电动力学(数学基础).ppt

电 动 力 学,-Electrodynamics,第0章 数学预备知识,第2章 静电场,第3章 静磁场,第4章 电磁波的传播,第5章 电磁波的辐射,电 动 力 学,第1章 电磁现象的普遍规律,第6章 狭义相对论,第 0 章数学预备知识 Preliminary Maths Knowledge,本 章 主 要 内 容矢量代数标量场的梯度 算符矢量场的散度 高斯定理矢量场的旋度 斯托克斯定理狄拉克 算符在正交曲线坐标系中 运算的表达式二阶微分算符张量分析初步,0-1 矢量代数,物理量按其性质可分为三类:,1.标量:只有大小的量,如时间、温度、电量、能量等。因此只要一个描述其大小的物理量。如温度随空间坐标改变形成温度场。,2.矢量:既有大小也有方向的量,如力、流体流速、电场强度等。描述矢量需要三个分量。如电场强度随空间坐标变化电场。,3.张量:描述张量需要九个分量。如应力、应变等。,矢量 的大小,矢量分析初步：,矢径 方向,方向上的单位矢量：,直角坐标系中,矢量的基本运算,其它坐标系中,矢量的加法,矢量的标积,矢量的矢积,矢量代数中的两个重要公式（证明略）,混合积,矢量微分,双重矢量积,0-2 标量场的梯度，算符Gradient of Scalar Field,Operator,设有一标量函数,方向导数：,引进梯度(Gradient)概念：,算符既具有微分性质又具有矢量性质。在任意方向 上移动线元距离dl，的增量:,空间任意两点标量函数的差值：,例设 为源点 与场 之间的距离，的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求 的梯度。,解（）,同理可得：,则：,（）：场点固定，R是源点的函数，对源点求梯度用 表示。,而,同理可得：,所以得到：,例设u是空间坐标x,y,z的函数，证明,证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有,例：设试求：,解：,同理：,方法二：,利用：,0-3 矢量场的散度 高斯定理Divergence of Vector Field,Gausss Law,1、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dW，而dW是以ds为底，以v cos为高的斜柱体的体积，即称为矢量 通过面元 的通量。,通过曲面S 的通量 即为每一面元通量之和,对于有限曲面S，总可以将S分成许多足够小的面元,对于闭合曲面S，通量为,当闭合曲面S 及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均通量的极限值存在，便记作称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。,2、散度 设封闭曲面S所包围的体积为,则单位体积的平均通量,的正源；当div，表示该点有吸收通量的负源；当div，表示该点为无源场。,散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div，表示该点有散发通量,在直角坐标系中：,证明：,在直角坐标系中,A矢量通过垂直于x轴两面的通量为,同理有:,即有:,例：设求,解:,同理:,那么,这里,同理可得,故有,d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明,解:,3、高斯定理它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。,S,高斯定理的证明:,将闭合面S包围的体积V分成许多体积元:,由于相邻两体积元有一个公共表面,这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好等值异号,求和时就互相抵消,最终只有外表面S的通量没有抵消,即通过所有体积元的通量之和等于从闭合面S穿出的通量.即:,得高斯定理,0-4 矢量场的旋度 斯托克斯定理Rotation of Vector Field,Stokess Theorem,1、矢量场的环流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分称为 沿该曲线L的循环量或流量。2、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么,以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义,称为矢量场 的旋度（rot是rotation的缩写）。,旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot，称为无旋场。,在直角坐标系中可以证明：,即：,例：求,3、斯托克斯定理（Stokess Theorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。,斯托克斯定理的证明:,将曲面S划分成许多小面元:,由于相邻两面元有一个公共边界,这个公共边界上的那部分积分都相互抵消,只有没有公共边界的部分积分没有抵消,结果所有沿小回路积分的总和等于沿大回路L的积分,即:,得斯托克斯定理,L,矢量微分算符常用公式,1,2,3,证明:,0-5 二阶微分算符Second-order Differentiation Operator,例：设u是空间坐标x,y,z的函数，证明,证：,2、二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场，为矢量场。,并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场（3）无旋场可表示一个标量场的梯度（4）无散场可表示一个矢量场的旋度,（5）标量场的梯度的散度为（6）矢量场的旋度的旋度为,证明(1):,证明（2）:,1),2),3),4),关于散度和旋度的两个定理,正定理：标量场的梯度必为无旋场，即 逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。即若，则，称为无旋场 的标量 势函数。,2.正定理:矢量场的旋度必为无散场，即 逆定理:无源场必可表示为某个矢量场的旋度。即若，则，称为无源场 的矢量势函数。,横场与纵场,横场：散度为零的矢量场，也称有旋场或无源场,其矢量线是涡旋状的闭合曲线,纵场：旋度为零的矢量场，也称有源场或无旋场,其矢量线有头有尾的非闭合曲线,一般矢量场的分解：,一般的矢量场并不是单纯的纵场或横场，其散度和旋度都可以不为零，任意一个矢量场都可以分解为纵场与横场之和。,纵场由散度唯一决定；横场由旋度唯一决定。即任意一个矢量场由其散度和旋度唯一确定。,定理：在空间某一区域内给定矢量场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，,则该矢量场在区域内是唯一确定的。,S,亥姆霍兹定理,矢量场的散度和旋度是研究场性质的重要内容,0-6 狄拉克(Dirac)函数,定义 函数为:,且有:,分布在一定空间内的电荷,可用体电荷密度 来表示,对于空间电量为q的点电荷,仍可用 来表示其电荷密度,局域于 附近极小的区域内电荷密度:,即:,且有:,点电荷密度具有 函数的性质:,对于离散分布的点电荷,仍可用 来表示其电荷密度,证明 具有 函数性质,证：,数学上的奇点,0-7 正交曲线坐标系中 运算的表达式Expression of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-Ordinates System,1、不同坐标系表达式 a)笛卡儿坐标:,坐标微分量:dx，dy，dz,坐标变量:x，y，z,b)圆柱坐标系坐标变量:r z,坐标微分量:,c)球坐标系,z,？,球坐标系坐标变量:r,坐标微分量:,面积元:,体积元:,为立体角,2.正交曲线坐标系,设某一正交曲线坐标系中的三个独立变量分别为,坐标微分量为:,梯度算符,h1,h2,h3称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。2、哈密顿算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲线坐标系下的一般表达式,其中 为正交曲线坐标系的基矢；是一个标量函数；,为一矢量函数,直角坐标系,柱坐标系,球坐标系：坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：拉梅系数：,其中,0-8 张量分析初步,定义：两个矢量不作任何运算并列，称为并矢,则有并矢：,设有：,三维空间两矢量的并矢为二阶张量（）,三维空间中需9个分量才能确定的量称为二阶张量（）,其中AiBj等9个分量称为并矢AB或张量 的分量,定义单位张量：,显然一般情况下：,1.张量的加减法：,设有二阶张量：,则有：,张量代数运算：,2.张量的乘法：,即并矢与矢量的点乘是一个矢量,3.运算公式及定理：,CF,在介质内取一点P，以P为原点，取一无限小四面体ABCP。,小四面体ABCP静止，则合力,固体介质的应力张量,为Sx面上x方向上的应力,ABC面应力：,为应力张量,用1,2,3代替x,y,z,CF,题例,同理,正交曲线坐标系中的散度：,略去三阶以上高阶小量,电动力学例题解答,1.,2.下列所示 电场哪一个是静电场？（式中a为适当单位的常数）,3.一半径为a的介质球，置于真空中，已知球内的电极化矢量与坐标矢量r的关系为P=kr，k 是常数，求介质球内的束缚电荷密度、以及球内的电场强度E、电位移矢量D,4.设初始时刻导电介质内存在电荷，电荷密度为，证明电荷将向边界移动，t时刻介质中的电荷密度是,(2),已知，求证 满足泊松方程,解：,例：,已知导体球的电势为V0，球的半径为a，求球外的电势函数,解：因为球外电场具有球面对称性，即电势与 和 无关，即，由拉普拉斯方程,直接积分得：,因为 时，有：C2=0,例：,例：导体球半径为a，带电荷Q，求静电场总能量,解：方法一：,方法二：,方法二：,（参考教材P81第二行的文字说明）,证明：,