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9.8 多元函数的极值及其求法,第九章 多元函数微分法及其应用,多元函数的极值,1、二元函数极值的定义,一、二元函数的极值及最大值最小值,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点。,驻点,极值点（可导）,注意：,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,(1),例 1,(3),例 3,多元函数极值的判定定理,且,令,(2),例 2,例4,求函数,解：第一步 求驻点。,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别。,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值。,求二阶偏导数,在点(3,0)处,不是极值；,在点(3,2)处,为极大值。,在点(1,2)处,不是极值；,练习 求函数,的极值。,解：解方程组,即,得唯一解,驻点为,又因为,所以,极大值为：,为极大值点，,由于,P121 习题9-8 2,求最值的一般方法：1、在可微的前提下，将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.2、若是求实际问题的最值，由实际问题决定,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,2、多元函数的最值,例5,得驻点(1,1),上的最值。,求函数,在,解：解方程组,且 f(1,1)=1,在L1上，y=0，f(x,0)=x2(0 x3)，所以有最大值f(3,0)=9，最小值f(0,0)=0,讨论边界的最值：,在L2上，y=2，f(x,2)=x2-4x+4(0 x3)，所以有最大值f(0,2)=4，最小值f(2,2)=0,L1,L2,L3,L4,例5,上的最值。,求函数,在,解：,在L3上，x=3，f(3,y)=9-4y(0y2)，有最大值f(3,0)=9，最小值f(3,2)=1,讨论边界的最值：,在L4上，x=0，f(0,y)=2y(0y2)，有最大值f(0,2)=4，最小值f(0,0)=0,综上所述，函数最大值为f(3,0)=9，最小值为f(0,0)=f(2,2)=0.,L1,L2,L3,L4,例6,解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为8,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材料面积,的驻点,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽、高均为2,时,水箱所用材料最省。,例6,某厂要用铁板做一个体积为8,的有盖长方体水箱,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。,条件极值：对自变量有附加条件的极值。,实例：小李有2万元钱，她决定用来购买两种物品：玫瑰花和巧克力，设她购买 x 支玫瑰花，y 盒巧克力达到最佳效果，效果函数为。设每支玫瑰花8元，每盒巧克力50元，问她如何分配这2万元以达到最佳效果。,问题的实质：求 在条件 下的极值点。,二、条件极值、拉格朗日乘数法,二、条件极值、拉格朗日乘数法,例 求函数 的极值,有极小值点,这是无条件极值问题,例 求函数,这是条件极值问题。,在 的极值,如何求条件极值问题？,例6,解：设水箱长、宽、高分别为 x，y，z m,则问题就是在条件 下，,某厂要用铁板做一个体积为8,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,求函数 的最大值。,构造辅助函数,例6,解：,某厂要用铁板做一个体积为8,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,构造辅助函数,解方程组,得唯一驻点,解:,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽、高均为2,时,水箱所用材料最省。,例6,某厂要用铁板做一个体积为8,的有盖长方体水箱,得唯一驻点,练习 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元)与报纸广告支出 x(百万元)、电视广告支出 y(百万元)之间的函数关系约为,(1)如果不限制广告支出，求最优广告策略；(2)如果广告总支出限制在180（万元），求相应的最优广告策略。,练习 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元)与报纸广告支出 x(百万元)、电视广告支出 y(百万元)之间的函数关系约为,(1)如果不限制广告支出，求最优广告策略；(2)如果广告总支出限制在180（万元），求相应的最优广告策略。,解(1)该公司的净销售收入为,令,即,得驻点坐标,在驻点处,所以,根据上述计算和极值的充分条件，函数 z f(x,y)在驻点处取得极大值。因为极大值点唯一，而且实际问题又存在最大的净销售收入，所以该极大值也是最大值。这样最优广告策略为报纸广告支出为75万元、电视广告支为125万元。,(2)如果广告总支出限制在180(万元)，现在要求 z f(x,y)在条件 x y 1.8下的极大值,设,解方程组,即,得到,练习 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元)与报纸广告支出 x(百万元)、电视广告支出 y(百万元)之间的函数关系约为,这样最优广告策略为报纸广告支出为45万元、电视广告支出为135万元。,点(0.45,1.35)是函数 z f(x,y)在条件 x y 1.8 下的唯一极值点；而实际问题确实存在最大净销售收入，所以点(0.45,1.35)就是函数 z f(x,y)在条件 x y 1.8 下的最大值点。,作 业 P121 习题9-84，5，7,
