工学本科毕业论文光纤零色散附近的自相位调制不稳定性研究.doc

分类号：O437 U D C：D10621-408-(2009)2510-0密 级：公 开 编 号：2005031128成都信息工程学院学位论文光纤零色散附近的自相位调制不稳定性研究论文作者姓名：申请学位专业：电子科学与技术申请学位类别：工学学士指导教师姓名（职称）：论文提交日期：2009年06月01日光纤零色散附近的自相位调制不稳定性研究摘 要从光纤中包含高阶色散的扩展非线性薛定谔方程出发，解析并计算研究了只有二阶和只有四阶色散时的调制不稳定性条件和增益谱。讨论了增益谱谱宽和谱峰随相关参数的变化规律。研究表明，在最小群速度色散附近时，四阶色散对光纤的调制不稳定性起决定性作用。当只有二阶色散时，随二阶色散系数的增大，谱宽变窄，谱峰变化不大；随着非线性系数和入纤功率的增大，谱峰变大，谱宽变宽；当只有四阶色散时，随着四阶色散系数的增大，谱宽变窄，谱峰变大;随着非线性系数和入纤功率的增大，谱峰变大，谱宽变宽，这一点与二阶色散的情形一样。而三阶色散对调制不稳定性不起作用。关键字：调制不稳定性；高阶色散；增益谱；自相位调制Study on Self-phase Modulation Instability in the Vicinity of Zero-dispersion Regime of an Optical FiberAbstractStarting from the extended nonlinear Schrödinger equation including high-order dispersion in the fiber, the condition and gain spectrum of modulation instability are calculated and analyzed in case of only the second-order or fourth-order dispersion effect. And the variation of the spectral width and spectral peak with the relative parameters is also discussed. The results show that, the fourth-order dispersion effect dominates modulation instability in the vicinity of minimum group-velocity regime. When there exists only the second-order dispersion, with the increase of the disper- sion parameter, the spectra width narrows while the spectral peak keeps nearly unchanged. However, both the spectral width and the spectral peak increase with the nonlinear coefficient and the input optical power. When there exists only the fourth-order dispersion, with the increase of the dispersion parameter, the spectra width narrows while the spectral peak increases. However, both the spectral width and the spectral peak increase with the nonlinear coefficient and the input optical power, which is the same as the case of second-order dispersion. The third-order dispersion does not influence the modulation instability.Key words: modulation instability; high-order dispersion; gain spectra; self-phase modulation目 录论文总页数:17页1 引言12 影响光脉冲在光纤中传输的各种因素12.1 光纤的基本特性12.2 光纤损耗22.3 光纤的非线性特性22.4 光纤色散33 光脉冲在光纤中传输的基本理论33.1 麦克斯韦方程组33.2 非线性薛定谔方程43.3 不同的传输区域94 光纤零色散附近的自相位调制不稳定性分析104.1 线性稳定性分析104.2 计算结果与讨论124.2.1 只有二阶时的增益谱变化规律124.2.2 只有四阶时的增益谱变化规律13结 论15参考文献15致 谢16声 明171 引言许多非线性系统都表现出一种不稳定性，它是由非线性和色散效应之间的互作用导致的对稳态的调制。这种现象常常被称为调制不稳定性，在流体力学、非线性光学、和等离子体物理学等领域已早有研究1。研究光纤中的调制不稳定性对于孤子串产生、激光器设计及超连续谱产生等领域有重要理论和实际意义。在调研和阅读经典资料的基础上，从光纤中光脉冲的非线性薛定谔方程出发，采用线性稳定性分析法，解析研究光纤零色散附近的不稳定性条件和增益谱，然后解析和计算比较只有二阶和只有四阶色散时的不稳定性条件、增益谱以及谱的宽度和峰值随相关参数的变化规律。归纳利于产生不稳定性的条件2 影响光脉冲在光纤中传输的各种因素2.1 光纤的基本特性最简单的光纤是由折射率略低于纤芯的包层包裹着纤芯组成的，纤芯、包层折射率分别记做和，这样的光纤通常称为折射率阶跃光纤1，以区别其他折射率从纤芯到芯边缘渐渐变小的折射率梯度光纤。图2.1给出了阶跃折射率光纤的横截面和折射率分布示意。描述光纤特性的两个参量是纤芯包层相对折射率差，定义为 (2.1)以及由下式定义的归一化频率 (2.2)式中，为纤芯半径，为光波波长。图2.1 阶跃折射率光纤的横截面和折射率分布示意图参量决定了光纤中能容纳的模式数量。在阶跃光纤中，如果<2.405，则它只容纳单模，满足这个条件的光纤称为单模光纤。单模光纤和多模光纤的主要区别在于芯径，对典型的多模光纤来说，其芯径=；而的典型值约为3×10-3的单模光纤，要求。包层半径的数值无太严格的限制，只要它大到足以把光纤模式完全封闭在内就满足要求，对单模和多模光纤，其标准值为=。因为研究非线性效应大多用的是单模光纤，除非特别说明，本文中所指光纤均是单模光纤。2.2 光纤损耗光纤的一个重要参量是光信号在光纤内传输时功率的损耗。光纤损耗是影响光脉冲在光纤中传输的因数之一1。若是入射光纤的功率，传输功率为 (2.3)上式中的通常被称为光纤损耗，是光纤的长度。将光纤的损耗通过下式用来表示 (2.4)由此，我们可知，光纤损耗与光波长有关。大量的研究和实验证明，光纤损耗的产生是由材料吸收和瑞利散射决定，而又因为光纤材料的不同而有差异。瑞利散射是一种基本损耗机理，它是由于制造过程中沉积到熔石英中的随机密度变化引起的，它将导致折射率本身的起伏，使光向各个方向散射。2.3 光纤的非线性特性在高强度电磁场中任何电介质对光的响应都会变成非线性，光纤也不例外。从基能级知道，介质非线性响应的起因与施加到它上面的场的影响下束缚电子的非谐振运动有关，结果导致电偶极子的极化强度对电场是非线性的，但满足通常的关系式1。 (2.5)在上式中，是真空中的介电常数，(=1,2,3)为阶电极化率，二阶电极化率对应于二次谐波的产生、和频运转等非线性效应。但是，只在某些分子结构非反演对称的介质中才不为零。因为分子是对称结构，因而对石英玻璃等于零。所以光纤通常不显示二阶非线性效应。光纤中的最低阶非线性效应起源于三阶电极化率，它是引起诸如三次谐波产生、四波混频以及非线性折射等现象的主要原因。然而，除非采取特别的措施实现相位匹配，牵涉到新频率产生的（三次谐波的产生或四波混频）非线性过程在光纤中是不易发生的。因而，光纤中的大部分非线性效应起源于非线性折射率，而折射率与光强有关的现象是由引起的。折射率对光强的依赖关系导致了大量有趣的非线性效应：其中研究得最广泛的是自相位调制（SPM）和交叉相位调制（XPM）。SPM指的是光场在光纤内传输时光场本身引起的相移，而XPM指的是由不同波长、传输方向或偏振态的脉冲共同传输时，一种光场引起的另一种光场的非线性相移。2.4 光纤色散光纤色散也是影响光脉冲在光纤中传输的因素，当一束电磁波与电介质的束缚电子相互作用时，介质的响应通常与光波频率有关，这种特性称为色散，它表明折射率对频率的依赖关系1。一般来说，色散的起源与介质通过束缚电子的振荡吸收电磁辐射的特征谐振频率有关，远离介质谐振频率时，折射率与塞尔迈耶尔方程近似 (2.6)式中，是谐振频率，为阶谐振强度。由于不同的频谱分量对应于由给定的不同的脉冲传输速度。因而色散在短脉冲传输中起关键作用；甚至当非线性效应不很严重时，由色散引起的脉冲展宽对光通信系统也是有害的。在数学上，光纤的色散效应可以通过在中心频率处展成模的传输常数的泰勒级数来解决 (2.7)参量，和折射率有关，它们的关系表示为 (2.8) (2.9)是群折射率，是群速度，脉冲包络以群速度运动。参量表示群速度色散，和脉冲展宽有关。这种现象称群速度色散(GVD)，是GVD参量。3 光脉冲在光纤中传输的基本理论3.1 麦克斯韦方程组同所有的电磁现象一样，光纤中光脉冲的传输也服从麦克斯韦方程组，在国际单位制（或SI）中，该方程组可写成 (3.1) (3.2) (3.3) (3.4)式中，分别是电场强度矢量和磁场强度矢量；，分别是电位移矢量和磁感应强度矢量；电流密度矢量和电荷密度表示电磁场的源，在光纤这种无自由电荷的介质中，显然是=0，=0。介质内传输的电磁场强度和增大时，电位移矢量和磁感应强度也随之增大，它们的关系通过物质关系联系起来 (3.5) (3.6)式中，为真空中介电常数；为真空中的磁导率；，分别为感应电极化强度和磁极化强度，在光纤这样的无磁性介质中=0。3.2 非线性薛定谔方程描述光纤中光传输的波方程可以从麦克斯韦方程组得到。其具体步骤是对方程(3.1)两边取旋度，并利用式(3.2)，(3.5)和(3.6)，用，消去，可得 (3.7)式中，为真空中的光速。为完整表达光纤中的光波的传输，还需要找到电极化强度和电场强度的关系。当光频与介质共振频率接近时，的计算必须采用量子力学的方法。但在远离介质的共振频率处，和的关系式可唯象的写成(2.5)式，感兴趣的0.52波长范围内光纤的非线性效应正是这种情况。若只考虑与有关的三阶非线性效应，则感应电极化强度由两部分组成： (3.8)式中，线性部分和非线性部分与场强的普通关系为 (3.9) (3.10)假设上述这类介质响应是局域的，在电偶极子近似下，这些关系式是有效的。式(3.7)(3.10)给出了处理光纤中三阶非线性效应的一般公式。由于它们比较复杂，需要对它们做一些简化近似。最主要的简化就是把方程(3.8)中的非线性极化处理成总感应极化强度的微扰。具体方法是，第一步是在时解方程(3.7)，由于此时方程关于是线性的，因此在频域内具有简单的形式。即方程(3.7)变成 (3.11)式中，是的傅立叶变换，定义为 (3.12)解方程(3.11)前可作两个近似：由于光纤的损耗很小，的虚部可忽略，因此在讨论中可用代替；并且在阶跃光纤的纤芯和包层中由于折色率与无关，于是有 (3.13)光纤中大多数非线性效应的研究涉及到脉宽范围为的短脉冲的应用。当这样的光脉冲在光纤内传输时，色散和非线性效应将影响其形状和频谱。光脉冲在非线性色散光纤中传输的基本方程从下导出：由(3.7)，(3.8)，(3.13)得传输的基本方程： (3.14)为解方程(3.14)，须做几个假设来简化之。首先，把处理成的微扰，实际上，折射率的非线性变化小于；其次，假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变，因而其标量近似有效，事实并非如此，除非采用保偏光纤，但这种近似非常有效；最后，假定光场是准单色的，即对中心频率为的频谱，其谱宽为，且。因为约为，最后一项假定对脉宽大于或等于0.1的脉冲是成立的。在慢变包络近似下，把电场的快变化部分分开，写成 (3.15)为假定沿方向偏振的光的单位偏振矢量，为时间的慢变化函数（相对于光周期）。类似地，可把极化强度分量，表示成 (3.16) (3.17)线性极化分量通过把方程(3.16)代入(3.9)得到，并被写成 (3.18)上式中，为类似于方程(3.12)定义的的傅立叶变换。把方程(3.17)代人方程 (3.10)可得到极化强度的非线性分量。假定非线性响应是瞬时作用的，因而方程(3.10)中的的时间关系可由三个函数的积得到，这样方程(3.10)变成 (3.19)瞬时非线性响应的假定相当于忽略了分子振动对的影响（拉曼效应）。一般地说电子和原子核对光场的响应都是非线性的，原子核的响应应该比电子的响应慢。对石英光纤，振动或拉曼响应在时间量级，这样方程(3.19)在脉宽大于时，基本有效。把方程(3.15)代人(3.19)，发现有一项在处振荡，另一项在三次谐波振荡，后一项由于需要相位匹配。在光纤中通常被忽略。利用方程(3.17)得出的表达式 (3.20)式中，为介电常数的非线性部分，由下式给定 (3.21)为得到慢变化振幅的波动方程，在领域内进行推导更为方便，但一般是不可能的，因为对场强的依赖关系，方程(3.14)是非线性的。一种处理办法是，在推导波动方程的过程中，把处理成常量，这种方法从慢变包络近似以及的扰动特性来看，可认为是合理的。把方程(3.15)(3.17)代人(3.14)，傅里叶变换为为 (3.22)并满足亥姆霍兹方程 (3.23)式中，且 (3.24)方程(3.23)可利用变量分离法求解。假定解的形式为 (3.25)式中，是的慢变函数；是波数，它将在后面确定。方程(3.23)分离成两个关于和的方程 (3.26) (3.27)利用方程对方程(3.15)的变化可得电场强度 (3.28)满足方程(3.27)的慢变振幅的傅里叶变换可表达为 (3.29)方程(3.29)中，把近似为。此方程的物理意义很明显，即脉冲沿光纤传输时，其包络内的每一谱成分都得到一个与频率和强度有关的相移。方程(3.29)的傅里叶逆变换给出了的传输方程。在频率处进行泰勒级数展开 (3.30)将(3.30)代入(3.29)，利用 (3.31)做傅里叶变换的逆变换。在傅里叶变换中，用微分算符代替得到 (3.32)项包括了光纤的损耗及非线性效应。方程可变为 (3.33)为非线性系数。方程(3.33)描述了皮秒光脉冲在单模光纤内的传输它有时也被称为非线性薛定谔方程，因为在一定的条件下，它可以简化成非线性薛定谔方程；方程中的反映了光纤的损耗，反映了光纤的色散，则是考虑了光纤的非线性特性。总之，当群速度色散(GVD)是由引起时，脉冲包络以群速度移动。对于脉宽小于的超短脉冲方程(3.33)需要改进，首先，假设三阶极化形式为 (3.34)是非线性响应函数，按函数相似的方式归一化，将方程(3.34)代入方程(3.10)得非线性极化率为 (3.35)假定电场和感应极化矢量方向相同。因为对，响应函数必须为零。 (3.36)式中，是的傅里叶变换。至此，我们可以描述单模光纤内脉冲演变的方程 (3.37)对窄于，但又包含多个光学周期的足够宽的脉冲（脉宽>>），可以利用泰勒级数展开方程(3.37)中的项，使方程简化，这样 (3.38)定义非脉冲响应函数的一次矩为 (3.39)由于，方程(3.37)可以近似为 (3.40)变化后，和时间量度的关系为 (3.41)如果，脉宽，参量和很小(<0.001)，方程(3.40)中的最后两项可以不计；同时对这种脉冲，三阶色散项也很小。因此可将方程简化为 (3.42)在的特殊条件下，方程称作非线性薛定谔方程（NLS）。3.3 不同的传输区域在上面叙述中，得到了描述光脉冲在单模光纤内传输的NLS方程，对脉宽大于的脉冲可由方程(3.42)描述为 (3.43)由上面对式(3.25)和式(3.41)的介绍已知，为脉冲包络的慢变振幅，是随脉冲以群速度移动的参考系中的时间量度。方程(3.43)右边的三项分别对应于光脉冲在光纤中传输时的吸收效应、色散效应和非线性效应。根据入射脉冲的初始宽度和峰值功率，决定脉冲在光纤内演变过程中是色散还是非线性效应起主要作用。在此引入两个称为色散长度和非线性长度长度量。根据，和光纤长度的相对大小，脉冲演变切分成下面讨论的四种不同的传输区。引入一个对初始脉宽归一化的时间量 (3.44)同时，利用下面的定义，引入归一化振幅 (3.45)式中，为入射脉冲的峰值功率，指数因子代表光纤的损耗。利用方程（3.34）(3.45)，满足方程 (3.46)式中，根据GVD参量的符号确定，且 (3.47)色散长度和非线件长度给出了沿光纤长方向脉冲演变过程的长度量它说明在此过程中色散或是非线性效应哪个更重要。根据，及之间的相对大小，传输特性可分为四类。当光纤长度，时，色散和非线性效应都不起重要作用，这一点可通过注意方程(3.46)右边两项在这种情况下可被忽略看出（这里假定了脉冲有平滑的时间轮廓，因而）。结果，即脉冲在传输过程中保持其形状。在这个区域，光纤不起太重要的作用，只是起传输光脉冲的作用（除了由于吸收引起的脉冲能量的降低），因而此区域对光通信系统是有益的。这种系统中的典型值约为。如果脉冲无畸变传输，则和应大于。根据给定的光纤参量和，由方程(3.47)可大致估算出和。对标准传输光纤，在处，把这些值代人方程(3.47)可以看出，若，约为。对，色散和非线性效应均可忽略。然而，当入射脉冲的脉宽变窄及能量增大时，和将变小。例如，和均为左右。对这样的光脉冲，若传输光纤的长度超过几米，就必须同时考虑色散和非线性效应。当纤长，而时，方程(3.46)中的最后一项与其他两项相比可以忽略。脉冲演变过程中GVD起主要作用，非线性效应相对较弱。当光纤和脉冲参量满足下述关系时，适用于以色散为主的区域。 (3.48)粗略估计，若使用处光纤参量、的典型值，对脉冲，应有。当光纤长，但和相当时，方程(3.46)的色散项较非线性项可以忽略（只要脉冲有平滑的外形，以至于约为1）。在这种情况下，光纤中脉冲的演变过程SPM起主要作用，它将导致脉冲频谱展宽。当 (3.49)成立时，满足非线性为主的区域条件。此条件对相对较宽脉宽()和峰值功率约为的脉冲容易满足。注意，较弱的GVD效应，SPM也能导致脉冲形变。若脉冲前沿或后沿变陡，即使满足了方程(3.49)的条件，色散项也会变得很重要。当光纤长，时，脉冲在光纤内传输过程中，色散和非线性效应将共同起作用。本文即讨论这种更一般的情况。4 光纤零色散附近的自相位调制不稳定性分析4.1 线性稳定性分析当光波在包含二至四阶色散的光纤中传输时，需满足下列扩展的耦合非线性薛定谔方程： (4.1)其中，A、Vg、m(m=2, 3, 4)和分别表示光波的慢变振幅、群速度、m阶群速度色散系数和三阶非线性系数。t是时间，z是传输距离。易知上式的稳态解为： (4.2)其中，非线性相移为：。在(4.2)式中加入微扰项()以检验解的稳定性： (4.3)将(4.2)、(4.3)代入(4.1)并线性化后可得到微扰满足的方程组： (4.4)假设(4.4)式的通解形式为： (4.5)将(4.5)式代入(4.4)式并分离实、虚部可得到U、V的两个齐次方程，该方程组有非零解的条件是系数行列式为零，由此可得下列波数k满足的色散关系： (4.6)当=0时，只有二三阶色散。则(4.6)成为： (4.7)其中，Sgn为符号函数，对于使k成为复数的那些频率，调制不稳定性产生。由(4.7)可知，此时必须有2<0，且满足下列条件： (4.8)此时，不稳定性的功率增益系数为： (4.9)当=0时，只有三四阶色散。则(4.7)成为： (4.10)由(4.11)可知，此时要使k为复数，必须有4 > 0，且满足下列条件： (4.11)此时，不稳定性的功率增益系数为： (4.12)4.2 计算结果及讨论4.2.1 只有二阶时的增益谱变化规律我们从式(4.8)、(4.9)出发，在不同的二阶色散，入纤功率及非线性系数参数下，计算模拟了增益谱的三维图。相关参数已标入图4.1中，其中图4.1(a)为增益谱随着二阶色散系数的变化；图4.1(b)为增益谱随着非线性系数的变化；图4.1(c)为增益谱随着入纤功率的变化。图4.1 (a)图4.1 (b)图4.1 (c)图4.1 只有二阶色散时增益谱随相关参数的变化规律由图4.1可见，只有二阶色散时，当入纤功率，三阶非线系数和二阶色散系数改变时，增益谱的谱宽、谱峰也不同。随着二阶色散的增大，谱位置接近零点，谱宽减小，谱峰增大但变化很小；当二阶色散和入纤功率一定时，随着非线性系数的增大，谱峰谱宽增大；当入纤功率增大时谱峰谱宽也增大。此外，由前面理论分析可知，调制不稳定性发生在负色散区（2<0）。4.2.2 只有四阶时的增益谱变化规律我们由式(4.11)、(4.12)出发，在不同的四阶色散，入纤功率及非线性系数参数下，计算模拟了增益谱的三维图。相关参数已标入图4.2中，其中图4.2(a)为增益谱随着四阶色散系数的变化；图4.2(b)为增益谱随着非线性系数的变化；图4.2(c)为增益谱随着入纤功率的变化。图4.2 (a)图4.2 (b)图4.2 (c)图4.2 只有四阶色散时增益谱随相关系数的变化规律由图4.2可见，只有四阶色散时，当入纤功率，三阶非线系数和四阶色散系数改变时，增益谱的谱宽、谱峰也不同。随着四阶色散的增大，谱位置接近零点，谱宽减小，谱峰增大；当四阶色散和入纤功率一定时，随着非线性系数的增大，谱峰谱宽增大；当入纤功率增大时谱峰谱宽也增大。此外，由前面理论分析可知，调制不稳定性发生在正色散区(4 > 0)。综上所述，无论是只有二阶还是只有四阶色散，增大非线性系数和入纤功率及减小色散系数都将有利于产生调制不稳定性。色散系数对谱宽影响大，而对谱峰影响小。在光纤零色散附近时，四阶色散将对调制不稳定性起决定性作用结 论本文从光纤中包含高阶色散的扩展非线性薛定谔方程出发，解析并计算研究了只有二阶和只有四阶色散时的调制不稳定性条件和增益谱。讨论了增益谱谱宽和谱峰随相关参数的变化规律。研究表明，在最小群速度色散附近时，四阶色散对光纤的调制不稳定性起决定性作用。当只有二阶色散时，随二阶色散系数的增大，谱宽变窄，谱峰变化不大；随着非线性系数和入纤功率的增大，谱峰变大，谱宽变宽；当只有四阶色散时，随着四阶色散系数的增大，谱宽变窄，谱峰变大;随着非线性系数和入纤功率的增大，谱峰变大，谱宽变宽，这一点与二阶色散的情形一样。而三阶色散对调制不稳定性不起作用。总的说来，色散系数对谱宽影响大，而对谱峰影响小。增大非线性系数和入纤功率及减小色散系数都将有利于产生调制不稳定性。本文的研究对调制不稳定性在高重复率脉冲串及超连续谱产生领域有一定的参考意义。参考文献1 Govind P.Agrawal美. 非线性光纤光学原理及应用M. 贾东方等译. 电子工业出版社, 2002.12.2 吴建伟, 夏光琼, 吴正茂. 超高斯光脉冲在单模光纤中的传输特性J. 激光技术, 2003, 26(4): 72-74+78.3 熊宝库. 单模光纤中GVD和SPM所致的啁啾演变特性J. 河南科学, 2004, 23(1): 40-42.4 钟先琼. 光纤中调制不稳定性的进一步研究D. 四川大学, 05：88-89.5 张书敏, 徐文成等. 零色散附近的调制不稳定性J. 半导体光学, 2001, 50(1): 50-53.6 任志君, 王辉, 金伟民, 应朝福, 万旭等. 四阶色散对飞秒光脉冲的影响J. 光子学报, 2007, 03(2): 3337.7 余重秀, 贾信东, 余国贤. 超高速光纤通信中的色散补偿技术J. 激光杂志, 1999, 25(4): 40-42.8 徐文成.色散缓变光纤中的调制不稳定性分析J. 光学学报 ,2000,20(10):1435-1439.9 张书敏, 徐文成, 罗爱平, 等色散缓变光纤中飞秒光脉冲的调制不稳定性研究J. 光学学报 ,2001,6:656-659.致 谢声 明本论文的工作是2009年2月至2009年6月在成都信息工程学院光电技术系完成的。文中除了特别加以标注地方外，不包含他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得成都信息工程学院或其他教学机构的学位或证书而使用过的材料。关于学位论文使用权和研究成果知识产权的说明：本人完全了解成都信息工程学院有关保管使用学位论文的规定，其中包括：（1）学校有权保管并向有关部门递交学位论文的原件与复印件。（2）学校可以采用影印、缩印或其他复制方式保存学位论文。（3）学校可以学术交流为目的复制、赠送和交换学位论文。（4）学校可允许学位论文被查阅或借阅。（5）学校可以公布学位论文的全部或部分内容（保密学位论文在解密后遵守此规定）。除非另有科研合同和其他法律文书的制约，本论文的科研成果属于成都信息工程学院。特此声明！ 作者签名： 年 月 日