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第十二章 无穷级数章主要内容小结一、数项级数的审敛法1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2、正项级数的审敛法若，则级数发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；对一般项出现阶乘、及次幂形式，多用比值法，；对一般项出现次幂形式，多用根值法，； 对一般项可经缩小与放大处理后化成级数或几何级数形式，则用级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做；注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当存在时，也存在，且，反之不一定成立。3、任意项级数审敛法为收敛级数，若收敛，则绝对收敛；若发散，则条件收敛；莱布尼兹判别法：，且则交错级数收敛，且。（二）求幂级数收敛域的方法1、标准形式的幂级数，先求收敛半径，再讨论的敛散性；2、。（三）幂级数和函数的求法1、求部分和式的极限；2、初等变换法：分解、直接套用公式；3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算；4、（四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式1、函数的幂级数展开直接展开法：利用泰勒级数；间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。例1 若级数都收敛，且，证明级数收敛。证明：，则由已知条件收敛，根据比较判别法有收敛，收敛。说明：注意比较判别法只对正项级数成立，对一般级数不可用。例2 判别下列级数的敛散性（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；解：（1）解法1： 利用无穷级数收敛的性质：与都是几何级数，均收敛，所以收敛；解法2：该级数为正项级数，利用比较法，因为，而收敛，所以原级数收敛；解法3：该级数为正项级数，利用根值法，因为，所以原级数收敛。（2）因为，所以，由比较法的极限形式知：级数与具有相同的敛散性，而级数发散，所以原级数发散。（3）利用比值法：，所以原级数发散。（4）利用根值法：，所以原级数收敛。（5）一般项，利用比值法、比较法、根值法都不易判定级数的敛散性，注意到是单调递减数列，因为积分收敛，所以原级数收敛。（6）因为，所以，即，所以原级数发散。例3 判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）； （2）；（3）； （4）；解：（1）因为单调递减，且，由莱布尼兹判别法知级数收敛，所以发散，原级数条件收敛。（2），但不单调，所以不能用莱布尼兹判别法，因为，而收敛，发散，所以发散。（3），且，原级数收敛，而发散，所以原级数条件收敛。（4），所以原级数发散。说明：若级数改为，则级数绝对收敛。例4 判别下列级数的敛散性（1）； （2）； （3）；解题思路：一般项中含有参数，需注意对参数进行讨论。解：（1）注意到，故就分别讨论。当时，由级数收敛的必要条件知原级数发散；当时，由级数收敛的必要条件知原级数发散；当时，而级数为公比绝对值小于1的几何级数，是收敛的，由比较法原级数收敛。综上所述：当时原级数收敛；当时，原级数发散。（2）一般项中含有次幂，用根值法。因为，由根值判别法，当时，即时级数收敛；当时，即时级数发散；时，即时根值法失效，此时，由必要条件得级数发散。综上所述：当时原级数发散；当时原级数收敛。（3）这是交错级数，其绝对值级数为级数，需分讨论其绝对收敛与条件收敛。当时，其绝对值级数是收敛的，所以原级数绝对收敛；当时，其绝对值级数是发散的，而级数是交错级数，由莱布尼兹判别法可知其收敛，所以原级数条件收敛。当时，所以原级数发散。例5 设正项级数和都收敛，证明级数也收敛。分析：因为，所以，且。又已知级数和收敛，如果级数和收敛，由不等式与比较判别法即可推得收敛，从而欲证结论成立。证明：因为收敛，所以，由极限定义，对正数，存在，使当时，有，从而，由比较判别法，级数收敛，同理可证级数收敛。又因为，而收敛，由比较法知级数收敛，所以收敛。例6 求下列幂级数的收敛半径与收敛域（1） ； （2）；（3）；解：（1）因为，而不存在，用比值法求收敛半径失效，故用根值法。因为。而，故，所以。当时，原级数为，由，此级数发散；同理，当时，原级数发散；所以所求收敛域为。（2）因为，原级数缺少的奇次幂项，故直接用比值法。因为，所以，当时，原级数发散，所以所求收敛域为。（3）因为，令，原级数为，取，则，所以，当时，考察级数，易知级数与都收敛，所以级数收敛；当时，考察级数，因为发散，级数 收敛，所以级数发散；从而幂级数的收敛域为，由解不等式得原级数的收敛域为。例7 求幂级数的和函数解：因为，且时原级数收敛，所以收敛域为。注意到，需用逐项微分法去掉一般项中分母的系数。令，则，当时，再令，则，所以，故，；所以例8 求级数的和。解法1： 考察幂级数，易知收敛域为，由得，从而。解法2： 。例9 将下列函数展开成的幂级数（1） ； （2）；解：（1）是有理函数，应将其化为幂函数与部分分式乘积的形式，再利用相应公式展开。易知收敛域为。（2）先对求导，得，利用的展开式展开，再对展开式逐项积分求解。因为所以。例10 求幂级数的收敛域与和函数（05年考研题）。解：因为所以幂级数的收敛域是，。例11 设，而，其中，求和。分析：此题不需要进行傅立叶展开，而是应用狄利克雷定理判别当和时，级数收敛于何值。解：由已知是在上的正弦级数，也是奇函数在上的傅立叶（正弦）级数。由狄利克雷定理，在的连续点处，；在的间断点处，。例12 将展成傅立叶级数。分析：由，易知函数在上连续，且有3个极值点，满足狄利克雷收敛定理条件，将以为周期做周期延拓后，直接求傅立叶系数。解：将以为周期做周期延拓，由为偶函数，得，因为在上连续且仅有三个极值点，所以由收敛性定理。例13 设在上可积，且是的傅立叶系数，试证对任意自然数，成立不等式。 分析：左边涉及到傅立叶级数前项的系数平方和，右边是的积分，故考察。证明：令，其中，则，利用三角函数系的正交性有，故，即。