电力系统暂态能量函数法暂态稳定分析课件.ppt

电力系统暂态能量函数法暂态稳定分析,主讲人：陈星莺,本章主要内容,1.暂态能量函数2.单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析3.多机系统的特殊问题4.两种坐标系5.多机系统的能量函数6.最近不稳定平衡点法（AUEP）7.故障轨迹对稳定的影响8.等位能线与位能边界9.相关不稳定平衡点法（RUEP）,暂态能量函数法基本原理,一个古典的力学概念指出：“对于一个自由的（无外力作用的）动态系统，若系统的总能量E（E（X）0，X为系统状态量）随时间变化率恒为负，则系统总能量不断减少，直至最终达到一个最小值，即平衡状态，则此系统是稳定的。”,暂态能量函数法基本原理,如左图所示：球在无扰动时，位于稳定平衡点（Stable Equilibrium Point，S.E.P）受扰后，小球在扰动结束时位于高度 处（以S.E.P 为参考点）,并具有速度,则质量为m的小球，总能量由动能及势能的和组成，即：若球壁有摩擦力，受扰后该能量会在摩擦力作用下逐步减少。,临界能量：设小球所在壁高为（以S.E.P为参数点），当小球位于壁沿上且速度为零时（即处于不稳定平衡状态），相应的势能为，称此位置为不稳定平衡点（Unstable Equilibrium Point，U.E.P），相应的势能为系统临界能量。,暂态能量函数法基本原理,根据运动原理可知，在扰动结束时，失去稳定，小球最终滚出容器。小球在摩擦力的作用下，能量 逐渐减少，最终静止于S.E.P.临界状态。,显然可根据（VcrV）判别稳定裕度，这种通过能量比较来判别稳定的方法即为暂态能量函数法,三点关键：（1）找出平衡点。（2）构造一个合理的暂态能量函数（李雅普诺夫函数）V。（3）确定和系统临界稳定相对应的函数值，即临界能量。,暂态能量函数法数学描述,求曲线 的解，判定是否稳定。(1)若 在域 内有实数 使得在初始状态（初态）扰动的运动轨迹不超出 就认为这个系统是稳定的。,2)在 内出发的运动，在 不能限定在 内，则不稳定。3)在 内出发的运动，无限接近坐标原点，称之为渐近稳定。4)只有当初态点在某一区域，系统才是渐近稳定的，这个区域称之为引力域。,1)状态变量X的运动方程 2)稳定平衡点取作坐标原点 3)在坐标原点附近存在一标量函数 当 时，当 时，,暂态能量函数法李氏定理,4)若,则系统稳定，但不一定回到原点（稳定平衡点）。5)若,则渐近稳定，一定会回到原点。6)初态点在一定范围,才满足,则这个域称之为引力域。,暂态能量函数法李氏定理,例将李氏稳定定理用于线性定常系统(1-1)(1)满足上述1）、2）条件(2)取二次型函数作为李函数(1-2)满足条件3)(3)则(1-3),要求，即要求 是负定的。选择一个正定矩阵，如单位阵取(1-4)解出用A的元素来表示的P.（4）代入（1-2）就得到能使该系统稳定的李函数;另外还要校核P是正定的条件。,.功角特性曲线,其运行点的运动过程如下页图1，abcd=defg(包围面积相等).故障切除后的动态过程如图2 efgs=sih.将习惯上的功角特性按 相平面来画其运动轨迹，如图3。,一、物理过程描述,单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析,1-4 单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析,此运动最后是趋于稳定的，如有阻尼，则越转越小，最后稳定在。图中外圈是临界切除状态，运动轨迹不是在 切除，而是 切除，运行轨迹到临界点是，可能分为两种情况：一种会转回来，最后到达稳定平衡点；另一种则有可能跑出去，此时可以用混沌数学来研究。这个外框称为引力域（或稳定域）。切除点在此框内，系统最后将趋于稳定。,1)状态量及其运动方程：(1-5)(1-6)当 则平衡，稳态运行。当 则 有变化。,二、能量函数法,:是发电机本身的损耗，有时忽略不计:发电机输出的功率 2)稳定平衡点取作坐标原点 显然上图稳定平衡点在，而原来的坐标原点都不在，这样取坐标的结果是将使构造的能量函数 在零点时不为零，即，所以将坐标原点移动到,将坐标变成。,3)引力域（或称稳定域）找引力域，对单机无穷大系统可以看出即为不稳定平衡点所在位置，所以首先来找不稳定平衡点，对应的临界能量函数为，与系统故障后的网络结构有关，即网络吸收发电机发出动能的能力。计算时用故障后的运动方式，也用故障后的值。,平衡状态为:(1-7)求解 稳定平衡点(1-8)不稳定平衡点(1-9)4)函数（定义暂态能量函数,这里用的是新坐标系）(1-10),令 将功角方程写成状态方程，状态变量为、，则状态方程为(1-11a)(1-11b)式中为运动方程式中等式右面的项。(1-11c),在相平面上找 的变化轨迹，形成能量的关系。对（1-11a）式在 方向上积分，然后乘以 是动能：(1-12)对(1-11b)式在 方向上积分，然后乘以M是势能：,运动轨迹的能量积累可以认为在一个方向运动改变的是位能，在另一个方向上则改变的是势能，二者无关，可以直接相加。所以总的暂态能量函数或李函数为(1-14)可以验证,5)判稳条件（稳定条件）求出初态点的能量，将初态点（清除故障瞬间）的坐标位置代入（1-14）式，求出一个能量。求出引力域（稳定域）临界能量 取,代入（1-14）如果，系统是稳定的。,等面积法则：动能(1-15)势能(1-16)故障切除前的积累能为和的和，所以有(1-17),三、能量函数法与等面积法则的关系,临界能量为和的和：(1-18)(1-19),三、能量函数法与等面积法则的关系,判稳条件为：(1-20)即(1-21)所以等面积法则的表达形式为：(1-22),对于一个n机系统，第i台机有：(1-23)其中(1-24)(1-25)(1-26)(1-27)(1-28)(1-29)(1-30),多机系统的特殊问题,注意：（1-23）式并不是一成不变的：(1)故障前 所有参数均用的是故障前稳态运行时的网络参数，此时求得的是稳态运行点。(2)故障持续阶段：（1-23）式改写成：(1-31)所用网络参数均是故障时的参数。该式求得的是故障持续轨道，亦即求得的是初态点。,(3)故障切除后(1-32)所用网络参数是故障切除后的参数（），此式决定的是系统吸收能量的能力。,剩余的问题是：(1)写出能量函数表达式。(2)写出临界能量函数 或故障清除后临界点,不同失稳模式是不同的。(3)积累能，决定故障持续轨迹和初态点。,单机无穷大系统,多机系统,（1）（2）两个问题是一个问题，解决了，只要找到，则另一个也解决了,失稳模式多种多样，并不唯一,对于一个n机系统，失稳模式共有：,两种坐标系,以一个发电机的角度为参考,其余与之比较 状态变量 与，一般系统中总是要选参考机，则其它均看成是它的参考值，变量变成，这时虽有n个，但独立的量就只有n-1个了。有n个独立量。,（一）MAR法（Machine Angle Reference）,:阻尼系数根据 可分为：1.不均匀阻尼，各个发电机变化的规律不一致,则独立的 变量也是n个，状态量为（2n-1）个,状态方程为：(1-33)(1-34),2、均匀阻尼，所有发电机受到的阻尼是一致的，则令 取状态量为 则独立的量为n-1个,状态方程：(1-35)(1-36)其中(1-37),3.零阻尼 方程与（1-35）（1-36）式相同，区别只是其中。,COI坐标系分二种：全局：考虑系统的全部机组，找一个全系统的中心局部：研究局部范围的机组情况，研究此部分的中心中心运动方程要写一个全系统的运动方程，可将各台机的运动方程相加，然后将其中的各量按照运动方程式的形式重新归类，得到新的全系统的方程式，称之为：,(二)COI(COA)坐标系(Center of Intention/Angle),中心运动方程式：(1-38)其中惯量中心等值转子角：(1-39)参考中心的惯性：(1-40)中心角速度：(1-41)以 为参考的发电机 的角度：(1-42),(1-43)惯性中心阻尼(1-44)用 表示中心的不平衡功率（电磁功率）：(1-45)(1-46),每一台机的阻尼,惯量中心阻尼,对 进行分析：惯量中心角 的加速度为造成加速的不平衡功率为阻尼项有二项,对惯量中心 振荡产生的阻尼，系数为,对每一台机相对于惯量中心的运动所产生的阻尼，系数为,与单机的形式相比较，多了一项阻尼项，并且表示较复杂。这是由不均匀阻尼造成的。,第 台机的运动方程式为：(i=1.2.n)(1-47)(i=1.2.n)(1-48),将（1-47）式与（1-23）比较，可看到在原来的不平衡功率增加了一项，按转动惯量分配到每台机。由不平衡功率产生的加速度 是相对中心的。阻尼项的关系很复杂，对每个角速度的阻尼也有二种，一种是对角速度，另一种是对角速度偏移的，均是不均匀阻尼而造成的。,用惯量中心坐标系的优点：（1）一个系统发生振荡，如果把其中某一块用一个中心来代替，这比讨论每一台机要方便；而且讨论块与块之间或发电机与块之间的分析时也要来得方便些；从实用上来看已取得好处的是局部能量函数，即讨论一个块的中心运动，带来了许多方便，其正是依靠了COI的特点。,（2）如果用了均匀阻尼或零阻尼来分析问题，在COI坐标系中用起来最不方便的那一项可以得到大大改善，其不方便之处甚至可以消除掉。,一、均匀阻尼时的情况首先推一些公式，以备用得出以下关系：(1-48a)上式导数为0，即(1-48b),因为均匀阻尼 是常数所以(1-48c)通过推导可得均匀阻尼的惯量中心运动方程式：(1-49)均匀阻尼时，每台机的运动方程(1-50),*均匀阻尼的惯量中心方程已是非常简单，物理概念也非常清晰。二、零阻尼*如果是零阻尼，则（1-49）（1-50）又可以简化为：中心运动方程(1-51)每台机运动方程(1-52),用均匀阻尼的惯量运动方程式有二个优点：1)用惯量中心分块方程；2)形式与以前讨论的差不多。,多机系统的能量函数,将运动方程(1-52)按、二个方向积分，即可得动能和势能：动能：位能：1）项(1-52-1)2）积分项包括两项：项(1-52-2),以上推理用到的技巧：所以最后得到的形式为(结果为1-52-2),部分 积分最后得到的结果是：(1-52-3),3）积分项由（1-48）式可知 所以3）项积分为零(只有在全系统的能量时)。所以全系统（全局）的能量函数（零阻尼时）为：(1-53),讨论：1)动能由（1-48）所以,其中 是对系统失步不起作用的惯量中心本身的运动动能从动能可以解耦来看，每台机各自的动能与中心的动能分别考虑，这是用COA坐标系的优点之一。,2）势能位置势能(1-52-1)展开可看成转子角的势能磁性势能(1-52-2)表示支路，因为角度变化引起的电磁储能(即从一个特性变化到另一个特性多出来的能量)。耗散势能(1-52-3)式为电导损耗项。,（1-53）式符合李雅普诺夫稳定条件，即所以该函数是一个李雅普诺夫函数，要判别是否稳定，只要找出初态点，将 与 作比较即可。,最近不稳定平衡点法（AUEP）,多机系统稳定的特点：失稳模式多种多样。所谓AUEP方法，即为找出一个系统失稳模式中最容易失稳的模式，求出其，与对应初态点的总能量作比较，则可以判别稳定。具体步骤如下：,方法一1 由n-1个独立的运动方程，求出n-1个稳定 平衡点a、用故障切除后的运动方程。b、用 为初值。c、用牛顿法迭代求解。注意：a.这里是取MAR坐标系，以n机为参考。b.一机无穷大系统求得解是。,2 求解出 个 与 的组合方式。3 将 种组合方式以 与 代入V函数，即可求出 种的能量V，然后在其中找出 个。4.在 个中取得最小的一个，认为就是 最容易失稳的模式，它的 与 的组合方式就 是AUEP(最近不稳定平衡点)。,方法二1.同方法一。2.认为多机系统,即用 来表示i机的近似值，以 与 的 种组合方式作为失稳的角度状态。如图所示，当以 为坐标原点，则原来的以 的坐标就变为,提出方法二的人认为多机系统的 并不是像一机无穷大系统那样是不稳定平衡点，而是接近不稳定平衡点,3.代入 函数求出 个近似的4.同方法一，取最小的一个,认为其是最容易失稳的模式，取其（近似的）与 的组合方式的角度作为初值，代入运动方程式，求出 的精确值。,5.用精确的 与 代入 函数，求出精确(min)，此 即为最小的，即最近不稳定平衡点的那个，失稳模式。,AUEP法的特点：在整个运算的过程中，基本上用的是一机对无穷大系统的模式，认定有一个函数，与其区别是考虑了失稳模式；该方法只用了一种运动方程式(故障后的),因为其基本出发点是定 函数，故上需考虑故障时的。,AUEP法的问题：1.没有考虑故障切除点的位置。2.没有考虑稳态运行点 的影响以及故障持续轨迹对故障切除点的影响。3.在 中找出最小的，认为其角度组合方式就是最容易失稳的方式或者是运动越出稳定边界的位置没有充分的论据。,4.若AUEP法正确，只要清除故障后的网络结构相同，则失稳模式就一定相同，这与事实不符。而事实上，不同的故障方式，清除故障后，其网络结构可以相同，但失稳模式却不一定相同。,总之，AUEP法考虑问题不够全面，其仅考虑V函数，故障后系统吸收的能量是多少，关键问题是故障轨迹没有考虑。如考虑故障轨迹，则上述四个问题将迎刃而解。,故障轨迹对稳定的影响,故障轨迹的影响因素：1.从 开始运动（1-55）2 故障持续方程式（1-56）3 故障清除后，运动方程式写为（1-57）,前两条决定了故障轨迹,第3条决定了系统释放能量的能力,一机无穷大系统的轨迹:a、则运动轨迹从scUEPb、则直接失稳，不经过UEP。,s,c,UEP,1-9故障轨迹对稳定的影响,多机系统的轨迹：,系统故障前稳定平衡点为，发生故障后，转子开始摇摆，故障轨迹如图实线。故障在区间 切除系统稳定，转子角轨迹最终趋于故障后稳定平衡点，可能去同一个稳定平衡点，但也不排除去不同的稳定平衡点。在临界切除时间 切除故障则系统处于临界状态，即实际切除时间 时，系统失稳；时，系统稳定，相应的轨迹在势能达到最大时，轨迹分叉。,若在 时切除故障系统不稳定，相应轨迹在 达到，此时和U点对应的 不等。若故障持续不切除则在 达到,将 有相似性质的点连起来形成的虚线，称之为位能最高线，多机系统的 个UEP点在此线上，而只有 点为不稳定平衡点时，位能达到最大时，动能为零，其它点虽然也失稳，但动能不为零。,位能最高线(势能边界),通过多机系统的故障轨迹分析说明以下几点：1故障持续轨迹和清除故障后的网络结构二个因素均影响稳定，造成有许多失稳模式，许多稳定域。2一种故障，一种故障后的网络结构，则表示只有一个碗的形式，最大位能边界也只有一个(如果持续轨迹不同,越出边界的点也不同)。3持续轨迹相同，不同的清除时间，则越出边界的位置也不一样：进入相同或不同的SEP；在不同点越出稳定边界。,在稳态点 时发生故障 形成状态点的集合称为不变集。事故后系统的所有轨迹集称为事故后系统的不变集。是不变集 的能量函数，应该满足稳定定理，即 是正定的，大，也增大。是负定的。轨迹发散，引向位能边界进入失稳。,这种 函数的写法是一个点集，当另有故障，则有另外的故障轨迹，有另外的边界，另外的不变集。如图：二种故障，稳态点可以相同，这里有二个不变集。,I,故障j,等位能线与位能边界,位能的表达式：(1-58)可以求出随着角度变化的多个点位能，将等位能的点连接起来，可以得到一个等位能线。以一个三机系统为例，在不变集中，按等位能画出一个等位能线图。（以3号机为参考）SEP点作为 的参考点，为极小值点，其附近的与 成为围绕点的附近曲,曲线。UEP点可能是极大值点，如图中，则其周围的 线是围绕它的封闭曲线，称之为峰点,也可能是鞍点（Saddle Point）,其势能在最大或最小之间（如图、）,定义一个,碗沿称势能边界面为通过各UEP点、并和各等位能曲线正交，从而反映了 的梯度方向的曲线，如图中红线，对于高维空间PEBS（Potential Energy Boundary Surface）为一超曲面，从SEP点看PEBS，尤如从势能“山坡”的“谷底”看“山脊”，没实际的故障轨迹空越PEBS，系统失去稳定。从图中可以看出PEBS上的势能是由峰点（）向鞍点（、）逐渐降低，最低点为，按AUEP法，失稳肯定是3.2这条线，但按故障轨迹方式来看，、均有可能失稳，要看运动轨迹如何。,有了这张图，可以看故障轨迹怎么跑，与故障轨迹约束的位置，下面再来看一张图。在转子相对角坐标作出了某系统受扰动时的等位能线及转子运动轨迹，势能边界面，可以看出它们彼此之间的关系。,0,U3,要找的 实际上是临界轨迹与势能边界面的交点，但是由于真正的临界能量 难以求得，但是可以从图中看出，持续故障轨迹穿越PEBS时具有的势能和临界轨迹到达PEBS的势能，以及靠近临界势能附近的一个鞍点的势能虽然大小不等，但只要系统不病态，这三个点是具有相近的势能，这样我们就可以避开直接求临界势能，而分别以这个鞍点（称之为相关不稳定平衡点relevant UEP）的势能和 的势能来作为近似值，这样就产生了 二种方法：相关不稳定平衡点法RUEP法（以RUEP点的能量近似）和势能边界面法PEBS法。,相关不稳定平衡点法（RUEP）,相关不稳定平衡点的基本思想是UEP的选择应该与具体的故障情况有关，从而克服前面AUEP法完全没有考虑到不同故障类型和地点之间差异而造成的保守性。,提出RUEP法的人认为按照原来的故障轨迹难以搜寻，则可以另外构造一条轨迹，起点为稳定平衡点，与原来的轨迹的交点为，这一点参照一机无穷大系统（以临界切除点）为动能最大，势能最小点，（但对多机系统不一定在）以此二点连线形成一个方向，沿此方向搜索，到某一点，这一点势能最大，动能最小，（最接近，但动能不为零，沿此轨迹无法找到，只能找到）将其,作为初值，代入运动方程可以得到一个精确的，其对应的势能（在势能边界面上，最接近 处）。如下图所示：,步骤:一、求 故障时发电机角度的变化规律，采用一个简单的数值方法为泰勒级数法：从 推出(1-59)(1-60),表示步长，表示角度函数的各阶导数式，为p阶导数。假定由，时间很短，取步长，余项忽略不计，则(1-60)即为（1-59）式，用 时已知的角度求 时的角度，一般按经验做4阶。,一般已知 为潮流解。i)由于转子角不能突变,。ii)p=1时 由于转子角速度也是不能突变的，原来发电机之间是没有角速度的，所以此时角速度亦为零。iii)p=2 即这运动方程式。,iv)p=3 即为加速度的导数，现还要研究的是很短时间内的角度变化问题，所以假定很短时间内，加速度恒定。v)p=4，无讨巧之处，则用上iii)二阶的微分二次，即得 所以,二、求F 称之为总的功率不匹配量，如令功率不匹配量(1-61)则(平方是为取正号)（1-62）引进 的目的是为了找到一个能反映故障后能量变化的函数，从而可在其上找到动能最大，势能最小的点（）以及势能最大，动能最小的点（），从而可求出对应得 和。,*（1-61）式左边等于零时，功率平衡，没有加速度，例如：一个复杂的系统，只需要研究虚框内，如果发电机功率已知，只要框内功率平衡，则此发电机无加速度，没有稳定问题，只要知道 与 间的关系，则可知道功率，而判断是否功率平衡。,*原来在某一个运行方式下的网络，发生故障后又是一种运行方式，则又是一种网络，结构变化，则 变化，（1-62）式右侧变化，有的发电机加速，有的减速，各个机的加速度不一样，相互之间角度也不一样，功率不匹配量的产生是由于故障，在故障持续阶段这个不匹配量始终存在,等到故障清除，网络结构形式又变了，各个发电机之间又拉开了一个角度，再根据网络情况，再重新拉入同步，此时产生功率,称之为同步功率，由同步功率将各台机重新拉入同步，如果同步功率不够大，则不能拉入同步，失稳；根据这样一个变化过程,分析总的功率不平衡量,用图表示:A.失稳拉入同步失败)系统失稳时，运动的动能突然增加，清除故障后，动能被位能吸收，速度则越来越小，,但仍然不能维持稳定，跑出碗的边沿，则动能又急剧上升。)一运动，位能增加，一直增加到越出边沿，位能才开始减少。,)一开始也上升，到边沿时，加速度下降，越出边界，则很陡地上升。B稳定拉入同步成功趋于稳定没有越出碗沿,振荡，则最后趋于稳定，,随着稳定，加速度趋于零。中间有一个高峰，是因为同步功率形成一个反加速度，可能很大。一开始都有一个最高点，是故障清除点，前面是持续轨迹，后面是清除后，称为自由摇摆状态。发现这个碗（不变集）描写的是清除后的情况，故障轨迹是故障存在时的情形，所以 达到第一个最高点是持续阶段，是不平衡功率造成的一个强制加速阶段。在位能图上，运行点到底是向哪个方向运动，决定于，将各个 代入，找到 的最大值，最高点 位置在哪个方向，则轨迹朝哪个方向移动。,作业实例,IEEE-9系统 临界切除时间,三台发电机功角随时间的变化曲线的,时的动能、势能、总能量和 曲线,时的动能、势能、总能量和 曲线,时的动能、势能、总能量和 曲线,三、当 达到最大时的角度即为。四、用牛顿法求(故障后参数)。五、将 与 二点连成线，在此线上确定一 个方向，方向规格化单位定量 六、将连线延长，Z表示步长，一段一段延长，就得到一段一段的角度，求出每个步长的。,七、将每个步长 的代入（1-61）（1-62）求得，当 达到最小时，就认为此 接近位能的边界，即八、将 初值代入运动方程（1-31）或（1-56）式求出精确的 九、*将切除时的能量与其比较，可知是否稳定。*时的经历时间即为,在图中粗点划线前面的曲线，是为了找到 的最大值而求得的曲线，该曲线是沿故障轨迹(在故障切除前)进行数值积分得到的。粗点划线后面的曲线是沿 方向逐步增大角得到的，为了找到 的最小值。,