李曼毕业论文初稿.doc

本科毕业论文 题目名称： 全概率公式与贝叶斯公式的推广及应用 学 院： 数学与统计学院 专业年级： 统计12级1班 学生姓名： 曲 鹏 班级学号： 20121203010127 指导教师： 刘钰靖 二O一六年五月二十四日 摘 要 全概率公式和贝叶斯公式是概率论中重要的公式,.本文对全概率公式和贝叶斯公式进行了详细的分析,阐述了它们的用法及它们所适用的概型.为了解决实际问题,我们将全概率公式和贝叶斯公式进行了推广,并说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原公式更广.准确运用全概率公式与贝叶斯公式及它们的推广，诣在弄清楚事件间相互影响的次序,合理地设出完备事件组.除此之外,本论文结合实例阐述了全概率公式与贝叶斯公式及它们的推广定理在产品检查上、医疗诊断上以及统计与决策等中的应用.关键词:全概率公式；推广；贝叶斯公式；应用. ABSTRACT Total probability formula and bayesian formula are very important formula in the probability theory.This article analysis carefully the total probability formula and the bayesian formula,and giving many examples to explain their usage and their applicable model.In order to solve the actual problem，We extend the total probability formula and the bayesian formula.Useing many examples to Illustrate that the extended formulas which are suitable for the probability model in the practical application are wider than the original formula.In ordor to use Correctly the total probability formula and the bayesian formula and their promotion forms,It is very important to make clearly that the mutual influence between the sequence of events,and to set the exhaustive events properly.Moreover, this article combine many examples to explain the total probability formula and the bayesian formula and their extended theorem application in checking product、medical diagnosis and statistical decision and so on.Key words：Total probability formula; Extend; bayesian formula; application.目 录引 言1页第一章 全概率公式的应用及其推广2页1.1完备事件组 2页1.2全概率公式 2页1.3全概率公式的应用2页 1.3.1 全概率公式在摸球模型中的应用2页 1.3.2 全概率公式在实际比赛中的应用3页 1.3.3 全概率公式在医疗诊断中的应用3页1.4全概率公式的推广4页 1.4.1 全概率公式的推广定理1及其应用4页 1.4.2 全概率公式的推广定理2及其应用5页 1.4.3 全概率公式的推广定理3及其应用6页 1.4.4 全概率公式的推广定理4及其应用7页第二章 贝叶斯公式的应用及其推广9页2.1 贝叶斯公式以及它与全概率公式的联系9页2.2贝叶斯公式的应用9页 2.2.1 贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用9页 2.2.2 贝叶斯公式在医疗诊断中的应用10页 2.2.3 贝叶斯公式在统计决策中的应用11页2.3 贝叶斯公式的推广12页 2.3.1贝叶斯公式的推广定理112页 2.3.2贝叶斯公式的推广定理1的应用13页第三章 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用15页 3.1 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用15页第四章 总 结16页参考文献17页致 谢18页引 言全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,实质上是加法和乘法的综合运用.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,现在社会在飞速发展, 市场也竞争激烈, 决策者必须综合考察以往的信息及现状, 从而做出最佳的综合判断, 则概率分析这门学科越来越显示其重要性, 全概率公式和贝叶斯公式是概率分析的重要公式, 利用数学方法, 定量地对症施治, 会解决很多问题.两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程试验中目标事件及其条件下各事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供有价值的信息.灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具.第一章 全概率公式的应用及推广1.1 完备事件组 在了解全概率公式之前，我们先来看一下完备事件组的概念. 如果个事件.满足下列两个条件:(1).两两互不相容;(2)；那么，我们称这个个事件构成样本空间的一个划分，也称构成一个完备事件组.为了下面推广全概率公式的需要, 我们首先介绍一下“ 全概率公式”.1.2全概率公式 设个事件构成样本空间的一个划分,是一个事件.当 , 时则有： , 在很多实际问题中，由于随机事件的复杂性，很难直接求得，但却很容易找到的一个完备事件组，且一般和会在题目中告诉你，或可以通过计算得到，那么就能用全概率公式求出.全概率公式在实际生活中有广泛的应用，从下面几个例子中可以加深对它的了解.1.3 全概率公式的应用 1.3.1 全概率公式在摸球模型中的应用 例1：设甲袋中有只白球，只红球，从甲袋中任取一球放入已袋中，再从已袋中任取一球，试求已袋中取出的球是白球的概率？ 解：设=,=,则,构成完备事件组，因此：=+= 1.3.2 全概率公式在实际比赛中的应用 例2、某投篮小组共有20名投手, 其中一级投手4人, 二级投手8人, 三级投手8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率？ 分析：问题实质上涉及到两个部分：第一, 选出的投手不知道是哪个级别的,由全概率公式知, 都应该考虑到, 才为全面.第二, 某个级别的投手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的, 记为：=“选出的级投手”，则构成一个完备事件组，有： ，且， 由题意：, “选出的投手能通过选拔进入比赛”，要求： 则： = =62% 即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%.这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了. 1.3.3 全概率公式在医疗诊断中的应用 例3、据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关. 分析:设事件为耳聋人，事件为色盲人，则.依题意可得，=0.08,=0.08 由全概率公式， = = =0.08 所以，,事件与事件相互独立. 经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关. 概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征.利用数学方法，充分利用好全概率公式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治.1.4全概率公式的推广 当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关，而这列事件自身并不构成样本空间，添加某些事件后才构成样本空间的分割，而这些事件对复杂事件的发生没有影响时，可将全概率公式作以下推广. 1.4.1全概率公式推广定理1及其应用设是一列事件，添加后，或其自身构成样本空间的一个分割,则对任一事件，当有. 证明： = = 例4、 设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击，每人击中目标的概率为，一人击中目标被摧毁的概率是，两人击中目标被摧毁的概率是，三人击中目标被摧毁的概率是，求目标被摧毁的概率. 解：令“目标被摧毁”，“有个人击中目标”， 其中 虽然不构成样本空间的分割，但添加“三人均未击中”后就构成的分割，而于是，得： 当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，全概率公式可推广为推广定理2. 1.4.2 全概率公式推广定理2及其应用 设和是先后两个试验过程中的划分，为目标事件.当 时，则有 ： 证明： = = 例5、已知两个箱子中各装有3个不合格品和5个合格品，现从第一箱中任取一个产品放入第二箱，再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中，问此时从第一箱中取出一个产品是合格品的概率. 解：设表示“从第一箱中取出个合格品放入第二箱中” ；表示“从第二箱中取出个合格品放入第一箱中” ；表示“再从第一箱中取出一个合格品”.由题意得： 故由全概率推广公式得： 下面我们再将全概率公式推广至条件全概率公式的情形.1.4.3 全概率公式推广定理3及其应用设为样本空间的一个分割,即互不相容且,，为两个事件,当时，有 特别当分别与独立时， 证明： 设为两个事件，根据加法公式，有 当时 所以 故 而当与独立时，有： 此时： 例6、设有两箱相同的产品，第一箱内装50件，其中10件合格品；第二箱内装30件，其中18件合格品，从两箱中任取一箱随机取两个产品，试求若先取出产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率. 解 ：设表示“抽取第箱”；表示“第次取出的产品是合格品”.得：, 由于:由条件全概率公式得： 灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具，全概率公式还可以推广至随机变量的情形中.接下来讨论全概率推广四. 1.4.4 全概率公式推广定理4及其应用 设二维随机变量的联合密度函数为，边缘密度函数分别为，那么其条件密度函数可以由下式来表示： , .这样就可以得到全概率公式的分布形式： 在应用时，有时候会遇到混合型随机变量，即其中一个是离散型的，另一个是连续型的，这时可以利用分布律. 设二维随机变量 中, 是连续型随机变量, 是离散型随机变量,其分布律为 ,那么： 如果 是离散型的, 是连续型的,则有： 这些公式对解决含有不确定因素的问题有重要的作用. 1.4.4.1 推广定理4在保险中的应用 例7、某保险公司想对其索赔额建立一个模型, 以此期望其产品获得好的利润. 根据历史数据, 认为具有利好风险的投保人,其索赔额的密度函数为: , . 而认为具有利坏风险的投保人,其索赔额的密度函数则为: ，.其中索赔额以1000元人民币为一个单位, 现已知指定的投 保人具有利坏风险的可能性是30% , 问这个投保人的索赔额超过一个单位的概率有多大?解：设 表示索赔额, 表示风险的指示变量. 则由所给信息知: 设有利坏风险时, , 其概率为30%; 设有利好风险时, ,其概率为70%,从而有 ： 那么由混合型全概率公式可得随机变量 的密度函数为: 而我们要求的是索赔额的概率,由密度函数与概率之间的关系可得: 此即索赔额大于一个单位的概率. 在这个问题中关键是要求出索赔额在不同风险下的密度函数,为此我们必须把题设的信息数量化,设一个指示变量,从而使问题变得更容易求解.这就体现了全概率公式推广定理4在实际保险中的应用也是很广泛的.第二章 贝叶斯公式的应用及其推广2.1贝叶斯公式及其与全概率公式的联系 在介绍了全概率公式以后还得介绍贝叶斯公式，因为贝叶斯公式和全概率公式是一组互逆公式.接下来先来看下贝叶斯公式的概念. 设个事件构成样本空间的一个划分，是一个事件，当,>0, 时则有贝叶斯公式为： 证明：由条件概率的定义及乘法公式有： , 对运用全概率公式并代入这个式子即得贝叶斯公式： 由证明可以知道贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的.它与全概率公式一样在实际生活中也有很广泛的应用，下面来探讨贝叶斯公式在以下几个方面的应用.2.2 贝叶斯公式的应用 2.2.1贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用 例1、某厂生产的产品次品率为0.1%，但是没有适当的仪器进行检验，有人声称发明一种仪器可以用来检验，误判的概率仅为5%.试问厂长能否采用该人所发明的仪器?分析：“5%的误判率”给检验带来怎样的可信度，这是厂长决策的依据，即弄清“被检验出的正(或次)品中实际正(或次)品率”. 解：设事件表示“客观的次品”，事件表示“经检验判为次品的产品”，由题意知：,，,.由贝叶斯公式可计算“被检验出的次品中实际次品率”为： 同理，“被检验出的正品中实际正品率”为： 由可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这台新仪器，因为被仪器判为次品的产品中实际上有98%以上的是正品，这样导致损耗过高.同时，我们也注意到该仪器对正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这就降低了损耗，又保证了正品具有较高的可信度. 2.2.2 贝叶斯公式在医疗诊断中的应用 例2：某地居民肝癌病发率为0.0004用甲胎蛋白质法检查肝癌:患病则呈阳性，未患病则呈阴性.假阴性和假阳性的概率分别是0.01和0.05.试问，某人经检验结果呈阳性，他患肝癌的概率有多大? 解：设事件表示“患有肝癌”，事件表示“检验结果呈阳性”， 由题意知 由贝叶斯公式可知“他确实患有肝癌的概率”为： 显然，这使他大吃一惊，患有肝癌的可能不到0.01.仔细一想，也是可以理解的.因为1000人中约有4人患有肝癌，9996人不患肝癌，这1000人的检验中约有504人的结果呈阳性，其中约500人都是“虚惊一场”.因此，减少“虚报” 是提高诊断的关键所在.实际上可先由医生使用简单易行的方法进行“初查”,再对有可疑之人进行“甲胎蛋白质检查”.如,0.9296，这样就大大提高了此法的准确率了.2.2.3 贝叶斯公式在统计决策中的应用 目前，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而做出判断.贝叶斯公式可以用于处理先验概率与后验概率，是进行统计决策的重要工具.例3、一种新产品，一个推销员去推销，成功记为“”，失败记作“”，推销员的主观概率，成功的收益为50000元，失败的收益为-3000元，请咨询公司作预测调查，有两种调整方法1，2，其费用分别为2000元，3000元，若同时进行1，2，费用为4000元，了解咨询公司的业绩，预报的结论为： 对l： 对2： (：可行；：不可行)现有如下六种决策: 、不进行调查 ； 、只进行1 ； 、只进行2 ; 、1，2同时进行； 、先做1，视情况后做2 ； 、先做2，视情况后做1.若效益系数为风险中性，请试选择一种最好的决策？ 解: 分别计算各决策的期望效益(收支)：.不进行调查：推销 不推销，期望效益(收支)为0. ；.只进行调查方法1. ；.表示调整结果为不可行，已用咨询费2000元.表示可行，导致推销，此时运用贝叶斯公式: 因而 期望收支(效益)：.；.只进行2，同一样用贝叶斯公式有：.同时进行1.2，有四种可能结果： =; 同理有再运用贝叶斯公式， 注意到此时咨询费用为4000元，进一步计算有.先进行l，若结论为不可行，则不进行2.若结论为可行，则进行2，经计算(同以前方法)有：.同，有根据期望效益准则，通过多次贝叶斯公式的应用，可以知道选择期望效益最大值为6796，对应的决策是C，即只进行2是最好的决策，此例中还多次运用了全概率公式，事实上全概率公式与贝叶斯公式的综合联用是统计决策中的一个重要方法.2.3 贝叶斯公式的推广 当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，贝叶斯公式就可以进一步推广. 2.3.1贝叶斯公式推广定理1 设和是先后两个试验过程中的划分，为目标事件.当,时，则有：（1）（2）（3） 证明：（1）：=同理可以证明（2）、（3）.2.3.2贝叶斯公式推广定理1的应用 2.3.2.1 贝叶斯推广定理1在摸球模型中的应用 例4、已知甲、乙两个口袋中各装有3个白球和5个黑球.现从甲袋中任取1个球然后放人乙袋中，再从乙袋中任取1个球再放回到甲袋中，最后从甲袋中取出1个球.试问:(1)已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次从甲袋中取出的也是黑球的概率;(2)已知最后从甲袋中取出的是l个黑球，则第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率;(3)已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次和第二次取出的都是黑球的概率. 解：设表示“从甲中取出个黑球放人乙中”，；表示“从乙中取出:个黑球又放回甲中”,表示“第二次从甲中取出1个黑球”.由题意可得：; (1)由贝叶斯推广（1）可得： 同理可得：（2）、（3）： 第三章 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用3.1 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用通过上面二章，主要讲述了全概率公式与贝叶斯公式这两个公式以及其公式推广在多方面的应用.从他们的应用中我们可以看到，全概率公式与贝叶斯公式在生活实际的应用中其实是相互关联，相互联系的.由第二章贝叶斯公式的证明可以知道贝叶斯其实就是全概率的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的.在解决我们生活中较复杂的问题时往往需要综合应用两个公式，有时候单纯的运用其中一个公式很难解决问题，综合运用两个公式时却往往能使问题更容易解决.有助于更好的把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息.例1：在本文“2.2.3 贝叶斯公式在统计决策中的应用”这一节的应用实例中，我们可以看到此例中多次综合运用了全概率公式和贝叶斯公式，最终才得出最好的决策应该是，即只进行2是最好的决策.这时的选择期望效益可以达到最大值为6796. 例2：一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为，若第一次及格则第二次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率 解：记=该学生第次考试及格，.显然 为样本空间的一个划分，且已知：.于是，由全概率公式得 ：.由贝叶斯公式得：.通过上面两个例题我们可以知道综合运用全概率公式和贝叶斯公式，使我们的问题更加简单、准确、有效的解决了.其实他们的综合应用还表现在很多方面，远不止这些.综合应用好全概率公式与贝叶斯公式还可以用来解决投资、保险、医疗、工程等一系列不确定的问题中，成为我们解决复杂问题的有效工具. 第四章 总 结随着社会的飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性.利用数学方法,定量地对医学问题进行相关分析，使其结论具有与可信度，更有利于促进对病人的对症施治等.本文详细介绍了全概率公式、全概率公式的应用、全概率公式的推广及其应用、贝叶斯公式以及它与全概率公式的联系、贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用、贝叶斯公式在医疗诊断中的应用、贝叶斯公式在统计决策中的应用、贝叶斯公式的推广定理1及其的应用、全概率公式与贝叶斯公式的综合应用等.通过这些详细的讲述，可以看到两个概率公式的应用是多方面的.灵活使用两个概率公式会给我们的解题带来很大方便, 而两个概率公式的推广形式将进一步拓展两个概率公式的使用范围, 成为我们解决更复杂问题的有效工具.但由于研究周期较短，本研究还有很多不足之处，本文只是举了几个例子来说明它们的应用，事实上它们的应用远不止这些，还可以用来解决投资、医疗疾病、保险、工程等一系列不确定的问题中.另外还有什么样的问题应该用全概率公式来解决？什么样的问题应该用贝叶斯公式来解决？什么样的问题要综合两个公式来解决？在什么样的问题中要具体应用几步全概率公式或贝叶斯公式才能解决？本文都没有得出明确的方法和分类，这些都是今后有待进一步深入研究的问题.总之这两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息.成为我们解决问题的有效工具.参考文献