数字图像处理毕业设计论文.doc

正 文前 言图像对我们并不陌生。它是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的。我们生活在一个信息时代，科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有75%来自视觉系统，也就是从图像中获得的。进入21世纪的今天，信息处理和信息交流越来越多，而图像可以直接或间接作用于人眼并而产生视知觉的实体。图像信息是生活中接触最多的信息之一。因此，图像信息处理就显的尤其重要，也因此，人们对于图像滤波器的设计越来越重视。滤波器的设计与滤波器的的性能息息相关,所以应特别重视滤波器的性能分析。在图像处理中，往往存在干扰噪声而使图像变得模糊。因此，必须对图像中的噪声进行滤除，而使用的工具就是滤波器。滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大的衰减其它频率成分。在图像处理中，利用滤波器的这种选频作用，可以滤除图像中的噪声，尽可能地还原干净真实的画面。数字图像处理方法的研究源于两个主要应用领域:其一是为了便于人们分析而对图像信息进行改进；其二是为了使机器自动理解而对图像数据进行存储、传输及显示。本文有几个主要目的：（1）界定图像与数字图像处理的定义；（2）回顾一下数字图像处理领域的历史起源及主要应用领域；（3）介绍滤波器的发展状况及基本知识；（4）比较低通和高通滤波器，理想与实际滤波器的区别；（5）概述一下图像处理中运用的降噪滤波器，并分析几滤波器的特性；（6）在VC+环境下进行编程，运行程序，比较几种滤波器的图像处理能力；（7）列出一些图像处理及滤波器方面的参考文献。1 图像和数字图像1.1 图像与图像识别图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息，表达信息和传递信息的重要手段。研究表明，人类获取的视觉图像信息在人类接受的信息中的比重达很高，“百闻不如一见”便是非常形象的例子。虽然图像一词在人们日常生活交流中的使用频率很高，大多数人也知道一幅图像是什么，但对图像却没有严格的定义。常见的几种描述是：图像是人或事物的一个模仿或表示，一个生动的或图形化的描述：；等等。“图”是物体透视光或发射光的分布，“像”是人的视觉系统对图的接收在大脑中形成的印象或认识。图像是两者的结合，图像是客观景物通过某种系统的一种映射。照片、电影、电视、图画等都属于图像的范围。图像是人们获取信息的一个重要来源1。图像识别可能是以图像的主要特征为基础的。每个图像都有它的特征,如字母A有个尖，P有个圈、而Y的中心有个锐角等。对图像识别时眼动的研究表明，视线总是集中在图像的主要特征上，也就是集中在图像轮廓曲度最大或轮廓方向突然改变的地方，这些地方的信息量最大。而且眼睛的扫描路线也总是依次从一个特征转到另一个特征上。由此可见，在图像识别过程中，知觉机制必须排除输入的多余信息,抽出关键的信息。同时,在大脑里必定有一个负责整合信息的机制，它能把分阶段获得的信息整理成一个完整的知觉映象。人的图像识别能力是很强的。图像距离的改变或图像在感觉器官上作用位置的改变，都会造成图像在视网膜上的大小和形状的改变。即使在这种情况下，人们仍然可以认出他们过去知觉过的图像。甚至图像识别可以不受感觉通道的限制2。例如，人可以用眼看字，当别人在他背上写字时，他也可认出这个字来。1.2 数字图像处理1.2.1 数字图像处理概述及发展状况数字图像处理（Digital Image Processing）又称为计算机图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程3。数字图像处理最早出现于20世纪50年代，当时的电子计算机已经发展到一定水平，人们开始利用计算机来处理图形和图像信息。数字图像处理作为一门学科大约形成于20世纪60年代初期。首次获得实际成功应用的是美国喷气推进实验室（JPL）。他们对航天探测器徘徊者7号在1964年发回的几千张月球照片使用了图像处理技术，如几何校正、灰度变换、去除噪声等方法进行处理，并考虑了太阳位置和月球环境的影响，由计算机成功地绘制出月球表面地图，获得了巨大的成功。随后又对探测飞船发回的近十万张照片进行更为复杂的图像处理，以致获得了月球的地形图、彩色图及全景镶嵌图，获得了非凡的成果，为人类登月创举奠定了坚实的基础，也推动了数字图像处理这门学科的诞生。在以后的宇航空间技术，如对火星、土星等星球的探测研究中，数字图像处理技术都发挥了巨大的作用。数字图像处理取得的另一个巨大成就是在医学上获得的成果。1972年英国EMI公司工程师Housfield发明了用于头颅诊断的X射线计算机断层摄影装置，也就是我们通常所说的CT（Computer Tomograph）。1975年EMI公司又成功研制出全身用的CT装置，获得了人体各个部位鲜明清晰的断层图像。1979年，这项无损伤诊断技术获得了诺贝尔奖，说明它对人类作出了划时代的贡献。随着图像处理技术的深入发展，从70年代中期开始，随着计算机技术和人工智能、思维科学研究的迅速发展，数字图像处理向更高、更深层次发展。人们已开始研究如何用计算机系统解释图像，实现类似人类视觉系统理解外部世界，这被称为图像理解或计算机视觉。很多国家，特别是发达国家投入更多的人力、物力到这项研究，取得了不少重要的研究成果。其中代表性的成果是70年代末MIT的Marr提出的视觉计算理论，这个理论成为计算机视觉领域其后十多年的主导思想4。1.2.2 数字图像处理的特点及应用目前，数字图像处理的信息大多是二维信息，处理信息量很大。数字图像处理占用的频带较宽。数字图像中各个像素是不独立的，其相关性大。由于图像是三维景物的二维投影，一幅图象本身不具备复现三维景物的全部几何信息的能力，很显然三维景物背后部分信息在二维图像画面上是反映不出来的。因此，要分析和理解三维景物必须作合适的假定或附加新的测量，例如双目图像或多视点图像。在理解三维景物时需要知识导引，这也是人工智能中正在致力解决的知识工程问题。数字图像处理后的图像一般是给人观察和评价的，因此受人的因素影响较大5。图像是人类获取和交换信息的主要来源，因此，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。随着科学技术的发展，数字图像处理技术的应用领域也将随之不断扩大6。数字图像处理技术未来应用领域主要有以下七个方面：(1）航天和航空技术方面的应用。数字图像处理技术在航天和航空技术方面的应用，除了上面介绍的JPL对月球、火星照片的处理之外，另一方面的应用是在飞机遥感和卫星遥感技术中。(2）生物医学工程方面的应用。数字图像处理在生物医学工程方面的应用十分广泛，而且很有成效。除了CT技术之外，还有一类是对医用显微技术的处理分析，如染色体分析、癌细胞识别等。此外，在X光肺部图像增晰、超声波图像处理、心电图分析、立体定向放射治疗等医学诊断方面都广泛地应用图像处理技术7。(3）通信工程方面的应用。当前通信的主要发展方向是声音、文字、图像和数据结合的多媒体通信。其中以图像通信最为复杂和困难，因图像的数据量十分巨大，如传送彩色电视信号的速率达100M/s以上。要将这样高速率的数据实时传送出去，必须采用编码技术来压缩信息的比特量。在一定意义上讲，编码压缩是这些技术成败的关键。(4）工业和工程方面的应用。在工业和工程领域中图像处理技术有着广泛的应用，如自动装配线中检测零件的质量、并对零件进行分类，印刷电路板疵病检查，弹性力学照片的应力分析，流体力学图片的阻力和升力分析，邮政信件的自动分拣，在一些有毒、放射性环境内识别工件及物体的形状和排列状态，先进的设计和制造技术中采用工业视觉等等。(5）军事公安方面的应用。在军事方面图像处理和识别主要用于导弹的精确末制导，各种侦察照片的判读，具有图像传输、存储和显示的军事自动化指挥系统，飞机、坦克和军舰模拟训练系统等；公安业务图片的判读分析，指纹识别，人脸鉴别，不完整图片的复原，以及交通监控、事故分析等。目前已投入运行的高速公路不停车自动收费系统中的车辆和车牌的自动识别都是图像处理技术成功应用的例子。(6）文化艺术方面的应用。目前这类应用有电视画面的数字编辑，动画的制作，电子图像游戏，纺织工艺品设计，服装设计与制作，发型设计，文物资料照片的复制和修复，运动员动作分析和评分等等，现在已逐渐形成一门新的艺术-计算机美术。（7）其它方面的应用。数字图像处理技术已经渗透到社会生活的各个领域，如地理信息系统中二维、三维电子地图的自动生成、修复等；教育领域各种辅助教学系统研究、制作中；流媒体技术领域等等。2 滤波器概述及基本知识2.1 滤波器的发展状况凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最为复杂的要算滤波器了8。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。1917年美国和德国科学家分别发明了LC滤波器，次年导致了美国第一个多路复用系统的出现。20世纪50年代无源滤波器日趋成熟。自60年代起由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一个新台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向。导致RC有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展，到70年代后期，上述几种滤波器的单片集成已被研制出来并得到应用。80年代，致力于各类新型滤波器的研究，努力提高性能并逐渐扩大应用范围。90年代至现在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制9。当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行。 我国广泛使用滤波器是50年代后期的事，当时主要用于话路滤波和报路滤波。经过半个世纪的发展，我国滤波器在研制、生产和应用等方面已纳入国际发展步伐，但由于缺少专门研制机构，集成工艺和材料工业跟不上来，使得我国许多新型滤波器的研制应用与国际发展有一段距离。2.2 滤波器的基本知识2.2.1 滤波器的功能滤波器的功能就是允许某一部分频率的信号顺利的通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路10。 滤波器中，把信号能够通过的频率范围，称为通频带或通带；反之，信号受到很大衰减或完全被抑制的频率范围称为阻带；通带和阻带之间的分界频率称为截止频率；理想滤波器在通带内的电压增益为常数，在阻带内的电压增益为零；实际滤波器的通带和阻带之间存在一定频率范围的过渡带11。2.2.2 滤波器的分类12(1) 按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。数字滤波技术的发展与应用日益广泛，但模拟滤波在自动检测、自动控制以及电子测量仪器中仍具有重要用途。模拟滤波器在测试系统或专用仪器仪表中是一种常用的变换装置。(2) 按所通过信号的频段分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。低通滤波器,只允许0f2 的频率成分通过，而大于f2 的频率成分衰减为零； 高通滤波器与低通滤波器相反，它只允许f1的频率成分通过，而小于f1的频率成分衰减为零；带通滤波器只允许f1 f2之间的频率成分通过，其他频率成分衰减为零；带阻滤波器与带通滤波器相反，它将f1f2之间的频率成分衰减为零，其余频率成分几乎不受衰减地通过。 这些滤波器中低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本形式，其他的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器。图2-1所示为四种滤波器及其幅频特性曲线。高通滤波器的幅频特性可以看作为低通滤波器做负反馈而得到，即A2(f)=1-A1(f)；带通滤波器的幅频特性可以看作为带阻滤波器做负反馈而获得；带阻滤波器是低通和高通滤波器的组合。(3）按电路是否需要电源可以分为无源和有源滤波器两种，其中根据原件组成又有LC、RC以及由特殊元件构成的无源滤波器和RC 有源滤波器。无源滤波器： 仅由无源元件(R、L 和C)组成的滤波器，它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的。这类滤波器的优点是：电路比较简单，不需要直流电源供电，可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗，负载效应比较明显，使用电感元件时容易引起电磁感应，当电感L较大时滤波器的体积和重量都比较大，在低频域不适用。有源滤波器：由无源元件(一般用R和C)和有源器件(如集成运算放大器）组成。这类滤波器的优点是：通带内的信号不仅没有能量损耗，而且还可以放大，负载效应不明显，多级相联时相互影响很小，利用级联的简单方法很容易构成高阶滤波器，并且滤波器的体积小、重量轻、不需要磁屏蔽(由于不使用电感元件）；缺点是：通带范围受有源器件(如集成运算放大器）的带宽限制，需要直流电源供电，可靠性不如 无源滤波器高，在高压、高频、大功率的场合不适用。（4）按传递函数的阶数可分为一阶、二阶和高阶滤波器。图2-1 四种滤波器的幅频特性2.2.3 滤波器的主要参数13(1)通带增益：滤波器通带内的电压放大倍数。(2)特征角频率和特征频率：它只与滤波用的电阻和电容元件的参数有关，通常，。对于带通(带阻）滤波器，称为带通(带阻）滤波器的中心角频率或中心频率，是通带(阻带)内电压增益最大(最小)点的频率。 (3)截止角频率和截止频率：它是电压增益下降到时所对应的角频率。必须注意不一定等于，带通和带阻滤波器有两个，即和. (4）通带(阻带)宽度：它是带通(带阻)滤波器的两个之差值，即.( 5)等效品质因数：对低通和高通滤波器而言, 值等于滤波器电路电压增益的模与通带增益之比，即；对带通(带阻）滤波器而言, 值等于中心角频率与通带(阻带）宽度之比，即。3 低通和高通滤波器，理想和实际滤波器3.1 低通和高通滤波器的区别低通滤波器是容许低频信号通过, 但减弱(或减少)频率高于截止频率的信号的通过。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的减弱程度不同。当使用在音频应用时,它有时被称为高频剪切滤波器, 或者高音消除滤波器。高通滤波器是容许高频信号通过，但減弱（或減少）频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的減弱程度不同。当使用在音频应用时,它有时被称为低频剪切滤波器，或者低音消除滤波器或者噪声滤波器。高通滤波器与低通滤波器特性恰恰相反，而带通滤波器则是高通滤波器和低通滤波器的组合14。3.2 理想与实际滤波器特性一个理想的低通滤波器能够完全剔除高于截止频率的所有频率信号，并且低于截止频率的信号可以不受影响地通过。实际上的转换区域也不再存在。一个理想的低通滤波器可以用数学的方法（理论上）在频域中用信号乘以矩形函数得到，作为具有同样效果的方法，也可以在时域与sinc函数作卷积得到。 然而，这样一个滤波器对于实际真正的信号来说是不可实现的，这是因为sinc函数是一个延伸到无穷远处的函数（extends to infinity），所以这样的滤波器为了执行卷积就需要预测未来并且需要有过去所有的数据。对于预先录制好的数字信号（在信号的后边补零，并使得由此产生的滤波后的误差小于量化误差）或者无限循环周期信号来说这是可以实现的15。实时应用中的实际滤波器通过将信号延时一小段时间让它们能够“看到”未来的一小部分来近似地实现理想滤波器，这已为相移所证明。近似精度越高所需要的延时越长。 采样定理(Nyquist-Shannon sampling theorem)描述了如何使用一个完善的低通滤波器和奈奎斯特-香农插值公式从数字信号采样重建连续信号。实际的数模转换器都是使用近似滤波器16。3.2.1 理想滤波器的频率特性理想滤波器是指使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线17。这也就是说理想滤波器在通带内的幅频特性应为常数，相频特性的斜率为常值，在通带外的幅频特性应为零。理想低通滤波器的频率响应函数为： 公式（3-1）式中为滤波器的截止频率。由分析式所表示的频率特性可知，该滤波器在时域内的脉冲响应函数h(t)为sinc函数，如图3-1所示。脉冲响应的波形沿横坐标左、右无限延伸，从图中可以看出，在单位脉冲输入滤波器之前，即在t<0时，滤波器就已经有响应了。显然，这是一种非因果关系，在物理上是不可能实现的。这说明在截止频率处呈现直角锐变的幅频特性，或者说在频域内用矩形窗函数描述的理想滤波器是不可能存在的。实际滤波器的频域图形不会在某个频率上完全截止，而会逐渐衰减并延伸到无穷大。A0- 0 （）0t（）arctgt0- 0 （）图3-1 理想滤波器的幅频、相频特性及其脉冲响应3.2.2 实际滤波器参数理想滤波器是不存在的。实际滤波器的通带和阻带之间没有明显的界限，而是存在一个过渡带。在过渡带内的频率成分不会被完全抑制，只会受到不同程度的衰减。当然，希望过渡带越窄越好，也就是希望对通带外的频率成分衰减得越快、越多越好18。因此，在设计实际滤波器时，总是通过各种方法使其逼近理想滤波器。图3-2所示是一个典型的实际带通滤波器。A(f)A0fc1f0fc2d图3-2 实际带通滤波器对于实际滤波器，为了能够了解某一滤波器的特性，就需要通过一些参数指标来确定。 对于理想滤波器，其特征参数为截止频率。在截止频率之间的幅频特性为常数A0 ，截止频率以外的幅频特性为零；对于实际滤波器，其特性曲线没有明显的转折点， 通带中幅频特性也不是常数，需要用更多的特性曲线参数来描述实际滤波器的特性，主要参数有纹波幅度、截止频率、带宽、品质因数和倍频程选择性等19。（1）纹波幅度。在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化。其波动幅度与幅频特性的平均值相比，越小越好，一般应远小于-3dB。（2）截止频率。幅频特性值等于所对应的频率称为滤波器的截止频率。以 为参考值，对应于点，即相对于衰减了。若以信号的幅值表示信号功率，则所对应的点正好是半功率点。（3）带宽和品质因数值。上、下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽，或带宽，单位为Hz。带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分的能力频率分辨力。对于带通滤波器，通常把中心频率（）和带宽之比称为滤波器的品质因数。例如一个中心频率为500HZ的滤波器，若其带宽为10HZ，则其值为50。值越大，表明滤波器的频率分辨力越高。(4)倍频程选择性。 在两截止频率外侧，实际滤波器是一个过渡带，这个过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快慢，它决定着滤波器对带宽以外频率成分衰减的能力，常用倍频程选择性来表示。所谓倍频程选择性，是指在上截止频率 和之间，或者在下截止频率与之间幅频特性的衰减量，即频率变化一个倍频程时的衰减量，为: 或 倍频程衰减量以dB/oct表示（octave,倍频程）。显然，衰减越快（即W值越大），滤波器的选择性越好。对于远离截止频率的衰减率也可用10倍频程衰减量来表示，即dB/10oct。 4 频率域数字图像处理                        数字图像处理技术可分为“空间域”技术和“频率域”技术两大类。“空间域”指图像平面自身，这类方法是以对图像像素的直接处理为基础。“频率域”处理技术是以修改图像的傅立叶变换为基础的20。频率域图像处理过程称为频域滤波，基本过程分为以下三个步骤21：（1）对原始图像f(x,y)进行傅里叶变换，得到F（u,v）；（2）将F（u,v）与滤波器函数H（u,v）进行卷积运算，得到G（u,v）；（3）对G（u,v）进行傅里叶逆变换即可求得增强图像g(x,y).其系统框图如图4-1所示：g(x,y)G(u,v)滤波函数H（u,v）傅里叶逆变换f(x,y)F(u,v)傅里叶变换图4-1 频域滤波系统框图图中的H（u,v）是传递函数，它的作用是在傅立叶变换中抑制某些频率但保留另一些频率，故又称为滤波器。f(x,y)是输入图像，F（u,v）是其傅立叶变换，设G（u,v）是滤波后的傅立叶变换，那么： 公式（4-1） 实现G的算法并不复杂，因为H和F都是二维离散函数，H和F相乘实际上是逐个元素相乘，即H的第一个元素乘以F的第一个元素得G的第一个元素，以此类推可求得G。G经过傅立叶反变换后可得到滤波处理后的数字图像。4.1 图像的傅里叶变换22一副尺寸为×的数字图像可表示成一个二维离散函数f(x,y)，其中x=0，1，2，.M-1，y=0,1,2,.,N-1。f(x,y)的傅立叶变换为： 公式（4-2）公式（4-2）是一个二维傅立叶变换，由傅立叶变换的可分性，可将该二维傅立叶变换转化为二次一维傅立叶变换进行计算。 公式（4-3） 公式（4-4）一维傅立叶变换可采用“蝴蝶图”的快速傅立叶算法实现，其原理此处不作讨论。将二维傅立叶变换转化为二次一维傅立叶变换有利于算法实现，只要二次调用一维傅立叶变换算法就可以实现二维傅立叶变换。图4-2（a）所示是模糊的电路板图像，幅度为256256像素。图4-2（b）则是其经过傅立叶变换后得到的频谱图。图4-2（b）的中心点是频谱图的频率原点，靠近中心点的区域代表了图像频率的低频区，远离中心的区域是高频区。 （a）256256像素模糊的电路板图像 （b）傅里叶变换后的频谱图像图4-2 数字图像及其傅里叶变换4.2 图像的傅里叶反变换23频谱图可以通过傅立叶反变换无失真地还原图像，公式4-2的傅立叶反变换公式如下： 公式（4-5） 公式（4-6）公式（4-6）与傅立叶变换公式（4-2）非常类似，因此只要调用傅立叶变换算法，将作为输入，可求得，然后再对取复共轭即可得到。因为是实函数，所以。4.3 频域低通滤波法4.3.1 图像平滑图像的平滑除了可以在空间域中进行外，也可以在频域中进行。根据信息（包括信号和噪声）在空域和频域的对应关系，即随空间位置突变的信息在频域是高频，而缓变的信息在频域是低频。具体到图像中，边缘和噪声对应于频域的高频区域，而背景及信号缓变部分则对应于频域的低频区域。因此，我们可以利用频域的低通滤波法来达到滤除（高频）噪声的目的，这就是图像的频域平滑法，一般称作频域低通滤波法24。图像的噪声主要集中在高频部分，因此为了去除噪声并改变图像质量，如图4-3所示，采用低通滤波器H（u,v）来抑制高频部分，然后再进行傅里叶逆变换获得滤波图像就可以达到平滑图像的目的。D（u,v）D(u,v)D0H(u,v)uv1-D0 0 D0 H（u,v）（a） (b)图4-3 理想低通滤波器的透视图和剖视图4.3.2 用于图像滤波的几种低通滤波器 频域低通滤波法的关键是设计和选定低通滤波器H(u,v)，图像滤波器中常用的低通滤波器如下：1. 理想低通滤波器（ILPF）设傅里叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为D0，则理想低通滤波器的传递函数为： 公式（4-7）其中D（u,v）为频域平面上的点P（u,v）到原点（0，0）的距离，即，D0为非负量，有两种意义：一种意义是取H(u,v)降到0.5时对应的频率，另一种是取H(u,v)降到0.707时对应的频率。这里采用第一种定义。理想低通滤波器传递函数的透视图和剖面图如图4-3（a）和（b）所示。在理论上，图像频域信息F(u,v)在D0内的频率分量无损失通过，而在D(u,v)>D0的分量却被滤除掉。然后经过傅里叶逆变换得到平滑图像。事实上，这种低通滤波器是无法用硬件实现的，因为实际的器件无法实现H(u,v)从1到0的突变。由于高频成分包含有大量边缘信息，因此采用该滤波器在去除噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边缘模糊，并且会产生“振铃”效应25。由图4-3（a）可知，当频率超过以原点（0，0）为中心，以D0为半径的圆域时，信号将被滤波器截除，由于图像灰度经过傅里叶变换后是低频分量，它不可能被截除，而真正被抑制的是含有噪声的高频分量，因此最后使图像得到改善。D0越小，信号的能量比较集中在原点的低频段，D0越大，能量相对分散，但还是比较集中在低频域。设频域中的某一点P(u,v)的频谱分量为E(u,v),频域中的总能量为ET，那么得 公式（4-8）其中E(u,v)=R2(u,v)+I2（u,v）=|F(u,v)|2.若将该点移至以原点（0，0）为中心，半径为D0的圆域中，则其包含的分量占总能量的百分比可按下式计算： 公式（4-9）2. 巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器（BLPF）巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯在1930年发表在英国无线电工程期刊的一篇论文中提出的。一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝。三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数、振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状26。与其它类型的滤波器比较，巴特沃斯滤波器的衰减速度比其他类型滤波器缓慢，但十分平坦，没有幅度变化。巴特沃斯滤波器特点27：（1）最大平坦性：其滤波器在零频点处附近一段范围内是非常平直的，它是以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器；（2）通带、阻带下降的单调性；（3）具有良好的相频特性；（4）3dB的不变性：随N的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性。但不管N是多少，幅频特性都通过3dB 点。理想低通滤波器虽可抑制高频噪声分量，但由于其锐截止突变现象（通带到阻带），可能产生“振铃”现象。所谓“振铃”现象就是图像出现亮点处，经过滤波后亮点扩大甚至出现光环，使该点变模糊的现象，而巴特沃斯设计了一种巴特沃斯低通滤波器，其通带、阻带是缓变的，即平滑过渡，这样该滤波器既可抑制高频噪声，又可避免“振铃”现象，从而进一步提高图像质量28。n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为： 公式（4-10）其中D0为截止频率，在D（u,v）=D0时，H（u,v）=1/2，这里n=1，2，.N。或 公式（4-11）其中在截止频率处，即当D（u,v）=D0时，H（u,v）=1/，n取正整数（n=1，2，.N）。可见，这两种巴特沃斯低通滤波器的区别在于截止频率的定义不同。图4-4（b）是巴特沃斯低通滤波器的特性曲线，与理想低通滤波器所不同的是，巴特沃斯低通滤波器在通带和阻带之间没有明显的不连续性，过渡比较光滑。但由于它的尾部保留了较多的高频分量，所以其噪声的平滑效果要低于理想低通滤波器。3. 指数低通滤波器（ELPF） 在图像处理中，常用的另一种平滑滤波器是指数低通滤波器，它的传递函数为： 公式（4-12） 或 公式（4-13） 式中n为决定衰减率的系数，它决定了滤波器特性曲线的衰减程度。指数低通滤波器的特性曲线如图4-4（c）所示，当D（u,v）=D0,n=1时对于式（4-12），H（u,v）=1/e，而对于式（4-13），H（u,v）=1/，所以两者的衰减特性仍有不同。与巴特沃斯低通滤波器相比，指数低通滤波器中的指数函数有更快的衰减率和更为平滑的过渡带，所以经指数低通滤波器滤波后的图像比巴特沃斯低通滤波器滤波后的图像稍微模糊一些，但没有振铃现象。4. 梯形低通滤波器（TLPF）梯形低通滤波器的传递函数介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间，其传递函数定义为： 公式（4-14）在规定D0和D1时，要满足D0<D1的条件，一般为方便起见，把H（u,v）的第一个转折点D0定义为截止频率，第二个变量D1可以任意选取，只要满足D0<D1的条件就可以。梯形低通滤波器的特性曲线如图4-4（d）所示，其滤波性能也介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的滤波器之间，滤波后的图像既有一定的模糊，也有一定振铃现象存在。0000D(u,v)D(u,v)D(u,v)D(u,v)H(u,v)H(u,v)H(u,v)H(u,v)1.00.5 D0 D11.01.01.0D0(a) 理想低通滤波器 (b) 巴特沃斯低通滤波器 (c) 指数低通滤波器 (d) 梯形低通滤波器 图4-4 四种低通滤波器的特性曲线表4-1 四种低通滤波器的比较类别振铃程度图像模糊程度噪声平滑效果理想低通滤波器严重严重最好梯形低通滤波器较轻轻好指数低通滤波器无较轻一般巴特沃斯低通滤波器无很轻一般4.4 频域高通滤波法4.4.1 图像锐化当图像灰度属于突变状态时，其经过傅里叶变换后在频域中对应于高频分量；而当灰度变化平缓时，其经过傅里叶变换后在频域中相应于低频分量。而当一幅图像从渗入干扰噪声时，必将引起图像像素灰度值的突变，没有受到干扰的像素灰度仍然是缓变的。如果将此图像信号进行傅里叶变换，那么图像点与干扰点在频域中分别处于低频段和高频段29。当然在图像的转换与传输过程中，除了信息量丢失与噪声的介入会降低图像质量外，还可能会使图像的边界或轮廓模糊，为了克服这一失真现象，常采用图像锐化处理方法加以补偿，使转换或传输的图像更为清晰。锐化处理可以在图像的空间域通过空间微分来完成，如基于一阶微分的梯度法和基于二阶微分的拉普拉斯算子都能实现图像的锐化。同时也可以在频率域对图像进行锐化处理，图像傅立叶变换的频率分量与图像的空间特征直接相关：低频对应着图像中灰度级变化缓慢的区域，高频则对应着图像中灰度级变化较快的部分，即图像中的边缘及突变的部分与高频分量有关。因而在图像的频域处理中，就可以用高通滤波器来强化高频部分，从而实现图像的锐化处理。锐化处理的目的是突出图像中的细节或者增强模糊的图像边界。锐化在军事系统制导、工业检测到医学成像和日常生活等各个方面都有非常广泛的应该。目前图像锐化可采用空域锐化处理法梯度法及频域锐化处理法高通滤波器法30。4.4.2 用于图像滤波的几种高通滤波器图像的边缘、细节主要在高频部分得到反映，而图像的模糊是由于高频成分比较弱产生的。为了消除模糊，突出边缘，则采用高通滤波器让高频成分通过，使低频成分削弱，再经过傅里叶逆变换得到边缘锐化的图像31。常用的高通滤波器有四种，即理想高通滤波器、巴特沃斯高通滤波器、指数高通滤波器和梯形高通滤波器。1. 理想高通滤波器（IHPF）理想高通滤波器使特定频率区的高频分量通过并保持不变，而使其它频率区域的全部抑制，其转移函数为： 公式（4-15） 其特性曲线如图4-5（a）所示。从图中可以看出，它在形状上和前面介绍的理想低通滤波器正好相反。但性能相类似，由于理想高通滤波器是突变的，所以由它得到的高频图像中存在有较强的振铃现象。2. 巴特沃斯高通滤波器（BHPF）巴特沃斯高通滤波器为二维空间上的连续高通滤波器，其转移函数为： 公式（4-16）或 公式（4-17）在公式（4-16）前乘以一个系数b, 再加上偏移a，则可以实现高频加强滤波器。 公式（4-18） 其特性曲线如图4-5（b）所示。曲线变化比较平滑，在阶数较低的时候所得到的高频图像中只有轻微的振铃现象产生，并且图像也较为清晰。3. 指数高通滤波器（EHPF）指数高通滤波器的转移函数为： 或 公式（4-19） 其特性曲线如图4-5（c）所示。指数高通滤波器由于具有比巴特沃斯高通滤波器更为平滑的传递函数，所得的高频图像中没有振铃现象产生，但图像更为模糊一些。4. 梯形高通滤波器（EHPF）梯形高通滤波器的转移函数为： 公式（4-20）梯形高通滤波器的特性曲线如图4-5（d）所示，其滤波性能也介于理想高通滤波器和具有平滑过渡带的滤波器之间，得到的高频图像既有一定的模糊，也有一定振铃现象存在。0000D(u,v)D(u,v)D(u,v)D(u,v)H(u,v)H(u,v)H(u,v)H(u,v)1.00.5D0 D11 2 31.01.03211.0D0（a）理想高通滤波器（b）巴特沃斯高通滤波器（c）指数高通滤波器（d）梯形高通滤波器图4-5 四种高通滤波器的特性曲线4.5 带通和带阻滤波器 低通滤波器和高通滤波器可以分别增强图像的低频和高频分量。在实际应用中，图像中的某些有用信息可能出现在图像频谱的某一频率范围内，或者某些需要去除的信息出现在某一个频率范围内。这种情况下，能够允许特定频率范围内的频率分量通过的传递函数就很有用，带通和带阻滤波器就是这样的传递函数。带通滤波器允许一定频率范围内的频率信号通过而阻止其它频率范围内的信号通过，带阻则正好相反32。一个理想的带通滤波器的传递函数为： 公式（4-21）式中为带的宽度；D0为频带中的频率；D（u,v）表示点（u,v）到频带中心（u0,v0）的距离，即 公式（4-22）理想带通滤波器的传递函数H（u,v）如图所示：0D(u,v)H(u,v)1.0D0图4-6 带通滤波器的特性曲线4.6 巴特沃斯高通滤波器在图像处理中的应用 图像在形成和传输过程中，由于成像系统聚焦不好或信道的带宽过窄，结果会使图像目标物轮廓变模糊、细节不清晰。同时，图像平滑后也会变模糊。究其原因，若从空间域分析，主要是图像受到了平均或积分运算。对此，可采用相反的运算（如微分运算）来增强图像，使图像变清晰。若从频率域分析，图像模糊的实质是表示目标物轮廓和细节的高频分量被衰减，因而在频域中可采用