8x，由勾股定理得x2(8x)242.解得x5，ABAP2OP2×510.（2）如图3，P是CD边的中点，DPDC.DCAB，ABAP，DPAP.D90°，在RtDAP中，sinDAP，DAP30°，DAB90°，PAB90°30°60°，又PAOBAO，OAB30°.（3）如图4，过点M作MQAN，交PB于点Q.APAB，MQAN， APBABP，ABPMQP，APBMQP，MPMQ，又MEPQ，PEEQPQ.BNPM，MPMQ，BNMQ.又由MQAN得QMFBNF.在MFQ和NFB中，MFQNFB(AAS)，QFBF，QFQB.EFEQQFPQQBPB.由（1）可得，PC4，BC8，C90°，在RtPBC中，由勾股定理得，PB，EFPB×2.在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2.赏析：本题（1）中证明过程不完整，因为对条件APDPOC没有写出证明过程，中在最后解方程时出现了错误；（2）中特殊角的三角函数值弄错了，正弦值为的锐角应是30°，而不是45°；（3）中错在仅由点E、F在移动就得出线段EF的长度发生变化，虽然点E、F在移动，但线段EF的长度仍有可能不变，应通过计算来说明线段EF的长度是否发生变化，通过作辅助线构造全等是解决本小题的关键.易错练1.如图，在ABCD中，ABC60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AEBD，EFBC，EF，则AB_.2.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F分别在AD、BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EFAEFC，则边BC的长为_.3.如图，在ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA，DFBA，下列判断：四边形AEDF是平行四边形；若BAC90°，则四边形AEDF是矩形；若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形；若ADBC且ABAC，则四边形AEDF是正方形.其中正确的有（ ）A. B. C. D.4.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.（1）求证：MBANDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.5.在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动.（1）如图，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE和DF的关系，并说明理由；（2）如图，当E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（直接写出答案，不需证明）（3）如图，当点E、F分别在边CD、BC的延长线上移动时，连接AE、DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD2，试求出线段CP的最小值.参考答案2.3 解析：四边形BEDF是菱形，BEBFED，EOFO,EFBD，EBOFBO，又四边形ABCD是矩形，AABC90°，ADBC，ADEDBCBF，AEFC，又EFAEFC，AEEOFOFC，RtABERtOBE（HL），ABEOBE，ABEOBEOBF，ABE×90°30°.在RtABE中，cosABE，AB3，AE2，AEBE×2，BCBFFCBEAE23.3.C 解析：DECA，DFBA，四边形AEDF是平行四边形，正确；BAC90°，且四边形AEDF是平行四边形，正确；AD平分BAC，EADFAD，又DECA，FADEDA，EADEDA，EAED，又四边形AEDF是平行四边形，四边形AEDF是菱形，正确；ABAC且ADBC，AD平分BAC，由得，四边形AEDF是菱形，错误.选C.（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：如图，连接MN.四边形ABCD是矩形且M、N分别是AD、BC的中点，四边形AMNB、DMNC均为矩形，四边形MDNB为平行四边形，MNDC，MNB90°，MBDN，P是BM的中点，PNBMMP，又由（1）得BMDN，MPDN，又Q为DN的中点，NQDN，MPNQ，MPNQ，四边形MPNQ是平行四边形，又MPNP，四边形MPNQ是菱形.5.解：（1）AEDF，AEDF.理由如下：四边形ABCD是正方形，ADDC，ADCC90°，又由题意得DECF，ADEDCF（SAS）.AEDF，DAECDF，CDFADF90°，DAEADF90°，APD90°，AEDF；（2）还成立；（3）还成立，理由如下：由（1）同理可证AEDF，DAECDF，延长FD交AE于点G，如图，GDAADCCDF180°，ADC90°，则CDFADG90°，ADGDAE90°，AGD90°，AEDF；（4）如图，由于点P在运动中保持APD90°，点P的路经是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在RtODC中，由勾股定理得OC，CPOCOP1.