不等式恒成立的八种解法探析.doc

不等式恒成立的八种解法探析不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口这里对这一类问题的求解策略作一些探讨1最值法例1已知函数在处取得极值，其中为常数（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值要使（）恒成立，只需，解得或 所以的取值范围为评注：最值法是我们这里最常用的方法恒成立；恒成立2分离参数法例2已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设 ，则由（I）知，即；于是， ，即在区间上为减函数故在上的最小值为所以的最大值为评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解3 数形结合法例3已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即故所求的的取值范围为评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法4 变更主元法例4对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元解：设，则原问题转化为恒成立的问题故应该有，解得或所以实数的取值范围是评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题5 特殊化法例5设是常数，且（）（I）证明：对于任意，（II）假设对于任意有，求的取值范围分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明 解：（I）递推式可以化归为，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有 由通项公式得当（）时，当（）时，可见总有故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法6分段讨论法例6已知，若当时，恒有0，求实数a的取值范围解：（i）当时，显然0成立，此时，（ii）当时，由0，可得，令 则0，是单调递增，可知0，是单调递减，可知此时的范围是（1，3）综合i、ii得：的范围是（1，3） 例7若不等式对于恒成立，求的取值范围解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系7单调性法例8若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是解：设，则，有这样，则，函数在为减函数因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解8判别式法例9若不等式对于任意恒成立则实数的取值范围是分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得综上可知，所求的实数的取值范围是不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例例10关于的不等式在上恒成立，求 实数的取值范围通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；，不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下当时，再令，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即技巧解：由于，所以，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功