中考复习：“将军饮马”类题型大全.doc

“将军饮马”类题型大全一求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图， AMEF，BNEF，垂足为M、N，MN12m，AM5m，BN4m， P是EF上任意一点，则PAPB的最小值是_m分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A，根据两点之间，线段最短，连接AB，此时APPB即为AB，最短而要求AB，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决解答：作点A关于EF的对称点A，过点A作ACBN的延长线于C易知AMAMNC5m，BC9m，ACMN12m，在RtABC中，AB15m，即PAPB的最小值是15m变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则BPG周长的最小值为_分析：考虑到BG为定值是1，则BPG的周长最小转化为求BPPG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AGBC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AEEG，则点A就是点G关于EF的对称点最后计算周长时，别忘了加上BG的长度解答：连接AG，易知PGPA，BPPGBPPA，当B，P，A三点共线时，BPPGBA，此时最短，BA2，BG1，即BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在ABC中，ABAC5，D为BC中点，AD5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PCPE的最小值分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PCPEPBPE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BEAC时，BE最短求BE时，用面积法即可解答：作BEAC交于点E，交AD于点P，易知ADBC，BD3，BC6，则AD·BCBE·AC，4×6BE·5，BE4.8变式：如图，BD平分ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB8，ABC的周长为20，求EFCF的最小值_分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题因为点C的对称点C必然在AB上，但由于BC长度未知，BC长度也未知，则C相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点解答：如图，作点E关于BD的对称点E，连接EF，则EFCFEFCF，当E，F，C三点共线时，EFCFEC，此时较短过点C作CEAB于E，当点E 与点E重合时，EC最短，EC为AB边上的高，EC5.（三）两定两动型例3：如图，AOB30°，OC5，OD12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CFEFDE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点解答：作点C关于OB的对称点C，点D关于OA的对称点D，连接CD CFEFDE CF EF DE，当C，F， E，D四点共线时，CFEFDE CD最短易知DOC90°，OD12，OC5，CD13，CFEFDE最小值为13变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E，作点F关于CD边的对称点F，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型解答：作点E关于AD边的对称点E，作点F关于CD边的对称点F，连接EF，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EGGHHF长度之和，即EF长，延长EE交BC于N，交AD于M，易知EMEM0.22m，EN1.780.222m，NFNCCF1.40.11.5m，则RtENF中，EF2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称（二）求角度例1:P为AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当PMN周长最小时，MPN80°（1）AOB_°（2）求证：OP平分MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P，关于OB的对称点P，连接PP，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知DPC与AOB互补，则求出DPC的度数即可解答：（1）法1：如图，12100°，1P323，2P424，则3450°，DPC130°，AOB50°再分析：考虑到第二小问要证明OP平分MPN，我们就连接OP，则要证56，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP，OP，则57，68，问题迎刃而解解答：（1）法2：易知OPOP，785680°，POP100°，由对称性知，911，1012，AOB91050°（2）由OPOP，POP100°知，7840°，5640°，OP平分MPN变式：如图，在五边形ABCDE中，BAE136°，BE90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得AMN的周长最小时，则AMNANM的度数为_分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A、A，连接AA，与BC、DE的交点即为AMN周长最小时M、N的位置解答：如图， BAE136°， MAANAA44°    由对称性知，    MAAMAA，    NAANAA，   AMNANM 2MAA2NAA88°思考题：1.（2017·安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_2.（2017·安徽改编）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为_