毕业设计复合材料热变形的数值模拟.doc

编号 毕业设计题 目复合材料热变形的数值模拟学生姓名学 号学 院专 业飞行器设计与工程班 级指导教师二一年六月 本科毕业设计（论文）诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）（题目：复合材料热变形的数值模拟）是在导师的指导下本人独立完成的。尽本人所知，除了毕业设计（论文）中特别加以标注引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。作者签名： 年 月 日 （学号）：复合材料热变形的数值模拟摘 要本文采用细观有限元模型计算了纤维增强复合材料的热膨胀系数以及细观失配应力，并研究了基体粘弹性对复合材料热膨胀和热失配应力的影响。首先用Msc.PATRANNASTRAN软件建立了单向纤维的细观单胞模型，计算出单向纤维复合材料在不同纤维体积分数时的热膨胀系数和热失配应力，并与理论结果进行了比较，在此基础上对理论模型进行了改进。随后在模型中引入粘弹性，研究了基体粘弹性对单向纤维模型热膨胀系数的影响。在此基础上计算了对称正交复合材料的热膨胀系数并模拟了非对称正交模型的降温过程。最后建立了纤维非均匀排布的细观有限元模型，初步研究了纤维排布方式对复合材料热胀性能的影响。关键词：复合材料，微、细观力学，RVE模型，周期性边界条件，热膨胀系数，粘弹性Numerical simulation of thermal deformation of composite materialsAbstractMeso finite element models were employed for analysis of thermal expansion coefficient and meso-scale mismatch stress of fiber-reinforced composites. The effects of matrix viscoelasticity on thermal expansion and meso-scale thermal mismatch stress in composites were also evaluated in this thesis. Firstly, a meso-scale cell model of unindirectional fiber composite was established and based upon it the thermal expansion coefficient and thermal mismatch stress with various fiber volume fraction were calculated via Msc. Patran/Nastran package. The results were used to improve the theoretical model. Secondly, the viscoelasticity was introduced in resin matrix material and its effect on the overall thermal expansion of unidirectional fiber composites were investigated . thirdly, the thermal expansion coefficient of symmetric orthogonal composite was calculated and the cooling process of non-symmetric orthogonal composite was simulated. Finally, through modeling unit cells with random fiber arrangement, the effects of the fiber arrangement on the thermal properties of composites were studied.Key Words：composite materials; micro and meso mechanics; RVE model; periodical boundary condition; thermal expansion coefficient；viscoelastic目 录摘 要. Abstract. 第一章 绪论.1 1.1 引言.1 1.2 复合材料热属性研究现状.2 第二章 单向纤维模型的热膨胀系数以及失配应力.3 2.1 引言.3 2.2 单向纤维复合材料热性能的理论模型.3 2.2.1 单向纤维复合材料理论模型的建立.3 2.2.2 理论模型热膨胀系数的计算.4 2.2.3 单向纤维复合材料热失配应力的预测.6 2.3 代表性体积单元的统一周期性边界条件.7 2.4 单向纤维复合材料细观有限元模型以及热膨胀系数和热失配应力计算. . .9 2.5 理论和数值方法结果的比较. . . . . .10 2.6 垂直纤维方向热膨胀系数理论模型的修正.12 2.7 基体粘弹性对热性能的影响. . .142.8 小结.16第三章 正交铺层复合材料的热性能分析.18 3.1 引言.18 3.2 对称正交复合材料的热膨胀系数.18 3.3 基体粘弹性对正交铺层复合材料热性能的影响.20 3.4 非对称正交铺层复合材料降温收缩过程的模拟.22 3.5 非对称正交铺层复合材料降温收缩弯曲的理论解.253.6 小结.27第四章 不同纤维排布方式复合材料热性能研究.284.1 引言.284.2 六边形纤维排布方式模型的热膨胀性能.284.3 纤维随机排列模型的热膨胀性能.304.4 小结.32第五章 总结与展望.335.1 总结.335.2 工作展望.34参考文献.35致谢.36第一章 绪 论1.1 引言复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理和化学方法在宏观尺度上组成的具有新性能的材料。一般复合材料的性能优于其组分材料的性能，并且有些性能是原来组分材料所没有的，复合材料改善了组分材料的刚度、强度、热学等性能。根据复合材料中增强材料的几何形状，复合材料可以分为颗粒复合材料、纤维增强复合材料、层合复合材料三大类。本文主要研究纤维增强复合材料的热属性。与复合材料的刚度相比，复合材料成形过程中的变形更受关注，而复合材料成形时变形量的大小又受到热失配应力和热膨胀系数的影响，因此纤维和基体对成形后复合材料的热失配应力和热膨胀系数的影响成为研究的重点。纤维增强复合材料的弹性性能和热膨胀系数及热失配应力等取决于织物的细观结构，采用细观力学的分析方法，预测纤维增强复合材料的细观结构形式对其宏观性能的影响，是实现其性能优化的重要基础。热膨胀是所有材料的最基本特性之一，作为实现航空航天器结构和功能的重要材料，复合材料的热膨胀性能研究非常重要。在一定温度条件下，热膨胀将导致结构变形，从而产生内应力，过大的热变形可能致使结构失效，使航空航天器无法正常工作。对于复合材料中的残余热应力以及热载荷应力的分析，热膨胀系数都是首先要面对的问题。由于基体树脂具有粘弹性性能，使得树脂基复合材料在工作环境下的粘弹性性能可能表现得非常明显。由于粘弹性的存在，复合材料中会有残余应力的松弛和树脂基体的蠕变。所以在本文中还将考虑粘弹性对热膨胀系数的影响。 本文的理论部分采用细观力学分析方法。它从细观角度分析组分材料之间的相互作用来研究复合材料的物理力学性能。它以纤维和基体作为基本单元，把纤维和基体分别看成是各向同性的均匀材料（有的纤维属横观各向同性材料），根据材料纤维的几何形状和布置形式、纤维和基体的力学性能、纤维和基体之间的相互作用（有时考虑纤维和基体之间界面的作用）等条件来分析复合材料的宏观物理力学性能。这种分析方法比较精细但相当复杂，目前还只能分析单层材料在简单应力状态下的一些基本力学性质。以细观力学分析复合材料性质，在复合材料力学的学科范围内是不可缺少的重要组成部分，它对研究材料破坏机理，提高复合材料性能，进行复合材料和结构设计将起很大作用。本文采用MSC.patran软件进行建模，abaqus和MSC.nastran软件进行计算分析，MSC.patran是一个集成的并行框架式有限元前后处理及分析仿真系统。MSC.patran最早由美国宇航局（NASA）倡导开发，是工业领域最著名的并行框架式有限元前后处理及分析系统，其开放式、多功能的体系结构可将工程设计、工程分析、结果评估、用户化设计和交互图形界面集于一身，构成一个完整的CAE集成环境。abaqus是一套功能强大的基于有限元法的工程模拟软件，其解决问题的范围从相对简单的线性分析到最富有挑战性的非线性模拟问题。abaqus具备十分丰富的、可模拟任意实际形状的单元库。并与之对应拥有各种类型的材料模型库，可以模拟大多数典型工程材料的性能，其中包括金属、橡胶、高分子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩弹性的泡沫材料以及岩石和土这样的地质材料。作为通用的模拟分析工具，abaqus不仅能解决结构分析中的问题（应力/位移），还能模拟和研究各种领域中的问题，如热传导、质量扩散、电子元器件的热控制（热点偶和分析）、声学分析、土壤力学分析（渗流应力偶和分析）和压电介质力学分析。1.2 复合材料热属性研究现状 随着复合材料在高温以及超高温环境下的广泛应用，其高温下材料的热属性的确定倍受国内外研究者的关注。国内在此方面的研究还较少，且主要用试验方法来测定。但是由于高温试验成本过高以及复合材料不同于金属材料，其在可设计的基础上所表现出来的多样性的特点，这都限制了试验方法的应用。而根据复合材料的组分性能及其微观结构预测复合材料的热属性的细观力学方法成为现今国外研究者的主要手段。Soheil1建立了三维编织复合材料的RVE模型，结合细观有限元法预测热膨胀系数；Subodh2运用细观力学解析方法确定了CSiC复合材料的热属性；Johar3建立了二维平纹编织陶瓷基复合材料的RVE有限元模型，计算了其热传导率；Jim等4建立了表征编织复合材料的由4个子单元组合的RVE单元，并在理论上推导了高温热载下的各向异性的材料属性的表达式。孙志刚等5研究了细观结构对复合材料热膨胀系数的影响。石连升等人6建立了预报复合材料热膨胀系数的细观力学模型。熊璇等人7用细观力学法预测了单向复合材料的有效热膨胀系数。综上所述，复合材料细观力学的分析方法可分为理论解析法和有限元法两种。 第二章 单向纤维模型的热膨胀系数以及失配应力2.1 引言 热膨胀是所有材料的最基本特性之一，作为实现航空航天器结构和功能的重要材料，复合材料的热膨胀性能研究非常重要。在一定温度条件下，热膨胀将导致结构变形，从而产生内应力，过大的热变形可能致使结构失效，使航空航天器无法正常工作。对于复合材料中的残余热应力以及热载荷应力的分析，热膨胀系数都是首先要面对的问题。本章将以最基本的单向纤维模型为对象，根据复合材料细观力学的基本方程对其轴向以及横向的热膨胀系数和热失配应力的计算公式进行推导；并利用通用有限元软件MSCPATRANNASTRAN和abaqus建RVE(Representative Volume Element：代表性特征体积元)，对其进行热分析来求得相应的热膨胀系数及失配应力。通过求解算例，对以上两种方法进行比较，并且对理论模型进行改进。最后，通过在RVE模型中加入粘弹性，得到纤维束热膨胀系数及失配应力受材料粘弹性的影响情况。2.2 单向纤维复合材料热性能的理论模型2.2.1 单向纤维复合材料理论模型的建立单向纤维增强的复合材料（如图2.1），由其横截面（如图2.2）可以认为纤维在横截面上是按照正方形周期分布的，那么我们可以得到下面的简单模型：图2.1 单向纤维增强复合材料 图2.2 单向纤维增强复合材料横截面图下图为单向纤维增强复合材料的理论模型和纤维的排布方式图：图2.3 纤维按照正方形分布 图2.4 单向纤维理论模型2.2.2 理论模型热膨胀系数的计算 由复合材料力学8，取代表性体积单元如图2.5所示，假设纤维和基体都是各向同性的，在无外力作用下，有均匀温度变化T，因纤维和基体膨胀系数和不同，两者自由膨胀后纵向伸长不同，但因粘结成一体，不能自由伸缩，具有相同纵向伸长(为单元长)。纤维和基体中产生内应力，内应力消除了纤维和基体不同膨胀造成的伸长差。 （a） （b） （c） 图2.5 代表性体积单元 （a）代表性体积单元；（b）分别自由膨胀；（c）实际变形在1方向，由于无外力作用，静力平衡条件为 （2-1）得 （2-2）由变形条件 （2-3）及物理条件 （2-4） （2-5） (2-6)可得 (2-7)由平衡条件和上式联解，再代入物理条件得 (2-8)用同一模型，在2方向有物理方程为 (2-9) (2-10) (2-11)变形条件为 (2-12)利用推导公式用的关系式，最后得 (2-13)其中，和为复合材料中纤维和基体的体积分数，和为纤维和基体的热膨胀系数，和为纤维和基体的泊松比，和为纤维和基体的弹性模量。本文讨论的是玻璃纤维/树脂集体复合材料，材料参数取为： =72GPa，=0.2，=2.75GPa，=0.35，=将数据代入和的计算公式，得到结果如下表： 表2.1 理论模型下不同纤维体积含量下单向纤维模型的热膨胀系数40%50%60%70%纵向（）6.8976.2885.8695.564横向（）17.315.513.611.52.2.3单向纤维复合材料热失配应力的预测将此问题考虑为一个平面应变问题，化简为下图2.6所示的理论模型：一个无限长的带孔圆柱体，圆柱体的外径为R，内孔半径为r，孔内填充有一根纤维，半径为r，带孔长圆柱体和纤维都受热膨胀，而热膨胀系数不同，引起热失配应力，设单独存在时，纤维沿径向伸长了，带孔基体沿径向伸长了。 （a） （b） （c）图2.6 求单向纤维增强复合材料热失配应力的理论模型（a）理论模型 （b）纤维模型 （c）基体模型假设温度从120降到20，则=-100。若基体和纤维都自由收缩，则有： (2-14) (2-15)由于纤维和基体粘连在一起，而和不等，则在纤维和基体的界面上会产生热失配应力,如图2.6所示。在的作用下纤维和基体会发生变形，但纤维和基体仍要保持接触，所以有： (2-16)联立上面三式求得： (2-17)取R=1，根据纤维体积分数的不同得到不同的r，带入上式可以求出不同纤维体积分数的热失配应力，结果如下表所示：表2.2 理论模型下不同纤维体积分数的热失配应力40%50%60%70%0.6320.7070.7750.837/10Pa0.380.310.240.182.3 代表性体积单元的统一周期性边界条件有限元法是解决细观力学问题的主要数值模拟方法，其优势在于可以描述更为精确的细观几何结构和更为复杂的力学行为。由于理论模型没有考虑到各单元之间的相互影响以及接触面上的剪切载荷，所以下面将用细观有限元方法计算胞元的热膨胀系数和热失配应力。细观有限元方法通常以建立胞元模型为基础，纤维增强复合材料的细观结构是周期分布的，它的宏观结构可以看成是由许多细观结构相同的胞元按照周期排布堆砌而成的。在材料内部，这些胞元中的细观位移和细观应力都是类似的，因此可以用其中一个胞元的性质来代表其他胞元的性质，也就是说可以代表整块材料的性质，因此通过对胞元的分析可以预测材料所有的细观和宏观的力学性能。胞元的选取不仅要满足细观结构上的周期和连续性，在它的边界上，还应该同时满足位移和应力的连续性和周期性条件。因此，胞元模型边界条件的合理选取，是能否得到合理结果的重要因素。 本文采用了 Xia 9等人提出周期性边界条件，周期胞元中的位移场可分解为平均位移和局部位移的叠加： ， (2-18)其中为平均应变，故上式右端第一相表示的是平均位移场，在胞元中是产量；为局部位移，是周期分布的，是未知的，需要通过胞元分析得到。在胞元的一对平行相对的表面上，位移分别可写为： ， (2-19)指数“”表示沿着轴正向，“”表示沿着轴负向。这对表面上位移的差值为： (2-20)上式就是胞元周期性边界条件的统一写法，表示胞元的一对平行相对的表面在变形之后仍然保持平行。在一位移法为基础的有限元分析中，该条件能保证胞元的位移和应力在边界上均连续。胞元上的平均应力可以通过平均胞元中每一点的局部应力得到： (2-21)其中V为胞元体积。还可以利用高斯公式积分胞元的面力得到平均应力： (2-22) 上式中S为胞元的表面积，为表面单位外法线的坐标投影分量。代人周期性边界条件，上式可以表示为： (2-23)2.4 单向纤维复合材料细观有限元模型以及热膨胀系数和热失配应力计算 在patran中建立单向纤维模型（如图2.7），并划分有限元网格（如图2.8），在网格中加上统一的周期性边界条件。 图2.7 单纤维模型 图2.8 单纤维模型的有限元网格在结构分析模式下，设定模型初始温度为120°C，加入周期边界条件，再给整个单元加上20°C的均匀温度场，在RVE模型主节点加对应MPC的铰支边界条件，计算由于温度变化引起的结构变形。计算后得出的位移云图如图2.9和图2.10所示：图2.9 沿纤维方向位移云图 图2.10 垂直纤维方向位移云图从图中可以看出，由于MPC条件的约束，模型沿纤维方向的位移在垂直于纤维方向是均匀分布的。由于在RVE的边界上位移是均匀的，所以相对的两个表面上位移之差即为RVE在这个方向上的变形量，从而可以求出该方向上单向纤维模型的热膨胀系数。改变模型中纤维的体积分数可以求出热膨胀系数随纤维体积分数的变化关系。纤维和基体的参考温度均为120°C。 表2.3 有限元模型下不同纤维体积分数的RVE的热膨胀系数40%50%60%70%纵向（）7.116.486.045.74横向（）30.0025.5020.8115.68下图为RVE的最大主应力云图:图2.11 单向纤维模型最大主应力云图由于在RVE上的温度为均匀的稳态分布。从RVE整体观察：加MPC约束，基体和纤维的热膨胀行为受到限制，导致RVE体四周的热应力偏大。而从各组分观察：纤维中产生压应力，而基体中产生拉应力。这种纤维受压，基体受拉是由于基体的热膨胀系数大于纤维的热膨胀系数所致。 表2.4 有限元模型下不同纤维体积分数的热失配应力40%50%60%70%/10Pa1.4621.7382.1953.0642.5 理论和数值方法结果的比较纤维束理论模型结果与有限元模型结果比较图如下:图2.12 图 图2.13 图 从图中可以看出，单向纤维模型沿纤维方向的热膨胀系数的理论解和有限元解的一致性较好，说明理论模型基本反映了实际情况。而垂直纤维方向的热膨胀系数的有限元解偏高，并且，在纤维体积分数较小的时候，它们的差距较大，但随着纤维体积分数的增加，它们的差距越来越小。这是由于理论模型没有考虑到各单元之间的相互影响以及面上的剪切载荷，假设不完全合理。所以有限元模型计算的平均弹性常数更加接近真实值，而理论模型就存在一定的误差。热失配应力随纤维体积分数变化的曲线图如下： 图2.14 热失配应力的理论解 图2.15 热失配应力的有限元解关于热失配应力，理论结果和有限元结果相差很大，这是因为在计算热失配应力时对于理论模型将基体简化为带孔的圆柱体，与实际情况的带孔正方体相差较大，这里只是将理论值作为一个参考。 2.6 垂直纤维方向热膨胀系数理论模型的修正 由于在用图2.5所示模型求垂直纤维方向热膨胀系数时，将基体看作全部与纤维串联，这与实际情况不相符。从实际的胞元看基体应该是一部分和纤维串联另一部分和纤维并联（如图2.16），而串联部分和并联部分基体的体积分数和的选取决定着该模型与实际情况的接近程度。图2.16改进的理论模型在上图所示的模型中，基体串联和并联部分的体积分数和是纤维的尺寸的函数，对于给定的纤维体积分数有，因此可以引入一个表示关系的参数，使得。则可表示为：， (2-24)由于根据实际情况，基体串联和并联部分的体积分数是随着纤维体积分数的不同而不同的，所以可以设是纤维体积分数的函数。为了使公式尽量简单可以设和是线性关系。经过反复尝试发现当和满足一下关系时结果与实际情况较接近： (2-25)在改进模型中，先计算串联部分的热膨胀系数,其中串联部分沿纤维方向的热膨胀系数为： (2-26)串联部分方向的热膨胀系数为： (2-27)串联部分方向的刚度为： (2-28)再将中间的串联部分看作一个整体，剩下的基体并联，则整个模型在方向的热膨胀系数为： (2-29)其中和为： (2-30)代人参数计算得改进后的如下表：表2.5 改进模型的横向热膨胀系数40%50%60%70%2.1181.51.251.7%44.9%34.9%21.7%8.3%5.1%5.1%8.3%改进解/2.9092.6002.1411.527有限元解/3.002.552.081.57改进模型结果与有限元结果的曲线如下图：图2.17 的改进模型的解与有限元解的比较从上面的曲线图可以看出，对于，改进模型计算的结果与有限元结果吻合较好。说明在求时这种改进是与实际情况接近的。2.7 基体粘弹性对热性能的影响纤维增强复合材料的树脂基体是高聚物，具有粘弹性，特别是当温度或荷载水平较高的情况下，粘弹性性能将更显著。单向纤维模型基体的这种粘弹性，在热失配应力作用下表现为蠕变和应力松弛。由于蠕变和应力松弛的存在，模型的热膨胀系数相应的会受到影响。本文将基体看作各向同性的粘弹性材料，可以建立基体的各向同性的三参数模型（如图2.18）图2.18 粘弹性基体的三参数模型蠕变随时间变化的关系为： (2-31)其中，为蠕变柔量，其表达式为： (2-32)本文中定义基体的粘弹性时，取、。在2.4节的模型一般静力学分析之后将bdf文件导入abaqus中，在abaqus中将基体材料加上粘弹性属性，再在时间周期为1的降温过程之后增加一个时间周期为5的粘弹性分析步。通过分析可以得到RVE的蠕变曲线和应力松弛曲线如下：图2.19 位移蠕变曲线 图2.20最大主应力松弛曲线从图中可以看出，由于基体的粘弹性，整个RVE在时间周期为1的降温过程之后会发生蠕变和应力松弛，使热失配应力减小，应变增大。热膨胀系数相应的会随之改变。不同纤维体积分数的RVE在有粘弹性时的热膨胀系数如下表：表2.6 考虑粘弹性的时间周期6时的热膨胀系数40%50%60%70%纵向（）7.3746.6966.2486.006横向（）33.2028.4723.6518.55比较粘弹性和非粘弹性下的热膨胀系数随纤维体积分数变化的曲线如下：图2.21 基体粘弹性对热膨胀系数的影响从上图可以看出，基体的粘弹性使RVE的热膨胀系数增大。纵向的热膨胀系数增大的较少，因为纵向的热膨胀系数主要由纤维决定；横向的热膨胀系数增大的较多，这是因为横向热膨胀系数主要由基体决定。这与实际情况也是吻合的。2.8 小结 本章以最基本的单向纤维模型为对象，根据复合材料细观力学的基本方程对其轴向以及横向的热膨胀系数的计算公式进行了推导；并利用通用有限元软件MSCPATRANNASTRAN建立RVE模型，对其进行热分析求得了不同体积分数下的热膨胀系数及失配应力。并对以上两种方法进行了比较，在此基础上对理论模型进行了一些改进。最后，通过在RVE模型中加入粘弹性，得到了单向纤维模型的热膨胀系数及失配应力的变化情况。研究发现，单向纤维模型轴向膨胀系数理论解和有限元解一致性较好，而横向膨胀系数有限元解偏高。粘弹性对于 RVE热膨胀系数和失配应力的影响很明显，基体粘弹性使降温热膨胀系数增大第三章 正交铺层复合材料的热性能分析3.1引言 由上一章的分析方法可以计算和的出单向纤维增强复合材料在不同纤维体积分数时的热膨胀系数和热失配应力，从而可以模拟单层板复合材料在成型时的冷却收缩过程。然而工程实际中经常会使用到层合板。层合板是由单层板按照规定的纤维方向和次序，铺放成叠层形式，进行粘合，经过热固化处理而成。构成层合板的单层板的纤维方向一般不同，而且可以是各种方向的。为了便于建模，本章只考虑纤维方向是的正交铺设的层合板。首先利用有限元软件MSCPATRANNASTRAN和abaqus建纤维体积分数相同的对称正交的RVE模型，计算其各个方向的热膨胀系数，并与单向纤维模型进行比较。然后再建立和的纤维体积分数不同的非对称正交的RVE模型，模拟其在降温时的变形过程，发现它会弯曲。3.2 对称正交复合材料的热膨胀系数在patran中建立对称正交RVE模型（如图3.1），并划分有限元网格（如图3.2）。图3.1 正交模型 图3.2 正交模型的有限元网格在结构分析模式下，设定模型初始温度为120°C，加入周期边界条件，再给整个单元加上20°C的均匀温度场，在RVE模型主节点加对应MPC的铰支边界条件，计算由于温度变化引起的结构变形。计算后得出的位移云图如图3.3和图3.4所示：图3.3 沿厚度方向的位移云图 图3.4 垂直厚度方向的位移云图从图中可以看出，在降温收缩时，厚度方向的两个面不再是平面，但在MPC条件的约束下两个表面仍然保持平行，这与RVE的周期性分布相吻合。垂直于厚度方向的两个表面在MPC条件的限制下仍然保持平面且平行。改变模型中纤维的体积分数可以求出热膨胀系数随纤维体积分数的变化关系。表3.1正交模型不同纤维体积分数的热膨胀系数40%50%60%70%纵向（）11.9110.569.518.60横向（）41.8136.8729.7623.38从上表中可以发现正交模型的沿厚度方向的热膨胀系数可以大于基体的热膨胀系数，这主要是因为在降温收缩时纤维对基体热应力沿纤维方向的拉应力，在拉应力的作用下由于泊松效应基体在垂直纤维方向会收缩，而另外一束正交的纤维又会限制基体在垂直厚度方向的收缩，使沿厚度方向的收缩进一步增加，从而使沿厚度方向的热膨胀系数显著增大，以至大于基体本身的热膨胀系数。在第二章中的单向纤维模型中也会存在这种效应，根据第二章的分析可以知道单向纤维模型沿横向的热膨胀系数为： (3-1)将上式改写后可以清楚的看出除纤维和基体的横向膨胀外，其他因素对的贡献。 (3-2)上式中为基体和纤维串联形式的膨胀量，为由于复合材料在轴向的热变形而引起它在横向上趋势相反的变形量。可以理解为由于纤维在轴向对基体的热应力之约束而产生的横向变形增量。正是由于这一项的贡献，使得在一定的 范围内出现。这种效应受比值影响，愈大，这种效应愈强。图3.5 正交模型和单向模型的比较从上图可以发现，正交模型在厚度方向的热膨胀系数比单向纤维模型横向的热膨胀系数大很多，这是由于正交模型的纤维在两个方向对基体的收缩进行限