能量子假说光电效应课件.ppt

1,第十章 波函数与薛定谔方程,2,引 言,物理学的分支及近年来发展的总趋势,3,近年来的发展：,*粒子物理 高能加速器产生新粒子，已发现300种。麦克斯韦理论、狄拉克量子电动力学、重整化方法。,*天体物理:运用物理学实验方法和理论对宇宙各种星球进行观测和研究，从而得出相应的天文规律的学科。应用经典、量子、相对论、等离子体物理和粒子物理。,*生物物理:有机体遗传特性研究,引 言,物理学发展的总趋向：,*学科之间的大综合。,*相互渗透结合成边缘学科。,生物物理、生物化学、物理化学、量子化学、量子电子学、量子统计力学、固体量子论。,4,二十世纪物理学中两个重要的概念：场和对称性,从经典物理学到量子力学过渡时期的三个重大问题的提出,光电效应 康普顿效应。,黑体辐射问题，即所谓“紫外灾难”。,原子的稳定性和大小。,引 言,19 世纪末,物理学晴朗天空飘着的两朵乌云：,量子力学的诞生,相对论的建立,黑体辐射,迈克尔逊-莫雷实验,5,量子力学授课安排,量子力学发展：能量子、光量子、氢原子模型 4量子力学基础：德布罗意波、量子力学假设 5量子力学场方程：薛定鄂方程 1场方程应用：定态薛定鄂方程的解 2量子力学应用与前沿介绍：激光与半导体等 2,6,一、黑体辐射与普朗克能量子假设,实验表明：一切物体是以电磁波的形式向外辐射能量。辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。,辐射和吸收的能量相等时称为热平衡。此时温度不变。,单色辐射出射度定义:,辐射出射度定义:,单位时间、单位表面积上所辐射出的各种波长电磁波的能量。,单位时间、单位表面积上所辐射出的单位波长间隔中()的能量。,第一节 光量子：光的波粒二象性,7,吸收比,反射比,1 绝对黑体的热辐射规律,对于任意温度或波长，绝对黑体的吸收比都恒为1,用不透明材料制成一空心容器，壁上开一小孔，可看成绝对黑体,对于非透明物体,第一节 波粒二象性,黑体辐射,8,经 n 次反射后:,从小孔射出的辐射相当于从面积等于小孔孔面的一个温度为T 的绝对黑体表面的辐射能。,第一节 波粒二象性,黑体辐射,实验结果,9,2 经典物理遇到的困难：,1896年,维恩根据经典热力学得出：,短波吻合好,长波段差,获得1911年诺贝尔物理学奖,1900年,瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论(驻波法)得出：,只适于长波，所谓的“紫外灾难”。,第一节 波粒二象性,黑体辐射,黑体辐射,10,3 普朗克黑体辐射公式(1900),第一节 波粒二象性,黑体辐射,11,*辐射物体中包含大量谐振子的能量是取特定的分立值,*振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量,从理论上推出：,*一定，存在着能量的最小单元（能量子);h=6.62610-34焦耳.秒。,获得1918年诺贝尔物理学奖,第一节 波粒二象性,普朗克能量子假设,12,=h,能量子：,说明：*这个能量子假设与经典理论有本质的区别；*“h”是区别量子与经典物理的一个明显标志,例：m=0.3kg、k=3N/m的弹簧振子，振幅为A=0.1m。由于摩擦系统的能量逐渐耗散，能量减小是否是连续？,弹簧振子的振动频率：,系统总能量：,能量跳变：,相对能量间隔：,第一节 波粒二象性,普朗克能量子假设,13,二、光电效应,1、光电效应的实验规律,赫兹：18861887 勒纳德：1889,实验装置,G：测量光电流U：测量AK电压,*I 随着UAK 增加而增加直至某一饱和 电流 Is。Is与光照强度成正比。,*截至电压Ua 0.,实验结果,第一节 波粒二象性,光电效应与光量子,14,*光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。,截止电压的大小反映光电子初动能的大小：,截止电压与入射光频率成线性.,第一节 波粒二象性,15,*光电子初动能依赖光频；经典认为光强越大，饱和电流应该大，光电子的初动能也该大。但实验上饱和电流不仅与光强有关而且与频率有关，光电子初动能取决于光频率。,2、经典理论解释光电效应的困难：,*红限频率；只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。而经典认为光电效应只依赖光强，而不应与频率有关。,*瞬时性。光电效应具有瞬时性，其响应速度很快 10-9 秒。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间。,第一节 波粒二象性,光电效应与光量子,16,1905年，爱因斯坦在能量子假说基础上提出光子理论：,认为光不仅在与物质相互作用时（发射和吸收），具有粒子性，而且在传播过程中也有粒子性。,一个频率为 的光子具有能量：,由能量守恒可得出：光电效应中，一个电子逸出金属表面后的最大动能：,A只与金属性质有关，与光的频率无关。A 称为逸出功。,获得1921年诺贝尔物理学奖,光由一群能量分立即量子化，且以光速运动的粒子（光子）组成。,第一节 波粒二象性,3 爱因斯坦的光子学说,17,*解释截止电压与频率成线性关系以及红限频率的存在。,*光照射阴极板时，电子吸收光子能量 解释光电效应几乎瞬时产生。,*饱和光电流强度与光强成正比 参与作用的光子数多,第一节 波粒二象性,3 爱因斯坦的光子学说,18,1916年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得h=6.5710-34 焦耳秒。光的波动性（p）和粒子性（）是通过普朗克常数联系在一起的。,相对论质能关系：,光子的静止质量为零!,因为：,光子的动量：,光子的能量、动量和质量,获得1923年诺贝尔物理学奖,第一节 波粒二象性,4、光的波粒二象性,波粒二像性,19,1.X射线在石墨上的散射实验结果：,(1)散射的射线中有与 入射波长 相同的射线,也有波长 的射线.,(2)散射线中波长的改变量 随散射角 的增加而增加。,(3)同一散射角下 相同,与散射物质无关；原子量较小的物质，康普顿散射较强。,第一节 波粒二象性,三、康普顿效应(19221923),康普顿散射,20,第一节 波粒二象性,康普顿散射实验,21,（2）康普顿的解释：,X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞:,碰撞过程中能量与动量守恒：,2.康普顿效应验证光的量子性,（1）经典电磁理论的困难：,第一节 波粒二象性,康普顿效应解释,22,波长偏移：,X射线光子与束缚很紧的电子碰撞:,(4)2-(3)得,可见：与0无关，只与散射角 有关，、。,23,3.康普顿散射实验的意义,X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞；,X射线光子与束缚很紧的电子碰撞：,由上面两点可推知：,原子量较大的物质，电子束缚很紧,原子量较小的物质，电子束缚很弱,自由电子,康散射较弱,康普顿散射进一步证实了光子论，证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒二象性。另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。,1923年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证了康普顿解释,合得1927年诺贝尔物理学奖,第一节 波粒二象性,康普顿散射实验,24,4.康普顿散射与光电效应的区别,(1)康普顿效应中光子被散射,只将部分能量交给自由电子，而光电效应中光子被束缚电荷整个吸收。,康普顿效应中光子的能量不能被自由电子全部吸收?,反证：假设电子完全吸收光子的能量 hv,由能量守恒：,由动量守恒：,(2)在光电效应中会观测到康普顿效应?,观察不到,入射波长与 C时康普顿效应才显著,第一节 波粒二象性,康普顿散射实验,25,康普顿解释中部分能量传递给电子与光子概念矛盾?,第一节 波粒二象性,康普顿效应解释,26,第二节 玻尔原子量子论,里德伯常数的实验值：,1.巴尔末系的里德伯公式（1885-1889）,经验公式,一、氢原子光谱,波数描述,氢原子光谱,27,赖曼系(1914)：,帕邢系(1908)：,布喇开系(1922)：,普丰特系(1924)：,广义的巴尔末公式：,紫外区,红外区,28,1、原子的核式结构(1909),电子运动方程,二、经典理论解释困难,动能,势能,电子的总能量,1898 汤姆逊 电子 西瓜模型,29,*加速电荷（偶极振荡）辐射电磁波，能量会逐渐减少，导致电子最终会落到原子核上。,*偶极辐射电磁波，应为连续光谱。,2.核式模型解释困难：,向心力作用,电子加速运动,辐射电磁波,原子半径为10-15m,相矛盾,E，r,实际半径为 10-10 m,原子发光的频率应等于电子运动的频率。,辐射光谱应是连续光谱,与实验相矛盾,*行星模型无法解释原子的稳定性（金）、同一性（太阳系）、再生性（彗星撞击）等。,30,三、玻尔的原子量子论,玻尔(1885-1962)：1911年、哥本哈根剑桥,1.广义的巴尔末公式：,光子的能量=能量之差。,1913.7.9.11哲学杂志原子构造与分子构造,汤姆逊(卡文迪许）、卢瑟福（曼彻斯特）,普朗克、爱因斯坦,获得1922年诺贝尔物理学奖,31,1）定态假设：原子处于一系列不连续稳定状态(定态)。,3）轨道量子化条件：,2）跃迁假设：,2.玻尔原子系统的基本假设,量子数,电子在定态运动不会发生电磁辐射；当电子从一个定态轨道跃迁到另一个定态轨道时，会以电磁波的形式放出或吸收能量hn=E1-E2。,32,3.玻尔的氢原子理论：,束缚态,原子电离,轨道是量子化的!,1）氢原子的轨道半径：,第一玻尔轨道半径,33,2）氢原子的能级,电子在半径为rn 的轨道上运动时，原子系统的总能量是：,将 rn 代入上式：,第一玻尔轨道,激发态,能量量子化,基态能量,34,3）电子运动的速度,n、速度Vn,一个能级将对应一条圆轨道,由：,35,4.氢原子光谱的理论解释,1）里德伯常数的理论值,根据：,令：,这是什么？,而 实验值：,广义的巴尔末公式！,每一个光谱项都对应一个确定能级：,36,赖曼系,巴耳末系,帕邢系,布喇开系,氢原子能级图,37,2）解释分立的谱线,3）解释谱线系,为什么存在谱线系？为什么有些谱线在短波区？有些长波区？什么情况下在什么区？,看：,不同的 v 对应不同的谱线。,v不连续，,能级不连续,氢原子能级图,38,5.弗兰克赫兹实验（1914）,实验装置,K极,G极,G极,加反向电压,P极,电子在其中的运动简单描述:,从热阴极K发出,经UGK电场加速运动到栅极G；由于接受极电压小于栅极电压，电子在GP过程中将减速；只有到G极的电子具有较大能量时，才可以克服反电场UPG到达接受极板P，从而才可能通过回路，形成电流。因此回路中的电流依赖于电子运动到栅极后的能量。,（1）调节UGK两端电压，回路中电流将增加。（单调关系）,（2）容器内充满气体又如何？,39,(1)改变V，,到达P极的电子增加。,(2)V=4.9v后，,形成一峰值,(3)每隔V=4.9v，就有一 峰值出现。,为什么?,热阴极,栅极,接受极,汞蒸气,获得1925年诺贝尔物理学奖,汞原子选择吸收，其内存在一个能量为4.9eV的量子态。电子能量小于4.9eV时，电子碰撞汞原子时其能量几乎没有损失。电子能量=4.9eV？=2*4.9eV？,40,四、玻尔理论的评价,1.成功（对氢原子、类氢离子、一价的）,（1）,（2）定态、频率跃迁的概念；,（3）推出广义的巴尔末公式，预言了k=1，4，5的存在，果然在19151924年间发现了这些谱线；,（4）对元素周期表能作一些解释；,（5）在，时，跃迁频率v与电子绕核运动的频率相同（玻尔理论回到了经典理论）,2.局限性,对稍复杂的原子光谱，定性、定量都不能解释；对氢原子谱线的强度、宽度等问题难以解决。,41,对玻尔理论的评价：,成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的规律性。,为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础。,对应原理：当量子数 n 趋于无限大时，量子理论得出的结果与经典理论的结果相一致.,玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。它不能解释稍微复杂的问题，正是这些困难，迎来了物理学的大革命。,定态假设：定态具有稳定性和确定的能量值依然保留在近代量子论中。本征态（粒子处在某物理量的本征态时，其物理量有确定的值）。,42,对玻尔理论的评价：,玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。它不能解释稍微复杂的问题，正是这些困难，迎来了物理学的大革命。,两个著名的非难：卢瑟福质疑：“当电子从一个能态跳到另一能态时，您必须假设电子事先就知道它要往那里跳？”,(2)薛定鄂非难：“电子从一个轨道跳到另一轨道，需要时间。在这段时间内，电子已经离开E1态，但又尚未到达E2态，那时电子处在什么状态？”,43,第三节 德布罗意波与波函数,历 史 回 顾,旧量子论：,普朗克的能量子假设,爱因斯坦的光子说、康普顿效应,玻尔的氢原子模型、量子态,经典物理中的波和粒子、光的波粒二象性,经典物理：证实了光的波动性早期量子论：证实光的波粒二象性,波动性,微粒性,h,44,1918年、普朗克、能量子（1900）1921年、爱因斯坦、光子说和光电效应解释（1905）1922年、玻尔、原子模型及其发光（1913）1923年、密立根、电子电量测量(1911)和h的测量(1914)1925年、弗兰克和赫兹、电子原子碰撞实验（1914）1927年、康普顿和威尔逊、康普顿效应(1922)1929年、德布罗意、物质波（1924）1932年、海森伯格、量子力学（1925）1933年、薛定鄂和狄拉克、量子波动力学(1925、1927)1937年、戴维逊和汤姆逊、电子衍射实验（1927）1945年、泡利、泡利不相容原理（1924）1954年、玻恩、波函数统计解释（1926）1986年、毕宁和罗尔、扫描隧道显微镜（1981）,45,经典物理：证实了光的波动性早期量子论：证实光的波粒二象性,波动性,1924年，德布罗意提出，实物粒子（电子、质子、中子、分子、）也具有波粒二象性.,一、物质波的提出,微粒性,h,46,物质波:,在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s,对应的德布罗意波长为：,1924年，德布罗意的博士论文量子理论研究,获得1929年诺贝尔物理学奖,47,德布罗意还指出：氢原子中电子的圆轨道运动，它所对应的物质波形成驻波，圆周长应等于波长的整数倍。,再根据德布罗意关系,得出角动量量子化条件,德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c 是个“大”常数；普朗克常数 h 是个“小”常数。,48,2.自由粒子的德布罗意波长,若自由电子是经过电场 U 加速，则有,自由粒子运动速度,49,(1).戴维逊革末电子衍射实验(1927)：,3.物质波的实验验证,50,实验结果：U=54v，在=500处，射线强度有一极大。,德氏电子波长：,Ni的晶格常数：,d 0=2.15,取 k=1,理论值与实验值吻合较好!,A,Ni晶体,(1).戴维逊革末电子衍射实验(1927)：,d0,d,51,(2).电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X 射线一样产生衍射现象。,戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金.,（汤姆逊1927）,（约恩逊1961),52,(3).量子围栏,1993年，M.F.Crommie等人 Science,1993,262：218。用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜表面上的48个铁原子排列成圆环形的量子围栏，实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波，它直观地证实了电子的波动性。,在量子围栏内，铜的表面电子波受到铁原子的强散射作用，与入射的电子波发生干涉，形成驻波。,量子围栏,53,1.不确定关系（测不准关系）,经典粒子(如质点)：,微观粒子(如电子)：,(1).位置和动量的不确定关系式,以电子单缝衍射为例说明此关系,质点在运动时，其坐标和动量是可以同时被测定的,其坐标和动量不能同时被测定（微观粒子的波粒二象性）,量子力学理论证明：在某确定方向上(如x方向)粒子的位置有不确定量x，对应动量的不确定量Px，两者有如下关系：,二、波函数,54,设一束动量为P的电子通过宽为a=x 的单缝，产生衍射:,考虑其中一个电子从宽为x 的缝中通过,电子的坐标不确定范围是：,电子动量在 x 方向的分量：Px=？,显然：过缝之后Px 0,若考虑电子落在中央极大内，则：,动量的最小不确定范围：,落在次极大的电子：,由单缝衍射极小：,可得：,55,上式具有普遍意义。在三维运动中应有：,海森伯不确定关系的数学表达式,在确定粒子坐标越准确的同时（x越小）,确定粒子在这坐标方向上动量分量的准确度就越差(Px越大).,(2).能量和时间的不确定关系：,若一体系处于某状态的时间不确定量为t 那么，这个状态 的能量也有不确定范围E。（可解释光谱线宽度）,原子在某激发状态的时间越长，该态的能级宽度就越小;,E小的能级比较稳定，对基态 基态最稳定。,56,拍测量频率,已知频率,待测频率,拍,观测一个拍所需时间,57,例1.对速度为 v=105m/s的电子射线束（射线），若测量速度的精确度为0.1%（即），求：电子位置的不确定量.,根据测不准关系：,例2.原子的线度是10-10m，用不确定关系讨论原子中电子速度的不确定量.,电子的速度的不确定量为：,结论：不能用经典理论计算原子核外电子的速度。,解：,58,例3.设子弹的质量为0.01kg，枪口的直径为0.5cm，试用测不准关系计算子弹射出枪口的横向速度.,例4.电子显像管中，电子的加速电压为9kv，电子枪口直径为0.1mm，求电子射出枪口的横向速度.,解：,电子经9kv电压加速的速度为：,59,非常小,令：h0,那么：在任何情况下都可有x=0、Px=0,波,粒子,波粒二象性就将从自然界中消失,关于 h 的几句话：,60,2.波函数,一个自由粒子有动能 E 和动量P，对应的德布罗意波的频率和波长：,宏观物体：,运动状态的描述：,运动规律的描述：,微观物体：,运动状态的描述：,波函数,不是经典的粒子,抛弃了“轨道”概念,不是经典的波，不代表实在的物理量的波动,但是：,物质波是波又是粒子，物质波既不是波也不是粒！,61,现代量子论认为：由于仪器本身只能提供经典的波态或粒子态环境，换言之，仪器的作用是制造一个经典的波或粒子陷阱，当处于相干叠加态的微观粒子进入仪器后就落入这个陷阱，要么呈波态，要么呈粒子态。,（1）单光子干涉,62,现代量子理论：进入第一个分束镜之前，光子处在粒子与波的相干叠加态。,粒子态,波态,相干叠加态：,单光子干涉,63,（2）薛定谔猫,1990 Rocheste Univ.J.Yeazell 光子猫.http:/www.lkb.ens.fr/recherche/qedcav/english/englishframes.html,若只做一个小时的实验，按照量子论的说法，猫将处在“不死不活”的叠加态，这对一个宏观的动物猫来说显然是荒谬的，然而量子论的确会给出这一预言，量子论的预言正确吗？,1935 薛定谔的著名猫佯谬:一个箱子里有一只猫和一盛有氰化物的密封容器，箱内有微量放射性物质R，其半衰期保证二小时内有一个原子衰变，衰变原子放射射线触发继电器砸碎装有氰化物的容器，这样猫便立即死去。,64,由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x 方向传播的平面机械波可表示为：,用复数的表示：,得：,(3)自由粒子的波函数量子力学基本假设之一,65,波函数,3.波函数的物理意义：(Born解释),波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度,微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，,波函数是什么？,电子衍射实验解释:二者皆可.这意味着粒子与波一一对应,波函数又称为几率波,66,与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比,几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程。,宏观物体：讨论它的位置在哪里。,微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。,区别,67,4.波函数的性质,几率密度,1）波函数具有归一性,粒子在整个空间出现的几率：,波函数的归一化条件,粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，某时刻、在（x,y,z）附近的体积元 dt 中，出现粒子的几率为：,表示某时刻、在空间某地点附近单位体积内粒子出现的几率,=1,68,4）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。,2）连续性:,一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的几率应有一定的量值。,在空间各点都有粒子出现的可能。,3）有限性:,保证波函数是平方可积。,1）归一性：,69,双缝干涉实验,进一步理解波函数（几率幅）,(1).机枪子弹射击,x,子弹一粒一粒发射，只开缝 1，子弹在靶上的分布为 r1；只开缝 2，子弹在靶上的分布为 r2；两缝同时开时，靶上的分布为r1和 r2 的简单相加。,70,(2)电子双缝衍射 量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的不确定性,当双缝同时打开时，一个电子同时处在1态和2态。双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态。,单缝1使通过它的电子处于1态；单缝2使其处于2态。,双缝衍射中是电子自己和自己干涉，有些地方由于干涉而几率消失，有些地方则由于干涉而几率加强！,71,线性组合：,量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。,它是由微观粒子波粒二象性所决定的。,处于态1和态2的几率分别为：,双缝同时打开时，电子的几率分布为：,态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律.（而不是几率的相加律）,72,三、波函数叠加原理,(1)玻尔的原子定态与两能级模型,回顾：玻尔的原子定态假设,定态是经典轨道；定态是稳定的;定态轨道对应确定的能量或能级。,玻尔的错误在于用经典轨道概念去描述原子定态，但是定态具有稳定性及定态对应有确定能量值这二个观点，却至今保留在近代量子论中。,定态的概念发展为本征态:各个物理量都有自己的定态或本征态，所谓某物理量的本征态，是指当微观粒子处在该状态时，其对应的该物理量具有确定的值。,73,例如1：氢原子能量的定态（能量的本征态）：当氢原子处在这个状态时，实验测得能量有确定的值，我们也把本征态对应的确定能量值称为能量的本征值。,例如2：一个微观粒子处在自由运动状态，其动量有确定的值 p，我们就说这个微观自由粒子处在动量为 p 的本征态.,注意：同一物理量可有不同的本征值，不同的本征值有不同的本征态。,(1)玻尔的原子定态与两能级模型,线性代数 回 顾：,设 j 是数域 R 上线性空间X中的线性变换，如果对l R，存在一个非零向量 x，使得 j(x)=lx，则称 l 为 j 的一个特征值，x 称为j 的属于l的一个特征向量。,74,量子论:物理量的本征态 yi(i=1,2,n)能构成一组正交、归一、完备的基矢，本征态反映量子运动状态的确定性。此外，微观粒子还可以有一些态，处在这些态时，它们没有确定的物理量与之对应，我们称这种态为叠加态。,(1)两能级模型（重点和难点、必须掌握）,等同任一矢量可按基矢展开一样，叠加态可按本征态展开！,如：电子双缝干涉实验,75,(2)叠加态,实验证明：当微观粒子处在叠加态时，去测量其对应的物理量时，没有确定的结果，实验每次测的值可能是不一样的。但测量值只可能为参加叠加的各本征态的本征值。,叠加态就是各本征态以不同几率出现的一个相加态，在叠加态中，各个本征态以一定的 几率 在叠加态中作出自己的贡献。,叠加态是一个相干态：,它表明微观粒子部分处在y1,部分处在y2。,用仪器测量时，会出现退相干过程，y 将塌缩到y1或者y2本征态。,如单光子干涉实验,76,(2)叠加态,叠加态所对应的物理量的值，虽然是不确定的，然而，可以用实验每次测得的可能出现的本征态所对应的本征值，以及该值重复出现的次数（几率），来计算该物理量的平均值。叠加态是与可能出现的物理量本征值及其出现几率联系在一起的。,y1 态出现的几率,y2 态出现的几率,波函数：描述微观粒子本征态和叠加态的量。,叠加态：,两能级叠加态,本征态的线性组合,77,(3)举例：两能级模型（必须掌握）（*）,设原子二个能级的本征态 y1和y2分别具有能量本征值E1和E2：,归一化波函数的矩阵表示：,波函数的内积定义：,例如：,78,(3)举例：两能级模型,波函数的内积定义：,表示处在能量为定值E1的几率为1,表示处在能量为定值E2的几率为1,定态,叠加态y,=1,79,(3)举例：两能级模型,叠加态y,自己验算,表示：处在能量为E1的几率为；处在能量为E2的几率为,波函数其模的平方 表示几率的概念；波函数 是一个几率幅。与经典力学不一样，微观粒子的状态是用该状态对应的物理量值（本征值）及其出现的几率这两个实验可测量的量来标记，这是波函数内容包含的物理实质。,80,四、波函数的一些概念总结,问：若电子一个一个通过双缝，其结果会如何？,电子衍射实验表明：某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。,（1）波函数是几率波、几率幅,（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；,（3）波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内找到粒子的几率；,（4）波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；,y 和10y 描述的是同一个波函数。,81,四、波函数的一些概念总结,（5）波函数是复数，波函数的矩阵表示以及内积运算,（6）本征值和本征态；,（7）本征态与 叠加态。,（8）自由粒子的波函数,（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；,（3）波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内找到粒子的几率；,（4）波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；,y 和10y 描述的是同一个波函数。,（1）波函数是几率波、几率幅,82,例：光子的偏振态的叠加实验,经典检偏器,(1)入射线偏振光含有大量光子,(2)入射线偏振光只有一个光子,z,x,平行,垂直,一半吸收一半透过,几率诠释！,一个偏振光束中，每一个光子处于一定的偏振态。,部分处于平行晶轴方向的偏振态yx，部分处于垂直晶轴方向的偏振态yy.,83,五、Heisenberg 矩阵力学简介,(1)波函数的矩阵描述,(2)物理量的矩阵算符,量子论的物理量，都可以表示为矩阵算符；借助矩阵代数中本征方程，本征值和本征态的概念，能完美地描述量子论中微观粒子的本征态及其对应确定的物理量值，并有如下对应：矩阵代数中的厄米矩阵 量子论中物理量算符矩阵代数中的本征矢量 量子论中微观粒子的本征态矩阵代数中的本征值 量子论中与本征态对应的物理量的 确定值,84,矩阵代数中的厄米矩阵 量子论中物理量算符矩阵代数中的本征矢量 量子论中微观粒子的本征态矩阵代数中的本征值 量子论中与本征态对应的物理量的 确定值,厄米矩阵：能保证物理量的本征值是实数，满足：,举例：,厄米矩阵,物理量（能量）算符,本征矢量,本征态,本征值,定态物理量的值（能量本征值）,85,86,举例：求叠加态的能量平均值,矛盾？,可见：*叠加态不是本征态，没有确定的本征值；,*叠加态波函数对应的能量平均值为,*每次测量的能量值可能为E1或者E2；测量值为E1和E2的几率为 和；,c1、c2归一化参数,87,表象的概念：,这里，我们选用的是能量的本征态作基矢，称为能量表象（坐标系）；,若选用其它物理量（如动量、坐标）的本征态作基矢，则分别称为动量或者坐标表象；,在坐标表象和动量表象中，本征态基矢可以是连续的，其对应的本征值也是连续的谱，因此，在坐标表象和动量表象中，波函数具有几率密度幅的概念。,END,88,单光子干涉示意图,BS1,BS2,PD2,PD1,PD1：蓝色：2次穿过BS2，2次半波损失；红色：1次BS1，1次BS2，1次半波损失；则两者干涉相消；,PD2：蓝色：1次穿过BS2，2次半波损失；红色：1次BS1，2次半波损失；则两者干涉相长；,89,第四节、薛定谔方程,一、薛定谔方程,1.历史回顾：,M.Planck,Ann.der.Physik,4(1901)553;（能量子假设）A.Einstein,Ann.der.Physik,17(1905)132;（光子）N.Bohr,Phil.Mag.26(1913)1,471,857;（原子模型）L.DeBroglie,Ph.D Thesis,1924;（物质波）L.DeBroglie,Comptes Rendus,177(1923)507;Nature 112(1923)540;W.Heisenberg,Zeit.Physik,33(1925)879;（矩阵力学）M.Born,P.Jordan,Zeit.Physik,34(1925)858;M.Born,W.Heisenberg,P.Jordan,Zeit.Physik,35(1926)557;E.Schrodinger,Annalen der Physik,79(1926)36,489,734;80(1926)437;81(1926)109;（波动力学）M.Born,Zeit.Physik.,38(1926)803;（波函数统计解释）W.Heisenberg,Zeit.Physik.,43(1927)172;（测不准关系）P.A.M.Dirac,Proc.Roy.Soc.A 114(1927)243;(相对论量子力学),90,一维自由粒子（U=0）的波函数为：,=0,U不等于零：扩展,1.薛定谔方程,低速自由粒子速度（VC）：,91,薛定谔方程,量子力学的第二个重要假定,进一步扩展到三维,92,2.定态薛定谔方程,当粒子所在的力场不随时间变化，U(r)与时间无关,薛方程化简为：,设粒子的波函数为：,定态薛定谔方程,满足该方程组的解：,能量算符,93,注：1）粒子的几率密度,当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为:,与时间无关,即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态,2）粒子的定态能级的能量值就是E,定态是指,能量有确定值状态,几率分布是确定的,与玻尔理论对应,94,定态薛定谔方程的意义:,*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一个波函数 与它的运动的稳定状态相联系,这个波函数满足定态薛定谔方程.,*方程的解 表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解相应的常数E(参数),就是粒子在这个稳定状态的能量.,只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些 E值叫本征值，与这些 E值对应的波函数 叫本征函数.,总之，解定态薛定谔方程，就是求出：,(2)与这些状态对应确定能量E，从而动量P,(1)波函数 表示粒子所处的各个可能的稳定状态.,95,3.波动力学中力学量算符,例如：能量算符（哈密顿算符）：,量子力学的力学量是算符，而不是标量或矢量等。,动量算符：,算符的数学特性及表示的物理含义：,（1）力学量算符的本征方程、本征值和本征态,96,（5）举例：力学量算符求其本征值,例1 求角动量的z 分量 的本征态。,解：其满足本征方程：,97,力学量算符量子力学的第三个基本假设,算符的数学特性及表示的物理含义,（1）力学量算符的本征方程、本征值和本征态,（2）力学量算符的平均值,当粒子处在某力学量的非本征态（如叠加态）时，实验测量该力学量的值是不确定的。,例如：,如：,98,（3）力学量算符的厄米性,内积定义:,为了表述方便，先定义量子体系中两个任意波函数的“标积”,说明：dt 为坐标空间体积元，一维体系中为 dx,若变量取分离值，则求内积时应对所有分立值求和。,特 性：,实验中测得的力学量应为实数，即本征值应为实数，平均值亦为实数 这就要求力学量算符必须是厄米的。,99,（3）力学量算符的厄米性,如动量算符：,的复共轭算符定义：把 表达式中的所有复量换成其共厄复量。,的转置算符定义:满足下式,证明：,0,100,（3）力学量算符的厄米性,的厄米共轭算符定义：,根据定义容易推出：,利用矩阵可证明：,101,（3）力学量算符的厄米性,命题：在任何状态下，平均值为实数的算符一定 是厄米算符。,逆定理也成立：厄米算符的平均值必为实数。,102,（3）力学量算符的厄米性,命题：厄米算符的本征值必为实数；厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。,厄米算符的本征值：,103,（4）力学量算符的对易关系,证明：,104,（5）举例：力学量算符,例2 测不准关系,厄米性,可证明,定义:,105,（5）举例：力学量算符,都是厄米算符,可证明,例2 测不准关系（接上页）,106,（5）举例：力学量算符,例2 测不准关系,给出任意两个物理量F 和 G 在任何量子态下的涨落满足的关系式。,例如：,107,（5）举例：力学量算符,例2 测不准关系,x,x,x不定,x确定,l 确定,l 不定,108,（5）举例：力学量算符,例2 测不准关系,给出任意两个物理量F 和 G 在任何量子态下的涨落满足的关系式。,自己证明：,动量 有共同本征态；坐标 有共同本征态；,109,4 全同粒子的不可区分原理量子力学的第四个基本假设,量子与经典也有找不到对应的地方，例如量子的隧道效应。近代有一种观点认为量子理论应包含经典或经典是量子的一种特例或极限近似，由于在宏观范围内出现了量子退相干，使得量子的相干，特性消失而过渡到经典。,完全相同的经典粒子，可借助其轨道来区分它们，然而全同微观粒子，由于它们用波函数重叠空间部分，我们便无法区分它们了（见课本P139图10-3-2）。全同微观粒子的这种不可区分性，要求系统的波函数有一定的交换对称性。（自学）,110,二、定态薛定谔方程的应用,1 一维无限深势阱中粒子的运动,（1）求解.设粒子处在势阱U(x)中,在 0 x a 的区域中，粒子的定态 薛方程为：,其通解为：,111,式中 A、B、k 可由边界条件、归一化条件确定,边界条件,k 是什么？,能量本征值,这样的波函数不满足归一化条件!,其通解为：,则：,112,式中的A 可由归一化条件确定：,方程的解为：,薛方程的解：,即：,势阱中电子的波函数：,本征函数,1 一维无限深势阱中粒子的运动,113,能量是量子化的,相邻两能级的间隔：,当势阱宽度a小到原子的尺度，E 很大，能量的量子化显著,当势阱宽度a大到宏观的尺度，E很小，能量量子化不显著 可把能量看成连续，回到了经典理论,（2）一维无限深方势阱中粒子特点：,这是解薛方程的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设,量子数,例.电子在原子中，a=10-10m的势阱中，其能量为：,量子化显著,若电子在a=10-2m的宏观势阱中,不可分辨，量子化消失,114,粒子的能级图,当 时,经典,量子,等价,玻尔的对应原理,（2）一维无限深方势阱中粒子特点：,在高能级上可看成能级连续分布,115,势阱中电子最低能量不可能为零,（与a 有关，居然与v无关！）,经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零。,-动能(因U=0),这是由测不准关系决定的!,（2）一维无限深方势阱中粒子特点：,116,电子势阱中各处出现的几率,n+1个节点,稳定的驻波能级！,a,x,0,0,a,a/2,117,（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。,例：n=8,（4）当 n，粒子在各处出现的几率相同,量子化消失,（能级连成一片）,说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些驻波。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 x a 范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。,（3）第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点。节点处找到粒子的几率为零.,118,2、势垒贯穿（隧道效应）,（1）有限方势垒：,薛方程：,O,I,II,其解为：,（EUU0,衰减解）,(EU0,振动解）,电子逸出金属表面的模型,d,III,119,（2）隧道效应,（3）扫描隧道显微镜(STM),48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,图象放大：108倍,分辨本领：10-10m,120,3、一维谐振子势阱（固体中原子的振动）,谐振子能量：,经典的能量为：E=kx02/2,零点能,微观波粒二象性的体现,END,121,第五节 氢原子的量子力学处理,1.氢原子的薛定谔方程,氢原子核外电子在核电荷的势场中运动，设,则 处：,U球对称，用球坐标表示求解较好：,其波函数:,U=U(r)，不随时间变