圆锥曲线专题复习课件.ppt

第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,双,向,固,基,础,点,面,讲,考,向,多,元,提,能,力,教,师,备,用,题,返回目录,返回目录,1,理解数形结合的思想,2,了解圆锥曲线的简单应用,考试大纲,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,知,识,梳,理,一、直线与圆锥曲线的位置关系,1,一般地，直线与圆锥曲线相交，有,_,交点,(,特,殊情况除外,),；相切时有,_,交点,返回目录,双,向,固,基,础,两个,一个,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,2,判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线,方程与圆锥曲线方程联立，消去,y,(,或,x,),，转化为关于,x,(,或,y,),的方程,ax,2,bx,c,0(,或,ay,2,by,c,0),的形式,若,a,0,，则直线与圆锥曲线有一个交点，此时，若圆锥,曲线为抛物线，则直线与抛物线的,_,平行；若圆,锥曲线为双曲线，则直线与双曲线的,_,平行,若,a,0,，当判别式,_,时，直线与圆锥曲线相交；,当判别式,_,时，直线与圆锥曲线相切；当判别式,_,时，直线与圆锥曲线相离,3,直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，还可以利用数形,结合的方法解决,返回目录,双,向,固,基,础,对称轴,渐近线,0,0,0,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,返回目录,双,向,固,基,础,二、圆锥曲线的弦长,设斜率为,k,的直线,l,与圆锥曲线,C,的两个交点为,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,则,|,AB,|,1,k,2,|,x,1,x,2,|,（,1,k,2,）,（,x,1,x,2,）,2,4,x,1,x,2,或,|,AB,|,1,1,k,2,|,y,1,y,2,|,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,k,2,（,y,1,y,2,）,2,4,y,1,y,2,；斜率不存在时，,|,AB,|,_,|,y,1,y,2,|,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,三、中点弦问题和对称问题,1,解决中点弦问题常使用韦达定理与中点公式，也可,以使用点差法：即若弦,AB,的中点坐标为,(,x,0,，,y,0,),，先设两,个交点,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，分别代入圆锥曲线的方程，,得,f,(,x,1,，,y,1,),0,，,f,(,x,2,，,y,2,),0,，两式相减、分解因式，再将,x,1,x,2,2,x,0,，,y,1,y,2,2,y,0,代入其中，即可求出直线的斜,率,返回目录,双,向,固,基,础,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,2,对称问题有两种，一种是中心对称问题，用中点,公式和韦达定理即可解决；一种是轴对称问题，常见的是,圆锥曲线上存在关于某直线的对称点，可以根据轴对称关,系列出方程组，用方程思想解决,四、圆锥曲线中的最值或定值问题,此类问题大致分为两类：一类是涉及距离、面积、比值、,乘积的最值或定值；一类是求直线与圆锥曲线的几何元素,的最值或定值以及这些元素存在最值或定值时确定与之相,关的一些问题解决的方法一般是方程思想、不等式方法、,几何方法、三角函数方法等,返回目录,双,向,固,基,础,疑,难,辨,析,返回目录,双,向,固,基,础,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,1,直线与圆锥曲线交点个数的应用判断,(1),平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线只有一个,公共点,(,),(2),我们把满足,y,2,0,2,px,0,(,p,0),的点,P,(,x,0,，,y,0,),叫做抛物线,内部的点那么过抛物线内部的点所作的直线恒与抛物,线有两个交点,(,),(3),直线,y,kx,1,与椭圆,x,2,5,y,2,9,1,恒有两个公共,点,(,),答案,(1),(2),(3),返回目录,双,向,固,基,础,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解析,(1),将与渐近线平行的直线的方程与双曲线方程,联立方程组，该方程组只有唯一一组解；也可以作图分析，,得出只有一个公共点,(2),若所作直线平行于抛物线的对称轴，,则该直线与抛物,线只有一个交点,(3),直线过定点,(0,，,1),，,且该点在椭圆内，所以直线与椭,圆恒有两个公共点,返回目录,双,向,固,基,础,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,2,中点弦问题的处理,(1),已知,(4,，,2),是直线,l,被椭圆,x,2,36,y,2,9,1,所截得的线,段的中点，则,l,的方程是,x,2,y,8,0.(,),(2),椭圆,x,2,4,y,2,2,1,中过点,P,(1,，,1),的弦恰好被点,P,平,分，则此弦所在直线方程是,x,2,y,3,0.(,),答案,(1),(2),返回目录,双,向,固,基,础,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解析,(1),设直线,l,与椭圆相交于,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),则,x,2,1,36,y,2,1,9,1,，,且,x,2,2,36,y,2,2,9,1,，,两式相减得,y,1,y,2,x,1,x,2,x,1,x,2,4,（,y,1,y,2,）,，,又,x,1,x,2,8,，,y,1,y,2,4,，,y,1,y,2,x,1,x,2,1,2,，,故直线,l,的方程为,y,2,1,2,(,x,4),，,即,x,2,y,8,0.,返回目录,双,向,固,基,础,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,(2),设弦的两个端点分别是,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,代,入椭圆方程并作差得：,1,4,(,x,1,x,2,)(,x,1,x,2,),1,2,(,y,1,y,2,)(,y,1,y,2,),0,，,又,x,1,x,2,2,，,y,1,y,2,2,，,代入得,y,1,y,2,x,1,x,2,1,2,.,则此弦所在直线方程是,x,2,y,3,0.,说明：,A,表示简单题，,B,表示中等题，,C,表示难题，示,例均选自,2008,年,2012,年安徽卷,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,考点统计,题型,(,考频,),考例,(,难度,),1.,定点问题,0,2.,定值问题,0,3.,范围问题,0,4.,最值问题,0,?,探究点一,定点问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,例,1,2012,邯郸一模,在平面直角坐标系中，点,P,(,x,，,y,),为动点，已知点,A,(,2,，,0),，,B,(,2,，,0),，直线,P,A,与,PB,的斜率之积为,1,2,.,(1),求动点,P,轨迹,E,的方程；,(2),过点,F,(1,，,0),的直线,l,交曲线,E,于,M,，,N,两点，,设,点,N,关于,x,轴的对称点为,Q,(,M,，,Q,不重合,),，,求证：,直线,MQ,过定点,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,思考流程,(1),条件：,P,A,与,PB,的斜率之积为,1,2,；目,标：求点,P,的轨迹方程；方法：直接设定代入,(2),条件：椭圆方程、直线系过点,(1,，,0),等；目标：直,线,MQ,恒过定点；方法：以参数表达直线系方程、代入椭,圆方程，设出,M,，,N,的坐标，得出,Q,坐标，建立直线系,MQ,的方程，证明直线过定点,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由题知：,y,x,2,y,x,2,1,2,，,化简得,x,2,2,y,2,1(,y,0),(2),方法一：设,M,(,x,1,，,y,1,),，,N,(,x,2,，,y,2,),，,Q,(,x,2,，,y,2,),，,l,：,x,my,1,，,代入,x,2,2,y,2,1(,y,0),整理得,(,m,2,2),y,2,2,my,1,0,，,y,1,y,2,2,m,m,2,2,，,y,1,y,2,1,m,2,2,，,MQ,的方程为,y,y,1,y,1,y,2,x,1,x,2,(,x,x,1,),返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,令,y,0,，,得,x,x,1,y,1,（,x,2,x,1,）,y,1,y,2,my,1,1,my,1,（,y,2,y,1,）,y,1,y,2,2,my,1,y,2,y,1,y,2,1,2.,直线,MQ,过定点,(2,，,0),返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,方法二：设,M,(,x,1,，,y,1,),，,N,(,x,2,，,y,2,),，,Q,(,x,2,，,y,2,),，,l,：,y,k,(,x,1),，,代入,x,2,2,y,2,1(,y,0),整理得,(1,2,k,2,),x,2,4,k,2,x,2,k,2,2,0,，,x,1,x,2,4,k,2,1,2,k,2,，,x,1,x,2,2,k,2,2,1,2,k,2,，,MQ,的方程为,y,y,1,y,1,y,2,x,1,x,2,(,x,x,1,),返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,令,y,0,，,得,x,x,1,y,1,（,x,2,x,1,）,y,1,y,2,x,1,k,（,x,1,1,）（,x,2,x,1,）,k,（,x,1,x,2,2,）,2,x,1,x,2,（,x,1,x,2,）,x,1,x,2,2,2.,直线,MQ,过定点,(2,，,0),归纳总结,解析几何中证明直线过定点，一般是先选,择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定,点时方程的成立与参数没有关系得到一个关于,x,，,y,的方程,组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,变式题,2012,安庆市模拟,已知椭圆,C,：,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),的左，右焦点为,F,1,，,F,2,，,e,1,3,.,过,F,1,的直线,l,交椭,圆,C,于,A,，,B,两点，,|,AF,2,|,，,|,AB,|,，,|,BF,2,|,成等差数列，且,|,AB,|,4.,(1),求椭圆,C,的方程；,(2),M,，,N,是椭圆,C,上的两点，若线段,MN,被直线,x,1,平分，证明：线段,MN,的中垂线过定点,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),|,AF,2,|,，,|,AB,|,，,|,BF,2,|,成等差数列，,|,AF,2,|,|,BF,2,|,2|,AB,|.,4,a,|,AF,2,|,|,AF,1,|,|,BF,2,|,|,BF,1,|,|,AF,2,|,|,BF,2,|,|,AB,|,3|,AB,|,12,，,得,a,3,，,又,e,c,a,1,3,，,所以,c,1,，,b,a,2,c,2,2,2,，,所求的椭圆方程为,x,2,9,y,2,8,1.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,(2),设,M,(,x,1,，,y,1,),，,N,(,x,2,，,y,2,),，,MN,的中点为,(1,，,y,0,),，,由题意知,x,2,1,9,y,2,1,8,1,，,x,2,2,9,y,2,2,8,1.,两式相减，得,（,x,1,x,2,）（,x,1,x,2,）,9,（,y,1,y,2,）（,y,1,y,2,）,8,0,，,k,MN,y,1,y,2,x,1,x,2,8,（,x,1,x,2,）,9,（,y,1,y,2,）,8,9,y,0,，,所以线段,MN,的中垂线方程为,y,y,0,9,y,0,8,(,x,1),，,易证，此直线经过定点,（,1,9,，,0,）,.,?,探究点二,定值问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,例,2,2012,东城二模,已知椭圆,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),的左焦点为,F,1,(,1,，,0),，长轴长与短轴长的比是,2,3.,(1),求椭圆的方程；,(2),过,F,1,作两直线,m,，,n,交椭圆于,A,，,B,，,C,，,D,四点，若,m,n,，求证：,1,|,AB,|,1,|,CD,|,为定值,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,思考流程,(1),条件：左焦点,F,1,(,1,，,0),，长轴长与短,轴长的比是,2,3,；目标：求椭圆的方程；方法：待定系,数法,(2),条件：过,F,1,作两直线,m,，,n,交椭圆于,A,，,B,，,C,，,D,四点，,m,n,；目标：求证,1,|,AB,|,1,|,CD,|,为定值；方法：以参,数表达直线系方程、代入椭圆方程，设出,A,，,B,，,C,，,D,的,坐标，得出,AB,，,CD,的长,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由已知得,?,?,?,?,?,2,a,2,b,2,3,，,c,1,，,a,2,b,2,c,2,.,解得,a,2,，,b,3.,故所求椭圆方程为,x,2,4,y,2,3,1.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,(2),证明：,由,(1),知,F,1,(,1,，,0),，,当直线,m,斜率存在时,，,设直线,m,的方程为,y,k,(,x,1)(,k,0),由,?,?,?,?,?,y,k,（,x,1,），,x,2,4,y,2,3,1,得,(3,4,k,2,),x,2,8,k,2,x,4,k,2,12,0.,由于,0,，,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,则有,x,1,x,2,8,k,2,3,4,k,2,，,x,1,x,2,4,k,2,12,3,4,k,2,，,|,AB,|,（,1,k,2,）,（,x,1,x,2,）,2,4,x,1,x,2,（,1,k,2,）,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,8,k,2,3,4,k,2,2,4,4,k,2,12,3,4,k,2,12,（,1,k,2,）,3,4,k,2,.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,同理,|,CD,|,12,（,1,k,2,）,3,k,2,4,.,所,以,1,|,AB,|,1,|,CD,|,3,4,k,2,12,（,1,k,2,）,3,k,2,4,12,（,1,k,2,）,7,（,1,k,2,）,12,（,1,k,2,）,7,12,.,当直线,m,斜率不存在时，,此时,|,AB,|,3,，,|,CD,|,4,，,1,|,AB,|,1,|,CD,|,1,3,1,4,7,12,.,综上,，,1,|,AB,|,1,|,CD,|,为定值,7,12,.,归纳总结,定点、定值问题的基本技巧是引进变动的,参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒,成立、数式变换等寻找不受参数影响的量,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,变式题,2012,海淀二模,已知椭圆,C,：,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),的右焦点为,F,(1,，,0),，且点,?,?,?,?,?,?,?,?,1,，,2,2,在椭圆,C,上,(1),求椭圆,C,的标准方程；,(2),已知点,Q,?,?,?,?,?,?,?,?,5,4,，,0,，动直线,l,过点,F,，且直线,l,与椭圆,C,交于,A,，,B,两点，证明：,QA,QB,为定值,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由题意知,c,1.,根据椭圆的定义得,2,a,（,1,1,）,2,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,0,2,2,2,2,2,，,即,a,2.,所以,b,2,2,1,1.,所以椭圆,C,的标准方程为,x,2,2,y,2,1.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,(2),当直线,l,的斜率为,0,时,，,A,(,2,，,0),，,B,(,2,，,0),则,QA,QB,?,?,?,?,?,?,?,?,2,5,4,，,0,?,?,?,?,?,?,?,?,2,5,4,，,0,7,16,.,当直线,l,的斜率不为,0,时，设直线,l,的方程为：,x,ty,1,，,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),由,?,?,?,?,?,x,2,2,y,2,1,，,x,ty,1,可得,(,t,2,2),y,2,2,ty,1,0.,显然,0,，,且,?,?,?,?,?,?,?,y,1,y,2,2,t,t,2,2,，,y,1,y,2,1,t,2,2,.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,因为,x,1,ty,1,1,，,x,2,ty,2,1,，,所以,?,?,?,?,?,?,?,?,x,1,5,4,，,y,1,?,?,?,?,?,?,?,?,x,2,5,4,，,y,2,?,?,?,?,?,?,?,?,ty,1,1,4,?,?,?,?,?,?,?,?,ty,2,1,4,y,1,y,2,(,t,2,1),y,1,y,2,1,4,t,(,y,1,y,2,),1,16,(,t,2,1),1,t,2,2,1,4,t,2,t,t,2,2,1,16,2,t,2,2,t,2,2,（,t,2,2,）,1,16,7,16,.,即,QA,QB,7,16,.,综上，,QA,QB,为定值,?,探究点三,范围问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,例,3,2012,太原一模,已知椭圆,E,：,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),，其焦点为,F,1,，,F,2,，离心率为,2,2,，直线,l,：,x,2,y,2,0,与,x,轴，,y,轴分别交于点,A,，,B,.,(1),若点,A,是椭圆,E,的一个顶点，求椭圆的方程；,(2),若线段,AB,上存在点,P,，且满足,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,，,求,a,的取值范围,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,思考流程,(1),条件：,已知椭圆的一个顶点和离心率；,目标：,求椭圆方程；方法：待定系数法,(2),条件：线段,AB,上存在点,P,，满足,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,；目,标：求,a,的范围；方法：等价转化思想知线段,AB,与椭圆有交,点，利用函数与方程思想来解,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由椭圆的离心率为,2,2,，,故,a,2,c,，,由,A,(2,，,0),，,得,a,2,，,所以,c,2,，,b,2,，,所以椭圆方程为,x,2,4,y,2,2,1.,(2),由,e,2,2,，,设椭圆方程为,x,2,a,2,2,y,2,a,2,1,，,联立,?,?,?,?,?,x,2,a,2,2,y,2,a,2,1,，,x,2,y,2,0,得,6,y,2,8,y,4,a,2,0,，,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,若线段,AB,上存在点,P,满足,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,，,则线段,AB,与椭圆,E,有公共点，等价于方程,6,y,2,8,y,4,a,2,0,在,y,0,，,1,上有解,设,f,(,y,),6,y,2,8,y,4,a,2,，,结合图象需,?,?,?,?,?,0,，,f,（,0,）,0,，,即,?,?,?,?,?,a,2,4,3,，,4,a,2,0,，,4,3,a,2,4,，,故,a,的取值范围是,2,3,3,a,2.,点评,参数范围的思路是建立求解目标关于某个变,量的函数，通过求函数值域求解其范围,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,归纳总结,解析几何中求参数范围问题的思路是建立,求解目标关于某个变量的函数，通过求函数值域求解其范,围解题过程要注意变量自身的范围，如直线和圆锥曲线,有交点的情况下，就应该有,0,等,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,变式题,2012,洛阳三模,已知双曲线,y,2,a,2,x,2,b,2,1(,a,，,b,0),的离心率,e,5,2,，焦点,(0,，,c,),到一条渐近线的距离为,1.,(1),求此双曲线的方程；,(2),设,P,为双曲线上一点，,A,，,B,两点在双曲线的渐近,线上，且分别位于第一、第二象限，若,AP,PB,，其中,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,，,3,，求,AOB,面积的取值范围,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),依题意，焦点,(0,，,c,),到渐近线,ax,by,0,的距,离为,1,，,即,bc,a,2,b,2,b,1,，,又,e,c,a,5,2,，,a,2,，,b,1,，,c,5,，,故双曲线的方程为,y,2,4,x,2,1.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,(2),由,(1),知双曲线的渐近线方程为,y,2,x,，,设,A,(,m,，,2,m,),，,B,(,n,，,2,n,),，,其中,m,0,，,n,0.,由,AP,PB,得点,P,的坐标为,?,?,?,?,?,?,?,?,m,n,1,，,2,m,2,n,1,，,将点,P,的坐标代入,y,2,4,x,2,1,整理得,mn,（,1,）,2,4,，,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,设,AOB,2,，,则,tan,1,2,，,从而,sin2,4,5,，,又,|,OA,|,5,m,，,|,OB,|,5,n,，,所以,S,AOB,1,2,|,OA,|,|,OB,|sin2,2,mn,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,，,易知,f,(,),1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,在,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,，,1,上单调递减，在,1,，,3,上单调递增，且,f,(3),8,3,，,f,(1),2,，,f,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,9,4,，,所以,AOB,面积的取值范围是,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,8,3,.,?,探究点四,最值问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,例,4,2012,浙江卷,如图,8,47,1,，在直角坐标系,xOy,中，点,P,?,?,?,?,?,?,?,?,1,，,1,2,到抛物线,C,：,y,2,2,px,(,p,0),的准线的距离为,5,4,.,点,M,(,t,，,1),是,C,上的定点，,A,，,B,是,C,上的两动点，且线段,AB,被直,线,OM,平分,(1),求,p,，,t,的值；,(2),求,ABP,面积的最大值,图,8,47,1,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,思考流程,(1),已知：点,M,在抛物线上、点,P,到抛物,线准线的距离；,目标：,求,p,，,t,；,方法：,根据已知列方程组，,解方程组即得,(2),已知：线段,AB,被直线,OM,平分、点,P,坐标、抛物,线方程；目标：,ABP,面积的最大值；方法：利用点,Q,为,AB,的中点，,以点,Q,的坐标为参数建立,ABP,面积的函,数关系式，通过函数的最值求解,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由题意知,?,?,?,?,?,2,pt,1,，,1,p,2,5,4,，,得,?,?,?,?,?,p,1,2,，,t,1.,(2),由,(1),知抛物线,C,的方程为,y,2,x,，,M,(1,，,1),设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,线段,AB,的中点为,Q,(,m,，,m,),，,直线,AB,的斜率为,k,(,k,0),由,?,?,?,?,?,y,2,1,x,1,，,y,2,2,x,2,，,得,(,y,1,y,2,)(,y,1,y,2,),x,1,x,2,.,故,k,2,m,1.,所以直线,AB,方程为,y,m,1,2,m,(,x,m,),，,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,即,x,2,my,2,m,2,m,0.,由,?,?,?,?,?,x,2,my,2,m,2,m,0,，,y,2,x,消去,x,，,整理得,y,2,2,my,2,m,2,m,0,，,所以,y,1,y,2,2,m,，,y,1,y,2,2,m,2,m,.,从而,|,AB,|,1,1,k,2,|,y,1,y,2,|,1,4,m,2,4,m,4,m,2,.,设点,P,到直线,AB,的距离为,d,，,则,d,|1,2,m,2,m,2,|,1,4,m,2,.,设,ABP,的面积为,S,，,则,S,1,2,|,AB,|,d,|1,2(,m,m,2,)|,m,m,2,.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,由,4,m,4,m,2,0,，,得,0,m,1.,令,u,m,m,2,，,0,u,1,2,，,则,S,u,(1,2,u,2,),，,设,S,(,u,),u,(1,2,u,2,),，,0,u,1,2,，,则,S,(,u,),1,6,u,2,.,由,S,(,u,),0,得,u,6,6,?,?,?,?,?,?,?,?,0,，,1,2,，,所以,S,(,u,),max,S,?,?,?,?,?,?,?,?,6,6,6,9,.,故,ABP,面积的最大值为,6,9,.,归纳总结,解决参数范围、最值问题时，在建立目标,函数或不等关系时要选用一个合适的变量，其原则是这个,变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、,直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处,理,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,变式题,2012,西城二模,已知椭圆,C,：,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),的离心率为,6,3,，且经过点,?,?,?,?,?,?,?,?,3,2,，,1,2,.,(1),求椭圆,C,的方程；,(2),过点,P,(0,，,2),的直线交椭圆,C,于,A,，,B,两点，求,AOB,(,O,为原点,),面积的最大值,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由,e,2,a,2,b,2,a,2,1,b,2,a,2,2,3,，,得,b,a,1,3,.,由椭圆,C,经过点,?,?,?,?,?,?,?,?,3,2,，,1,2,，,得,9,4,a,2,1,4,b,2,1.,联立，解得,b,1,，,a,3.,所以椭圆,C,的方程是,x,2,3,y,2,1.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,(2),易知直线,AB,的斜率存在，设其方程为,y,kx,2.,将直线,AB,的方程与椭圆,C,的方程联立，,消去,y,得,(1,3,k,2,),x,2,12,kx,9,0.,令,144,k,2,36(1,3,k,2,)0,，,得,k,2,1.,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,则,x,1,x,2,12,k,1,3,k,2,，,x,1,x,2,9,1,3,k,2,.,所以,S,AOB,|,S,POB,S,POA,|,1,2,2,|,x,1,x,2,|,|,x,1,x,2,|.,返回目录,点,面,讲,考,向,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,因为,(,x,1,x,2,),2,(,x,1,x,2,),2,4,x,1,x,2,?,?,?,?,?,?,?,?,12,k,1,3,k,2,2,36,1,3,k,2,36,（,k,2,1,）,（,1,3,k,2,）,2,，,设,k,2,1,t,(,t,0),，,则,(,x,1,x,2,),2,36,t,（,3,t,4,）,2,36,9,t,16,t,24,36,2,9,t,16,t,24,3,4,.,当且仅当,9,t,16,t,，,即,t,4,3,时等号成立，此时,AOB,面积取,得最大值,3,2,.,答题模板,11,直线与圆锥曲线的综合问题的规范解答,返回目录,多,元,提,能,力,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,例,2012,唐山一中三模,已知椭圆,C,：,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),的离,心率为,5,3,，定点,M,(2,，,0),，椭圆短轴的端点是,B,1,，,B,2,，且,MB,1,MB,2,.,(1),求椭圆,C,的方程；,(2),设过点,M,且斜率不为,0,的直线交椭圆,C,于,A,，,B,两点试,问,x,轴上是否存在定点,P,，使,PM,平分,APB,？若存在，求出点,P,的坐标；若不存在，说明理由,返回目录,多,元,提,能,力,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由,5,9,e,2,a,2,b,2,a,2,1,b,2,a,2,，,得,b,a,2,3,.2,分,依题意,MB,1,B,2,是等腰直角三角形，从而,b,2,，故,a,3.3,分,所以椭圆,C,的方程是,x,2,9,y,2,4,1.4,分,(2),设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，直线,AB,的方程为,x,my,2.5,分,将直线,AB,的方程与椭圆,C,的方程联立，,消去,x,得,(4,m,2,9),y,2,16,my,20,0,，,所以,y,1,y,2,16,m,4,m,2,9,，,y,1,y,2,20,4,m,2,9,.7,分,若,PM,平分,APB,，则直线,P,A,，,PB,的倾斜角互补，,所以,k,P,A,k,PB,0.,设,P,(,a,，,0),，则有,y,1,x,1,a,y,2,x,2,a,0.9,分,返回目录,多,元,提,能,力,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,将,x,1,my,1,2,，,x,2,my,2,2,代入,上式，,整理,得,2,my,1,y,2,（,2,a,）（,y,1,y,2,）,（,my,1,2,a,）（,my,2,2,a,）,0,，,所以,2,my,1,y,2,(2,a,)(,y,1,y,2,),0.10,分,将,y,1,y,2,16,m,4,m,2,9,，,y,1,y,2,20,4,m,2,9,代入上式，整理得,(,2,a,9),m,0.,由于上式对任意实数,m,都成立，所以,a,9,2,.,综上，存在定点,P,?,?,?,?,?,?,?,?,9,2,，,0,，使,PM,平分,APB,.,12,分,方法解读,直线与圆锥曲线综合问题包括：,(1),直线与圆锥曲线位置关系这个内容前面已有总结；,(2),直线与圆锥曲线综合问题中要重视韦达定理和判别式,的作用如利用韦达定理进行设而不求计算弦长；涉及弦,的中点问题，常用点差法另外，要充分挖掘题目中的隐,含条件，寻找量与量之间的关系，主要规律是“联立方程,求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不,能忘”,返回目录,多,元,提,能,力,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,返回目录,多,元,提,能,力,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,自我检评,2012,昌平二模,已知椭圆,C,：,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),过点,B,(0,，,1),，离心率为,2,2,3,.,(1),求椭圆,C,的方程；,(2),是否存在过点,P,(0,，,2),的直线,l,，与椭圆交于,M,，,N,两个不同的点，且使,PM,1,2,PN,成立？若存在，求出直线,l,的方程；若不存在，请说明理由,返回目录,多,元,提,能,力,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：,(1),由题意可知,b,1,，,c,a,1,?,?,?,?,?,?,?,?,b,a,2,1,1,a,2,2,2,3,，,解得,a,2,9.,故椭圆,C,的方程为,x,2,9,y,2,1.,(2),PM,1,2,PN,，,点,M,为,PN,的中点，,设,M,(,x,1,，,y,1,),，,N,(,x,2,，,y,2,),，,则,x,2,2,x,1,，,(i),当直线的斜率,k,不存在时，,M,(0,，,1),，,N,(0,，,1),，,P,(0,，,2),，,易知不符合条件，此时直线方程不存在,(ii),当直线的斜率存在时，设直线的方程为,y,kx,2.,返回目录,多,元,提,能,力,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,由,?,?,?,?,?,y,kx,2,，,x,2,9,y,2,1,，,消去,y,得,(9,k,2,1),x,2,36,kx,27,0.,得,(36,k,),2,4,(9,k,2,1),270,，,解得,k,2,1,3,.,(*),x,1,x,2,36,k,9,k,2,1,，,x,1,x,2,27,9,k,2,1,，,由消去,x,1,，,x,2,，,可得,k,2,3,5,，,故,k,15,5,.,综上可知：存在这样直线,l,的方程为：,y,15,5,x,2.,【备选理由】,下面的例题是一道典型的定点问题的试题，从这个题,目可以看出解决定点问题的基本思路,返回目录,教,师,备,用,题,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,返回目录,教,师,备,用,题,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,例,2012,福建卷,如图,8,47,2,所示，,等边三角形,OAB,的边长为,8,3,，且其三个顶点均在抛物线,E,：,x,2,2,py,(,p,0),上,图,8,47,2,(1),求抛物线,E,的方程；,(2),设动直线,l,与抛物线,E,相切于点,P,，与直线,y,1,相交,于点,Q,，证明以,PQ,为直径的圆恒过,y,轴上某定点,返回目录,教,师,备,用,题,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,解：方法一：,(1),依题意，,|,OB,|,8,3,，,BOy,30,.,设,B,(,x,，,y,),，,则,x,|,OB,|sin30,4,3,，,y,|,OB,|cos30,12.,因为点,B,(4,3,，,12),在,x,2,2,py,上，,所以,(4,3),2,2,p,12,，,解得,p,2.,故抛物线,E,的方程为,x,2,4,y,.,返回目录,教,师,备,用,题,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,(2),由,(1),知,y,1,4,x,2,，,y,1,2,x,.,设,P,(,x,0,，,y,0,),，,则,x,0,0,，,且,l,的方程为,y,y,0,1,2,x,0,(,x,x,0,),，,即,y,1,2,x,0,x,1,4,x,2,0,.,由,?,?,?,?,?,y,1,2,x,0,x,1,4,x,2,0,，,y,1,，,得,?,?,?,?,?,x,x,2,0,4,2,x,0,，,y,1.,所以,Q,?,?,?,?,?,?,?,?,x,2,0,4,2,x,0,，,1,.,返回目录,教,师,备,用,题,第,47,讲,圆锥曲线的热点问题,假设以,PQ,为直径的圆恒过定点,M,，,由图形的对称性知,M,必在,y,轴上，设,M,(0,，,y,1,),，,令,MP,MQ,0,对满足,y,0,1,4,x,2,0,(,x,0,0),的,x,0,，,y,0,恒成立,由于,MP,(,x,0,，,y,0,y,1,),，,MQ,?,?,?,?,?,?,?,?,x,2,0,4,2,x,0,，,1,y,1,.,由,MP,MQ,0,，,得,x,2,0,4,2,y,0,y,0,y,1,y,1,y,2,1,0.,即,(,y,2,1,y,1,2),(1,y,1,),y,0,0.(*),由,于,(*),式,对,满,足,y,0,1,4,x,2,0,(,x,0,0),的,y,0,恒,成,立,，,所,以,?,?,?,?,?,1,y,1,0,，,y,2,1,y,1,2,0,，,解得,y,1,1.,故以,PQ,为直径的圆恒过,y,轴上的定点,M,(0,，,1),返回目录,教,师,