称为曲线拟合的最小二乘法课件.ppt

,曲线拟合,主要内容,1、背景及应用,理论上，可以根据插值原则构造n次多项式Pn(x),使其正好通过实测点。,实际情况，为尽量反应真实情况，需要数目很多的采样点。,这样，会造成插值多项式次数很高，增大计算量，影响函数逼近程度。并且差值多项式需要经过每一个测试点，这样会保留测量误差，影响函数逼近精度。,在许多领域中,常常需要根据实际测试所得到的一系列数据,求出变量间的函数关系。,因此,我们一般根据已知实际测试样点,找出被测试量之间的函数关系,使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系,这就是曲线拟合。,1、背景及应用,由于通过曲线拟合方法能将实际试验测试数据转化成合乎误差要求的近似曲线、函数解析式，它被广泛应用于图像处理、逆向工程、计算机辅助设计，以及测试数据的处理分析等领域。,2、基本原理及实现方法,2.1 曲线拟合的定义,曲线拟合，是指求取一个函数解析式 y=f(x,c)，使其通过或者近似通过有限的试验数据对(xi,yi)(i=1,2,n)，从而实现用拟合曲线方程来分析变量之间的关系。其中，c=(c0,c1,cm),为曲线方程的待定参数。,2、基本原理及实现方法,2.2 曲线拟合的方法,实现曲线拟合的方法有很多，在实际应用中需要针对不同的问题采取不同的方法。,有理论模型的曲线拟合,无理论模型的曲线拟合,有一定的背景资料、规律性强，只需要找出与背景资料相适应的曲线方程。最常用的是最小二乘法。,曲线拟合问题,规律性差、理论模型难以建立或不需要理论模型。这类问题一般采用几何方法或者神经网络法实现曲线拟合。,2、基本原理及实现方法,2.2 曲线拟合的方法最小二乘法,已知试验数据点（xi.yi）(i=1,2,n),假设实验数据点可以用线性模型拟合，解析式为：y=0+1x+(1)其中，0，1是待求参数，误差服从N(1,2)将n个实验点分别带入表达式（1）得到:yi=0+1xi+i 根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小：,2、基本原理及实现方法,2.2 曲线拟合的方法最小二乘法,将试验点数据点入之后，求目标函数的最值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即：,求解方程组，就能唯一地确定待求参数0，1的值，从而实现了曲线的最小二乘拟合。,2、基本原理及实现方法,2.2 曲线拟合的方法最小二乘法,对于非线性模型，有的可以通过适当的数学变换将其线性化，然后采用最小二乘法进行拟合。常用的可以线性化的模型如下表所示：,实际问题中，通过一组观测数据，找出描述这些数据的规律，即构造一条拟合曲线，反映所给数据点总的趋势，以消除所给数据的局部误差。,问题特点（xi,yi）,i=1,2,N,N很大 yi本身为测量值，不准确,拟合函数f(x)没有必要完全通过，所给的空间点，只需要ei=f(xi)-yi（残差）总体上尽可能的小,构造拟合曲线的准则,基于准则3来选取拟合曲线的方法，称为曲线拟合的最小二乘法,一.直线拟合,求解二元一次方程，得到取定拟合直线的参数a,b,实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:,纤维强度随拉伸倍数增加而增加,并且24个点大致分布在一条直线附近,解得：a=0.1505,b=0.8587,二.多项式拟合,若所给的数据点用直线拟合不合适，可以考虑用多项式拟拟合,因此有，,正则方程组,上方程组解是否存在唯一？,定理7 正则方程组有唯一解,定理8,利用正则方程组求解曲线拟合问题是一个古老的方法，在实际计算中，当m较大时，正则方程组往往是病态的，其求解方法有待于进一步改进,证明：即对应的齐次方程组只有零解。,三.观察数据的修匀,提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近效果，实际计算时常用不同的低次多项式去拟合不同的分段-分段拟合,设已给一批实测数据(xi,yi)(i=1,2,N)，由于测量方法和实验环境的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差，希望根据数据的分布的总的趋势去剔除观察数据中的偶然误差-数据修匀(数据平滑)问题,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,f(x),H(x),S(x),