毕业设计（论文）机械多体系统计算辅助分析论文(ADAMS分析).doc

各专业完整优秀毕业论文设计图纸摘要本文介绍了机械多体系统动力学的理论基础和基于该理论基础建立的虚拟样机。其中对虚拟样机ADAMS/View进行着重学习，理解其平台建立的理论依据，并通过ADAMS的应用对压力机机构进行了运动学和动力学分析。基于虚拟样机ADAMS/View的动力学分析是本文的重点，根据压力机的功能和机械结构给出了该模型需要动力学分析的构件滑块；在深入分析滑块的动力学曲线，找出出该系统的不足点，并提出给出优化建议。关键字：机械多体；ADAMS仿真；辅助分析；压力机Abstract This paper introduces the basic theory of dynamics of mechanical multibody system,which is based on the virtual prototype and the foundation of the theory . The virtual prototype ADAMS/View is focused on learning, to build understanding the theoretical foundation of platform , and press mechanism kinematics and dynamics were analyzed through ADAMS application. Dynamics analysis of virtual prototype based on ADAMS/View is the focus of this paper.According to the function and the mechanical structure of press gives the model ,the slider,required - needed to dynamics analysis was given; in the kinetic curve of in-depth analysis of the slider, to find out the shortages in the system, and put forward the suggestions given optimization.Keywords: mechanical multi body; ADAMS simulation; aided analysis; press machine目录1绪论11.1 多体系统动力学研究状况11.1.1 多体系统动力学研究的发展11.1.2 多体系统动力学研究现状21.2 多刚体系统动力学建模51.2.1 计算多体系统动力学建模与求解一般过程51.2.2 多刚体系统运动学61.2.3 多刚体系统动力学142多体系统动力学分析软件ADAMS的介绍182.1 ADAMS软件简介182.2 ADAMS软件动力学仿真计算原理分析192.2.1自由度192.2.2广义坐标选择212.2.3 动力学方程的建立212.2.4 运动学分析222.2.5 动力学分析232.3 ADAMS/CAR建模和分析基本原理方法253 ADMAS实例应用283.1压力机的介绍283.1.1压力机的种类283.2压力机的结构和工作原理293.2.1压力机的结构293.2.2压力机的工作原理303.3压力机的仿真313.3.1压力机运动学分析313.3.2压力机动力学分析333.4 压力机仿真结果分析35结束语37致谢38参考文献391绪论 机械多体系统计算机辅助分析是一门关于机械多体动力学分析的学科。多体系统动力学是研究由多个物体（质点、刚体、柔性体、液体）组成的系统的动力学问题。其研究内容包括多体系统动力学的建模方法、多体系统动力学的计算方法、多体系统动力学行为的分析方法。本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。1.1 多体系统动力学研究状况 多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。 本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。1.1.1 多体系统动力学研究的发展 机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况自由质点和一般简单的情况少数多个刚体，是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。1.1.2 多体系统动力学研究现状计算多体系统动力学中所研究的多体系统，根据系统中物体的力学特性可分为多刚体系统、柔性多体系统和刚柔混合多体系统。多刚体系统是指可以忽略系统中物体的弹性变形而将其当作刚体来处理的系统，该类系统常处于低速运动状态；柔性多体系统是指系统在运动过程中会出现物体的大范围运动与物体的弹性变形的耦合，从而必须把物体当作柔性体处理的系统，大型、轻质而高速运动的机械系统常属此类；如果柔性多体系统中有部分物体可以当作刚体来处理，那么该系统就是刚柔混合多体系统，这是多体系统中最一般的模型。（1）多体系统建模理论对于多刚体系统，从20世纪60年代到80年代，在航天和机械两个领域形成了两类不同的数学建模方法，分别称为拉格朗日方法和笛卡尔方法；20世纪90年代，在笛卡尔方法的基础上又形成了完全笛卡尔方法。这几种建模方法的主要区别在于对刚体位形描述的不同。航天领域形成的拉格朗日方法，是一种相对坐标方法，以Roberson-Wittenburg方法为代表，是以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一个刚体相对该刚体的位置由铰的广义坐标（又称拉格朗日坐标）来描述，广义坐标通常为邻接刚体之间的相对转角或位移。这样开环系统的位置完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵所确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即 (1-1)这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，树系统的坐标数等于系统自由度，而且动力学方程易转化为常微分方程组（ODEs - Ordinary Differential Equations）。但方程呈严重非线性，为使方程具有程式化与通用性，在矩阵与中常常包含描述系统拓扑的信息，其形式相当复杂，而且在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模。不过目前对于多体系统动力学的研究比较深入，现在有几种应用软件采用拉格朗日的方法也取得了较好的效果。对于非树系统，拉格朗日方法要采用切割铰的方法以消除闭环，这引入了额外的约束，使得产生的动力学方程为微分代数方程，不能直接采用常微分方程算法去求解，需要专门的求解技术。机械领域形成的笛卡尔方法是一种绝对坐标方法，即Chace和Haug提出的方法，以系统中每一个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标（也可称为广义坐标）统一为刚体坐标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方位坐标，方位坐标可以选用欧拉角或欧拉参数。单个物体位置坐标在二维系统中为3个，三维系统中为6个（如果采用欧拉参数为7个）。对于由N个刚体组成的系统，位置坐标阵中的坐标个数为3N（二维）或6N（或7N）（三维），由于铰约束的存在，这些位置坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为 (1-2)式中为位置坐标阵的约束方程，为约束方程的雅可比矩阵，为拉格朗日乘子。这类数学模型就是微分-代数方程组（DAEs - Differential Algebraic Equations），也称为欧拉-拉格朗日方程组（Euler-Lagrange Equations），其方程个数较多，但系数矩阵呈稀疏状，适宜于计算机自动建立统一的模型进行处理。笛卡尔方法对于多刚体系统的处理不区分开环与闭环（即树系统与非树系统），统一处理。目前国际上最著名的两个动力学分析商业软件ADAMS和DADS都是采用这种建模方法。完全笛卡尔坐标方法，由Garcia和Bayo于1994年提出，是另一种形式的绝对坐标方法。这种方法的特点是避免使用一般笛卡尔方法中的欧拉角或欧拉参数，而是利用与刚体固结的若干参考点和参考矢量的笛卡尔坐标描述刚体的空间位置与姿态。参考点选择在铰的中心，参考矢量沿铰的转轴或滑移轴，通常可由多个刚体共享而使未知变量减少。完全笛卡尔坐标所形成的动力学方程与一般笛卡尔方法本质相同，只是其雅可比矩阵为坐标线性函数，便于计算。根据动力学基本原理推导的柔性多体系统动力学方程，形式同式（1-1）和（1-2），只是将q用p代替。即，柔性多体系统具有与多刚体系统类同的动力学数学模型。（2）多体系统动力学数值求解多刚体系统笛卡尔方法产生的形如式（1-2）的动力学数学模型，是著名的微分-代数方程组（DAEs）。DAE问题是计算多体系统动力学领域的热点问题。柔性多体系统的动力学数学模型，其形式与多刚体系统相同，可以借鉴多刚体系统数学模型的求解方法。只是混合坐标中描述浮动坐标系运动的刚体坐标q通常是慢变大幅值的变量，而描述相对于浮动坐标系弹性变形的坐标a却为快变微幅的变量，两类变量出现在严重非线性与时变的耦合动力学方程中，其数值计算呈病态，将出现多刚体系统中见不到的数值计算困难。综上所述，多体系统动力学问题的求解集中于微分-代数方程组的求解，下面将简要地介绍一下DAE问题的求解方法，更具体的介绍，将在（1.5）节进行。a.微分-代数方程组的特性多刚体系统采用笛卡尔方法建模生成的微分-代数方程组为： (1-3) (1-4)其中，、分别是系统位置、速度、加速度向量，是拉格朗日乘子，是时间，为机械系统惯性矩阵，为约束雅可比矩阵，为外力向量，为位置约束方程。将式(1.4)对时间求一阶和二阶导数，得到速度和加速度约束方程： (1-5) (1-6)其中，称为速度右项，称为加速度右项。给定方程组初始条件： (1-7)（3）微分-代数方程组积分技术自二十世纪七十年代以来，国际上对微分-代数方程问题作了大量的研究，时至如今，新的算法仍不断涌现。根据对位置坐标阵和拉格朗日乘子处理技术的不同，可以将微分-代数方程组问题的处理方法分为增广法和缩并法2。传统的增广法是把广义坐标加速度和拉格朗日乘子作为未知量同时求解，再对加速度进行积分求出广义坐标速度及广义坐标位置，包括直接积分法和约束稳定法。近十年来，在传统增广法的基础上又发展形成了超定微分-代数方程组（ODAEs）方法等新的一类算法。直接积分法：将式(1-3)和(1-6)联立在一起，同时求出与，然后对积分得和。该方法未考虑式(1-4)和(1-5)的坐标和速度违约问题，积分过程中误差积累严重，很易发散。在实际的数值计算过程中，并不直接采用直接积分法，但在直接积分法的基础上发展了一系列控制违约现象的数值方法。约束稳定法：将控制反馈理论引入微分-代数方程组的数值积分过程以控制违约现象。通过把式(1-6)右边量替换为含位置约束和速度约束的参数式，保证位置约束和速度约束在式(1-3)和(1-6)联立求解时恒满足。该方法稳定性好，响应快，但如何选择参数式中速度项和位置项适当的系数是一个问题。超定微分-代数方程组（ODAEs）法：将系统速度作为变量引入微分-代数方程组，从而将原来的二阶DAE化为超定的一阶DAE，再为所得方程组引入未知参数，根据模型的相容性消除系统的超定性，如此可使数值计算的稳定性明显改变。或者将系统位置、速度、加速度向量和拉格朗日乘子向量联立作为系统广义坐标，再将由式(1-3)、(1-4)、(1-5)和(1-6)组成的微分-代数方程组及速度与位置、加速度与速度的微分关系式作为约束，化二阶DAE为超定的一阶DAE，再根据系统相容性引入二个未知参数，消除超定性，这样所得的最终约化模型更为简单，但方程组要多n个。在ODAE方法的基础上产生了一系列新的更为有效的算法。解耦ODAE法：在ODAE方法的基础上，发展形成了一类解耦思想，就是在ODAEs基础上，对常用的隐式ODE方法采用预估式，再按加速度、速度和位置的顺序进行求解。后来进一步发展形成了无需对隐式ODE方法利用预估式的解耦思想，更一步地提高了效率。缩并法就是通过各种矩阵分解方法将描述系统的n个广义坐标用p个独立坐标表达，从而将微分-代数方程组从数值上化为与式(1-1)类似的数学模型，如此易于用ODE方法进行求解。传统的缩并法包括LU分解法、QR分解法、SVD分解法以及零空间方法等，后来在传统缩并法的基础上产生了局部参数化缩并方法等新的算法。缩并法中的这些具体方法，分别对应着约束雅可比矩阵的不同分解。LU分解法：又称为广义坐标分块法。把广义位置坐标用相关坐标和独立坐标分块表示，再将约束雅可比矩阵用LU分解法分块，得到广义坐标速度、加速度用独立坐标速度、加速度表达的式子。将这两个表达式代入式(1-3)，就可得到形如式(1-1)的关于独立坐标加速度的二阶微分方程。该算法可靠、精确，并可控制误差，但效率稍低。QR分解法：通过对约束雅可比矩阵正交分解的结果作微分流型分析，得到可选作受约束系统独立速度的，并将微分-代数方程组化作形如式(1.1-1)的关于的二阶微分方程，如此可保证在小时间间隔内由积分引起的广义坐标的变化不会导致大的约束违约。SVD分解法：把约束雅可比矩阵作奇异值分解所得结果分别用于式(1-3)和(1-6)，得到缩并后的系统动力学方程。在该方法推导过程中没有用到式(1-4)和(1-5)，所以也存在位置和速度违约问题，可用约束稳定法改善其数值性态。可微零空间法：通过Gram-Schmidt正交化过程自动产生约束雅可比矩阵的可微、唯一的零空间基，来对系统方程降阶。具体做法是对由和任意矩阵构造的矩阵采用Gram-Schmidt正交化过程，将化为正交非奇异矩阵。再引入新的速度矢量，使满足，将新速度矢量和加速度矢量按正交化结果分块，得到新的独立速度矢量和加速度矢量。如此可将微分-代数方程组化为关于新的独立加速度矢量的动力学方程。（4）相容性问题和刚性问题初值相容性问题：在微分-代数方程组的数值求解过程中，给定的位置和速度初始条件与微分-代数方程组中的位置和速度约束的相容性是值得注意的一个问题。相容性是微分-代数方程组有解的必要条件。刚性问题：由于现代机械系统的复杂性，会由于系统的耦合而使所得到的微分-代数方程组呈现刚性特性。对于刚性问题的求解，目前最常用的方法是隐式方法，隐式方法不仅用于求解刚性问题，而且相比于显式方法具有更好的稳定性和计算精度。近几年来，无论是在LU分解法基础上发展起来的新缩并法，还是基于ODAE方法的增广法，或是基于多体系统正则方程的解法，应用的无不是隐式方法。1.2 多刚体系统动力学建模计算多体系统动力学分析，首先在于提供一个友好方便的界面以利于建立多体系统的力学模型，并在系统内部由多体系统力学模型得到动力学数学模型；再者需要有一个优良的求解器对数学模型进行求解，求解器要求效率高、稳定性好，并具有广泛的适应性；最后还需要对求解结果提供丰富的显示查询手段。这其中的关键技术就是自动建模技术和求解器设计，所谓自动建模就是由多体系统力学模型自动生成其动力学数学模型，求解器的设计则必须结合系统的建模，以特定的动力学算法对模型进行求解7。本节首先给出多体系统动力学的一些基本概念，再介绍计算多体系统动力学建模与求解的一般过程，然后作为重点，按豪格（Haug）的笛卡尔方法给出多体系统的运动学和动力学数学模型，这是考虑到目前最负盛名的两个多体系统软件都是采用笛卡尔方法，最后简要叙述自动建模技术4。1.2.1 计算多体系统动力学建模与求解一般过程一个机械系统，从初始的几何模型，到动力学模型的建立，经过对模型的数值求解，最后得到分析结果，其流程如图1.1所示。计算多体系统动力学分析的整个流程，主要包括建模和求解两个阶段。建模分为物理建模和数学建模，物理建模是指由几何模型建立物理模型，数学建模是指从物理模型生成数学模型。几何模型可以由动力学分析系统几何造型模块所建造，或者从通用几何造型软件导入。对几何模型施加运动学约束、驱动约束、力元和外力或外力矩等物理模型要素，形成表达系统力学特性的物理模型。物理建模过程中，有时候需要根据运动学约束和初始位置条件对几何模型进行装配。由物理模型，采用笛卡尔坐标或拉格朗日坐标建模方法，应用自动建模技术，组装系统运动方程中的各系数矩阵，得到系统数学模型。对系统数学模型，根据情况应用求解器中的运动学、动力学、静平衡或逆向动力学分析算法，迭代求解，得到所需的分析结果。联系设计目标，对求解结果再进行分析，从而反馈到物理建模过程，或者几何模型的选择，如此反复，直到得到最优的设计结果。在建模和求解过程中，涉及到几种类型的运算和求解。首先是物理建模过程中的几何模型装配，图2.1中称为“初始条件计算”，这是根据运动学约束和初始位置条件进行的，是非线性方程的求解问题；再就是数学建模，是系统运动方程中的各系数矩阵自动组装过程，涉及大型矩阵的填充和组装问题；最后是数值求解，包括多种类型的分析计算，如运动学分析、动力学分析、静平衡分析、逆向动力学分析等。运动学分析是非线性的位置方程和线性的速度、加速度方程的求解，动力学分析是二阶微分方程或二阶微分方程和代数方程混合问题的求解，静平衡分析从理论上讲是一个线性方程组的求解问题，但实际上往往采用能量的方法，逆向动力学分析是一个线性代数方程组求解问题，这里面，最复杂的是动力学微分代数方程的求解问题，它是多体系统动力学的核心问题。在多体系统动力学建模与求解过程中，还有一个问题是值得注意的初值相容性问题，这是在任何正式求解之前必须首先解决的问题，直接影响到问题的可解性。初值相容性是要求系统中所有的位置、速度初始条件必须与系统运动学约束方程相容。对于简单问题，初值相容性是易于保证的，但对于大型复杂系统，必须有专门的初值相容性处理算法以判断系统的相容性或由一部分初值计算相容的其它初值。在多体系统建模与求解过程，求解器是核心，这其中涉及的所有运算和求解4，如初始条件计算、方程自动组装、各种类型的数值求解等等都由求解器所支持，它提供了所需的全部算法。实际上，结果分析是需要有专门的数值后处理器来支持的，以提供曲线和动画显示以及其它各种辅助分析手段。但相比于多体系统建模与求解，数值后处理器相对简单，不存在什么理论上的重要问题7。图1.1 计算多体系统动力学建模与求解一般过程1.2.2 多刚体系统运动学对于多体系统的运动学分析，传统的理论力学是以刚体位置、速度和加速度的微分关系以及矢量合成原理为基础进行分析的，而计算多体系统动力学中的运动学分析则是以系统中连接物体与物体的运动副为出发点，所进行的位置、速度和加速度分析都是基于与运动副对应的约束方程来进行的。基于约束的多体系统运动学，首先寻求与系统中运动副等价的位置约束代数方程，再由位置约束方程的导数得到速度、加速度的约束代数方程，对这些约束方程进行数值求解，可得到广义位置坐标及相应的速度和加速度坐标，最后根据坐标变换就可以由系统广义坐标及相应导数得到系统中任何一点的位置、速度和加速度。由于机械系统在二维空间运动时，广义坐标、约束方程、问题规模以及问题求解都相对简单，故本节先讨论二维多体系统运动学以解释多体系统运动学基本理论，在此基础上再给出三维多体系统的运动学方程2。（1）约束方程（位置方程）设一个平面机构由个刚性构件组成。在机构所在平面上建立一个全局坐标系，机构在该坐标系中运动；再为机构上每个构件建立各自的连体坐标系，可由连体坐标系的运动确定构件的运动。选定构件连体坐标系原点的全局坐标和连体坐标系相对于全局坐标系的转角组成构件的笛卡尔广义坐标矢量，如图2.2所示。由个刚性构件组成的系统的广义坐标数，则系统广义坐标矢量可表示为。图2.2 平面笛卡尔广义坐标一个实际的机械系统，系统中构件与支架或构件与构件之间存在运动副的联接，这些运动副可以用系统广义坐标表示为代数方程。设表示运动副的约束方程数为，则用系统广义坐标矢量表示的运动学约束方程组为： (1-8)这里给出的是定常完整约束情况。如果约束方程与时间相关，则自变量中显含时间项，这种约束被称为非定常约束；更一般的约束方程含有不可积速度项的不等式或关系式，这种约束称为非完整约束3。一般的运动学约束是定常完整约束。对于一个有个广义坐标和个约束方程的机械系统，若，且这个约束方程是独立、相容的，则系统自由度。为使系统具有确定运动，可以有二种方法：a.为系统添加与系统自由度DOF相等的附加驱动约束；b.对系统施加力的作用。在a情况下，系统实际自由度为零，被称为是在运动学上确定的，在此情况下求解系统运动过程中的位置、速度和加速度的分析是运动学分析，运动学分析本身不涉及作用力或反作用力问题。但是对于运动学上确定的系统，可以求解系统中约束反力，即已知运动求作用力，这是动力学逆问题。在b情况下，系统有着大于零的自由度，但是在外力作用力，对于具有确定构型和特定初始条件的系统，其动力学响应是确定的，这种情况下求解系统运动过程中的位置、速度和加速度的分析，称为动力学分析。在这种情况下，特殊地，如果外力与时间无关，可以求解系统的静平衡位置，这就是静平衡分析问题。考虑运动学分析，为使系统具有确定运动，也就是要使系统实际自由度为零，为系统施加等于自由度（）的驱动约束： (1-9)在一般情况下，驱动约束是系统广义坐标和时间的函数。驱动约束在其集合内部及其与运动学约束合集中必须是独立和相容的，在这种条件下，驱动系统运动学上是确定的，将作确定运动。由式（1-8）表示的系统运动学约束和式（1-9）表示的驱动约束组合成系统所受的全部约束： (1-10)式（1-10）为nc个广义坐标的nc个非线性方程组，其构成了系统位置方程。求解式（1-10），就可得到系统在任意时刻的广义坐标位置。（2）速度和加速度方程对式(2-10)运用链式微分法则求导，得到速度方程： (1-11)若令，则速度方程为 (1-12)如果是非奇异的，可以求解式(1-12)得到各离散时刻的广义坐标速度。对式(1-11)运用链式微分法则求导，可得加速度方程 (1-13)若令，则加速度方程为 (1-14)如果是非奇异的，可以求解式(1-14)得到各离散时刻的广义坐标加速度。在速度方程(1-12)和加速度方程(1-14)中出现的矩阵，称为雅可比矩阵，雅可比矩阵是约束多体系统运动学和动力学分析中最重要的矩阵。如果的维数为m，q维数为n，那么维数为矩阵，其定义为。这里为的方阵。对式(1-12)中的和式(1-14)中的进行计算时，会涉及到二阶导数，在实际的数值求解中，并不是实时地调用求导算法来进行计算，而是先根据具体的约束类型，导出二阶导数以及雅可比矩阵的表示式，在计算中只需代入基本的数据即可5。（3）坐标变换与任意点运动在确定系统中构件上任意点的运动时，常要求将构件上点从连体坐标系变换到全局坐标系中，现讨论连体坐标系与全局坐标系的坐标变换及构件上任意点运动6。设矢量在全局坐标系和某连体坐标系中分别表示为： (1-15)若任意点在全局坐标系和连体坐标系中坐标如图2-3所示，则存在如下坐标变换关系： (1-16)其中，为点在全局坐标系中的坐标，为连体坐标系原点在全局坐标系中的坐标，为矢量在全局坐标系中坐标，为矢量在连体坐标系中的坐标，为旋转变换矩阵，其形式为： (1-17)对时间的导数为： (1-18)根据式(1-16)，我们可以得到以连体坐标系表示的构件上的任一点的全局坐标。 图2.3 二维空间坐标变换 图2.4 三维空间坐标变换式(1.2-9)对时间求导数，可得任意点的速度变换公式： (1-19)式(2.2-12)对时间求导数，可得任意点的加速度变换公式： (1-20)对于一个平面机构来说，进行运动学分析时，先是选定最大集的广义坐标，再分别根据式(1-10)、(1-12)和(1-14）求解机构在各离散时刻的广义坐标位置、广义坐标速度和广义坐标加速度。对于任意一个由连体坐标系确定的构件上的点，可以根据式(1-16)、(1-19)和(1-20)求解其位置、速度和加速度。（4）三维多刚体系统运动学三维多体系统的运动分析与二维多体系统较为相似，只是广义坐标选取复杂一些，约束方程形式复杂一些，问题规模要大一些。三维多体系统广义坐标与二维相似，也是由位置坐标和方位（或称为姿态）坐标组成，位置坐标表示较为固定，都是由连体坐标系基点坐标确定，方位坐标则具有多种形式，如方向余弦矩阵、欧拉角、卡尔丹角、有限转动四元数、欧拉参数等等，最常用的是欧拉角和欧拉参数。这里先给出三维机械系统广义坐标的方向余弦与欧拉参数和欧拉角几种形式及其之间的变换，再据此给出系统的约束方程、速度方程和加速度方程的形式5。a.坐标变换、欧拉参数与欧拉角对于三维空间机构，采用固联在构件上的连体坐标系来确定系统运动。构件的广义坐标，由两个部分组成，一是连体坐标系的原点坐标，二是确定连体坐标系相对于全局坐标系的方位参数。如图1. 4所示，连体坐标系原点坐标为，相对于全局坐标系的方位可用方向余弦矩阵表示，也可用欧拉参数或者欧拉角，这几种具有相同几何意义，但数值特性不同。方向余弦矩阵定义为： (1-21)其中，、和分别为连体坐标系坐标轴、和的单位矢量。方向余弦矩阵为正交矩阵，因此，中9个变量受6个独立方程的约束，方向余弦矩阵中只存在说明3个转动自由度的独立变量。如果连体坐标系和全局坐标系的原点重合，即，则矢量在连体坐标系中的表示形式和在全局坐标系中的表示形式存在如下变换关系： (1-22)更一般的坐标变换式为： (1-23)其中，为点在坐标系中的坐标，为坐标系原点在坐标系中的坐标，为点在坐标系中的坐标，为相对于的方向余弦矩阵。对式(1-23)求时间导数，得速度变换式： (1-24)其中是的斜对称矩阵（斜对称矩阵定义见式1-38），称为连体坐标系相对于全局坐标系的角速度矢量，表示为： (1-25)若将角速度矢量运用式(1-22)的相关导出式变换到坐标系并表示为，则存在： (1-26) (1-27)对式(1-24)求时间导数，得加速度变换式： (1-28)其中： (1-29)如果定义与位移和角速度对应的虚位移和虚转动，则式(1-24)、(1-25)、(1-26)和(1-27)存在相应的变分形式： (1-30) (1-31) (1-32) (1-33)角速度和虚转动是不可积的，因此角速度也被称为拟坐标。根据刚体转动的欧拉定理，确定刚体的方位还可以采用欧拉定理中的转动轴和转动角。如果坐标系与坐标系原点重合，由欧拉定理知可设绕单位轴矢量转动角与重合，现可由和定义一个4欧拉参数组： (1-34)欧拉参数用列向量表示为： (1-35)欧拉参数要满足欧拉参数归一化约束： (1-36)故欧拉参数4个分量中存在3个独立分量，描述物体转动。欧拉参数和方向余弦矩阵都是描述物体方位的参数，它们是等价的，其间存在着变换关系，从欧拉参数到方向余弦矩阵的变换为： (1-37)其中为单位矩阵，为的斜对称矩阵，其表示为： (1-38)从方向余弦矩阵到欧拉参数的变换为： (1-39)上式中，若由式(1-39)中第一式计算得，则由下列式子确定欧拉参数。 (1-40)式中为矩阵的迹。为研究欧拉参数与角速度之间的关系，定义两个辅助矩阵： (1-41) (1-42)可得到如下关系式： (1-43) (1-44) (1-45) (1-46) (1-47)上述式(1-44)(1-47)的变分形式为： (1-48) (1-49) (1-50) (1-51)对于上述各式中所涉及的角速度和虚转动，并不象欧拉参数的导数或变分一样是可积的，所以在积分用角速度或虚转动表示的运动方程时，不可直接积分，需要利用上述公式将角速度或虚转动变换为欧拉参数的导数或变分，再作积分运算1。根据欧拉定理，可以将刚体的方位分解为连体坐标系从与全局坐标系重合的始点起，依次绕连体坐标系自身的、和转过有限角度、和来确定，即相对体313转动序列，三个角度坐标、和即为欧拉