函数的概念与表示知识点与经典题型归纳.doc
函数的概念与表示知识领航1函数的定义一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：.注意：函数概念中的关键词(1) A，B是非空数集.(2)任意的A，存在唯一的B与之对应.2. 函数的定义域、值域其中，叫做自变量，的取值围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.3. 函数的三要素定义域、值域和对应法则.4. 相等函数如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念设是两个实数，而且.我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为.（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为.（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，.这里的实数都叫做相应区间的端点.实数可以用区间表示为.“”读作“无穷大”， “”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”，我们可以把满足，的实数的集合分别表示为，.6. 函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.（3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).7. 求函数的解析式的方法（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.（2）换元法: 适用于已知的解析式,求.（3）消元法: 适用于同时含有和，或和.8. 分段函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.9. 映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。 注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集. e线聚焦【例1】下列图象中不能作为函数的是( ). A B C D解：答案为B. 因为B中存在，使得有两个与之对应.【例2】已知函数.(1)求函数的定义域.（2）求,的值.(3）当时，求,的值.解：（1）使得 有意义的实数的集合是， 使得有意义的实数的集合是，所以，这个函数的定义域就是 .（2）（3）因为，所以，有意义， 【例3】已知的定义域为，求的定义域.解：由题意知，所以 所以的定义域为【例4】求下列函数的值域.（1）（2）（3）（4）解：（1）因为，所以，所以的值域为. （观察法）（2）配方，得 又，所以， 所以的值域为. （配方法）（3） 因为，所以所以 的值域为. （分离常数法）（4）设，则且 所以 即 所以的值域为 . （换元法）【例4】下列函数中哪个与函数相等( )A. B. C. D.解：函数的定义域为，对应法则为.A中的定义域为，所以与不是同一个函数；B中的定义域为，且；与的定义域和对应法则都相同，所以为同一函数；C中的定义域为，但，所以与不是同一个函数；D中的定义域为，所以与不是同一个函数.所以，应选B.【例4】某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.解：这个函数的定义域是数集用解析法表示为 列表法表示如下：笔记本数12345钱数510152025用图象法可将函数表示如下图：注意：（1）函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。 （2）函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域。【例5】已知，求和. 解：令，则，所以，所以，所以.注意：此方法为换元法.【例6】已知是一次函数，求的解析式.解：设，则对比系数得 解得 或所以函数的解析式为或.注意：此方法为待定系数法，适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等).【例7】已知，求的解析式.解：用代替得所以 消去解得注意：此方法为消元法求函数的解析式，适用于同时含有和，或和.【例8】已知函数（1）求的值.（2）若，求的值.解：（1） （2）若，则，解得，不满足，舍去；若，则，解得或，不满足，舍去；所以；若，则，解得，不满足，舍去.【例9】画出函数的图象.解：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:【例10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为元，里程为公里，由题意可知，自变量的取值围是（0，20.由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:双基淘宝u 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1下列说确的是()A函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B函数的定义域和值域可以是空集C函数的定义域和值域一定是数集D函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2下列说法中正确的为()Ayf(x)与yf(t)表示同一个函数Byf(x)与yf(x1)不可能是同一函数Cf(x)1与f(x)x0表示同一函数D定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3下列函数完全相同的是()Af(x)|x|，g(x)()2Bf(x)|x|，g(x)Cf(x)|x|，g(x)Df(x)，g(x)x34图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有_5下列集合A到集合B的对应f是函数的是()AA1,0,1，B0,1，f：A中的数平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DAR，B正实数，f：A中的数取绝对值6. 下列两个函数是否表示同一个函数（1）（2）（3）（4）7. 求下列函数的定义域（1）（2）8. 已知函数的定义域为，求的定义域.9. 求下列函数的值域 （1） （2）（3）10已知f(x)(xR且x1)，g(x)x22(xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2)的值11已知函数y(a0且a为常数)在区间(，1上有意义，数a的取值围12画出下列函数的图象:（1）（2）13已知二次函数的图象过点，其对称轴为，求其解析式14. 已知，求的解析式.15已知，求的解析式.16已知，求的值.17. 已知，求使得成立的的取值围.18. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费元，已知甲、乙两户的用水量分别为、(吨).(1)求关于的函数；(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
