数学建模优秀论文核反应堆屏蔽层设计.doc

核反应堆屏蔽层设计摘 要：本文要解决的是核反应堆屏蔽设计问题，通过了解中子穿透屏蔽层的百分比，分析符合实际应用的屏蔽层厚度，从而设计屏蔽层厚度来处理核泄漏事件的核危机善后工作。对于问题1：首先，描述中子的运动状态，分别确定中子穿透、返回屏蔽层以及被吸收时的取值范围；其次，根据中子运动的状态参数描述中子运动，进而通过中子的输运状态确定两次碰撞之间的平均游动距离；最后，在屏蔽层的前提下，根据指数分布的随机抽样公式，运用MATLAB数学软件，采用蒙特卡罗算法编程进行计算机模拟，通过改变中子数来随机模拟中子在三种运动状态下的数目所占百分比。进而，在大数定理的意义下，将中子穿透屏蔽层的数目所占百分比近似为中子穿透屏蔽层的百分比，分析得：屏蔽层时，中子穿透屏蔽层的百分比大致在范围内。对于问题2：根据屏蔽层时中子穿透屏蔽层的百分比，通过改变屏蔽层厚度来降低中子穿透屏蔽层的概率，使其数量级为。为此，我们分别采用逐步变换法和分析法来进行模拟：逐步分析法即运用计算机逐步搜索，不断增大屏蔽层厚度中的值来降低被中子穿透的概率，使其被穿的概率小于；分析法即分析中子穿过整个屏蔽层的概率与穿过厚度为屏蔽层的概率之间的数量关系，将屏蔽层视为层厚度均为的平行板，根据中子碰撞后能量损失建立关系式：，进而得出满足实际应用的屏蔽层厚度。通过上述分析可知：当屏蔽层厚度时，屏蔽层被穿的概率小于。对于问题3：分析核反应堆屏蔽层的作用，通过屏蔽设计来保证反应堆的安全运行，从而阻挡或减弱反应堆发出的各种射线。根据问题1、2对屏蔽设计的分析，设计中子几乎不能穿透屏蔽层而产生辐射作用的屏蔽层厚度，减少对人体的危害。进而，针对日本福岛核泄漏事件，分别在核泄漏源防范及大面积辐射保护方面对核危机的善后工作提出建议。关键词：蒙特卡罗方法、计算机模拟、指数分布抽样、随机变量一、问题重述核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅把反应堆四周包围起来，用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线。在各种射线中，中子对人体伤害极大，因此，屏蔽设计，主要是了解中子穿透屏蔽的百分比(或概率)，这对反应堆的安全运行是至关重要的。首先考虑一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程：假定屏蔽层是理想的均匀铅质平板，中子以初速度和方向角射入屏蔽层内，如图1所示，运动一段距离后，在处与铅核碰撞之后，中子获得新的速度及方向，再运动一段距离后，与铅核第二次碰撞，并获得新的状态等等，经若干次碰撞后，发生以下情况之一则终止运动过程：(1)弹回反应堆；(2)穿诱屏蔽层；(3)第i次碰撞后，中子被屏蔽层吸收。假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布，d为两次碰撞之间中子的平均游动距离，每次碰撞后中子因损失一部分能量而速度下降，假设在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的数值而终止运动(被吸收)。本文需要解决的问题：问题1：假设屏蔽层，在大数定理的意义下，中子穿透屏蔽层的百分比多少？问题2：在实际应用中，要求中子穿诱屏蔽层的概率极小，一般数量级为，即穿入屏蔽层的中子若为几百万个，也只能有几个中子穿过屏蔽层。问题是多厚的屏蔽层才能使它被穿的概率小于?问题3：根据上述估计，并查阅相关文献，尝试为日本福岛核泄漏事件的核危机善后工作提出约2000字的建议。 图1二、问题分析2.1问题1的分析：首先，描述中子的运动情况。根据题中对一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程分析可知：中子以初速度和方向角射入屏蔽层内；运动一段距离后，在处与铅核碰撞，获得一新的状态；继续运动，与铅核发生第二次碰撞，并获得新的状态，经若干次碰撞后，发生以下情况之一则终止运动过程：（1）中子被弹回反应堆：即；（2）中子穿诱屏蔽层：即；（3）中子被屏蔽层吸收：即；若，则中子在屏蔽层内继续运动。三种状态如下图所示： 返回 吸收 穿透 D 图2 中子运动状态之后，在大数定理的意义下，我们采用蒙特卡洛算法来模拟中子的随机运动，在屏蔽层的前提下运用MATLAB编程，通过输入不同的中子数，及由程序产生的随机数，分别得出在不超过10次碰撞下返回、被吸收、穿透屏蔽层的中子数，继而得出中子穿透屏蔽层的百分比。 2.2 问题2的分析：在问题1的前提下，我们可通过改变屏蔽层厚度来降低中子穿透屏蔽层的概率，使其数量级为，现作如下分析：（1）通过输入中子数，问题1可得出中子穿透屏蔽层的概率，但此概率大于，故可通过计算机搜索法改变程序中的，逐渐增大直至中子穿透屏蔽层的概率数量级为，而此时的即为符合实际应用的屏蔽层厚度。（2）将屏蔽层视为层厚度均为的平行板，根据中子穿过整个屏蔽层的概率与穿过厚度为屏蔽层的概率之间的关系式，分析可得使中子穿透屏蔽层的百分比数量级为的屏蔽层厚度。2.3 问题3的分析：核污染带来的灾难是无法用语言衡量的。通过问题的叙述可知，核泄漏之后将会对人类产生巨大的负面作用，它的表现方式主要是通过放射一些具有放射性的射线，在这些射线当中对人体危害最大的是中子。在问题1、2的前提下，可得出中子几乎不能穿透屏蔽层而产生辐射作用的屏蔽层厚度，所以为了保护自己，在面对核泄漏辐射时应采取相应的措施，但是又由于核污染具有长期的持续性，因此我们在对核污染源进行屏蔽处理之后，还要对那些已经由于辐射而扩散到空气或是水源、土地等地方采取相应的外部防范措施。对此，我们针对日本福岛核泄漏事件，分别在核泄漏源防范及大面积辐射保护方面对核危机的善后工作提出建议。三、模型假设为更好的描述中子运动，解决屏蔽设计问题，现作出如下假设：1、假设屏蔽层是理想的均匀铅质平板；2、假设屏蔽层，其中为两次碰撞之间中子的平均游动距离；3、假设在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的数值而被吸收，即终止运动；4、假设中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布；5、假设中子经碰撞后的弹射角。四、符号说明 屏蔽层厚度；两次碰撞之间中子的平均游动距离；弹射角，即第次碰撞后中子的运动方向与轴正向的夹角；第次碰撞后中子所处位置与屏蔽层内壁的距离；中子在第次碰撞前后的游动距离；中子穿过整个屏蔽层的概率；中子穿过厚度为屏蔽层的概率；五、 模型的建立与求解5.1 模型1的建立与求解在假设屏蔽层是理想的均匀铅质平板的前提下，通过描述中子的运动情况，我们可确定经第次碰撞后中子在屏蔽层内的位置，表示为：其中：表示第次碰撞后中子所处位置与屏蔽层内壁的距离； 表示中子在第次碰撞前后的游动距离； 表示第次碰撞后中子的运动方向与轴正向的夹角。由于中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布，我们采用蒙特卡罗模拟中指数分布的抽样公式来产生随机数，即用下述公式对以及进行模拟计算：其中，、为在区间内均匀分布的随机数；表示两次碰撞之间中子的平均游动距离，且与指数分布中参数的关系为：。运用蒙特卡罗模拟方法来模拟中子在屏蔽层内的运动，首先要确定两次碰撞之间中子的平均游动距离：1、 根据状态参数描述中子运动：由于屏蔽层是理想的均匀铅质平板，这时中子的状态参数可表示为，其中，表示中子的运动坐标，表示中子的运动能量，表示中子的运动方向与轴的夹角。根据题意，确定中子的初始状态：，而后经第次碰撞后，中子的状态参数为。2、根据中子输运状态确定：已知状态，要确定下一次碰撞后的状态，首先需确定下一次碰撞后中子的运动坐标。在相邻的两次碰撞间，中子的游动距离服从如下分布：其中，表示介质的中子宏观总截面； 表示中子输运的自由程数。显然，中子输运的自由程数服从指数分布，故而：， 因此，对于单一介质，中子的平均游动距离：。进而，根据中子运动过程的描述分析，中子在屏蔽层内运动会出现以下几种情况：1、 时，中子返回核反应堆；2、 时，中子穿透核反应堆；3、 时，中子继续在屏蔽层内运动，直至，中子被屏蔽层吸收。从而运用蒙特卡洛算法编写程序来模拟中子的运动：输入中子数产生随机数rnd()返回吸收穿透图3 算法流程图在假定屏蔽层的前提下，输入不同的中子数目，得出中子穿透、吸收、返回的比例分别为：中子数吸收百分比返回百分比穿透百分比10005.30%82.60%12.10%30006.10%81.03%12.47%50006.22%81.36%12.42%100006.14%81.49%12.37%10000006.28%81.57%12.15%表 1 为更加清晰的描述中子运动，运用MATLAB中的plot绘图，当中子数时的运动状态如下图所示：图4 中子的运动状态在大数定理的意义下：对于大量的随机试验，若是重伯努利试验中事件发生的次数，则对于任意的，有：。故而可将比例分别表示中子吸收、返回、穿透屏蔽层的概率，根据上述结果分析可得：屏蔽层时，中子穿透屏蔽层的百分比大致在范围内。5.2 模型2的建立与求解在模型1的前提下，为使中子穿透屏蔽层的概率数量级为，我们采用计算机逐步变换法来改变蒙特卡罗模拟中的屏蔽层厚度，直至其符合实际要求。此外，我们亦可通过分析法来分析满足要求的屏蔽层厚度。一、逐步变换法：不同的屏蔽层厚度，中子穿透屏蔽层的百分比不同。因此，逐步增大屏蔽层的厚度，由计算机进行模拟，直至得到数量级为的概率。其中，与中子穿透屏蔽层的概率关系表如下：屏蔽层的厚度中子数中子穿透屏蔽层概率10000001.214000000000000e-00110000001.833000000000000e-003 100000004.350000000000000e-005100000004.800000000000000e-006 100000001.900000000000000e-006 100000007.000000000000000e-007 100000001.000000000000000e-007表 2由上述表格可以看出：当屏蔽层厚度时，中子穿透屏蔽层的概率小于。二、分析法：设屏蔽层的厚度为，即：将屏蔽层视为层厚度均为的平行板，由于碰撞后的能量损失,中子穿过屏蔽层的平均速度会逐层下降。设是中子穿过厚度为屏蔽层的概率,则穿过整个屏蔽层的概率满足：。利用模拟结果：当时，令，即：，得： 因此取屏蔽层的厚度，可使穿透屏蔽层的概率。通过上述逐步变换法与分析法的分析求解，可知：当屏蔽层厚度时，才能使它被穿的概率小于。六、模型的评价与改进6.1 模型的评价蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它求得问题的解。 优点 ：1、模拟方法本质上是试验性的，模拟系统是现实系统的仿真，每模拟一次相当于对一个中子做一次观测，能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程；2、受几何条件限制小，收敛速度与问题的维数无关，误差容易确定； 3、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力； 4、运用MATLAB编程，程序结构简单，易于实现。缺点：1、 模拟本质上是一种求解问题的试验方法，需要进行多次重复模拟，还需对结果进行统计分析；2、 误差具有概率性，准确性不敢保证；3、 在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关；4、运用MATLAB进行中子运动模拟时，收敛速度慢。6.2 模型的改进1、 由于题中并未给出核反应堆屏蔽层中中子平均游动距离或与其相关的确切数据，致使两次碰撞之间中子的平均游动距离不确定，或不能确切的计算出来，而是依靠资料得到的估计值，导致最后结果具有一定的误差。对此，可改进模型，增强模拟结果的精确性。2、 建立模型1、2时，并没有对模型的结果进行检验，因而计算精度不明确。对此，我们可通过分析误差值来检验模型，使其更加精密。七、日本福岛核泄漏事件的核危机善后工作建议核污染现状：核污染已成为全球十大环境难题之一，成了人类摆脱不了的阴影。 核污染主要指核物质泄露后的遗留物对环境的破坏，包括核辐射、原子尘埃等本身引起的污染，还有这些核物质对环境污染后会带来次生污染，比如被核物质污染的水源对人畜的伤害，与此同时对周围生物破坏极为严重，持续时期长，事后处理危险且复杂。核污染给人类带来的精神上、心理上的不安和恐惧更是无法统计。到目前为止，核污染问题已经引起了人们的高度重视。核泄漏危害：核泄漏一般的情况对人员的影响表现在核辐射，也叫做放射性物质，放射性物质可通过呼吸吸入，皮肤伤口及消化道吸收进入人体体内，引起内辐射，辐射可以穿透一定距离被机体吸收，使人员受到外照射伤害。身体接受的辐射越多，其放射性病状越严重，致癌、致畸风险越大。一定量放射性物质进入人体后，既具有生物化学毒性,又能以它的辐射作用造成人体损伤,这种作用称为内照射；这是由于各种辐射（如或射线、射线、射线和中子束等）激发等作用而把能量传递给机体，造成各组织器官的病理变化。放射性核素可以对周围产生很强的辐射，形成核污染。放射性沉降物还可以通过食物链进入人体，在体内达到一定剂量时就会产生有害作用。人会出现头晕、头疼、食欲不振等症状，发展下去会出现白细胞和血小板减少等症状。如果超剂量的放射性物质长期作用于人体，就能使人患上肿瘤、白血病及遗传障碍。核泄漏源的防范措施：通过建立数学模型对问题（1）、（2）的求解，我们可得当时，对人体危害最大的中子穿透铅板的概率小于，这就意味着数百万的中子辐射时，只有几个中子能穿透铅板。由此，我们可以联想到当发生核反应堆爆炸而引起核泄漏时，我们可以在核泄漏堆积处或核泄漏较严重处安装一些屏蔽层，比如安防铅板，目的是防止外界环境受到严重的核辐射作用。这样一来我们就能够控制住放射源的核辐射作用，大大降低了核辐射的持续性。需要强调的是，此种方法适合于核源泄露面积较小或大量核源堆积的情形。如果当核源大面积泄漏时，则需进一步采取相应的外部防辐措施。大面积辐射的防护： 大面积的放射性物质泄露产生的危害主要体现在内照射上。内照射与外照射的显著差别是，即使不再进行放射性物质的操作，已经进入体内的放射性核素仍然在体内产生有害影响。造成内照射的原因，通常是因为吸入放射性物质污染的空气，饮用放射性物质污染的水，吃了放射性物质污染的食物，或者放射性物质从皮肤、伤口进入体内。由于核素的种类不同、毒性不同，带来的危险程度也不同。因此，根据放射性核素摄入体内产生危害作用的大小和在空气中的最大容许浓度，把它们分成极毒、高毒、中毒和低毒四组。操作不同毒性的核素时，对操作设备和建筑物的设置地点等都有不同的要求。在发生核与辐射突发事件时，特别是有较大剂量放射性物质向大气释放的情况下，为保护群众、应急响应人员和从事善后处理的人员，应采取一系列防护与措施：1、对突发事件地区及其周围环境进行辐射监测，以评价对人员可能导致的辐射危害；2、制定干预水平、行动水平和应急照射水平，凡达到或超过这些水平时，应采取相应的干预或防护行动，以限制人们的受照剂量；3、对人员采取防护措施，包括隐蔽、服用稳定性碘、撤离、个人防护、控制进出口通路、临时避迁、永久性重新定居、消除放射性污染、对食品使用进行干预等；4、对伤员进行必要的医学处理，依据其伤情安排在不同水平的医疗单位分级处理；5、酌情采用其他应急救援措施，如灭火、通信联络、报警、安全保卫、运输、设立临时收留中心等。此外，放射性防护又可分成内照射防护和外照射防护。内照射防护的基本原则是尽可能地隔断放射性物质进入人体的各种途径，采取的基本措施有：1、 空气净化，通过空气过滤、除尘等方法，尽量降低空气中放射性粉尘或放射性气溶胶的浓度；2、换气稀释，利用通风装置不断排出被污染的空气，并换以清洁空气；3、密闭操作，把可能成为污染源的放射性物质放在密闭的手套箱或其他密闭容器中进行操作，使它与工作场所的空气隔绝；4、 加强个人防护，操作人员应带高效过滤材料做成的口罩、医用橡皮手套，穿工作服；在空气污染严重的场所，操作人员要带头盔或穿气衣作业。防止放射性物质经口腔进入人体内，严禁工作人员用可能被污染的手接触食物、衣服或其他生活用具。防止放射性物质不经过处理而大量排入江河、湖泊或注入地质条件差的深井，造成地面水或地下水源的污染。建立内照射监测系统，应对工作环境和周围环境中的空气、水源和有代表性的农牧产品进行常规监测，以便及时发现问题，改进防护措施。如：1.进入空气被放射性物质污染严重的地区时，要对五官严防死守。例如，用手帕、毛巾、布料等捂住口鼻，减少放射性物质的吸入。2.穿戴帽子、头巾、眼睛、雨衣、手套和靴子等，有助于减少体表放射性污染。3.要特别注意，不要食用受到污染的水、食品等。4.如果事故严重，需要居民撤离污染区，应听从有关部门的命令，有组织、有秩序地撤离到安全地点。撤离出污染区的人员，应将受污染的衣服、鞋、帽等脱下存放，进行监测和处理。5.受到或可疑受到放射性污染的人员应清除污染，最好的方法是洗淋浴。总之，在发生核泄漏地区及其附近地区的居民一定要把防护措施做到位。核泄漏启示：在世界飞速发展的今天，面对核能这把魔鬼双刃剑，各个国家都应该合理的使用。一旦再次发生核泄漏事件，则势必会给受灾地区的人们带来极大伤害。有必要时，国与国之间要携手奋进，一同发展、一起开发核能，以保证其安全性，以免类似的悲剧再次上演。在灾难面前，生命是脆弱的，请呵护我们自己以及他人的生命，让我们合理的、安全的开发和利用好核能这把双刃剑。八、参考文献1 刘卫国等，MATLAB程序设计与应用（第二版），北京：高等教育出版社，2006年7月；2 谢金星等，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003年8月；3 韩中庚等，数学建模方法及其应用（第二版），北京：高等教育出版社，2009年6月；4 张勇，核反应堆屏蔽层设计问题，,2011年8月18日；5 宋文杰，放射性物质的管理与防护 期刊论文，中华放射医学与防护杂志，2003年02期；6 郑钧正,解读放射性同位素与射线装置安全和防护条例J,国际放射医学核医学杂志,2006年05期。附录主要程序：问题1的程序：function sim_zhongzi2n=input('中子个数:');xx=;yy=;N=10;d=2;D=3*d;H=10*10;c=zeros(1,3);x=zeros(1,n);y=H*rand(1,n)/10;for j=1:N, if isempty(x), break; end R=-d*log(rand(1,length(x); seta=2*pi*rand(1,length(x); x=x+(R.*cos(seta); y=y+(R.*sin(seta); t=find(x>D); c(3)=c(3)+length(t); if length(t)>0, xx=xx,x(t); yy=yy,y(t); x(t)=; y(t)=; end t=find(x<0); c(2)=c(2)+length(t); if length(t)>0, xx=xx,x(t); yy=yy,y(t); x(t)=; y(t)=; end if j=N, c(1)=c(1)+length(x); endendxx=xx,x;yy=yy,y;check =sum(c)-ncheck2=length(xx)-nbili=c/nplot(xx,yy,'r.')hold online(0,0,-H,H)hold online(D,D,-H,H)text(-D-d/2,H-5*d,'返回')text(-4*d,H-9*d,sprintf('(%6.2f%)',c(2)/n*100)text(3*d/4,H-5*d,'吸收')text(d/4,H-9*d,sprintf('(%6.2f%)',c(1)/n*100)text(D+3*d/2,H-5*d,'穿透')text(D+d,H-9*d,sprintf('(%6.2f%)',c(3)/n*100)hold off中子个数:1000check = 0check2 = 0bili = 0.053 0.826 0.121 图 5中子个数:5000check = 0check2 = 0bili = 0.0622 0.8136 0.1242图 6中子个数:10000 check = 0 check2 = 0 bili = 0.8149 0.1237 0.0614 图 7 中子个数:1000000 check = 0 check2 = 0 bili = 0.062806 0.815724 0.12147