数列收敛判别法毕业论文.doc

学士学位毕业论文设计数列收敛的判别法 所在系别：数学与应用数学系 专 业：数学与应用数学班 级：05级本科1班学生姓名：王姝萍学 号：2005561108指导教师：王宏（教授）黑 龙 江 省 黑 河 学 院 2009年 5 月 1 日目录中文摘要-I英文摘要-II前 言-III第一章数列极限的概念-11.1 数列极限的定义-11.2 收敛数列的定义-2第二章判别数列收敛的方法-3 2.1 定义法-3 2.2 单调有界定理-6 2.3 迫敛性定理-8 2.4 柯西收敛准则-9 2.5 关于子列的重要定理-12参考文献-14致谢-15数列收敛的判别法摘要：数列收敛是极限方法的基本情况，而极限方法是微积分学的基本方法，是初等数学所没有的一套崭新的方法，它解决了“直与曲”、“均匀变化与非均匀变化”、“近似于精确”的矛盾，是客观世界中由量变到质变的一种反应。数列收敛恰是这些的基础，它的概念、 性质、定理、推论为研究其它极限等数学理论研究起到铺垫作用。本篇文章重点讨论的是判别数列收敛的一些方法，对于判断一个数列是否收敛有些茫然的人，本文会有针对性的对以上问题做细致的讲解和归纳。开篇第一章的内容是对一些基础概念做了叙述，以便于对后面的定理有更好的理解。在第二章重点介绍了判别数列收敛的方法，数列收敛的判别法有很多，对于简单的数列，通过定义其极限的存在常常可以通过观察直接看出，或通过极限的四则运算得出，研究数列收敛的判别法可以判断一些较复杂的极限，例如应用柯西收敛准则和迫敛性定理，它们是利用极限来研究微分学的许多理论问题时的有力工具，在近代分析中有极其重要的理论意义。关键词：数列收敛、数列极限、判别法Series convergence criterionAbstract：Series is the ultimate way to convergence of the basic situation, and the limit is the basic calculus method is not elementary mathematics a new way, it has resolved the "straight and curly," "uniform change and nonuniform change," "close to accurate," the contradiction is the objective world from quantitative to qualitative changes in a response. Convergent series is just the foundation of the concept, nature, theorem, inference to study the other limit, such as paving the way mathematics has played the role of theoretical research.This article key discussion is distinguished sequence restraining some methods, regarding judge a sequence whether restrains some at a loss people, this article can have pointed makes the careful explanation and the induction to above ques question.The introduction first chapter of content has made the narration to some foundation concept, was advantageous for to the behind t heorem has a better understanding.Introduced with emphasis in the second chapter the distinction sequence restraining method, the sequence restraining distinction law has very much, regarding the simple sequence, through defines its limit the existence to be possible to see directly frequently through the observation, or obtains through the limit mathematical operations, the research sequence restraining distinction law may judge some complex limit, for example west the applica tion tan oak restrains the criterion and compels collects the theorem, they are study the differential calculus using the limit time many theory question powerful tool, has the extremely important theory significance in the modern analysis.Key word:Sequence restraining, Sequence limit, Sequence restraining distinction way前 言数列收敛问题始终是数学分析课程入门的重要概念，本文从数列收敛的定义、性质及与数列收敛等价的一些定理命题入手进行探讨判别数列收敛的方法。当然也可以从另一个角度探讨，如用数列收敛与不收敛的关系探讨数列收敛问题，数列收敛与有界的关系等。随着知识的积累对数列收敛问题的理解将会更深刻，在函数极限、多元函数极限、级数及后继的专业理论学习中对不同的问题、不同的概念都会有研究收敛问题，在此基础上将会更深刻和更广泛的实际意义。数列收敛是极限理论的一种基本的情况，一个数列存在极限也就是这个数列收敛，极限方法是微积分学的基本方法，是初等数学所没有的一套崭新的方法，它解决了“直与曲”、“均匀变化与非均匀变化”、“近似与精确”的矛盾，是客观世界中由量变到质变的一种反映。数列收敛恰是这些的基础，它的概念、 性质、定理、推论为研究其它极限等数学理论研究起到铺垫作用。数列收敛的判别法有很多，对于简单的数列，通过定义其极限的存在常常可以通过观察直接看出，或通过极限的四则运算得出，研究数列收敛的判别法可以判断一些较复杂的极限，例如柯西收敛准则和迫敛性定理，它们是利用极限来研究微分学的许多理论问题时的有力工具，在近代分析中有极其重要的理论意义。数列收敛是现代数学的重要基础，例如迫敛性定理在解决求极限的中有广泛的应用，柯西收敛准则的作用与影响更是尤为显著。它的概念与思想渗透到所有的数学分支，而理论与方法在统计学、信息论、计算机科学、近代物理、化学以及其他许多科学与工程领域中都有广泛而深入的应用，是理工类和其他相关专业研究应具备的数学基础。并且在中学数学教育中有着其实际的作用，对培养学生极限抽象思想和找寻数学规律或者实际生活规律提供了很好的实践平台。第一章 数列极限的概念极限论是数学分析的基础。极限问题是数学分析中困难问题之一。中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值。两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限的存在性也被证明。反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路。下面我们重点研究的是数列的极限，1.1数列极限的定义（= ，）的变化趋势；当无限增大时，趋于极限。现在我们要用严格的数学语言来定义极限概念。我们先来分析一个简单数列 （= ，） （1-1）很明显，当无限增大时，趋于极限0 。此数列写出来是，它趋于0的意思，就是沿此数列往后看，它与0愈来愈接近；例如，从第100项以后开始，每一项与0 的差都小于0.01；从第1000项以后开始，每一项与0的差都小于0.001；一般来说，从“充分远”的某一项开始，它的每一项与0 之差可以“任意小”。下面我们来分析一下“任意小”和“充分远”是什么意思。显然任意小的意思就是|0|=0= （1-2）其中是预先任意给定的在我们熟悉的数列中有这样一类数列，其特点是：当自然数n无限增大时，数列的通项无限地接近某一常数。例如数列等数列都具有这样的特点，当n无限增大时，它们都无限地接近于0 。我们称这样的数列为收敛的数列，并称常数0分别是数列的极限。由此引出数列极限的精确定义，在各版本的教材中也称为数列极限的定义。经过上述分析，我们给出数列极限的严格定义如下：1.1.1数列极限定义1：设为数列，为常数，若对任意给定的正数，总存在正整数，使得当n>N 时，有，则称数列收敛于，常数为数列的极限，并记作：，或 ，读作 “当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”。若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。这里lim是拉丁字limes的简写，意思就是极限。有时我们把“的极限是”，说成“趋于”或“收敛于”。注意，极限的符号（5）是很完整的：代表变化过程（即无限增大的过程），lim 代表在此变化过程中变量趋向于。从定义1可以看出收敛数列一定有极限。其等价定义是：定义2：任意的，若在之外，数列中项只有有限个，则称数列收敛，且收敛于。1.1.2 数列极限的几何意义数列对应于数轴上的一个点列，是数轴上一个确定的点。对于任给的，在数轴上作出点的邻域。由于绝对值不等式与不等式等价，而数列中总存在一项，在此项后面的所有项，（即除了前项，以外），它们在数轴上所对应的点，都位于区间之中，至多能有个点，在此区间外。因为是任意小的正数，所以数列中各项所对应的点都无限聚集在点的附近。当时，所有的点都落在内，只有有限个落在其外。1.2收敛数列的定义通过数列极限的定义我们可以看出，如果我们知道一个数列的极限，那么也就说明这个数列收敛于这个极限，即数列收敛。所以说数列极限的定义也就是收敛数列的定义。第二章 判别数列收敛的方法第一章的定义1与定义2给出了数列收敛定义，且有着明显的几何意义。通常我们都是对定义1和定义2中的，进行讨论，由此来研究或证明数列的收敛问题。其特点是将数列与一个常数联系在一起进行论证。当数列的形式较复杂时，我们可以将其分解后利用四则运算法则计算数列极限。同时，问题往往不是孤立的，一个数列极限的计算可能要使用几种方法。在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。那么怎样判断一个数列是否收敛或者说极限是否存在的问题，对于简单的数列，其极限的存在常常可以通过观察直接看出（例如，数列 的极限显然存在，而且是零），或通过四则运算得出（参看上面例7）。但对于较复杂的极限，例如， （2-1）就无能为力了。极限（2-1）是一个重要的极限，在研究放射性元素的衰变规律，电容器的充放电以及自然对数等许多问题中都要用到它。下面我们将建立几个判断数列收敛或者说极限存在的一般性判别法。它们不仅可以用来判断一些较复杂的极限（例如极限（2-1）的存在性），而且在理论研究时也经常用到。2.1定义法利用数列极限定义判别数列收敛，通过数列极限的定义我们可以看出，如果我们知道一个数列的极限，那么也就说明这个数列收敛于这个极限，即数列收敛。所以说用定义可以判别一个数列是否收敛。即若能求出一个数列的极限也就说明这个数列收敛利用极限定义计算极限的关键是；将通项化为一常数与一含n的无穷小之和，从而得到。并依此求得对应的N。2.1.1 定义法的应用【例1】 证明分析 由于（）（2-2）因此，对任给的，只要，便有，（2-3）即当时，（2-3）式成立。又由于（2-2）式是在的条件下成立的，故应取 3， （2-4）证 任给，取3，。据分析，当时有（2-3）式成立。于是本题得证。注 本题在求的过程中，（2-2）式中运用了适当放大的方法，这样求就比较方便。但应注意这种放大必须适当，以根据给定的能确定出。又（2-4）式给出的不一定是正整数。一般地，在定义1中的不一定限于正整数，而只要它是正数即可。【例2】证明数列收敛于1。证明：对，要使得，只须，所以取，当时，有，所以。注1：是衡量与的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它们也可代替） 2：是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的。在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有就行了，而不必求最小的。【例3】证明。证明：对，因为 （此处不妨设，若，显然有）所以要使得，只须就行了。 即有. 所以取 ，当时，因为有 ，所以。注3：有时找比较困难，这时我们可把适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于，那么必有。在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则。2.1.2 应用四则运算求数列极限四则运算法则 若与为收敛数列，则，也都是收敛数列，且有特别当为常数时有，若再假设及，则也是收敛数列，且有【例4】 求，其中 解 若，则显然有；若，则由得 ；若，则 【例5】 求解，用有理化法，得=因为，而有理化得所以 ，故 【例6】 求解 = = 2.2单调有界定理2.2.1 有界数列的定义定理1若数列收敛，则为有界数列，即存在正整数，使得对一切正整数有 证明 设。根据数列极限的定义，对于存在正整数，使得对于一切有不等式 即 记 ，那么对一切正整数都满足不等式这就证明了数列是有界的。注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充要条件。例如数列有界，但它并不收敛。那什么条件才是充要条件呢，接下来第三章将会介绍。【例7】 判断数列， 是否有界。解 因为存在，使得对于一切都满足不等式，故数列有界。【例8】 判断数列是否有界。解 因为当无限增大时可超过任何正数，所以数列无界。定理2 单调有界定理（实数连续性）在实数系中，有界的单调数列必有极限证 不妨设为有上界的递增数列由确界原理，数列有上界，记下面证明就是的极限。事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得。又由的递增性，当时有 另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有。所以当时有，这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。公理的几何意义十分明显.若数列单调增加有上界，设在数轴上的对应点是.当n无限增大时，点在数轴上向右方移动，因为有上界，所以这些点必无限地趋近于某个点.设的坐标为，则就是数列的极限.例如：研究数列的收敛。首先数列是单调上升：，这可以用数学归纳法予以验证。其次 ，同样可以验证数列有界，因此由这个知，数列必收敛。该定理用来判别数列是否收敛，不用刻意地和常数联系在一起就可以判别某些数列讲解的收敛问题，或解决极限的存在问题，为理论上探讨数列的收敛问题奠定了基础，随着在对数学的深入接触中我们会发现用这个定理又导出实数完备性的基本定理。2.2.2单调有界定理的应用【例9】 试证明数列 有极限。证 下面我们证明数列是增数列，而且有上界，从而由定理，即知它趋于有限极限。根据二项式定理，我们有 故 由此可知 ，从而是一个增数列。另外，从上面的的展开式，知故是有上界的。于是，由定理知的极限存在，且此极限不超过3 。我们用代表此极限： 用其他方法我们可以计算出的精确数值是2.3迫敛性定理迫敛性定理有时习惯称两边夹定理定理3（迫敛性定理）设，是三个数列。若NN+，n>N，有，且=，则=.证明：已知=，即>0，有N+，n>，有<，从而<，+，n>，有<，从而<.max，n>，同时有<<，从而<<，或<，即=.推论：若有两个数列与，且NN+，n> N+，有，又=，则=.迫敛性定理不仅指出了极限存在性,还给出了极限值。所以迫敛性定理也是判定数列收敛的一种方法，同时也提供了一个求极限的工具。2.3.1迫敛性定理的应用【例10】 求数列的极限。解 令，因为当时，所以 ，于是，即 00 故 1 1+显然收敛于零。因为就有。所以，由迫敛性得2.4柯西收敛准则有时我们可以从数列本身的项来研究数列的收敛问题，这就是下面的定理：定理4（柯西（Cauchy）收敛准则） 数列收敛的充分必要条件是：对于任给的>0，必有正整数N存在，使当n，m>N时，恒有<即 数列收敛>0，NN+，n，m>N，有<.在证明之前，我们先解释一下<的几何意义。它表示数轴上点与点的距离小于。于是，其几何意义就是：数列充分靠后的项之间任意接近。因此，该定理在几何上就是说：点列“聚集”在某点近旁的充分必要条件是此点列充分靠后的点之间互相任意接近。柯西收敛准则也可换成如下的叙述：数列收敛>0，NN+，>N，N+，有<.证明：必要性（）若数列收敛，设=.根据数列极限定义，即>0，NN+，>N，有<.从而与，分别有<与<.于是，n，m>N，有=<.充分性（）首先证明数列有界.取=1，N+，n>和，有<.从而，n>，有=<.取=max，.于是，N+，有，即数列有界.根据致密性定理，有界数列存在一个收敛的子数列，设=.其次证明=.已知>0，NN+，n，m>N，有<.又已知=，即对上述同样>0，N+，>，有.取L=max，.从而， L，L，同时有与.于是，即=.或数列收敛.在这里，指出，单调有界定理和Cauchy收敛准则则只指出极限存在性。2.4.1柯西收敛准则的应用【例11】 研究任一无限十进制小数的n位不足近似（n= 1，2，）所组成的数列（其中为0，1，2， 9，中的一个数）的收敛问题。首先不妨设，有此题的特点是：在讨论有些数列时，用定义1是不好确定其收敛问题的，但是用柯西收敛准则就非常方便。因此柯西收敛准则不仅可以判别数列收敛性，而且在数学分析课程中贯穿始终，是实数完备性理论的基本定理之一。【例12】 证明当时，收敛。证 用柯西收敛准则来证因为，所以对任给的>0都有N，使当>N时，。于是只要，便有所以由柯西收敛准则知收敛。注 用柯西收敛准则来证明数列收敛和用极限定义来证明是很不一样的。用定义来证明一个数列收敛（或有极限），必须事先知道（或能观察出）该极限值，但这一点往往是比较困难的，柯西收敛准则的优点，就在于只通过数列本身来判断其是否收敛。当然柯西收敛准则主要在于它在近代分析中有极其重要的理论意义。我们知道一个数列不是收敛就是发散，那如果我们判断出一个数列是发散的，也就说明它是不收敛的，所以也可以判定数列是否收敛。 柯西收敛准则指出：数列收敛等价于数列中充分远（即自然数充分大）的任意两项的距离能够任意小。这是收敛数列的最本质的特征。柯西收敛准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数，只需根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。【例13】 证明：若N+，有，其中是正常数，且0<<1，则数列收敛。证明：，N+，有=（）=<.已知（0<<1），即>0，NN+，>N，有<.于是，>0，NN+，>N，N+有<<.其中是正常数，根据柯西收敛准则，数列收敛。2.5关于子列的重要定理2.5.1子数列的定义定义3 给定数列：，在这个数列里，任取无穷多项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列，任何一个数列都存在无穷多个子数列。如果这个子数列存在极限，就称它为是原来数列的一个收敛子数列。 如果原来的数列收敛于A，则它的任何一个子数列都一定收敛于A。 如果数列有一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的数，则这个数列一定发散。所以一个数列即使存在无穷多个收敛的子数列，我们也不能确定它是否收敛。2.5.2 应用子列的相关定理判别数列收敛定理5.若数列收敛于，则的任意子数列也收敛于.它的等价命题是：若数列有某一个子数列发散，或有某两个收敛子数列，它们的极限不相等，则数列发散，且 应用该定理的这一等价命题很容易判别某些数列的发散性。例如：数列是发散的。因为它的偶子列=发散。数列是发散的，因为它的奇子列收敛于-1；它的偶子列收敛于1，而.定理6 数列收敛的充要条件是偶子数列与奇子数列都收敛，且它们的极限相等，即 例如：在数列中抽出子数列、和都收敛，且有相同的极限值，这时数列一定收敛。实质上定理5、定理6都是在一个数列的前提下给出的，它们在判别数列是否收敛时也不用刻意地和常数联系在一起就可以判别某些数列的收敛问题，或解决极限的存在问题，因此可以说这两个命题是收敛数列的一种判别法。其实，在以后的接触中你会发现，用这两个命题判别一个数列是否收敛非常方便。数列收敛问题始终是数学分析课程入门的重要概念，本文从数列收敛的极限定义与判别数列收敛的几种方法入手进行探讨。随着知识的积累对数列收敛问题的理解将会更加深刻，在函数极限、多元函数极限、级数及后继的专业理论课中对不同的问题、不同的概念都会研究到收敛问题，在此基础上将会有更深刻和更广泛的实际意义。主要参考资料1刘玉琏 傅沛仁 著数学分析讲义（上册） 54-64 北京高等教育出版社 2001年2孙清华 孙昊 著数学分析内容、方法与技巧 华中科技大学出版社 2003年3郭大钧 陈云妹 裘卓明 著数学分析 山东科学技术出版社 1982年 4华东师范大学数学系 著数学分析 高等教育出版社 2001年5李杰红 关于递推数列收敛的一种判别法 天津科技大学学报 2004年 第十九卷第二期6马爱江 单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明 新疆教育学院学报 2003年 第二十卷第四期7李庆扬 数值分析 华中理工大学出版社 19958王向东 数学分析的概念与方法（上册）82-106 上海科技文献出版社 1989 9林新和 一类不满足迫敛性条件数列收敛的判别法 呼伦贝尔学院学报 2004年 第十二卷第六期10蒋林智 迫敛性在解决求极限问题中的应用讨论 皖西学院学报 2006年 第二十二卷第二期11万丽 一类迭代数列敛散性判别的新准则 河北理科教学研究 2008年 第一期12裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 1-19高等教育出版社 1993年5月13 董玺印 杨静懿 杨公辅 钟百根 著微积分27-36对外经济贸易大学出版社 2003年1月14任亲谋 著 数学分析习题解析 （上册） 陕西师范大学出版社 2000年15李伟 刘文灿 张战亮 著数学分析习题课教程 （上册） 中国矿业大学出版社 1984年致谢在论文完成之际，我谨向给予我教导和帮助过我的所有老师以及和我一起走过的同学们致以衷心的感谢！深深感谢我的导师王宏老师对我的无私关怀和谆谆教诲。通过设计中不断发现问题解决问题的过程，我对数列收敛问题的知识有了更深刻的认识和理解，对本专业知识有了更新，提高了我得技术水平。谨以此稚嫩的论文献给所有关心和帮助过我的老师、亲人、同学、和朋友们。我唯有在以后不断地努力进取，以学业和工作的继续求索来感谢培育我的母校和所有关心我的师长亲朋！希望我们都幸福快乐！