待定函数法在解微分方程中的应用毕业论文.doc
本科学生毕业论文（设计）题 目 待定函数法在解微分 方程中的应用 姓 名 学 号 2000040063 院 、 系 数学与计算机科学学院专 业 数学与应用数学 指导教师 开 题 报 告 书 论文（设计）题目待定函数法在解微分方程中的应用 课题的根据：1）说明本课题的理论、实际意义2）综述国内外有关本课题的研究动态和自己的见解本课题提出了待定函数法在解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程中的应用，给我们在解题中带来了简便。国内外在研究解一阶线性方程的文章不少，但在求解时大多用初等变换法、积分因子法、分离变量法，本文则是研究用待定函数法求解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程。课题的主要内容：本文提出了待定函数法在解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程中的应用，给出了一阶线性方程和二阶常系数线性方程的通解公式。 研究方法： (1)到读书馆查阅书籍,收集资料 (2)上网查阅相关资料 (3)在论文的准备过程中，指导老师给予的精心指导完成期限和采取的主要措施：完成期限为2004年4月12日采取的主要措施：（一）二月份至三月五日:通过上网,到读书馆查阅书籍收集资料（二）三月六日至十日:写提纲及开题报告（三）三月十一日至二十四日:完成初稿（四）三月二十五日至四月一日:修改初稿（五）四月二日至10日:打印校稿,完成定稿主要参考资料：1 王高雄、周之铭、朱思铭.常微分方程.高等教育出版社，1982年2 丁同仁、李承治. 常微分方程教程.高等教育出版社，2001年3 钱祥征 常微分方程解题方法 湖南科学技术出版社，1984年指导教师意见：签名： 年 月 日 开 题 报 告 会 纪 要时间地点与会人员姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）会议记录摘要：会议主持人：记 录 人： 年 月 日 指导小组意见负责人签名：年 月 日 学院意见负责人签名：年 月 日 湖南师范大学本科毕业论文（设计）评审登记卡（一）论文题目待定函数法在解微分方程中的应用作者姓名申庭桂所属院（系）、专业、年级湖南师范大学数学与计算机科学学院2000级指导教师姓名、职称曾德广老师字 数4000定稿日期2004.4.12中文摘要待定函数法是求非齐次线性方程一种基本方法，也适用于变系数线性方程。本文讨论待定函数法在解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程中的应用，给出了待定函数法求解一阶线性方程和二阶常系数线性方程的自然过程，并推出了一阶线性方程和二阶常系数线性方程的通解公式，还举出了相应的示例，并且利用类似方法，可以求解三阶或三阶以上的常系数线性方程。英文摘要Undetermined function law to ask homogeneous linear equation one basic method non- , meet on linear equation of coefficient of turning into too. This text to discuss and undetermined function law in solve one steps linear equation and two steps often coefficient application of the equation, provide and undetermined function law ask and solve one steps linear equation and two steps often coefficient natural course of equation, and has put out a steps of linear equations and two stepse of generals solution formula of the coefficient equation frequently, still put out corresponding giving a demonstration, and utilize the similar method , can ask and solve often coefficient equation of three step or more than three steps .关键词待定函数法；一阶线性方程；二阶常系数线性方程 湖 南 师 范 大 学本科学生毕业论文（设计）答 辩 评 审 表待添加的隐藏文字内容3题 目 待定函数法在解微分 方程中的应用 姓 名 学 号 院 、 系 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 待定函数法在解微分方程中的应用 摘要：待定函数法是求非齐次线性方程一种基本方法，也适用于变系数线性方程。本文讨论待定函数法在解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程中的应用，给出了待定函数法求解一阶线性方程和二阶常系数线性方程的自然过程，并推出了一阶线性方程和二阶常系数线性方程的通解公式，还举出了相应的示例，并且利用类似方法，可以求解三阶或三阶以上的常系数线性方程。关键词：待定函数法；一阶线性方程；二阶常系数线性方程The application of method undetermined function in solving differential equation Abstract : Undetermined function law to ask homogeneous linear equation one basic method non- , meet on linear equation of coefficient of turning into too. This text to discuss and undetermined function law in solve one steps linear equation and two steps often coefficient application of the equation, provide and undetermined function law ask and solve one steps linear equation and two steps often coefficient natural course of equation, and has put out a steps of linear equations and two stepses of generals solution formula of the coefficient equation frequently, still put out corresponding giving a demonstration, and utilize the similar method , can ask and solve often coefficient equation of three steps or more than three steps . Keyword: method of undetermined function; first order differential equation ;second order linear differential equation§1引言待定函数法不仅在解常微分方程中有用武之地，就是在解某些偏微分方程时，也少不了用待定函数法。对于一般的线性方程是没有普遍的解法，我们在解一阶线性方程以及二阶常系数线性方程时，用初等变换法、积分因子法、分离变量法求解，有时会有一定的困难，但我们用待定函数法去求解时理论上简单明了，计算简捷。§2一阶非齐次线性方程其中p(x) 、q(x)为已知函数，（1.1）所对应的齐次方程为方程（1 .2 ）是变量可分离的方程，其通解为这里为任意常数下面讨论用待定函数法求非齐次线性方程（1.1）的通解。不难看出，（1.2）是（1.1）的特殊情形，两者既有联系又有差别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系，而又有差别，那么可以利用方程（1.2）的通解（1.3）的形式去求出方程（1.1）的通解。显然，如果（1.3）中恒保持常数，它必不可能是（1.1）的解，因此可以设想在（1.3）中将常数变易为x的待定函数v（x）,使它满足方程（1.1），从而求出v(x), 为此令（1.4）为（1.1）的通解，由（1.4）有 将 （1.4）、（1.5）代入（1.1）得+= q(x)即= q(x)积分之，可求得式中 c为积分常数。把求出的代入（1.4）就得到（1.1）的通解例1 求方程（ x+1）的通解，这里为常数。解：将方程改写为 （1）首先求线性方程的通解，从得到齐线性方程的通解其次应用待定函数法求非齐次线性方程的通解，为此，在上式中把c看成为x的待定函数c(x), 即得（2）微分之，得到（3）把（2）及（3）代入（1），得到积分之，即可求得因此，以所求的c (x) 代入 （2）式得到（c为任意常数）§3 二阶非齐次常系数线性方程（1.6）其中、为常数,f(x)为已知函数，（1.6）所对应的齐次方程为 （1.7）方程（1.7）用求特征方程根的方法可求出通解，设（1.7）的通解是（1.8）这里、为两个任意常数，、为两个线性无关的函数。为了求方程（1.6）的通解，也用待遇定函数法。即把（1.8）中的、换为x的函数u(x)、v(x), 令（1.9）为方程（1.6）的一个特解，其中u(x)、v(x)为两个待定函数由（1.9）有 这样，就在中出现了及，为避免它们的出现可先假定（1.10）则有 将上两式代入方程（1.6）得整理后得因为、均为方程（1.7）的解，所以有， （）故得 （1.11）（1.10）是事先假定的，现在应考虑进去，即考虑下列方程组。设则 于是，方程组的系数行列式因此方程有唯一组解。 （1.12） （1.13）分别对上两式积分，就可得u(x)、v(x)，再代入（1.9）就得（1.6）的特解，最后根据通解结构理论2知（1.6）的通解为例2 求方程 （1） 的通解。 解：先求对应齐次方程 （2）的通解。特征方程是：22-4-6=0由于22-4-6=2（+1）（-3），故特征根1=-1，2=3，从而对应齐次方程通解为 （3）为了求方程（1）的通解，用待定函数法，即把（3）中、换为x的函数u(x)、v(x)，令 （4）为方程（1）的一个特解，其中u(x)、v(x)为两个待定函数。设 根据（1.12）及（1.13）两式得 （5） （6）对（5）、（6）两式分别积分得把u(x)、v(x)代入（4）式，得根据通解结构理论知（1）的通解为这个方法可类似地推广到三阶或三阶以上的常系数线性程。参考文献：1 王高雄、周之铭、朱思铭.常微分方程.高等教育出版社，1982年2 丁同仁、李承治. 常微分方程教程.高等教育出版社，2001年3 钱祥征 常微分方程解题方法 湖南科学技术出版社，1984年
