工程流体力学4非恒定流伯努利方程课件.ppt

第四章 理想流体动力学,本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原因力之间的关系。其中主要内容是流体的能量方程伯努利方程和理想流体的动量定理，以便研究流体和物体之间的作用力问题。,4.1 欧拉运动微分方程式,4.1.1 欧拉运动微分方程式的导出,第2章流体静力学中曾推导出流体静力学的平衡微分方程式,工程流体力学,这里的fx、fy、fz是流体质量力在x、y、z轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x、y、z轴上的投影分别为：、和。于是，上式便可写成,工程流体力学,上式整理后便得到,工程流体力学,将加速度展开成欧拉表达式,用矢量表示为,对于恒定流动,工程流体力学,上式称为流动欧拉运动微分方程式。,对于不可压缩流体：,对于可压缩流体：,以上可通过流体的状态方程确定。,4.1.2 欧拉方程式的物理意义和讨论,式（4.3）的每一项都表示单位质量的力，等号的左边表示惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和非均匀性引起的变位惯性力；等号的右边表示重力和压强的合力。,对于欧拉方程的物理意义讨论如下：,工程流体力学,(1)对于静止流体,方程式为,即为静力学基本方程。,(2)对于恒定流动，。,（3）在方程中有8个物理量：、，和p。一般情况下，表示重力的、是已知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程，在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。,工程流体力学,4.2 伯努利方程,4.2.1 沿流线的伯努利方程,伯努利方程由瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在1738年首先提出。,对于沿流线s的欧拉运动微分方程式式（4.2）可简化成,引入限定条件：（1）作用在流体上的质量力仅为重力，且z轴向上，如图4.1所示。,工程流体力学,2）流体为不可压缩流体,3）对于恒定流动（流动参数与t无关）,将上式沿流线积分,得,（称为流线常数）,图4.1 沿流线的伯努利方程,工程流体力学,或,式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力学中最常用的方程之一。,伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体；（2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力仅为重力；（5）沿流线。,在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表达成：,工程流体力学,倘若在上述条件下，再加上流动是无旋运动（势流）的条件，可得到：,上式称为拉格朗日方程，等号右边的常数C称为通用常数，在整个流场中均相等。,倘若流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格朗日积分式,式中 是流场的速度势。,当t是常数时，对整个流场是个常数。,工程流体力学,4.2.2 伯努利方程中各项的几何意义和物理意义,1.几何意义,每一项都表示某一个高度：,是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称压 强水头；,z是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置 水头；,工程流体力学,H称为总水头。,是流速高度，又称流速水头；,，Hp是测压管水头；,工程流体力学,图4.2 水头线,在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头线（图4.2），将位置水头和压强水头之和的连线称为测压管水头线（或称水力坡度线，HGL）；总水头的连线称为总水头线（或称为能量波度线，EGL）。,工程流体力学,2.物理意义,是单位重量流体具有的总势能；,式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。,z是单位重量流体具有的位置势能；,是单位重量流体具有的压强势能；,是单位重量流体具有的动能；,是单位重量流体具有的总机械能。,伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流线，各点单位重量流体的机械能守恒。,工程流体力学,【例4.1】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流速如图（4.3）。测得A点的比压计读数（不计损失）。,求：（1）该管中的流速v；（2）若管中流体是密度为0.8g/cm3的油，仍不变，该点流速又为多少。,工程流体力学,图4.3 点流速的测量,【解】（1）管中流动若不计损失，则管中流动为均流。现要测量过流断面上A点的流速，用水银比压计来测量，其原理是：由于来流在A点受比压计的阻滞，该处的速度为零（或者A点为两条流线相交的前驻点）；该处动能全部转化成势能，而水银比压计另一端B点在管壁，该处的流速是管中均流每一点的速度，也可看成A点前方某一点的速度。,应用理想流体伯努利方程：,工程流体力学,式中 是管中流体的重度。,（2）若水流改为油,工程流体力学,4.2.3 粘性流体的伯努利方程,粘性流体在流动中，单位重量流体的能量不再守恒，总水头线不再是水平线，而是沿程下降线。,设 为粘性流体单位重量流体从1点到2点的机械能损失，称为沿流线的水头损失。根据能量守恒原理，则粘性流体的伯努利方程为,水头损失 也是具有长度的量纲。,工程流体力学,4.3 伯努利方程的实际应用,4.3.1 渐变流和急变流,流体在流动中又分为均匀流和非均匀流，对于非均匀流按流速随流向变化的缓急可分为渐变流和急变流两种，如图4.4。,工程流体力学,图4.4 均匀流和非均匀流,均匀流和非均匀流:,在实用上均匀流的某些性质可适用于渐变流。主要是：,(1)渐变流的过流断面接近于平面，面上各点的速 度方向接近平行；(2)定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布 规律。,表明在恒定渐变流的过流断面上，沿流线法线方向的压强变化规律与静止液体中一样。,即,工程流体力学,4.3.2 沿总流伯努利方程的应用,总流的伯努利方程和流线的伯努利方程形式是类似的，但方程式中的各项均有“平均”意义，这从以下几方面来理解：,(1)在总流中取11至22过流断面时，这些过流断面尽可能取在渐变流断面上，但它们之间截面间允许有急变流存在。,(2)一般来讲总流过流断面上计算点取该断面的形状中心，由于在恒定渐变流过流断面上各点的势能满足 关系式，因此可理解成各点的势能是相等的，它也是过流断面上单位重量流体的平均势能。,工程流体力学,(3)对于 项中的,一般应取过流断面上的平均流速 作为计算值。即总流的伯努利方程中单位重量流体的动能项 来进行计算，当过流断面流速分布比较均匀时,不需加动能修正因子，否则此项还需加动能修正因子，其中 的定义是:,一般取 1.0。,(4)对于粘性流体总流的伯努利方程，其中水头损失 项是表示由11至22断面的平均机械能损失，称为总流的水头损失。,工程流体力学,总流的伯努利方程形式为,在圆管流动中，当流动为层流时，,当流动为紊流时,。由于工程中绝大多数的实际管流均为紊流，因此通常取，。,工程流体力学,【例4.2】水由喷嘴出流，如图4.5，设d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，水银测压计读数 175mm，不计损失。求（1）H值；（2）压力表读数值。（该处管径同d2）,工程流体力学,图4.5 喷嘴出流,【解】（1）根据静压强分布规律，过流断面1-1和2-2处压强分布为 和,列出由11到22断面的总流伯努利方程（取动能修正因数）：,工程流体力学,将（a）式代入上式，得,或,连续性方程,或,工程流体力学,（c）、（b）联立，得,由连续性方程,得,列出由00到33断面的伯努利方程,工程流体力学,（2）压力表处管径同，其处,列出由00至压力表断面处得伯努利方程,压力表读数为,工程流体力学,4.3.3 空泡和空蚀现象,在一个大气压环境中，水 在时沸腾，水分子从液态转化为汽态，整个水体内部不断涌现大量气泡逸出水面。但是如果在常温下（），若使压强降低到水的饱和蒸汽压强2.4kPa（绝对压强）以下时，水也会沸腾。通常将这种现象称为空化，此时水中的汽泡称为空泡。,工程流体力学,空泡现象:,如图4.6，水流在过流断面11处由于流速急剧的增大，使得该处流体质点的压强显著地降低，倘若此时压强下降至该水温下的汽化压强，这时水迅速汽化，使一部分液体转化为蒸汽，这就是空泡现象的产生。,工程流体力学,图4.6 空泡现象,由于管径的突然扩大，流速急剧的减小，使得2-2断面处流体质点压强迅速增大，前生成的汽泡进入压强较高的区域而突然溃灭，空泡在溃灭时形成一般微射流，当空泡离壁面较近时，这种微射流像锤击一般连续打击壁面，造成直接损伤。空泡溃灭形成冲击波同时冲击壁面，无数空泡溃灭造成的连续冲击将引起壁面材料的疲劳破坏。这两种作用对壁面造成的破坏称为空蚀。,【例4.3】鱼雷在10米深的水下以50节的速度运动，倘若在雷身表面与水流相对速度为该速度的1.2倍。（如图4.7所示。）,求：（1）雷身表面最小压强为多少；（2）设水温为20C，雷身出现空泡时的鱼雷速度。,工程流体力学,【解】（1）作运动的相对变换，鱼雷静止，水流以50节速度流经鱼雷。,在雷身表面B点处水流速度,节，,节=,节=,从A至B点处列伯努利方程,工程流体力学,雷身表面最小压强在B处，真空压强为47.76，该处的绝对压强为,（2）当雷身出现空泡时，则B点为最先出现空泡处，据题意水温在20C，水的汽化压强为2400，即B点压强为,此时发生空泡。,按（a）式,工程流体力学,节,当鱼雷的速度为57.6节时在鱼雷B处出现空泡。,4.3.4 测速仪,在实际工程中经常要测量流场中某点的流体速度，测量管流中流体的流量，常用的有两种测速仪。,工程流体力学,1.皮托测速管（Pitot tube）,皮托测速管，又称为皮托管（图4.8）。,皮托管正前方A点O点B点一条流线，（常称为零流线），该流线的伯努力方程,工程流体力学,图4.8 皮托管原理,由于，称为驻点，称为驻点压强，即为水流的速度。故由（a）得,由于皮托管很细，它放置于流场中不会影响水流速度，即，且可以认为。,由（a）得,因此,工程流体力学,由U形管水银液压差的读数得,由（c），（d）得,由于实际流体具有粘性，因此测到的流速需乘上一个修正因数（称为皮托管因数）一般作标定测量后确定。,流场中某点流速,毕托管就是通过内部测量 两点压强之差，通过上式换算成来流速度的一种测量某点流速的仪器。,工程流体力学,2.文丘里管（Venturi tube）,文丘里管是常用的测量管道流量的仪器，也称文丘里流量计，如图4.9所示。,取11，22两渐变流断面，列伯努利方程,列连续性方程,工程流体力学,联立（a）,（b）解得:,流量,工程流体力学,上式中,称为流速因数，式中 是主管中流体的重度。,文丘里管的流量公式为,由于实际流体两断面间有能量的消耗，因此实际测量的流量值要比理论值小，为此考虑修正系数（0.950.98），也称流量修正因数。故,在实际使用中文丘里管与管子的倾斜与否无关。,工程流体力学,【例4.4】用文丘里流量计来测定管道的流量，设进口直径d1=100mm，喉管直径d2=50mm，水银压差计实测到水银面高度h=4.76cm，流量计的流量修正因数0.95。试求管道输水流量。,【解】流速因数,流量公式,工程流体力学,4.3.5 伯努利方程应用的补充说明,1.气流的伯努利方程,对于非空气流，如煤气、废气等若要用相对压强，则要注意以下内容,设恒定非空气流（图4.10），气流重度为，外部空气重度为。,列11至22的总流伯努利方程,工程流体力学,当计算气流时常将上式表示为压强形式，即,式中 为压强降损失，。,将式（4.12）中压强用相对压强 和 表示,式中 为z1处的大气压，为z2处大气压，将其代入式（4.12），整理得,工程流体力学,上式是非空气流用相对压强计算的伯努利方程形式。其中、称为静压，、称为动压，为单位体积气流所受到的有效浮力，为气流沿浮力方向升高的距离，()()为11断面相对于22断面单位体积气体的位能，称为位压。,工程流体力学,为使烟囱底部入口处断面的负压不小于10mmH2O，试求烟囱的高度H至少为多少。,工程流体力学,【解】取烟囱底部为11断面，出口处为22断面，由于本题为非空气流，由式（4.13）,按题意:,11断面,，,工程流体力学,22断面,代入上式,解得,工程流体力学,烟囱的高度须大于此值。由本题可见，烟囱底部为负压，顶部出口处，且z1z2，烟气会向上流动，是位压()()提供了能量。要产生位压有二个条件：（1）烟气要有一定温度，使得，以保持有效浮力；（2）烟囱要有足够的高度，即，否则将不能维持自然排烟。,2.管路中有泵（或风机）作用时总流的伯努利方程,当管路间有水泵或者在气流中有风机等流体机械时（图4.12），此时有能量的输入。,设单位重量液体经过泵所获得的有效能量为（称扬程）；,工程流体力学,单位体积气体经过风机所获得的有效能量为（称全压）。,根据能量守恒，则扩展的伯努利方程可应用在有泵和风机作用的总流中，即,或,工程流体力学,3.两断面间有分流或汇流的伯努利方程,对于两断面间有分流的流动（图4.13）,对于两过流断面间有汇流的情况，类似的结论是相同的。,工程流体力学,4.非恒定流伯努利方程,其中沿流线的非恒定流伯努利方程为,上式中 表示单位重量流体的非恒定惯性力沿流线1-2所作的功。,沿总流的非恒定流伯努利方程为,上式中 表示单位重量流体的当地加速度引起的水头变化沿总流积分。,工程流体力学,【例4.6】如图4.14所示，两个直径均为 的杯子用一根长为、管径 的弯管相连通。往杯子和弯管注入水,初始时杯子的水深,试求杯中水面振荡的周期。,【解】初始时，两个杯子水面平齐，振荡时，杯中液体速度记为V，弯管中的流速记为v。在某时刻右杯液面上升z,左杯液面则下降z。取振荡的平衡位置为坐标原点O，z轴垂直向上，左杯液面记为1-1，右杯液面记为2-2。,工程流体力学,因两杯子直径相等，故,在弯管中v处处相等，即,由连续性方程式，,考虑到，,工程流体力学,图4.14 杯中水面振荡,，,设动能修正因数,因此式（4.16）及（4.17）成为,即,或,工程流体力学,以上简谐振动方程振荡频率为,振荡周期,工程流体力学,4.4 恒定流动的动量定理和动量矩定理,在工程问题中，常常要计算流体和固体之间的相互作用力及力的作用点问题，要解决此类问题，动量定理和动量矩定理是十分有效简便的方法之一。,4.4.1 动量定理和动量矩定理,工程流体力学,1.动量定理的推导,设不可压缩恒定流流经某物体M，包括物体M在流场中取一固定的封闭曲面A，称这封闭曲面A为控制面。对象为控制面A内的流体称控制体。在时刻t，设控制体内流体质点系的动量为，经过dt时间，这部分流体占据A1面空间（如图4.15虚线所示），此时流体的动量为,在dt时间内流体的动量变化。,工程流体力学,在dt时间内从 曲面流出的流体动量为,在dt时间内从 曲面流入的流体动量为,考虑到流量的正、负规定：从控制面流出为正；从控制面流入为负，,工程流体力学,式中 流体在控制面上的法向速度投影；流体在控制面上的速度矢量；流体的密度。,以 表示作用在控制体内流体质点上所有的外力，根据动量定理,这里的 包括：(1)控制体内流体质点受到的质量力；(2)M物体对控制体内流体质点作用的表面力；(3)控制面A以外的流体（或物体）对控制面A上 流体的表面力。,工程流体力学,投影式,式（4.19）是恒定不可压缩流体的动量方程。,2.动量定理解题步骤,（1）取一个包括该物体的封闭控制面A；（2）建立合适的直角坐标系；（3）在应用动量定理时，要注意连续性方程和伯努利方程的应用；（4）在公式中 的正、负是以流出控制面A的法向速度投影为正，流入控制面A的法向速度投影为负。（5）中的力包括作用于控制面A内流体上所有的外力。,工程流体力学,3.动量矩定理,类似于动量定理的推导，可以推导动量矩定理为,式中 O点为所取的矩心；为O点到流体质点的矢径。,投影式,工程流体力学,4.4.2 计算实例,【例4.7】理想流体对二维平板的斜冲击问题。设水平方向的水射流，流速 为二维流束以体积流量Q向平板AB作冲击，射流中心线与平板成角（图4.16），试求：（1）流体对平板的冲击力；（2）沿平板的流量Q1、Q2；（3）冲击力作用点位置。,【解】取过流断面00、11、22及射流流线、平板AB为控制面构成的控制体。,对00至11断面及00至22断面列伯努利方程，得,工程流体力学,列流动的连续性方程，可得,（1）求流体对平板的冲击力列y方向的动量方程,射流对平板的作用力 和 是一对作用力与反作用力关系，大小相等，方向相反，即指向平板，大小为。,工程流体力学,（2）沿平板的流量Q1、Q2，列x方向的动量方程,将上式与（a），（b）联立，解得,（3）求 的作用点,工程流体力学,以O点为矩心，列动量矩方程,式中 b1、b2分别为断面11、22处流束的宽度，,其中,，,解得,式中负号表示 的作用点在距O点的相反方向。其中 为射流00断面的宽度。,工程流体力学,【例4.8】水平放置的变截面U形管，流量为Q=0.01m3/s，11截面面积为A1=50cm2，出口处22断面面积为A2=10cm2（外为大气压），进口管和出口管相互平行。求：（1）水流对U形管的作用力；（2）该作用力的作用点位置,【解】取过流断面11和22及U形管侧面所围成的面为封闭控制面。,选定平面直角坐标系如图（4.17）。,工程流体力学,按连续性方程,列断面11至断面22的伯努利方程,工程流体力学,（1）列控制体在x方向的动量方程投影式,水流对U形管的作用力为 的反作用力，大小为，方向和 的方向相反。,（2）以O为矩心，列动量矩方程,工程流体力学,【例4.9】水从长 的水平放置的喷管两端喷出，其中支撑点在喷管中心，水流相对喷管的出流速度，喷口直径（图4.18）。试求：（1）喷管本身不动时的转动力矩；（2）喷口以周向速度 旋转时装置的功率表达式；（3）当 时使功率为最大的 值。,工程流体力学,取平面坐标系为xOy，其中O点为喷管中心，即转轴中心。喷管对控制体作用力在y方向分力为，其作用线通过喷口中心线。,（1）当喷管不动时，列y方向控制体的动量方程,【解】取过流断面11、22以及喷管内侧所围成为控制面。,工程流体力学,而喷管受到流体的作用力大小为，方向同 方向相反。,当喷管本身不动时，由 于产生的转动力矩M大小为,方向为顺时针方向。,（2）当喷管本身在旋转时，流体对于喷口的出流绝对速度为,工程流体力学,即,代入y方向控制体的动量方程，得,功率表达式,工程流体力学,此时功率最大。,得,【例4.10】某滑行艇与水平面夹角为以速度 运动，水深原为h0，经滑行艇后分成两部分，一部分宽度为，以速度 朝艇艏方向喷出，另一部分深度为h，以速度 向艇艉流去，如图4.19，若已知滑行艇的速度 及艇艏的水流厚度为，求：水流对滑行艇的作用力。,工程流体力学,（3）使 取得极大值时,【解】作运动变换，水流以速度 流向滑行艇。,取过流断面00、11、22、滑行艇以及水表面流线、河底组成的封闭控制面。并建立铅垂平面的xOy平面坐标系。,由于外部均为大气压，故,工程流体力学,列连续性方程,列x方向的动量方程的投影式,解得,水流对滑行艇的作用力大小为，同 方向相反。,工程流体力学,第4章 结束,