刚体力学基础弹性体简介课件.ppt

第,2,页,共,38,页,刚体,一种理想模型,.,刚体内任意两质元间距离,在运动过程中保持不变,.,由无数个连续分布的质点组成的质点系,每个质点称为刚,体的一个质量元,.,每个质点都服从质点力学规律,.,刚体的运动,平动和转动,.,任何复杂的运动为两者,的叠加,.,4.1,刚体的基本运动形式,第,3,页,共,38,页,刚体的平动,刚体上任一给定直线,(,或任意二质点间的连,线,),在运动中空间方向始终不变而保持平行,.,刚体的转动,转动,刚体内各质元绕同一直线做圆周运动,.,定轴转动,整个转轴相对参考,系静止,.,定点转动,转轴上只有一点相,对参考系静止,转动方向不断变动,.,第,4,页,共,38,页,描述刚体转动的物理量,刚体定轴转动的特点,:,转动平面,:,定轴转动刚体上各质点的运动面,.,?,?,?,1.,转动平面垂直于转轴,.,2.,转动平面上各点均做圆周运动,角量相同,线量不同,.,3.,定轴转动刚体上各点的角速度矢量,的方,向均沿轴线。,?,?,d,?,角位移,:,角坐标,:,?,rad),(,角速度,:,t,d,d,?,?,?,方向右旋,),s,rad,(,1,?,?,角加速度,:,t,d,d,?,?,?,?,?,),s,rad,(,2,?,?,第,5,页,共,38,页,线速度与角速度之间的关系,:,r,v,?,?,?,?,?,?,v,?,n,2,d,d,d,d,d,d,e,r,e,r,t,r,r,t,t,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,v,?,和,?,是矢量,在,定轴转动中由于轴,的方位不变,故用,正负表示其方向,.,定轴转动中的基本关系式,:,t,t,d,d,),(,?,?,?,?,?,?,2,2,d,d,d,d,t,t,?,?,?,?,?,2,2,?,?,?,?,r,r,a,r,a,r,n,?,?,?,?,v,v,第,6,页,共,38,页,4.2,刚体定轴转动的转动动能,转动惯量,刚体转动动能,动能,:,2,2,2,2,1,2,1,?,i,i,i,i,r,m,m,?,v,刚体的总动能,:,?,?,2,2,2,2,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,i,i,i,i,k,r,m,r,m,E,?,m,i,z,i,r,?,i,v,?,2,2,1,?,J,E,k,?,转动惯量,:,单位,:,kg,?,m,2,?,?,?,2,i,i,r,m,J,第,7,页,共,38,页,转动惯量的物理意义,:,反映刚体转动惯性的量度,.,转动惯量的定义式,:,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,S,V,L,r,S,r,V,r,m,r,J,d,d,d,d,2,2,2,2,?,?,?,1.,刚体的总质量,(,同分布,M,m,J,M,J,m,).,2.,刚体质量分布,(,同,m,J,中空,J,实,).,3.,转轴的位置,.,影响,J,的因素,:,第,8,页,共,38,页,例题,1.,求一质量为,m,长为,l,的均匀细棒的转动惯量,.,(1),转轴通过棒的中心并与棒垂直,.,(2),轴通过棒的一端并与棒垂直,.,解,:,x,l,O,x,x,d,l,m,?,?,x,l,m,x,m,x,J,d,d,d,2,2,?,?,d,m,对转轴的转动惯量为,:,在棒上取质量元,长为,d,x,离轴,O,为,x,.,棒的线密度为,:,x,l,m,m,d,d,?,(1),解为,:,2,2,2,2,12,1,d,d,ml,x,x,l,m,J,J,l,l,?,?,?,?,?,?,2,2,0,3,1,d,ml,x,x,l,m,J,l,?,?,?,(2),解为,:,(,原点,O,在棒的左端点,),第,9,页,共,38,页,例题,2.,一质量为,m,半径为,R,的均匀圆盘,求通过盘中心并,与盘面垂直的轴的转动惯量,.,解：,o,r,d,r,R,r,r,S,m,d,2,d,d,?,?,?,?,?,?,m,r,J,d,2,?,?,r,r,d,2,3,?,?,?,R,r,r,J,0,3,d,2,?,2,4,2,1,2,mR,R,?,?,?,第,10,页,共,38,页,垂直于杆的轴通过杆的中心,2,12,1,ml,J,?,垂直于杆的轴通过杆的端点,2,3,1,ml,J,?,垂直于杆的轴通过杆的,1/4,处,2,48,7,ml,J,?,匀,质,直,杆,对,垂,直,于,杆,的,转,轴,的,转,动,惯,量,第,11,页,共,38,页,常见形状转动惯量,第,12,页,共,38,页,m,R,J,z,平行轴定理,若刚体对过质心的轴的转动惯量为,J,c,则刚体对与该轴,相距为,d,的平行轴,z,的转动惯量,J,z,是,:,2,md,J,J,c,z,?,?,J,c,2,2,1,mR,J,c,?,2,2,2,1,mR,mR,J,z,?,?,2,2,3,mR,?,第,13,页,共,38,页,挂钟摆锤的转动惯量,(,杆长为,l,质量,为,m,1,摆锤半径为,R,质量为,m,2,),:,?,?,2,2,2,2,2,1,2,2,1,3,1,R,l,m,R,m,l,m,md,J,J,c,?,?,?,?,?,?,挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动,的转动惯量,(,圆环质量为,m,半径为,R,):,2,2,2,2,2,mR,mR,mR,md,J,J,c,?,?,?,?,?,第,14,页,共,38,页,表征力对物体转动作用,称为,力矩,.,4.3,力矩的功,刚体定轴转动的动能定理,4.3.1,力矩,?,x,y,z,r,?,O,M,?,F,?,力,对参考点,O,的力矩,:,F,?,F,r,M,?,?,?,?,?,0,m),N,(,?,大小,:,?,sin,0,rF,M,?,力矩方向由,右手螺旋关系,确定,垂,直于,和,确定的平面,.,r,?,F,?,力,对轴的力矩,:,F,?,A,O,?,r,?,F,?,?,F,?,?,?,F,M,?,?,?,?,?,?,F,r,F,r,M,?,?,?,?,?,?,力,对轴,OA,的力矩,:,F,?,?,?,?,F,r,M,?,?,?,?,F,?,只有,能改变刚体的转动状态,.,第,15,页,共,38,页,4.3.2,力矩所做的功,?,?,?,d,d,d,d,r,F,s,F,r,F,A,?,?,?,?,?,?,?,d,d,M,A,?,?,力矩,:,o,r,?,v,?,F,?,x,?,F,?,r,?,d,?,d,r,F,M,?,?,力矩的功,:,?,?,2,1,d,?,?,?,M,A,?,?,?,2,1,d,?,?,?,i,M,A,合力矩的功,:,力矩功率,:,?,?,M,t,M,t,A,P,?,?,?,d,d,d,d,第,16,页,共,38,页,4.3.3,刚体定轴转动的动能定理,2,1,2,2,2,1,2,1,d,2,1,?,?,?,?,?,J,J,M,A,?,?,?,?,动能定理,刚体定轴转动的动能定理：,合外力矩和合内力矩对刚体所做的功等于刚体转动,动能的增量,k,E,A,d,d,?,1,2,k,k,E,E,A,A,?,?,?,?,?,?,?,内,外,第,17,页,共,38,页,例题,3:,一质量为,M,半径,R,的圆盘,盘上绕由细绳,一端挂,有质量为,m,的物体,.,问物体由静止下落高度,h,时,其速度为,多大？,mg,T,M,m,解,1:,2,0,2,2,1,2,1,?,?,?,J,J,TR,?,?,?,2,0,2,2,1,2,1,v,v,m,m,Th,mgh,?,?,?,?,?,?,R,h,?,R,v,?,2,0,0,2,1,0,0,MR,J,?,?,?,?,v,解得：,m,M,mgh,2,2,?,?,v,由动能定理,:,第,18,页,共,38,页,将地球、圆盘、物体作为一个系统,.,mgh,m,J,m,J,?,?,?,?,2,2,2,0,2,0,2,1,2,1,2,1,2,1,v,v,?,?,解,2:,0,?,外,M,?,机械能守恒,mg,T,M,m,?,?,?,R,h,?,R,v,?,2,0,0,2,1,0,0,MR,J,?,?,?,?,v,解得：,m,M,mgh,2,2,?,?,v,例题,3:,一质量为,M,半径,R,的圆盘,盘上绕由细绳,一端挂,有质量为,m,的物体,.,问物体由静止下落高度,h,时,其速度为,多大？,第,19,页,共,38,页,解,:,(,能量微分法,),以,A,B,C,地球,斜面为,系统,机械能守恒,.,0,sin,2,1,2,1,2,1,2,2,2,?,?,?,?,?,?,mgx,J,m,kx,v,对,t,求导,:,?,sin,),(,2,mg,a,R,J,m,kx,?,?,?,可得,:,J,mR,kxR,mgR,a,?,?,?,2,2,2,sin,?,下滑,x,时,:,沿斜面建立坐标,以,A,的初始,位置为,原点,.,(1),设原点为势能零点,.,O,x,?,R,m,k,例题,4.,已知,:,如图滑块质量为,m,滑轮半径为,R,转动惯量为,J,弹簧劲度系数为,k,斜面角度为,?,.,不计摩擦,.,当弹簧无形变时,将滑块由静止释放,.,求,(1),滑块下滑,x,时的加速度,;,(2),下滑的最大距离,.,第,20,页,共,38,页,得,0,sin,2,1,2,?,?,?,mgS,kS,k,mg,S,?,sin,2,?,O,x,?,R,m,k,例题,4.,已知,:,如图滑块质量为,m,滑轮半径为,R,转动惯量为,J,弹簧劲度系数为,k,斜面角度为,?,.,不计摩擦,.,当弹簧无形变时,将滑块由静止释放,.,求,(1),滑块下滑,x,时的加速度,;,(2),下滑的最大距离,.,解,:,(2),设滑块由静止释放沿斜面,下滑的最大距离为,S,则以,A,B,C,为系统,其机械能守恒,.,原点为势能零点,.,第,21,页,共,38,页,4.4,刚体的定轴转动定律,?,?,?,?,d,),2,1,d(,d,2,J,J,M,?,?,动能定理,k,E,A,d,d,?,?,?,?,t,d,d,?,t,J,t,M,d,d,d,d,?,?,?,?,?,J,M,?,刚体绕定轴的转动定律,刚体在作定轴转动时,刚体的角加速度与它所受到的,合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比,.,第,22,页,共,38,页,例题,5.,如图,一个质量为,m,的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动,.,假设定滑轮的质,量为,m,0,半径为,R,其转动惯量为,m,0,R,2,/2,滑轮轴光滑,.,试求该,物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系,.,解,:,由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律,:,m,0,m,R,T,?,W,?,对,m,:,ma,T,mg,?,?,(1),对,m,0,:,?,J,TR,?,(2),2,0,2,1,R,m,J,R,a,?,?,?,(3),联立,(1),(2),(3),解得,:,?,?,0,2,2,m,m,mg,a,?,?,恒矢量,与,时间无关,.,由初始条件,得,0,0,?,v,0,2,2,m,m,mgt,at,?,?,?,v,第,23,页,共,38,页,例题,6.,一半径为,R,质量为,m,的均匀圆盘平放在粗糙的水平,面上,.,若它的初始角速度为,?,0,绕中心,O,旋转,问经过多长时,间圆盘才停止,.(,设摩擦系数为,?,),o,R,d,r,r,解：,m,g,r,F,r,M,d,d,d,?,?,?,2,2,d,2,d,2,d,R,r,mr,r,r,R,m,m,?,?,?,?,2,2,d,2,d,R,r,gr,m,M,?,?,mgR,R,r,mgr,M,r,?,?,3,2,d,2,0,2,2,?,?,?,F,d,t,J,M,d,d,?,?,?,t,mR,mgR,d,d,2,1,3,2,2,?,?,?,?,?,?,d,4,3,d,g,R,t,?,?,?,?,?,0,0,0,d,4,3,d,?,?,?,g,R,t,t,g,R,t,?,?,4,3,0,?,?,第,24,页,共,38,页,解,:,平行轴定理,2,md,J,J,c,o,?,?,2,2,2,0,9,1,6,12,1,ml,l,m,ml,J,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(1),0,?,o,?,?,0,J,M,?,l,g,ml,mgl,J,M,2,3,9,6,2,0,?,?,?,?,转动惯量,:,O,B,A,C,质心,例题,7.,一质量为,m,长为,l,的均质细杆,转轴在,O,点,距,A,端,l/3.,今使棒从静止开始由水平位置绕,O,点转动,求,:,(1),水平位置,的角速度和角加速度,.,(2),垂直位置时的角速度和角加速度,.,第,25,页,共,38,页,例题,7.,一质量为,m,长为,l,的均质细杆,转轴在,O,点,距,A,端,l/3.,今使棒从静止开始由水平位置绕,O,点转动,求,:,(1),水平位置,的角速度和角加速度,.,(2),垂直位置时的角速度和角加速度,.,解,:,(2),t,J,M,d,d,?,?,?,?,?,?,?,d,d,9,1,d,d,9,1,cos,6,2,2,ml,t,ml,l,mg,?,?,?,?,?,?,d,cos,2,3,d,l,g,?,?,?,?,?,?,d,cos,2,3,d,2,0,0,?,?,?,l,g,l,g,3,?,?,l,g,l,g,2,3,sin,2,3,2,1,2,0,2,?,?,?,?,?,0,d,d,?,?,t,?,?,?,O,B,A,C,质心,第,26,页,共,38,页,4.5,刚体定轴转动的角动量定理,角动量守恒定律,4.5.1,角动量,冲量矩,角动量定理,由转动定律,t,J,J,M,d,d,?,?,?,?,?,?,?,角动量定理,称为,d,t,时间内刚体所受合外力矩的,冲量矩,.,t,M,d,?,?,?,t,L,t,J,d,d,d,d,?,?,?,?,?,角动量,1,1,2,2,1,2,2,1,d,?,?,?,?,?,?,?,J,J,L,L,t,M,t,t,?,?,?,?,?,?,刚体在,t,1,?,t,2,时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段,时间内,刚体角动量的增量,.,?,?,?,J,L,?,L,t,M,?,?,d,d,?,第,27,页,共,38,页,4.5.2,角动量守恒定律,t,L,M,z,z,d,d,?,?,?,时,当,0,:,?,z,M,?,恒矢量,?,z,L,?,角动量守恒定律,:,刚体所受合外力矩为零,则刚体的角动量保持不变,.,1,1,2,2,?,?,?,?,J,J,?,),0,(,?,z,M,?,第,28,页,共,38,页,例题,8.,一半径为,R,质量为,M,的实心橡胶轮以角速度,?,0,绕轴,转动,另一半径为,r,质量为,m,的小橡胶轮静止,.,现使小轮与,大轮接触,.,问,:,两个轮子最后的角速度为多少,?,F,F,r,?,M,R,m,r,o,?,解,:,由角动量定理,:,0,2,2,2,1,2,1,?,?,MR,MR,FRt,R,?,?,?,0,2,1,2,?,?,r,mr,rt,F,?,R,r,F,F,R,r,?,?,?,?,m,M,M,R,?,?,0,?,?,r,m,M,R,M,r,),(,0,?,?,?,?,第,29,页,共,38,页,物体系的角动量守恒,对有几个物体或质点构成的系统,若整个系统所受对同,一转轴的,合外力矩为零,则整个物体系对该转轴的总角动,量守恒,.,恒矢量,?,?,?,?,?,i,i,i,i,m,r,J,v,?,?,?,?,第,30,页,共,38,页,例题,9.,一质量为,M,半径为,R,的转台,可绕中心轴转动,.,设质,量为,m,的人站在台的边缘上,.,初始时人、台都静止,.,若人相,对于台沿边缘奔跑一周,问,:,相对于地面而言,人,和台各,转,过了多少角度,?,?,?,?,?,2,:,mR,J,人,解,:,人和盘组成系统,.,人走动时系统对,轴的合外力矩为,0,因此系统角动量守恒,.,?,2,2,1,:,mR,J,?,盘,?,?,?,?,?,?,J,J,0,:,角动量守恒,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,盘地,人盘,人地,m,M,m,2,2,?,?,?,?,t,m,M,m,t,d,d,2,2,d,d,?,?,?,?,m,M,m,2,4,?,?,?,?,?,?,?,?,2,0,0,d,2,2,d,?,?,?,m,M,m,第,31,页,共,38,页,例题,9.,一质量为,M,半径为,R,的转台,可绕中心轴转动,.,设质,量为,m,的人站在台的边缘上,.,初始时人、台都静止,.,若人相,对于台沿边缘奔跑一周,问,:,相对于地面而言,人和,台,各,转,过了多少角度,?,?,?,?,?,2,:,mR,J,人,?,2,2,1,:,mR,J,?,盘,?,?,?,?,?,?,J,J,0,:,角动量守恒,?,?,m,M,2,?,?,?,?,?,m,M,m,m,M,2,4,0,0,d,2,d,?,?,?,?,m,M,M,2,2,?,?,?,?,?,第,32,页,共,38,页,4.6,固体的弹性,刚体是理想模型,实际物体受外力作用时形状或多或,少地会发生变化,.,若外力不很大时物体形状变化也不大,去掉外力后物,体完全恢复到原来的形状,称这样的物体为,变形体,物体,相应的形变为,弹性形变,.,若作用在物体上的外力很大,引起物体的形变也很大,除掉外力后物体就不能完全恢复到原样,这种特性称之为,物体的塑性,.,物质是由大量的分子组成的,弹性来源于分子间的相互,作用力,.,从宏观上看可以把整个物体看成由原子、分子,组成的连续介质,这时只需研究这种连续介质体受力与,整体形变的关系,不必考虑物体中每个分子受力的行为,.,第,33,页,共,38,页,?,应力,假想在物体内部任取一平面,?,S,(,面元的,取向可以是任意的,),此平面将物体分开为,两部份,若分布在此截面两边的内力变化,为,?,F,与,-,?,F,，则定义平面上的,应力,为,F,?,S,?,S,F,S,?,?,?,?,?,0,lim,F,F,A,对实际物体来说,如果受到的是拉力或压力,则假,想平面的法线取为沿外力的方向,把上式定义的应,力称为,张应力,或,正应力,当外力是压力时,(,F,=,-,F,),也,称为,压应力,.,图示中假想平面,A,两边内力的变化,故,张应力的大小就是,A,F,?,?,?,第,34,页,共,38,页,F,F,A,若作用在物体上的外力是力偶,则,假想平面,A,取为与外力平行,定义的,应力称为,切应力,或,剪应力,.,在图中假,想平面两边内力的变化,所以假想平,面上剪应力的大小为,A,F,?,/,?,剪应力与张应力的差别只是应力在平行于假想平面还,是在垂直于假想平面上投影,但它们的作用效果完全不同,.,第,35,页,共,38,页,?,应变,当物体受外力作用时其长度、形状及体积都可能发生变,化,这种变化与物体原来的长度、形状及体积之比称为,应,变,.,每一种应力都有一对应的应变,张应力作用,引起的应变称为,张应变,.,设有一柱状物体,原长度为,L,0,施以拉力,F,后物体的长度变为,L,这时柱体的伸长量为,L,L,0,由定义,0,0,0,L,L,L,L,L,?,?,?,?,张应变,第,36,页,共,38,页,物体受剪应力作用产生的应变叫做,切应变,.,设物体为矩形物体,图中虚线,表示物体原来的形状,受剪应力后物体,的形状变成实线所示的形状,.,剪应力产,生的应变大小可用角形变,?,确定,在弹,性范围内,?,实际很小,可,?,x,用和,L,0,的比,值表示,(,以弧度为单位,).,剪应变也可以,看成是沿物体对角线方向的拉伸与压,缩形变,.,定义,F,F,x,?,?,0,L,0,L,x,?,?,?,?,切应变,立方体受各个方向的压力,F,作用时,体积发生变化,相应,的形变称,体应变,.,即,0,V,V,?,?,体应变,第,37,页,共,38,页,?,胡克定律,在弹性范围内任一弹性体内的应力和应变成正比,比例,系数为弹性体的弹性模量,这一结论称为,胡克定律,.,物体单纯受张应力或压应力作用时,在正比极限范围内,其应力与应变的比值称为,杨氏模量,.,?,?,?,E,剪切的情况下,切应力与切应变的比值称为,切变模量,.,?,?,?,G,体变的情况下,压强与体应变的比值称为,体变模量,.,?,P,K,?,?,