毕业设计（论文）关于矩阵乘积的秩的讨论.doc

     毕业论文（设计） 题 目 关于矩阵乘积的秩的讨论 学生姓名 学号 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数应1102班 指导教师 _ _ _ _ 完成地点 陕西理工学院 _ _2015年 5月25日关于矩阵乘积的秩的讨论 （陕理工数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1102班,陕西 汉中 723000） 指导老师:摘要 本论文主要研究矩阵乘积的秩,它的秩可以利用相关矩阵的秩的不等式表示,进一步给出有条件的等式表示,根据定理总结出一个不需要计算两个矩阵的乘积，而直接求其乘积的秩的初等变换的方式.本文利用所讨论的矩阵构成的分块矩阵的秩,表示矩阵乘积的秩.根据已掌握的知识对矩阵乘积的秩的相关结论加以证明和推广,得到一些有价值的结论. 关键词 矩阵;矩阵乘积;分块矩阵;秩;基础解系The discussion of the product of matrix rankXi Chunli(Grade 11, class 4,Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics and computer science depart ,Shaanxi institute of technology , Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Cheng Xiaojing Abstract: This paper researched of the product of matrix rank mainly, it can take advantage of the rank of the matrix related to the inequality to said, The conditional equation expressed further, according to the theorem, summarizing up the rank of the product of matrix elementary transformation way that don't need to compute the product of two matrices, based on the rank of partitioned matrix which is composed of correlation matrix said product of matrix rank. On the basis of having the knowledge, the relevant conclusions of the rank of matrix multiplication is proved and the promotion, then, we can get some valuable conclusions. Key words: Matrix; The product of matrix; Partitioning matrix; Rank; Basic solution system 1引言矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成,1801年德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体.1844年,德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积1850年,英国数学家西尔维斯特首先使用了矩阵一词1858年,英国数学家凯莱发表关于矩阵理论的研究报告他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究,并在这个主题上首先发表了一系列的文章,因而被认为是矩阵论的创立者,他给出了现在通用的一系列定义,如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和,一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的,但一般不可交换,且矩阵只能用矩阵去右乘1854年,法国数学家埃米尔特使用了“正交矩阵”这一术语,但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝乌斯发表1879年,费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念 2.1 矩阵概念的引入2行列式的概念是由研究线性方程组的解的问题引出的,同样矩阵的概念也是由研究线性方程组引出的.但不同之处是,矩阵研究的是线性方程组的一般形式,不要求未知数的个数与方程个数相同,所以矩阵比行列式的应用更广泛.线性方程组的一般形式为其中, 表示未知数的个数, 表示方程的个数.把未知数的系数项和常数项分离出来按原来的次序可以排成一个矩形数表 这个矩形数表可以简单明确地把线性方程组的特征表示出来.在实际求解过程中,线性方程组的解是由未知数前面的系数及其常数项决定的.因此,通过这个矩形数表可以解决给定方程组是否有解,以及如何求解等问题.这样的矩形数表在实际问题中应用非常广泛,下面来看一个实际例子.例1 某工厂生产四种产品需用三种材料,每生产单位量的一种产品所消耗的一种材料的定额称为消耗定额,如下表2.1.1所示,则消耗定额（单位:万元）可以用一个矩形表格表示为表2.1.1定额材料产品1231234301520252025201525452022也可以用矩形数表简明地表示为把这类矩形数表作为一个研究对象,就得到矩阵的概念.2.2矩阵乘积的运算1矩阵的加法和数乘运算都比较容易理解,但矩阵的乘法很独特,用下图加以说明. 0 图2.2.1 例2 设有三个坐标系,（图2.2.1）,其中是由旋转角得到的,是由旋转角得到的.设点在三个坐标系下的坐标依次是,.由解析几何中的转轴公式,得 (2.2.1) (2.2.2） 把（2.2.2）代入（2.2.1）,得 （2.2.3） 由（2.2.1）中的系数可作一个矩阵,由（2.2.2）中的系数可作一个矩阵,由（2.2.3）中的系数可作一个矩阵.可以看出,矩阵的元恰好是的第行元素与的第列对应元素乘积之和.因此有如下定义定义1 6 设 , ,那么矩阵 ,其中 . (,) 称为与 的乘积,记为. （2.2.4） 由矩阵乘法的定义可知,矩阵与矩阵的乘积的第行第列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵第列的对应元素乘积的和.在乘积的定义中,我们要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等.矩阵乘积的运算法则 乘法结合律 若,则. 乘法左分配律 若和是两个矩阵,且是一个矩阵,则 . 乘法右分配律 若是一个矩阵,并且和是两个矩阵, 则. 若是一个标量,并且和是两个矩阵,则. 证明 设阶矩阵为, , ,. 由矩阵的乘法得 故对任意有 故.证明 设=,=可得= = , = ,所以2.3矩阵的秩矩阵秩的概念是从线性方程组中总结出来的,给出个元一次方程组,其中有些方程可以用别的方程运算得到,所以这些方程去掉后不影响方程的通解性.这样对于个元一次方程组成的方程组就可想办法去掉那些可用其他方程表示的方程,剩下相互独立的方程,比如用高斯消元法来去掉,而剩下的那些独立的方程的个数就是这个方程组的秩,这也是秩的几何意义.定义2 设是矩阵,在中位于任意选定的行列交点上的 个元素,按原来的次序组成的阶行列式,称为的一个阶子式,其中. 定义3 矩阵中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩,记为或. 2.4矩阵乘积的秩在线性代数和矩阵论中,是一个基本的概念.矩阵的秩是矩阵最重要的数字特征之一.它最早是由Sylvester于1861年引进的.有关矩阵的问题往往牵涉到比较复杂的技巧,处理起来通常比较困难.本文将对若干矩阵乘积的秩展开讨论.本文用表示矩阵的秩.设有个矩阵,而且它们可以依顺序相乘.通常乘积 的很难直接计算出来.因此,给出其估计的方法,假设为2的情形.定理 1 6 设是数域上矩阵,是数域上矩阵,于是,即乘积的秩不超过各因子的秩.证明 为了证明(2.2.4),只需要证明,同时,现在分别证明这两个不等式. ,令表示的行向量,表示的行向量.由计算可知,的第个分量和的第个分量都等于,因而,即矩阵的行向量组可经的行向量组线性表示,所以的秩不能超过的秩,也就是说,同样,令表示的列向量,表示 的列向量.由计算可知, ,这个式子表明,矩阵的列向量组可以经矩阵的列向量组线性表出,因而前者的秩不可能超过后者的秩,这就是说,用数学归纳法,定理1不难推广到多个因子的情形,即有推论 1 如果,那么设是齐次线性方程组的一个基础解系.记=表示以为列向量所构成的矩阵.定理2 ,其中为 的行数.证明 设,是 矩阵,那么元齐次线性方程组的基础解系含有 个解向量.设它的一个基础解系为 (1) 记的第 列的分量为 则 = 若,则,这时全是齐次方程组的解,于是 ,从而 若,不妨设的列向量组的极大无关组为 (2) 那么 线性无关 (3) 事实上,若存在数,使得 (4)用 左乘上式两端,由于(1) 是齐次方程组的基础解系,则有 (5)因(2)线性无关,所以 代入(4) 式得 再由(1)线性无关得故(3)线性无关.又因为,可由(2)线性表出,从而得,即是齐次线性方程在的解.于是可由(1) 线性表出,因而可由(3) 线性表出故 9 所以, .由于,因而可得推论2 , 是的行数.推论3.3 关于矩阵乘积的秩的讨论在高等代数中对于矩阵乘积的秩有这样的结论“”,下面我们将要讨论:以上的不等式在什么时候取得等号,以及我们对乘积的秩的一些性质作出一些延伸.在代数中,一个矩阵的列秩是的线性无关的纵列的极大数目.类似地,行秩是的线性无关的横行的极大数目.矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵的秩.通常表示为或.矩阵的秩最大为和中的较小者,表示为.有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的.假定是数域上的矩阵并描述了上述线性映射.（1） 只有零矩阵有秩0.（2） 的秩最大为 .（3） 是单射,当且仅当有秩（在这种情况下,我们称有“满列秩”）.（4） 是满射,当且仅当有秩（在这种情况下,我们称有“满行秩”）. （5） 在方块矩阵 (就是)的情况下,则是可逆的,当且仅当有秩.（6） 如果是任何矩阵,则的秩最大为的秩和的秩的小者.即.推广到若干个矩阵的情况,就是 可以看出,等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说）对应的线性映射不减少空间的维度,即是单射,这时是满秩的.于是有以下性质（1） 如果是秩为的矩阵,则有同一样的秩.（2） 如果是秩为的矩阵,则有同一样的秩.（3） 的秩等于,当且仅当存在一个可逆矩阵和一个可逆的 矩阵使得=,这里的表示单位矩阵.推论4 设是矩阵, 为矩阵,则证明 令, 对施行初等变换( 行变换仅对施行) ,化为,其中是列满秩矩阵,而,于是,从而, 2.1 矩阵乘积的秩的两种计算方式及优劣比较(1) 矩阵乘积的秩的两种计算方式方法一 不需要计算两个矩阵的乘积求其乘积的秩的初等变换.由推论4可以得出如下步骤计算两个矩阵的乘积的秩第一步 写出矩阵第二步 对施行初等变换,求出的秩.第三步 求的秩,. 方法二 求矩阵乘积的非零子式的最高阶数由定义知,矩阵的秩为矩阵中存在的非零子式的最高阶数.若一个矩阵乘积的秩为等价于矩阵中有一个级子式不为,同时所有的级子式全为.因此,可以得到计算矩阵乘积的秩的一种方法,若存在级子式不为,而所有的级子式（如果有的话）全为,那么矩阵乘积的秩为. 例3 设,求与 的乘积的秩.解 方法一令 =,对作初等变换,化为 ,则 ,即方法二 令,则 因为的一个二阶子式,所以矩阵的秩大于等于2,再取的一个三阶子式,所以.运用matlab编程得:A=0 1;2 3;1 2B=1 3 2;0 2 2k=rank(A*B)A = 0 1 2 3 1 2B = 1 3 2 0 2 2k = 2(2) 两种方式的优劣比较对于两种方式,初等变换的逻辑性不强,没有层次感,而求阶子式,直接明了容易理解.当矩阵阶数小于等于3时,两种方式相差无几,计算量与难度也相差不大.而当阶数大于3时,初等变换法明显优于求矩阵的阶子式,而且还免去了求两个矩阵的乘积,并伴随阶数的增加，两种方式的难度差距也随之增大.对于阶矩阵,若行列式不为零,它的阶子式有种可能,阶子式有种可能,其他子式的情况更多,因此用这种方式的计算量比较大,相对的正确率也比较低,而用初等变换的方法步骤简单明了,中间过程较少,所以计算量较小,出错的可能性也低.因此,求阶子式的方法有局限性,相对而言初等变换的方法优于求非零子式最高阶数的方法.3.2关于矩阵乘积的秩的一些不等式及其应用 定理3.2.19（Sylvester不等式）设为矩阵,为矩阵,则证明（利用分块矩阵证明）由于 ,所以 ,即 ,移项得到 .推论3.2.1 若矩阵与为矩阵,且,则.定理3.2.2 （Frobenious不等式） 设、依次为 、 、 型矩阵,则 . 证明 因为 ,则 移项得到 .性质3.2.1 设 、为阶矩阵,则.证明 因为 =,得到 ,所以 .性质3.2.2 若 、为阶矩阵,则.证明 因为 =,所以 .例4 设是实数域上的矩阵,则.证明 设是的任意一个解,则.从而.于是也是的一个解.设是的任意一个解,则.从而,即设= .则从. 得.由于是实数域上的矩阵,因此都是实数,从而由上面的式子得.于是=0.因此是的一个解. 综上所述与同解,于是,由此得出.从这个结论得出=.4 总结本文通过具体实例引出矩阵,给出了矩阵乘积的定义,寻找不同于课本的求解矩阵的秩的方法,同时对几个有关矩阵秩的结论给出与一般教材中不同的证明方式.参考文献1张禾瑞,郝鈵新.高等代数M.北京:高等教育出版社,2008.2北京大学数学系.高等代数M.北京:人民教育出版社,2006.3姚慕生,吴泉水.高等代数学M.第二版.上海:复旦大学出版社,2008.4吴元生.对增广矩阵同时使用行、列初等变换解线性方程组J.数学通报,2009,10(5):2021.5靳全勤.初等变换的一个应用: 矩阵的满秩分解J.大学数学,2009,25(5):195197.6北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M .北京:高等教育出版社,1988.174-209.7王松桂,贾忠贞.矩阵论中的不等式M.合肥:安徽教育出版社,1994.58-63.8李书超.一类矩阵秩的不等式及其推广J.武汉科技大学学报,2004,27(1):96-98.9王廷明.关于矩阵的和与乘积秩的分块矩阵表示J.枣庄学院学报,2003,20(5):33-36.10于海燕,刘迎东.矩阵乘积行列式性质的推广J.北京交通大学学报,2006,30(3):100-103.11陈永林.广义逆矩阵的理论与方法M.南京:南京师范大学出版社,2005.12袁玩贵,廖祖华,邵益新.权为可逆阵的加权广义逆矩阵的几个恒等式J.南京师大学报:自然科学版,2010,9(3):22 -25.