毕业论文泰勒公式的应用.doc

目 录内容摘要1关键词11.引言22.泰勒公式22.1具有拉格朗日余项的泰勒公式22.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式22.3带有积分型余项的泰勒公式22.4带有柯西型余项的泰勒公式33.泰勒公式的应用33.1利用泰勒公式求未定式的极限33.2利用泰勒公式判断敛散性63.3 利用泰勒公式证明中值问题113.4 利用泰勒公式证明不等式和等式134. 结束语19参考文献21泰勒公式的应用内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 级数 拉格朗日余项 未定式 1.引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。2.泰勒公式2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个使得：当=0时，上式称为麦克劳林公式。2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有n阶导数,则对此邻域内的点x有: 2.3带有积分型余项的泰勒公式如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个t使得:其中就是泰勒公式的积分型余项。2.4带有柯西型余项的泰勒公式如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x有：，。 当=0时，又有=。3泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求未定式的极限未定式是指呈等形式的极限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了。例1 求极限分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。解：将、在x=0点的麦克劳林公式展开到项得：， 。原式=。用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代 来计算极限的方法。我们知道当 时，等。这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。例2 求极限（）解：（）=。又,将cos2x用泰勒公式展开：Cos2x=。则=。假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣。当时，易知。两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为。为什么是？是什么因素造成这一结果？如果是()，情况会怎么样？定理1 当，时，有： (1)当n3时，是关于x的（n-2）阶无穷大； (2)当n=2时，； (3)当n=1时，是关于x的一阶无穷小； (4)当n=0时，=0。证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的，这里只证明(1)、(3)。先证明(3)：当n=1时，()=。 在这里，利用洛必达法则可以解出这个极限，但用泰勒公式则更便捷。因为我们知道： ，即()=。在证明(1)：当n3时， ()= =() =(。命题得证。从以上定理可以看到，当时，互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法，这些函数的乘方之差 )的趋向情况，无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点，由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定。同时容易推得，在以上结论中“”的条件还可以推广为 “”，这时相关特点将由函数本身在处的泰勒展开式决定。 综上所述，在求未定式极限时，要灵活运用等价无穷小与泰勒公式，并将函数展开至分子分母分别经过简化后系数不为零的阶即可。对于泰勒余项形式的选择，要根据具体题目而定，一般而言极限的计算题应该选择皮亚若型余项。3.2利用泰勒公式判断敛散性3.2.1数项级数的敛散性判断当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用敛判准则。例3 讨论级数的敛散性。分析：直接根据通项去判断级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法。注意到=，若将泰勒展开为的幂的形式。开二次方后将与相呼应。则判断收敛就容易进行了。解：，取有<，所以<，且->0,故该级数是正项级数。因为=>= 所以-<-()=。因为收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛，该题利用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧，在进行放缩时，要注意度。一般根据题中要求证得结论而定，这是运用比较判别法常用的技巧。 例4 讨论级数的敛散性。解：由比较判别法可知：若，则正项级数和同时收敛和发散。为了选取中的P值，可以应用泰勒公式研究通项的阶。 ，所以。 因为收敛，所以收敛。3.2.2 函数项级数的敛散性判断例5 设在点的某一领域内具有二阶连续导数，且。证明级数绝对收敛。分析：由条件中“在点的某一领域内具有二阶连续导数”这一信息可提示使用泰勒公式，又由条件易推得：，这将使在点的泰勒展开式更加简单，便于利用比较判别法判敛。解：由及在点的某一领域内具有二阶连续导数，可知,将在点的某领域内展开成一阶泰勒公式： 。又由题设在属于某领域内含点的一个小闭区间连续，因此存在，使，于是，令，则。因为收敛，故绝对收敛。 注1 若无条件“在点的某一领域内具有二阶连续导数”，则结论不成立。反例：。所以在用泰勒公式展开时，必须先确定在点的某个领取内是否有连续导数，并且注意它的阶。注2 若条件“在点的某一领域内具有二阶连续导数”，改为“在点的某一领域内二阶连续导数有界”，结论照样成立。例6 设在上三阶连续可微，试证明收敛。证明：由已知存在使，。将，在点泰勒展开，则：，；，；故有。 因为是收敛的，所以原级数也收敛，且是绝对收敛。3.2.3 广义积分敛散性的判定在判定广义积分敛散性时，通常选取广义积分进行比较，在此通过研究无穷小量的阶来有效地选择中的p值，从而判定的敛散性，我们要注意到如果收敛，则也收敛。例7 研究广义积分的收敛性。解：。令， 则 。因此，即是的阶，而收敛。 故收敛，从而收敛。例8 研究广义积分的收敛性。 解：因为，所以是瑕点，由比较判别法可知，若时，收敛；时，发散。 所以，所以。所以广义积分发散。从以上2个例子可知，级数与广义积分联系密切，结论类似。3.3 利用泰勒公式证明中值问题3.3.1 证明中值公式若欲证的结论是至少存在一点c,使得关于a,b,f(a)，f(b)c ,f(c), 代数式的证明。可以考虑使用辅助函数法，然后验证辅助函数满足罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明，下面通过例题来说明一下。例9 设在上三次可导，试证：，使得：（1）证明：设k为使下式成立的实数：（2） 此时，问题归为证明：，使得。（3） 则。根据罗尔定理，使得。由（3）式，即： （4）这是关于k的方程，注意到在点处的泰勒公式：， （5）由（4）、（5）两式可得：，则，命题得证。解这种题最重要的就是辅助函数的确定，例题9使用的就是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。如果题中出现积分表达式，则可以直接将被积函数设为辅助函数。例如 设f(x)在0,1连续，在（0,1）可导且满足，证明至少存在一点c,使得。证明：只要设辅助函数为，即可以解出此题。3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式3.4.1 利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式泰勒公式在定积分不等式方面应用的关键在于确定在哪一点将函数展开，其次将函数展开到第几项为止。例10 设在上单调增加，且，证明。分析：（1）因为不等式右边出现了与，提示我们选择，分别展开。（2）已知，所以最多只能展开到含二阶导数为止。证明：对，在点处的泰勒展开式为：，。因为，所以。令，则，。则。对上式两边同时在积分得：得 。故，命题得证。由例10可知，当已知被积函数二阶或二阶以上可导，而且已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明定积分不等式往往比较有效，一般先直接写出的泰勒展开式（有时根据题意对展开式进行放缩），然后两边积分证得结果。例11 设在上有连续的二阶导数，且，试证，。分析：由题中条件“在上有连续的二阶导数”，我们可以考虑用泰勒公式来解题，由于题中要证的等式右边具有。可以考虑将函数展开为二阶泰勒公式。题中已知，我们可在x点作泰勒展开，然后分别令，这样既可使展开式得以简化，又可引出，有利于问题的证明。证明：，设，则，把在处展开二阶泰勒公式：,。 分别令，并将所得两式相减： 设，。则。因为在上连续，由介值定理可知存在，使得：。于是，因此，。由例11可知，当已知被积函数具有二阶或二阶以上连续导数时，证明定积分等式，一般先作辅助函数，在将在所需点（一般是根据右边表达式确定站开点）进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理（一般用介值定理）。3.4.2利用泰勒公式证明导数不等式例12 设函数在上二次可微，且，试证存在一点，使。分析：在上二次可微，且最小值，所以在内一定有极值点，该点的导数为0，题中可知二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点处泰勒展开。解：不妨设为在上的最小值点，则，在处的泰勒公式： ，是介于与之间的某个值。当时，即。当时，即。所以，当时，。 当时，。综上所述，存在一点，使。3.4.3利用泰勒公式证明代数不等式要点一：若我们设在上有连续n阶导数，且，我们可以得=>0利用此要点，可以证明一些不等式。例13 求证，。证明：原不等式等价为。因为， 。 而。原式获证。要点二：应用泰勒公式可得：可得如下一般性结果：(1) 时，对有。(2) 时， 对有。 例13 设，证明不等式。分析：这题我们可以使用要点二的结论来证，首先将不等式化简，方便我们得出解题思路。其次，我们要构造函数，利用泰勒公式展开式解题。证明：等价为： ， 令，。则只需证明。而， ， 。应用泰勒公式可知，存在使 ，进而当时， =>。 即（1）得证。对于（2），因为，所以，即（2）得证。对于代数不等式的证明，可以将不等式转化成不等式组，再构造合适的函数，利用泰勒公式展开求解。这时要记住灵活运用要点(2)中的结论，将会使解题过程大大简化。4.结束语泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。通过本文对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的论述，我们可以了解到高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一。只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式再说，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点，有时以X为佳）。只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。参考文献1 唐清干.泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用J.桂林电子工业学院学报,2002,22(3),44-46.2 黄宗文,简灵锋.泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用J.玉林师范学院学报,2001,22(3),2123 3 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.-2版.北京：高等教育出版社，2006.4(2009重印)4 华东师范大学数学系编.数学分析M.-3版.-北京：高等教育出版社，2001（2006重印）5 薛宗慈等编.数学分析习作课讲义M.一北京：北京师范大学出版社,1984,3. 6 朱永生,刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题J.长春师范学院学报，2OO6,25(4),30327 刘云,王阳,崔春红.浅谈泰勒公式的应用J.和田师范专科学校学报，2008,28(1),196-197.8 党振才,李晋忠.Taylor公式在判断级数敛散性时的应用J.高等数学研究报,2009,12(3),63-64.9 王三宝.泰勒公式的应用例举J.高等函授学报,2005,19(3), 31-33.10费德霖.泰勒公式的应用及技巧J.皖西学院学报,2001, 17(4),84-86. 11 董烈勋.应用泰勒公式解题的思路探讨J.现代商贸工业，2008，20(2),201-20212 王倩.带有皮亚诺( Peano)型余项的泰勒公式的推广与应用J.沈阳 建筑大学学报(自然科学版),2005,21(6),774-776.