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中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合1如图，点P在O的直径AB的延长线上，PC为O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交O于点E(1)如图1，求证：DAC=PAC；(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在O上，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=DG，PO=5，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3【解析】【分析】（1）连接OC，求出OCAD，求出OCPC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出FHO=EHO=45°，根据矩形的性质得出EHDG，求出OM=AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tanMBO，tanP=,设OC=k，则PC=2k，根据OP=k=5求出k=，根据勾股定理求出a，即可求出答案【详解】（1）证明：连接OC，PC为O的切线，OCPC，ADPC，OCAD，OCA=DAC，OC=OA，PAC=OCA，DAC=PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，FGAD，FGD+D=180°，D=90°，FGD=90°，AB为O的直径，BEA=90°，BED=90°，D=HGD=BED=90°，四边形HGDE是矩形，DE=GH，DG=HE，GHE=90°，HEF=FEA=BEA=45°，HFE=90°HEF=45°，HEF=HFE，FH=EH，FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，EH=HF，OE=OF，HO=HO，FHOEHO，FHO=EHO=45°，四边形GHED是矩形，EHDG，OMH=OCP=90°，HOM=90°OHM=90°45°=45°，HOM=OHM，HM=MO，OMBE，BM=ME，OM=AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，HGC=GCM=GHE=90°，四边形GHMC是矩形，GC=HM=a，DC=DGGC=2a，DG=HE，GC=HM，ME=CD=2a，BM=2a，在RtBOM中，tanMBO=，EHDP，P=MBO，tanP=，设OC=k，则PC=2k，在RtPOC中，OP=k=5，解得：k=，OE=OC=，在RtOME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，a=1，HE=3a=3，在RtHFE中，HEF=45°，EF=HE=3【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键2如图，点A、B、C分别是O上的点， CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC（1）若B=60°，求证：AP是O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）求出ADC的度数，求出P、ACO、OAC度数，求出OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出DBE和ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案试题解析：连接AD，OA，ADC=B，B=60°，ADC=60°，CD是直径，DAC=90°，ACO=180°-90°-60°=30°，AP=AC，OA=OC，OAC=ACD=30°，P=ACD=30°，OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OAAP，OA为半径，AP是O切线（2）连接AD，BD，CD是直径，DBC=90°，CD=4，B为弧CD中点，BD=BC=，BDC=BCD=45°，DAB=DCB=45°，即BDE=DAB，DBE=DBA，DBEABD，BEAB=BDBD=考点：1切线的判定；2相似三角形的判定与性质3如图，A过OBCD的三顶点O、D、C，边OB与A相切于点O，边BC与O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交A于点F，点P在射线OA上，且PCD=2DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，2）（1）若BOH=30°，求点H的坐标；（2）求证：直线PC是A的切线；（3）若OD=，求A的半径【答案】（1）（1，）；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；（2）先判断出PCD=DAE，进而判断出PCD=CAE，即可得出结论；（3）先求出OE3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论【详解】（1）解：如图，过点H作HMy轴，垂足为M四边形OBCD是平行四边形，B=ODC四边形OHCD是圆内接四边形OHB=ODCOHB=BOH=OB=2在RtOMH中，BOH=30°，MH=OH=1，OM=MH=，点H的坐标为（1，），（2）连接ACOA=AD，DOF=ADODAE=2DOFPCD=2DOF，PCD=DAEOB与O相切于点AOBOFOBCDCDAFDAE=CAEPCD=CAEPCA=PCD+ACE=CAE+ACE=90°直线PC是A的切线；（3）解：O的半径为r在RtOED中，DE=CD=OB=1，OD= ，OE3OA=AD=r，AE=3r在RtDEA中，根据勾股定理得，r2（3r）2=1解得r=【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键4如图1，已知扇形MON的半径为，MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，COM的正切值为y.（1）如图2，当ABOM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当OAC为等腰三角形时，求x的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) .();(3) .【解析】分析：（1）先判断出ABM=DOM，进而判断出OACBAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进而得出，进而得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论详解：（1）ODBM，ABOM，ODM=BAM=90°ABM+M=DOM+M，ABM=DOMOAC=BAM，OC=BM，OACBAM， AC=AM（2）如图2，过点D作DEAB，交OM于点EOB=OM，ODBM，BD=DMDEAB，AE=EMOM=，AE=DEAB， （）（3）（i） 当OA=OC时在RtODM中，解得，或（舍）（ii）当AO=AC时，则AOC=ACOACOCOB，COB=AOC，ACOAOC，此种情况不存在（）当CO=CA时，则COA=CAO=CAOM，M=90°，90°，45°，BOA=290°BOA90°，此种情况不存在即：当OAC为等腰三角形时，x的值为点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键5已知AB，CD都是的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E如图1，求证：；如图2，过点A作交EC的延长线于点F，过点D作，垂足为点G，求证：；如图3，在的条件下，当时，在外取一点H，连接CH、DH分别交于点M、N，且，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q，若，求线段HM的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由D+E=90°，可得2D+2E=180°，只要证明AOD=2D即可；（2）如图2中，作ORAF于R只要证明AORODG即可；（3）如图3中，连接BC、OM、ON、CN，作BTCL于T，作NKCH于K，设CH交DE于W解直角三角形分别求出KM，KH即可；【详解】证明：如图1中，与CE相切于点C，证明：如图2中，作于R，四边形OCFR是矩形，在和中，解：如图3中，连接BC、OM、ON、CN，作于T，作于K，设CH交DE于W设，则，为直径，负根已经舍弃，是等边三角形，在中，在中，在中，在中，【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.6在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）O的半径为，点P的坐标为（3，m）若在O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=x+3；（3）1m5或5m1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°； （2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=x+3； （3）分两种情况： 先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标； 先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图4，同理可得结论详解：（1）点A（2，0），B（0，2），OA=2，OB=2在RtAOB中，由勾股定理得：AB=4，ABO=30° 四边形ABCD是菱形，ABC=2ABO=60° ABCD，DCB=180°60°=120°，以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60° 故答案为：60°； （2）如图2以CD为边的“坐标菱形”为正方形，直线CD与直线y=5的夹角是45° 过点C作CEDE于E，D（4，5）或（2，5），直线CD的表达式为：y=x+1或y=x+3； （3）分两种情况： 先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3O的半径为，且OQ'D是等腰直角三角形，OD=OQ'=2，P'D=32=1 P'DB是等腰直角三角形，P'B=BD=1，P'（0，1），同理可得：OA=2，AB=3+2=5 ABP是等腰直角三角形，PB=5，P（0，5），当1m5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形； 先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图4 O的半径为，且OQ'D是等腰直角三角形，OD=OQ'=2，BD=32=1 P'DB是等腰直角三角形，P'B=BD=1，P'（0，1），同理可得：OA=2，AB=3+2=5 ABP是等腰直角三角形，PB=5，P（0，5），当5m1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形； 综上所述：m的取值范围是1m5或5m1点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目7如图，AB是圆O的直径，射线AMAB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接OC、BC、CE（1）求证：CD是O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：当AD= 时，四边形OADC是正方形；当AD= 时，四边形OECB是菱形【答案】(1)见解析；（2）1；【解析】试题分析：（1）依据SSS证明OADOCD，从而得到OCD=OAD=90°；（2）依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；依据菱形的性质得到OE=CE，则EOC为等边三角形，则CEO=60°，依据平行线的性质可知DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长试题解析：解：AMAB，OAD=90°OA=OC，OD=OD，AD=DC，OADOCD，OCD=OAD=90°OCCD，CD是O的切线（2）当四边形OADC是正方形，AO=AD=1故答案为：1四边形OECB是菱形，OE=CE又OC=OE，OC=OE=CECEO=60°CEAB，AOD=60°在RtOAD中，AOD=60°，AO=1，AD=故答案为：点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键8如图，ABC是O的内接三角形，点D，E在O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，EAC+BAE=180°，（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：ABEDCE；（3）若EAC=60°，BC=8，求O的半径【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：BCE+BAE=180°，则BCE=EAC，所以，则弦相等；（2）根据SSS证明ABEDCE；（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明RtGBORtHBO（HL），则OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长本题解析：（1）解：BE=CE，理由：EAC+BAE=180°，BCE+BAE=180°，BCE=EAC，BE=CE；（2）证明：，AB=CD，AE=ED，由（1）得：BE=CE，在ABE和DCE中， ，ABEDCE（SSS）；（3）解：如图，过O作OGBE于G，OHBC于H，BH=BC=×8=4，BG=BE，BE=CE，EBC=EAC=60°，BEC是等边三角形，BE=BC，BH=BG，OB=OB，RtGBORtHBO（HL），OBH=GBO=EBC=30°，设OH=x，则OB=2x，由勾股定理得：（2x）2=x2+42，x=，OB=2x=，O的半径为点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.9对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”如图，M（1，2），N（4，2）（1） 在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有 ；（2） 如果点P在直线上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；（3） 如果点P在以O（1，）为圆心，r为半径的O上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出O半径r的取值范围 【答案】（1）P1和P3；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先根据题意求出点P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果；（2）由直线y=x+1经过点M（1，2），得出x1，设直线y=x+1与P4N交于点A，过点A作ABMN于B，延长AB交x轴于C，则在AMN中，MN=3，AMN=45°，ANM=30°，设AB=MB=a，tanANM=，即tan30°=，求出a即可得出结果；（3）圆心O到P4的距离为r的最大值，圆心O到MP5的距离为r的最小值，分别求出两个距离即可得出结果【详解】（1）如图1所示：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点，M（1，2），N（4，2），点P的横坐标1x4，以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，当MPN=60°时，PM=，同理PN=，点P的纵坐标为2-或2+，即纵坐标2-y2+，线段MN的“关联点”有P1和P3；故答案为：P1和P3；（2）线段MN的“关联点”P的位置如图所示， 直线经过点M（1，2）， x1.设直线与P4N交于点A .过点A作ABMN于B，延长AB交x轴于C.由题意易知，在AMN中，MN = 3，AMN = 45°，ANM = 30°.设AB = MB = a， ，即，解得 点A的横坐标为 综上 （3）点P在以O（1，-1）为圆心，r为半径的O上，且点P是线段MN的“关联点”，如图3所示：连接P4O交x轴于点D，P4、M、D、O共线，则圆心O到P4的距离为r的最大值，由（1）知：MP4=NP5=，即OD+DM+MP4=1+2+=3+，圆心O到MP5的距离为r的最小值，作OEMP5于E，连接OP5，则OE为r的最小值，MP5=2，OM=OD+DM=1+2=3，OMP5的面积=OEMP5=OMMN，即×OE×2=×3×3，解得：OE=，r3+【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN的“关联点”图是关键10如图，AC是O的直径，OB是O的半径，PA切O于点A，PB与AC的延长线交于点M，COBAPB（1）求证：PB是O的切线；（2）当MB4，MC2时，求O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意M+P90°，而COBAPB，所以有M+COB90°，即可证明PB是O的切线.（2）设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：（1）AC是O的直径，PA切O于点A，PAOA在RtMAP中，M+P90°，而COBAPB，M+COB90°，OBM90°，即OBBP，PB是O的切线；（2）设O的半径为r， , , 为直角三角形 ，即 解得：r3，O的半径为3【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.11如图，ABCD的边AD是ABC外接圆O的切线，切点为A，连接AO并延长交BC于点E，交O于点F，过点C作直线CP交AO的延长线于点P，且BCPACD（1）求证：PC是O的切线；（2）若B67.5°，BC2，求线段PC，PF与弧CF所围成的阴影部分的面积S【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）  过C点作直径CM，连接MB，根据CM为直径，可得M+BCM90°，再根据ABDC可得ACDBAC，由圆周角定理可得BACM，BCPACD，从而可推导得出PCM90°，根据切线的判定即可得；（2）连接OB，由AD是O的切线，可得PAD90°，再由BCAD，可得APBC，从而得BECE BC1，继而可得到ABCACB67.5°，从而得到BAC45°，由圆周角定理可得BOC=90°，从而可得BOECOEOCE 45°，根据已知条件可推导得出OECE1，PCOC，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】（1）  过C点作直径CM，连接MB，CM为直径，MBC90°，即M+BCM90°，四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ADBC，ACDBAC，BACM，BCPACD，MBCP，BCP+BCM90°，即PCM90°，CMPC，PC与O相切；（2）连接OB，AD是O的切线，切点为A，  OAAD，即PAD90°，BCAD，AEB=PAD90°， APBCBECE BC1， ABAC，ABCACB67.5°，BAC180°ABCACB45°，BOC2BAC90°，OBOC，APBC，BOECOEOCE 45°，PCM90°，CPOCOEOCE 45°，OECE1，PCOC， SSPOCS扇形OFC【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.12如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BDBC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EFBD.(1)求证：EFBC；(2)若EH4，HF2，求的长.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（1）根据EFBD可得，进而得到，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出BHG，进而求出BDE的度数，确定所对的圆心角的度数，根据DFH90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)EFBD， DDEF又BDBC，DC，DEF=CEFBC(2)AB是直径，BC为切线，ABBC又EFBC，ABEF，弧BF=弧BE,GFGE(HF+EH)=3，HG=1DB平分EDF，又BFCD，FBDFDBBDEBFHHBHF2cosBHG，BHG60°.FDBBDE30°DFH90°，DE为直径，DE4，且弧BE所对圆心角60°.弧BE×4【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.13在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC2），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，直线DA交y轴于E点（1）求证：OBCABD（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时，直线EF直线BO；这时F和直线BO的位置关系如何？请给予说明【答案】（1）见解析；（2）直线AE的位置不变，AE的解析式为：；（3）C点运动到处时，直线EF直线BO；此时直线BO与F相切，理由见解析.【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得到OB=AB，BC=BD，OBA=DBC，等号两边都加上ABC，得到OBC=ABD，根据“SAS”得到OBCABD.（2）先由三角形全等，得到BAD=BOC=60°，由等边BCD，得到BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式.（3）由EAOB，EFOB，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据“三线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证.【详解】（1）证明：OAB和BCD都为等边三角形，OB=AB，BC=BD，OBA=DBC=60°，OBA+ABC=DBC+ABC，即OBC=ABD，在OBC和ABD中， ,OBCABD.（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变，OBCABD，BAD=BOC=60°，又BAO=60°，DAC=60°，OAE=60°，又OA=2，在RtAOE中，tan60°=，则OE=2，点E坐标为（0，-2），设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得： ，解得， ，直线AE的解析式为：.（3）C点运动到处时，直线EF直线BO；此时直线BO与F相切，理由如下：BOA=DAC=60°，EAOB，又EFOB，则EF与EA所在的直线重合，点F为DE与BC的交点，又F为BC中点，A为OC中点，又AO=2，则OC=4，当C的坐标为（4，0）时，EFOB，这时直线BO与F相切，理由如下：BCD为等边三角形，F为BC中点，DFBC，又EFOB，FBOB，直线BO与F相切，【点睛】本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键.14在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q互为“向善点”如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图已知点A的坐标为（1，），点B的坐标为（m，0）（1）在点M（1，0）、S（2，0）、T（3，3）中，与A点互为“向善点”的是_；（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；（3）B的半径为，若B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围【答案】（1）S，T（2）直线AB的解析式为yx或yx+2；（3）当2m0或2m4时，B上有三个点与点A互为“向善点”【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（3）分B与直线y=x相切及B与直线y=-x+2相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论【详解】（1），点S，T与A点互为“向善点”故答案为S，T（2）根据题意得：，解得：m10，m22，经检验，m10，m22均为所列分式方程的解，且符合题意，点B的坐标为（0，0）或（2，0）设直线AB的解析式为ykx+b（k0），将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入ykx+b，得：或，解得：或，直线AB的解析式为yx或yx+2（3）当B与直线yx相切时，过点B作BE直线yx于点E，如图2所示BOE60°，sin60°，OB2，m2或m2；当B与直线yx+2相切时，过点B作BF直线yx+2于点F，如图3所示同理，可求出m0或m4综上所述：当2m0或2m4时，B上有三个点与点A互为“向善点”【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分B与直线y=x相切及B与直线y=-x+2相切两种情况考虑15（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE求证：S平行四边形ABCD（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作O，O与BC边相切于点H，与BD相交于点M若AD6，BDy，AMx，试求y与x之间的函数关系式（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AFCE，求证：BG平分AGC（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC4：3，ABC120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC2：1，过D分别作DGAF于G，DHCE于H，请直接写出DG：DH的值【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】；【探究应用2】见解析；【迁移拓展】.【解析】【分析】（1）作EFBC于F，则SBCEBC×EF，S平行四边形ABCDBC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OHBC，OHAD3，求出平行四边形ABCD的面积AD×OH18，由圆周角定理得出AMBD，得出ABD的面积BD×AM平行四边形的面积9，即可得出结果；（3）作BMAF于M，BNCE于N，同图1得：ABF的面积BCE的面积平行四边形ABCD的面积，得出AF×BMCE×BN，证出BMBN，即可得出BG平分AGC（4）作APBC于P，EQBC于Q，由平行四边形的性质得出ABP60°，得出BAP30°，设AB4x，则BC3x，由直角三角形的性质得出BPAB2x，BQBE，APBP2x，由已知得出BE2x，BF2x，得出BQx，EQx，PF4x，QF3x，QC4x，由勾股定理求出AF2x，CEx，连接DF、DE，由三角形的面积关系得出AF×DGCE×DH，即可得出结果【详解】（1）证明：作EFBC于F，如图1所示：则SBCEBC×EF，S平行四边形ABCDBC×EF，（2）解：连接OH，如图2所示：O与BC边相切于点H，OHBC，OHAD3，平行四边形ABCD的面积AD×OH6×318，AD是O的直径，AMD90°，AMBD，ABD的面积BD×AM平行四边形的面积9，即xy9，y与x之间的函数关系式y；（3）证明：作BMAF于M，BNCE于N，如图3所示：同图1得：ABF的面积BCE的面积平行四边形ABCD的面积，AF×BMCE×BN，AFCE，BMBN，BG平分AGC（4）解：作APBC于P，EQBC于Q，如图4所示：平行四边形ABCD中，AB：BC4：3，ABC120°，ABP60°，BAP30°，设AB4x，则BC3x，BPAB2x，BQBE，APBP2x，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC2：1，BE2x，BF2x，BQx，EQx，PF4x，QF3x，QC4x，由勾股定理得：AF2x，CEx，连接DF、DE，则CDE的面积ADF的面积平行四边形ABCD的面积，AF×DGCE×DH，DG：DHCE：AF【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键