三角函数与解三角函数知识点总结教案.doc

必修四 初等函数（二）1.任意角2、象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、象限角的确定： 已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域 例题: (1)如果是第三象限角，那么是第几象限角？1、3、4象限 (2)如果是第三象限角，那么是第几象限角？ (3)若是第三象限角，且cos<0，则是 （ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：，8、弧长公式 ， 扇形周长 ， 扇形面积 9、任意角 设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，10、.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 11 三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.12、 同角三角函数的基本关系：（1） 平方关系：（也是由前式子化简得到） “1”活用（2）商数关系：（用于切化弦）平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 (3)13、三角函数的诱导公式：1.诱导公式（把角写成形式，看的倍数，考察倍数的奇偶性，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） ） ） ） ） ） 2、和差化积：（用于三角函数的整理）；（）；（） 3、积化和差（用于三角函数的整理） 4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：（用于将已知式子化成同次幂的三角函数） 5、公式的变形：（不需要死记硬背，会用原公式推导即可），；例题（1）(07全国) 是第四象限角，则（2）（09北京文）若，则 .（3）（09全国卷文）已知ABC中，则 .(4) 是第三象限角，则= = 6、辅助角公式（提斜公式，经常用于求三角函数的最值），其中例题（09江西文）函数的最大值为 （09上海）函数的最小值是 .14、 函数-的变换： 1、左加右减 上加下减 2、加减对x乘内变换，乘除单独对x变化 3、变换可以分两种。先加减后乘除例如：例：以变换到为例向左平移个单位 （左加右减） 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）向左平移个单位 （左加右减） 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）例题1、（2010全国卷2理）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像 （A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位【答案】B 2、（2010四川理）（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A） （B） （C） （D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C 函数的性质：周期：（重点记忆，其他为了解）；振幅：；频率：；相位：；初相：理解记忆：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：（和图像一同理解记忆）函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数值域总结：注意：定义域的取值1、应用提斜公式，形如可直接用公式。 形如，逆用倍角公 式化成提斜的形式。 形如或的的函数（式中也可以是同名函数），先 、 用和差化积公式展开，化归为例1、例2的形式求最值. 形如的函数可将看作参数，利用提斜公式。2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数，然后配方3、“1”的妙用，形如sinxcosx sinxcosx 在关系式中时，可以应用换元处理，令t=sinxcosx，则 sinxcosx = 把三角问题化为代数为题来处理。4.形如的函数用分离变量法分离常数，利用sinx的有界性求解.5、形如的函数可将看作参数，化归为例1的形式求解6、求同时含有与（或）的函数的值域，一般令(或) 可以化归为求在区间上的值域，要注意的取值范围.例：函数的定义域为，值域为，求常数.解; 1、求的最小值，并求使取最小值时的集合.2、求的值域。3、求的值域.4、若函数的最大值为1，则= 5、函数的有最大值2，最小值-1，求实数的值。6、若函数的定义域为，值域为，求常数的值。7、求函数的最大值和最小值.8、求函数的值域； 9、求函数的值域。10、函数的最小值是 11、求函数的最大值。12、函数的定义域为，值域为，求常数的值。13、函数的最大值为3，求的值。三角函数的单调性的基本方法：函数的单调区间的确定 1、首先要看A、是否为正，若为负，则先应用诱导 公式化为正 2、然后将x+看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负，在和两个区间内分别确定函数的单调增减区间。例题：1、求函数在区间-2，2的单调增区间。解：利用诱导公式把函数转化为标准函数（）的形式：把标准函数转化为最简函数（）的形式：令，原函数变为讨论最简函数的单调性：从函数的图像可以看出，的单调增区间为，。所以，即， ， 计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，当k=1时，当k=-1时，在要求的区间内-2，2确定函数的最终单调增区间：因为，所以该函数的单调增区间为和各类题型演练一.最值1.（09福建）函数最小值是= 。2.（08全国二）函数的最大值为 。（08上海）函数f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 （09江西）若函数，则的最大值为 二.单调性1.（04天津）函数为增函数的区间是 （ ）. A. B. C. D. 2.函数的一个单调增区间是 （ ） ABCD3.函数的单调递增区间是 （ ）A B C D4（07天津卷） 设函数，则 （ ）A在区间上是增函数B在区间上是减函数C在区间上是增函数D在区间上是减函数三、周期（周期性以及其他各个性质的综合应用）1（07江苏卷）下列函数中，周期为的是 （ ）A B C D2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则= 3.（04全国）函数的最小正周期是（ ）.4.（1）（04北京）函数的最小正周期是 .（2）（04江苏）函数的最小正周期为（ ）.5.（1）函数的最小正周期是 (2)（09江西文）函数的最小正周期为 (3). （08广东）函数的最小正周期是 (4)（04年北京卷.理9）函数的最小正周期是 .6.(09年广东文)函数是 ( ) A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 7.（浙江卷2）函数的最小正周期是 .8函数的周期与函数的周期相等，则等于（ ）(A)2 (B)1 (C) ( D)四、对称性1.（08安徽）函数图像的对称轴方程可能是 （ ）ABCD2下列函数中，图象关于直线对称的是 （ ）A B C D3（07福建）函数的图象 （） 关于点对称关于直线对称 关于点对称关于直线对称五、图像1（07宁夏、海南卷）函数在区间的简图是 （）2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）43.已知函数y=2sin(x+)(>0)在区间0，2的图像如下：那么= （ ）A. 1 B. 2C. 1/2 D. 1/34（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）（A） （B） （C） （D）5.若，则的取值范围是： ( )（） （） （） （）六、综合1. （04年天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为 2(04年广东)函数f(x)是 （ ）A周期为的偶函数 B周期为的奇函数 C 周期为2的偶函数 D.周期为2的奇函数 3（ 09四川）已知函数，下面结论错误的是 ( ) A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间0，上是增函数 C.函数的图象关于直线0对称 D. 函数是奇函数4(07安徽卷) 函数的图象为C, 如下结论中正确的是 图象C关于直线对称; 图象C关于点对称;函数)内是增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.5.（08广东卷）已知函数，则是 （ ）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是C（A）0 （B）1 （C）2 （D）47若是第三象限角，且cos<0，则是 （ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角8已知函数对任意都有，则等于 （ ）A、2或0 B、或2 C、0 D、或0总结：1、重点注意三角函数和向量的结合 2、重点把握三角函数的图像和性质，注意数形结合。 3、解三角形实质是对正余弦定理的考查，将几何问题转化为代数问题，最后解方程。化式子时候注意化异为同。（二） 解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理 和余弦定理等求解。三基定理：（正。余 。面积）A、 正弦定理：其中是三角形外接圆半径.B、余弦定理： 由此可得：.（做题出现余弦，角换边）C、三角形面积公式：（1）（此为常用公式） （2） 其中，为内切圆半径，为外接圆半径.D、在三角形中大边对大角，反之亦然.（用来判定三角形是否成立，去根） 1）在ABC中，A+B+C=180° 2）大边对大角，即 a>b A>BE、射影定理（了解）： F、有关三角形内角的几个常用公式 （当常用A+B+C=PAI）G、解三角形常见的四种类型 应用余弦定理：1、已知两边与其夹角，由，求出，再由余弦定理， 求出角。 2、已知三边，由余弦定理可求出。 应用正弦定理： 3、已知两角与一边：由及正弦定理， 可求出，再求。 4、已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的 对角，由，求出，再由求出，而通过 求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：90°90°90°一解一解一解无解无解一解两解无解无解一解无解 H、对于三角形的分类或三角形形状判断，主要从边或角两方面入手。1、大题第一问，求边，或者边之间的关系，求角或者角或之间的关系。利用正余弦定理，正弦定理和余弦定理是相通的，用正弦定理可解的题，用余弦定理也可解，主要是看怎样解题更简单.如果求边，首先余弦定理。如果求关于角，首选正弦定理。2、第二问求函数的最值，单调区间，或者三角形的面积等问题。 1.注意利用第一步得到的结合。 2、求最值注意定义域。例题1.设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：（）的值；（）cotB +cot C的值.2.已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围3.（2009湖北卷文） 在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且()确定角C的大小： （）若c,且ABC的面积为,求ab的值。4.（08全国二17）在中， （）求的值；（）设，求的面积课外延伸:波利亚解题法 乔治·波利亚(George Polya,18871985)是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张怎样解题表。 怎样解题表的主要内容是： 第一步：你必须弄清问题。 1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？ 2.画张图，将已知标上。 3.引入适当的符号。 4.把条件的各个部分分开。 第二步：找出已知与未知的联系。 1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？ 2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？ 3.回到定义去。 4.你能否解决问题的一部分？ 5.你是否利用了所有的条件？ 第三步：写出你的想法。 1.勇敢地写出你的方法。 2.你能否说出你所写的每一步的理由？ 第四步：回顾。 1.你能否一眼就看出结论？ 2.你能否用别的方法导出这个结论？ 3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？