有限元-第五讲课件.ppt

平面问题有限单元法,二.有限元分析的主要步骤,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,一.什么是平面问题？平面问题的基本未知量是什么？,四.曲边单元的构造方法,五.四种平面单元,平面问题有限单元法,一.什么是平面问题？平面问题的基本未知量是什么？,实际工程结构问题严格来讲都属于空间问题，但对一些特殊的几何形状和荷载，可将空间问题简化为平面问题。,两类平面问题：平面应力问题和平面应变问题。,平面问题的基本未知量：,平面问题有限单元法,二.有限元分析的主要步骤,有限元法主要优点之一：理论推导过程及计算步骤的高度规范和统一,位移元主要步骤：1.离散连续介质，形成有限元网格，并完成单元及结点编号2.单元分析，得到以结点位移为基本未知量的单元平衡方程3.整体分析，得到总体平衡方程4.边界条件处理，消除总刚度矩阵的奇异性5.解线性代数方程组，得到结点位移6.单元计算，由结点位移得到应力、应变7.其它要求。,平面问题有限单元法,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,1、收敛准则：完备性、协调性要求,2、形函数的特点,C0问题、C1问题,协调元、非协调元、广义协调元,1)在结点i处Ni=1，其他结点Ni=0；2)包含完全的一次多项式；3)由其定义的未知量在单元之间连续；4),平面问题有限单元法,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,3、广义坐标法构造位移插值函数,需求逆矩阵,存在矩阵不可逆及表达式难以规范化等问题，不适于构造高阶单元,2）由单元结点坐标求解,1）用广义坐标 作为待定参数，给出单元位移模式,3）将 代入 得到单元结点位移 表示的位移 和相应的插值函数。,平面问题有限单元法,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,4、试凑法构造位移插值函数,在自然坐标下，根据形函数的特点直接列出每个结点形函数的表达式。,具体步骤：1）对于结点i 找出过其余结点的若干直线；2）适当选用上述直线，将直线方程的左部以带参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点为零”的条件自动满足。3）将i点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1”的性质确定待定参数。4）待求出所有结点的Ni后，需验证,平面问题有限单元法,四.曲边单元的构造方法,利用自然坐标下的已知单元构造曲边单元,等参元：单元的几何形状和位移场都采用相同的形函数,亚参元：单元几何形状插值函数的阶数低于位移插值函数,超参元：单元几何形状插值函数的阶数高于位移插值函数,平面问题有限单元法,四.曲边单元的构造方法,注意构造等参单元时求导及积分过程的坐标变换,数值积分法：Gauss法,积分阶数的选取。,平面问题有限单元法,五.四种平面单元,1、常应变单元,2、二次三角形单元,3、双线性矩形单元,4、任意四边形单元,第四章 空间问题有限单元法,实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级的结构，必须按空间（三维）问题求解。,空间问题的有限单元法中的位移仍然只有平动位移，所以仍属于C0连续问题，因此构造单元并不难。将平面问题有限元法“稍加变动”并“加以推广”便可用于空间问题。,第四章 空间问题有限单元法,第四章 空间问题有限单元法,由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。,一、空间问题常用单元,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,一、空间问题常用单元,第四章 空间问题有限单元法,2.按位移函数阶次分,1.按形状分：,四面体单元（三棱锥）五面体单元（三棱柱）六面体单元（立方体）,线性单元：四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等二阶单元：十结点四面体，二十结点六面体等三阶单元：二十结点四面体，三十二结点六面体等,一、空间问题常用单元,第四章 空间问题有限单元法,4.构造曲面单元,3.形函数构造方法：,1）广义坐标法：仅用在常应变单元,等参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲面单元,2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数,四面体单元的自然坐标是体积坐标,二、常应变四面体单元,1.基本变量,第四章 空间问题有限单元法,单元内任一点位移:,单元内任一点应变:,单元内任一点应力:,二、常应变四面体单元,1.基本变量,第四章 空间问题有限单元法,单元结点位移:,结点位移:,2.单元位移插值函数：,设单元内任一点的位移为坐标的线性函数:,即为广义坐标,二、常应变四面体单元,第四章 空间问题有限单元法,将结点坐标代入u(x,y,z)，得结点x方向位移:,（四个方程、四个未知量）,2.单元位移插值函数：,二、常应变四面体单元,第四章 空间问题有限单元法,解方程组得 后，可将u的表达整理成：,式中:,按1、2、3、4的顺序变换下标，可得其它系数,同样的过程可得到:,形函数,则单元位移模式可写成：,（由结点位移表示的单元内位移）,或：,形函数矩阵,3.单元几何方程：,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,由结点位移求单元内应变,将位移表达式代入，得：,其中：,第四章 空间问题有限单元法,B中各元素为常数，则也为常量 常应变单元,4.单元物理方程：,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,由结点位移求单元内应力,应力矩阵,令:,第四章 空间问题有限单元法,其中：,第四章 空间问题有限单元法,其中：,5.单元基本方程：,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,利用变分原理建立单元平衡方程：,其中：,单元刚度矩阵,等效结点荷载,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,二、矩形薄板单元,三、三角形薄板单元,四、用矩形薄板单元进行薄壳分析,五、用三角形薄板单元进行薄壳分析,六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,1.薄板弯曲的概念：,1）薄板,薄膜,厚板,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,1.薄板弯曲的概念：,薄板所受任意荷载，均可分解成：,2）薄板弯曲,受弯板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为挠度w。当板的挠度w远小于板厚h时，可引进一些假设简化分析过程，这类问题称为板的小挠度弯曲问题,作用于中面的面内载荷弹性力学平面问题,垂直于中面的横向荷载板的弯曲问题,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,2.薄板弯曲问题的基本假定克希霍夫假定：,1）中面法线变形后既不伸长也不缩短；2）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；3）中面各点没有平行于中面的位移。,即：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,2.薄板弯曲问题基本假定：,即：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,2.薄板弯曲问题基本假定：,所以：,再使用假定（3），得：f1(x,y)=0，f2(x,y)=0,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,3.薄板弯曲问题的应变：,x=Xxz yXyz xy2Xxyz,z=yz=zx 0,六个应变分量中，根据假定，已知：,其余三个分量：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,3.薄板弯曲问题的应变：,曲率：,扭率：,薄板的形变分量,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4.薄板弯曲问题的应力：,(x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出(z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4.薄板弯曲问题的应力：,应力分量（x、y、xy）：,特点：均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，在板的上、下板面达到最大。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4.薄板弯曲问题的应力：,应力分量（z、zx、zy）：,考虑薄板上、下板面的边界条件,解得横向剪应力，为,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4.薄板弯曲问题的应力：,特点：横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布，在板的上、下板面为零，在板中面最大。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4.薄板弯曲问题的应力：,将z方向所有力作用等效移置到板面上，板上、下表面的边界条件变成,利用z方向的平衡条件求z,利用边界条件可解得：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4.薄板弯曲问题的应力：,特点：z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,5.薄板弯曲的平衡微分方程：,上式中，利用板下面的边界条件，得：,D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6.薄板横截面上的内力：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6.薄板横截面上的内力：,正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正 内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲应是力，而不是通常的力长度。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6.薄板横截面上的内力：,正应力x、y分别与Mx、My成正比，故称为弯应力；剪应力xy与扭矩Mxy成正比，故称为扭应力；剪应力zx、zy与横向剪力Qx、Qy成正比，故称为横向剪应力；正应力z与荷载q成正比，故称为挤压应力。,在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力是主要应力，横向剪应力较小，是次要应力，挤压应力更小，是更次要应力。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6.薄板横截面上的内力：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,7.薄板的势能：,由基本假定，故板的应变能为：,z=yz=zx 0,外力势能为：,总势能：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,1.基本变量：,单元内任一点位移:,单元内任一点应变:,其中:,单元内任一点应力:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,1.基本变量：,单元结点位移:,结点位移:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,2.单元位移插值函数：,由于薄板的位移、应变、应力、内力等都可用挠度w来表示，所以位移插值函数的选择，即为挠度模式的选择,4个结点，12个自由度，故在自然坐标下设：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,2.单元位移插值函数：,所以有：,将结点坐标及位移代入上面三式:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,2.单元位移插值函数：,形函数矩阵,形函数,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.位移的协调性检验：,总势能,为3次完全多项式，故满足完备性要求,其最高阶导数p=2，完备性要求位移模式为2次完全多项式,矩形薄板单位的位移：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.位移的协调性检验：,能量泛涵中位移函数最高阶导数p=2，协调性要求位移模式在相邻单元的交界面上有0-1阶的连续导数 C1问题,以右图为例，考察两相邻单元在34边位移是否协调：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.位移的协调性检验：,对于转角：,34边上为常数，仍为的三次方程，含4个未知量，而此时仅有：,两个求解条件，所以无法完全确定三次方程，也就无法保证在34边上两单元有相同的,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.位移的协调性检验：,以上分析表明，矩形板单元的挠度和切向转角可满足协调性要求，而法向转角则不能满足协调性要求，这种单元也称为非协调元，,对于非协调元，只有能通过分片试验，也可收敛于精确解。,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,4.单元几何方程：,将,已经得到单元几何方程为：,将带入上式：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,4.单元几何方程：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,5.单元物理方程：,应力矩阵,令:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,6.单元分析：,利用变分原理，得平衡方程：,已经得到单元势能：,将前面的分析结果带入上式：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,6.单元分析：,其中：,单元刚度矩阵,等效结点荷载,当荷载均匀分布时：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,7.位移边界条件：,常见位移边条：,1)固支边：,切向转角,法向转角,2)简支边：,3)对称轴：,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1.位移插值函数：,需要有10个系数，在直角坐标下问题很难解决，较好的方案是设：,三角形板单元有9个自由度，而一个完全三次式：,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1.位移插值函数：,但当三角形两边分别平行两坐标轴时，确定广义坐标的系数矩阵奇异,利用面积坐标三个分量不相互独立的特性，可解决该问题：,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1.位移插值函数：,利用结点的位移参数条件可确定w中的广义坐标，得到：,形函数矩阵,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1.位移插值函数：,形函数,试证明9自由度三角形薄板单元为非协调元,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,2.单元分析,试推导9自由度三角形薄板单元的1）应变矩阵2）应力矩阵3）单元刚度矩阵,L,L,例：四边简支正方形薄板,y,x,L,L,A,B,D,C,受均布荷载q及中心集中荷载P两种工况作用，分别用矩形单元和三角形单元计算最大挠度,作业：,1.证明常应变四面体单元是完备协调单元。,2.在薄板弯曲时，为什么能用中面挠度函数w来确定任一点的位移与应力？任一点的位移与应力如何用w来表示？,3.试证明9自由度三角形薄板单元为非协调元。,4.试推导9自由度三角形薄板单元的刚度矩阵。,