自编高数ppt课件(修改版)上册第四章D4_4_2积分法则3-分部积分法.ppt

,二、分部积分法,第四节,一、换元积分法,积分法则,第四章,三、几种特殊函数的积分,1.不定积分的换元积分法,一、换元积分法,2.定积分的换元积分法,二、分部积分法,1.不定积分的分部积分法,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1.不定积分的分部积分法,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v 容易求得;,容易计算.,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,例2.求,解:令,则,原式=,例3.求,解:令,则,原式,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故 原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例5.求,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,例6.求,解:令,则,原式,令,例7.求,解:令,则,原式=,例8.求 递推公式.n 为自然数.,解:,得递推公式,例9.求,解:令,则,得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C),例4,3)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.,例10.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,定理.,则,证:,2.定积分的分部积分法,例11.计算,解:,原式=,例12.证明,证:令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,内容小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,例1.求,解:,令,则,可用表格法求多次分部积分,例.求,解:令,则,原式,原式=,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得 0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.,求此积分的正确作法是用换元法.,2.求,提示:,得,2.设,证:,目录 上页 下页 返回 结束,可微且其反函,数,存在,证明,3.设,求,解:,(分部积分),备用题.,1.求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,证：,2.,右端,试证,分部积分,再次分部积分,=左端,