天津科技大学李伟版高等数学习题解答（微分方程） .doc

习题61（A）1判断下面的论述是否正确，并说明理由 （1）所谓阶微分方程，是说该微分方程中所含的最高阶导数的阶数是，并不管方程中是否还含有其它低一些阶的导数； （2）微分方程的通解是微分方程的含有任意常数的解，且任意常数的个数等于微分方程的阶数一个微分方程的通解包含了该微分方程的所有解 （3）在阶微分方程的初值问题中，初始条件必须包含个条件方能由通解得到特解答：（1）正确微分方程阶的定义 （2）两者都不正确前者需要独立任意常数的个数等于微分方程的阶数，如对于二阶微分方程，尽管是含有两个任意常数的解，但是它不是通解，因为它可以改写为（其中，其中只有一个任意常数；后者如是微分方程的通解，但是它不包含解 （3）正确因为每确定一个任意常数需要有一个条件2指出下列各微分方程的阶数： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）答：（1）一阶 （2二阶 （3）三阶 （4）一阶 （5）四阶 （6）二阶3验证下列各函数是否为所给微分方程的解？如果是解，指出是通解，还是特解： （1）函数，微分方程； （2）函数，微分方程；（3）由确定的函数，微分方程；（4）函数（其中是给定的实数），微分方程解：（1）因为，左式右式，所以函数不是微分方程解 （2）因为，即，所以函数是微分方程解，但是由于中只有一个任意常数，又微分方程是二阶的，所以既不是微分方程的通解，也不是特解，只是解（3）等式两边同时对求导，有，化简为，所以由确定的函数是的解，又中含有一个任意常数，所以是通解 （4）因为，当时，又中不含任意常数，所以函数是微分方程特解；时，所以所以函数不是微分方程解4在下列各题中，验证所给函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解：（1）函数，微分方程，初始条件；（2）函数，微分方程，初始条件，解：（1）因为，且中含有一个任意常数，所以函数是微分方程的通解；由，有，即，满足初始条件的特解是 （2）因为，得 ，且函数中含有两个独立的任意常数，所以是微分方程，的通解；由初始条件，有得，所以微分方程满足初始条件，的特解是5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点处的切线斜率等与该点横之比等于该点纵坐标的平方； （2）曲线在点处的法线与的交点为，且线段被轴平分解：（1）由已知，有，得 （2）（方法1）用表示法线上的点，则法线方程为，根据已知，法线过点（如图），用、代入，得，即 （方法2）如图，而，得，即（注：点在其他象限，结果相同）6已知某种群的增长速度与当时该种群的数量成正比，如果在时刻，该种群有数量，写出时刻时，该种群数量所满足的微分方程，并给出初始条件解：时刻时种群的增长速度为，由于种群的增长速度与当时该种群的数量成正比，得（其中为比例系数），这就是要建立的微分方程；初始条件习题61（B）1试写出以原点为圆心的曲线族所满足的微分方程解：微分方程的通解为（其中是任意常数），两边同时对求导，得，即，这就是要建立的微分方程2给定微分方程， （1）求过点的积分曲线； （2）求出与直线相切的曲线方程解：由，得通解为（1）由曲线过点，有，得，所求曲线为 （2）由曲线与直线相切，有（斜率相等），得当时，代入，有，得，所求曲线为；当时，代入，有，得，所求曲线为3设处处连续的非零函数满足，且，写出所满足的微分方程，并求函数解：将代入，有，由于，得，根据导数定义， 所以所满足的微分方程，初始条件为由，有，两边求不定积分，有，得（根据条件有），即由，得，所以4将积分方程（其中）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数（其中是连续函数）解：将同时对求导，有，即，这就是所要的微分方程用代入到之中，有，得初始条件为通解为，由，有，得，所求函数为 （注：积分方程求解，一般都是通过求导转化为微分方程，并且多数情况下可以确定处初始条件）习题62（A）1判断下面的论述是否正确，并说明理由 （1）在本节所介绍的一阶微分方程的解法中，分离变量法是基本方法，解齐次方程和一阶线性方程等时，都要先化为可分离变量的方程； （2）我们所讨论的微分方程中的导数都是以的形式出现的，如果是的形式，我们不予考虑，因此所谓齐次方程都是指的形式，而不是齐次方程； （3）解一阶线性微分方程一般可以分为两步：首先利用分离变量法求出相应的齐次线性方程的通解，然后将通解中的任意常数用的函数取代，代人到原非齐次线性微分方程中，求出，从而求得原方程通解答：（1）正确对齐次方程，令（或）可以化为可分离变量方程；对一阶线性方程，在用“常数变易法”时，先求相应齐次线性方程，它本身就是可分离变量方程 （2）不正确在微分方程中，变量的地位是同等的，通常是以为自变量，为因变量但是有时为了求解简单，也可以以为自变量， 为因变量所以方程也是齐次方程 （3）正确这就是所谓的“常数变易法” 除此之外，一阶线性微分方程也常用通解公式求解2求下列可分离变量微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1）分离变量有，通解为，即 （2）分离变量有，通解为，即，或写作 （3）分离变量有，通解为，即，化简为（其中（注：以后再遇到类似问题，为处理过程简单，积分时对不再加绝对值，而直接写为） （4）分离变量有，通解为，即，化简为3求下列齐次微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为 （2）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为（3）将方程改写为，令则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为 （4）将方程改写为，令则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为或写作4求下列一阶线性微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1）（方法1）相应齐次方程为，即，积分得，即，令，代入原方程，有，即，得，所以原方程通解为 （方法2），方程通解为 （注：以下3题也都有以上两种解法，方法1不再使用，只用最常用的方法2求解） （2），方程通解为 （3）化为标准一阶线性方程：，方程通解为 （4）方程化为，它是以为自变量，为因变量的一阶线性方程（通常称为是关于的线性方程），方程通解为 ，也可以写作5求下微分方程满足初始通解的特解： （1），； （2），；（3），； （4），解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为，积分得，即方程通解为由，有，方程特解为 （2）这是齐次方程，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即方程的通解为由，有，方程特解为（3）这是一阶线性方程，方程通解为由，有，得，方程特解为 （4）这是一阶线性方程，方程通解为由，有，得，方程特解为6曲线上任一点处的切线斜率为，且曲线过点，求曲线方程解：根据已知得微分方程为，初始条件是，它是一阶线性方程，其中，方程通解为由，得，所求曲线为（注：由初始条件中，而解函数连续，所以在解中，于是中的不用加绝对值）7一曲线通过点，且它在两坐标轴之间的任一切线段被切点平分，求该曲线方程解：如图，根据题目条件，有，而，所以曲线所满足的微分方程是，分离变量有，通解为由初始条件，得，所求曲线为即 8若曲线在点处的切线在轴上的截距等于该点的横坐标，且曲线过点，求该曲线方程解：如图，根据题目条件，有，而，所以曲线所满足的微分方程是，即，令，则，于是，即，通解为，即（不加绝对值的理由同上题），由初始条件，得，所求曲线为9某放射性元素有如下衰变规律：其衰变速度与它的现存量成正比，由经验材料得知，经过1600年后，只剩下原始量的一半，求该元素的含量与时间的关系解：根据题目条件，函数满足方程，初始条件分离变量有，通解为，即由，有，方程特解为由时，有，得，所以求该元素的含量与时间的关系是10设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与下落速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时的速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系解：铅直向下取为轴，原点位于跳伞塔设时刻时，跳伞员位于处，此刻下落速度为，加速度为，受力为（其中为比例系数，是重力加速度，是降落伞与跳伞员质量之和）根据牛顿第二定律，有，分离变量有，积分得，通解为，由初始条件，得，所以降落伞下落速度与时间的函数关系是习题62（B）1某湖泊的水量为，每年排入该湖泊内含污染物的污水量为，流入该湖泊内不含污染物的污水量也为，流出该湖泊的水量为已知1999年底湖中的含量为，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过，问至多需要经过多少年湖泊中污染物的含量降至以内？（假定湖水中的浓度是均匀的） 解：设从2000年初开始，年后湖泊中污染物的含量为，其浓度为（根据已知湖水量保存不变）设从时刻到时刻湖泊中污染物的含量改变（减少）了， 则，分离变量有，积分得，即，由初始条件，有，得，于是年后湖泊中污染物的含量为要使湖泊中污染物的含量降至，有，即，得，所以至少要经过年湖泊中污染物的含量可以降至以内2一质量为的物体作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，同时还受到一个与速度成正比（比例系数为）的阻力作用，求物体运动的速度与时间的关系解：设时刻时物体的运动速度为，受力为根据牛顿第二定律，有，这是一阶线性方程，通解为 由初始条件，有，得，所以物体运动的速度与时间的关系是3若曲线（）与以区间0，为底的曲边梯形面积与成正比，且，求此曲线方程解：如图，根据题目已知，有，两边同时对求导，得，分离变量有，积分得，由初始条件，得，于是，再由条件，得，所以所求曲线为，或写作4求下列伯努利微分方程的通解： （1）； （2）； （3）解：（1），令（），则原方程化为，即，该方程通解为所以，原方程通解为 （2），令（），则原方程化为，即，该方程通解为 所以，原方程通解为 （3），令（），则原方程化为，即，该方程通解为 所以，原方程通解为5用适当的变量代换求下列微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1）令，则，于是，分离变量有，积分得，原方程通解为 （2）令则，于是，即，分离变量得，或，积分得，所以原方程通解为（3）令，则，于是，分离变量得，积分得，即，所以原方程通解为 （4），即，则，原方程化为，分离变量有，该方程通解为，即，所以原方程通解为6若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同的特解，证明是相应齐次线性微分方程（其中是任意常数），并写出非齐次线性微分方程的通解证明：，将代入的左式，有 左式 右式， 又由于，从而中含有一个任意常数，所以是相应齐次线性微分方程的通解 根据一阶线性非齐次微分方程的通解等于相应齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，得方程的通解为.7设微分方程有一个解，求满足的特解解：由于是微分方程的解，有，得，于是原微分方程为，这是一阶线性微分方程，通解为 由，有，得，所以方程特解为8已知函数在内可导，且满足，求函数解：令，则，于是 所以，即，分离变量有，积分得，通解为，由初始条件，有，所以所求函数为.习题63（A）1判断下面的论述是否正确，并说明理由 （1）本节讨论了三种可降阶的高阶微分方程的解法：对型，两边采取求积分的方法使其降阶；对及型都是采取变量代换的方法使其降阶； （2）对型微分方程，它既不显含，也不显含，因此可以按或型中的任何一种方程求解答：（1）正确只不过在方程中，是以为自变量，为因变量，令，此时；而在方程中，是以为自变量，为因变量，令，此时 （2）正确至于哪种方法更好，应视具体题目而定，但是通常是按型方程求解2求下列各微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解：（1）， ， （2）（3）方程不显含，令，则，于是，分离变量为，积分得，即，于是原方程降阶为，原方程通解为 （4）方程不显含，令，则，于是，这是一阶线性方程，解为，于是原方程降阶为，原方程通解为（其中）（5）方程不显含，令，则，于是即，该方程通解为，原方程降阶为，分离变量为，积分得，这就是原方程通解 （6）方程不显含，令，则，于是，即，这是的伯努利微分方程，令，则，于是 ，原方程降阶为，分离变量有，积分得通解，所以原方程通解为（7）方程不显含，令，则，于是，即，这是齐次方程，令，则，原方程化为，分离变量有，积分得，即，原方程降阶为，原方程通解为 （8）方程既不显含，也不显含（方法1）令，则，则，分离变量有，积分得，即，原方程降阶为，所以原方程的通解为 （方法2）令，则，于是，分离变量有，积分得，即原方程降阶为，分离变量为，积分得，化简为，这就是原方程的通解3求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： （1），；（2），；（3），；（4），解：（1），由，得，所以； ，由，得，所以； ，由，得，所以方程满足初始条件的特解为： （2）方程不显含，令，则，原方程化为，这个方程通解为，即，由，得，从而，原方程解为，由，得，所以方程满足初始条件的特解为：（3）按不显含的方程求解，（注：本题按不显含方程求解困难） 令，则，于是，分离变量有，积分得，即，由，得，于是，积分得，由，得，所以方程满足初始条件的特解为：（） （4）方程不显含，令，则，于是，分离变量有，积分得，即，由，可知道，所以，再由，得，所以分离变量有，积分得，由，得，于是，化简为，这就是方程满足初始条件的特解 习题63（B）1一个物体只受地球引力的作用，自距地心处由静止开始垂直下落，求这个物体落到地面时的速度和时间；并求自无穷高处落到地面时的速度（不计空气阻力）解：如图，将轴取为铅直向上，原点位于地心，则物体位于处时，所受地球引力为（其中是物体质量，是地球质量，是引力系数）由牛顿第二定律，有，而当（地球半径）时，有，得，所以令，则，于是，分离变量有，积分得，由初始条件，得，于是，即（运动方向与坐标轴方向相反）当时，得到物体落到地面时的速度为又，分离变量有，两边同时积分，得 由初始条件，得，所以用代入上式得到物体落到地面时的时间为：当时，对取极限，得（这就是所谓的第二宇宙速度2过连续的凸曲线上点处的切线方程为，且此曲线上任意一点处的曲率为，求此曲线方程解：由曲线上任意一点处的曲率为，及是凸曲线（），有，即由曲线上点处的切线方程为，得初始条件为令，则，于是，分离变量有，积分得，即，由，得，于是，则，由，有，得，所以所求曲线为：（） （注：结果也可以写作（）3求微分方程的通解解：令，则，于是，即，这是的伯努利方程，令，则，得，于是，4求微分方程的通解解：令，则，于是，分离变量为，积分得，即当时，则；当时，有，则，分离变量有，积分得，原方程的通解为；当时，有，则，分离变量有，积分得，原方程的通解为5求微分方程满足所给初始条件，的特解解：（方法1）令，则，于是，分离变量有，积分得，即或由初始条件，得，所以，所以，由初始条件，得，所以方程满足初始条件，的特解是（方法2）令，则，于是，分离变量为，积分得，由初始条件，得，所以，即，分离变量有，积分得，即，由初始条件，得，所以方程满足初始条件，的特解是习题64（A）1判断下面的论述是否正确，并说明理由 （1）根据定理4.1，为求二阶线性齐次微分方程的通解，只需要先求出它的两个特解，那么就是该方程的通解，其中是任意常数； （2）对线性非齐次微分方程，无论它的阶数的多少，它的一个特解与其相应齐次微分方程的通解之和就是该方程的通解因此求线性非齐次微分方程，关键是要求它的一个特解与其相应齐次微分方程的通解答：（1）不正确如果当是方程的两个线性相关的解时，则就不是该方程的通解，如对二阶线性齐次微分方程有两个特解、，则仅仅是的解，不是通解如果当线性无关（它们的比不是常数）时，则就是该方程的通解 （2）正确这就是线性非齐次微分方程解的结构事实上，对线性非齐次微分方程 （*）及相应齐次微分方程 （*）设是（*）的一个特解，是（*）通解，将代入（*）有 左式右式，所以是（*）的解，又由是（*）通解，其中有个相互独立的任意常数，从而中也有个相互独立的任意常数，所以是方程（*）的通解2指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性： （1）与； （2）与；（3）与； （4）与；（5）与； （6）与；（7）与； （8）与解：（1）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关 （2）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关 （3）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关 （4）因为常数，所以与在区间内线性相关（5）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关 （6）因为常数，所以与在区间内线性相关 （7）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关 （8）因为常数，所以与在区间内线性相关 3验证函数，是微分方程的两个线性无关的解，并写出该方程的通解解：将代入方程，左式右式，所以是的解；将代入方程，左式右式，所以是的解因为不恒为常数，所以函数，是微分方程的两个线性无关的解而是二阶线性齐次微分方程，则通解为4通过观察给出微分方程的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解解：是二阶线性齐次微分方程，改写为，二阶导数与自身相等的函数有，它们是的两个解，又不恒为常数，于是，线性无关，所以方程的通解为 5验证下列所给函数是相应微分方程的通解（其中是任意常数）： （1）函数，方程；（2）函数，方程；（3）函数，方程解：（1）记、 将代入到中， 左式右式，所以是方程的解；将代入到中， 左式右式，所以是方程的解， 而不恒为常数，于是，线性无关，所以方程的通解为 又将代入到中，左式右式，所以是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得函数是方程的通解（2）记、 将代入到中， 左式右式，所以是方程的解；将代入到中， 左式右式，所以是方程的解， 而不恒为常数，于是，线性无关，所以方程的通解为 又将代入到中，左式右式，所以是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得函数是方程的通解（3）记、 将代入到中，等式恒成立，所以是方程的解；将代入到中，等式恒成立，所以是方程的解， 而不恒为常数，于是，线性无关，所以方程的通解为 又将代入到中，左式右式，所以是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得函数是方程的通解习题64（B）1若，是二阶线性非齐次微分方程的两个解，证明是相应线性齐次微分方程的解证明：将代入到相应线性齐次微分方程之中， 左式 右式 所以是相应线性齐次微分方程的解2已知函数，都是微分方程的解，写出该方程的通解解：是二阶非齐次线性微分方程，由函数，都是它的解，根据上题，则是相应齐次线性微分方程的两个解，而它们之比不恒等于常数，于是它们是线性无关的解，所以的通解为，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得方程的通解是 3由线性微分方程解的结构，通过观察给出微分方程的通解解：是二阶非齐次线性微分方程，相应齐次方程是，不难观察到与（改写为观察）是的两个线性无关的解，于是的通解为为找一个特解，将它分为与两个方程，对不难看出是解；对不难看出是解，于是是方程一个特解所以，方程的通解是习题65（A）1判断下面的论述是否正确，并说明理由 （1）解二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程，求出其特征根，就可以得到该二阶常系数线性齐次微分方程的一个解； （2）若二阶常系数线性齐次微分方程有两个特征根，则该微分方程的通解为，其中是任意常数答：（1）正确这是二阶常系数线性齐次微分方程的特征根解法保证的要注意，当是实数时，这个解直接取；如果是复数时，尽管也是解，但是我们一般不用它作为解，这时也是解，用欧拉公式可以得到不含复数的函数或是该二阶常系数线性齐次微分方程的一个解 （2）不正确要视两个特征根的三种不同情况写通解当是实数时，通解为；当（记为）是实数时，通解为；当是一对共轭复数时，通解为2写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：（1）特征方程为，即，特征根为、（不同实根），所以方程的通解是 （2）特征方程为，特征根为、（不同实根），所以方程的通解是（3）特征方程为，即，特征根为（两个相同实根），所以方程的通解是 （4）特征方程为，即，特征根为、（不同实根），所以方程的通解是（5）特征方程为，由二次代数方程求根公式，得特征根为（一对共轭复根），所以方程的通解是 （6）特征方程为，特征根为、（不同实根），所以方程的通解是（注意是自变量，是因变量）3求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），解：（1）特征方程为，即，特征根为、，所以方程的通解是，且由初始条件，有得所以方程满足初始条件的特解是 （2）特征方程为，即，特征根为，所以方程的通解是，且 由初始条件，有得所以方程满足初始条件的特解是 （3）特征方程为，特征根为，所以方程的通解是，且由初始条件，有得所以方程满足初始条件的特解是 （4）特征方程为，由二次代数方程求根公式，得特征根为，所以方程的通解是，且由初始条件，有得所以方程满足初始条件的特解是习题65（B）1两个质量相同的重物挂于弹簧的下端，其中一个坠落，求另一个重物的运动规律，已知弹簧挂一个重物时伸长为（不计介质阻力）解：如图取坐标，轴铅直向下，挂一个重物时的平衡位置为原点设时刻时，另一个物体的位置为，受力为，设每个重物质量为，由，得，所以，根据牛顿第二定律，即（），初始条件为，是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为，特征根为，方程通解为，由初始条件，得、，所以另一个重物的运动规律 2写出微分方程的通解解：特征方程为，即，特征根为、，所以方程的通解是3若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是，写出该微分微分方程及其通解解：由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是，则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是，于是特征方程是，即，所以微分方程为，通解为4若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解，写出该微分微分方程及其通解解：由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解，则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根，并且是二重根，于是特征方程是，即，所以微分方程为，通解为5已知二阶线性齐次微分方程有一个特解，求另一个与其线性无关的特解，并写出该方程的通解解：设，代入到，有，即，这是可降阶的二阶微分方程，令，则，方程化为，分离变量有，积分得（积分常数取为零），即，所以（积分常数同样取为零），于是方程另一个与线性无关的解是于是是二阶线性齐次微分方程，所以通解为习题66（A）1判断下面的论述是否正确，并说明理由 （1）二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是它的一个特解与相应齐次微分方程的通解之和因此，求解二阶常系数线性非齐次微分方程主要是求与； （2）如果二阶常系数线性非齐次微分方程右端，那么该方程必有形如的特解，其中与中的完全相同，而是任意一个整数答：（1）正确这是线性微分方程解的结构决定的 （2）不正确依赖于是否是特征根，是几重特征根而定如果不是特征根，则；如果是单重特征根，则；如果是二重特征根，则2求微分方程的一个特解，其中函数分别等于： （1）； （2）； （3）解：方程的特征方程是，特征根是（1）这里，是单重特征根，因此设，将其带入到方程中，有，比较系数有 得 所以方程的一个特解为 （2）这里，不是特征根，因此设， 将，代入到（）中，有，得 所以方程的一个特解为 （3）这里，是单重特征根，因此设，将，代入到（）中，有，得 所以方程的一个特解为3求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6） 解：（1）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为 这里，不是特征根，因此设，代入到原方程中，有，比较系数有得，于是原方程的一个特解为所以，原方程的通解为 （2）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为 这里，不是特征根，因此设，代入到原方程中，有，得 于是原方程的一个特解为所以，原方程的通解为 （3）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为这里，是单重特征根，因此设，将代入到（）中，有，比较系数得，于是原方程的一个特解为，所以原方程的通解为 （4）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为这里，是单重特征根，因此设，将代入到（）中，有，比较系数得，于是原方程的一个特解为，所以原方程的通解为（5）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为这里，是二重特征根，因此设，将代入到（）中，有，比较系数得，于是原方程的一个特解为所以原方程的通解为 （6）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为这里，将其分为，、对，这里是单重特征根，因此设，代入到中，有，比较系数得，于是方程的一个特解为； 对，不难观察得一个特解 于是，原方程的一个特解为所以，原方程的通解为4求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解：（1），；（2），解：（1）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为这里，不是特征根，因此设，将其代入到原方程中，有，比较系数得，于是原方程的一个特解为原方程的通解为，由初始条件，有得，所以方程满足初始条件，的特解为 （2）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为这里，是二重特征根，因此设，将代入到（）中，有，得，于是原方程的一个特解为，原方程的通解为 ，由初始条件，有得，所以方程满足初始条件，的特解为习题66（B）1一个质量为的物体，在海平面上由静止开始铅直下沉，经过（s）沉到海底，在下沉过程中海水对物体的阻力与下沉速度成正比，求物体下沉运动规律及海洋的深度解：铅直向下取轴，原点在海平面，设时刻时，物体位于处，此时受力为（为比例系数），根据牛顿第二定律，有，即（这是二阶常系数线性非齐次微分方程），初始条件为，相应齐次微分方程为，特征方程为，特征根为、，相应齐次微分方程通解为对原方程，、是单重特征根，为此设，代入方程有，得，于是方程的一个特解为方程的通解为，由初始条件，有得，所以物体运动规律为当时，得海洋深度为2求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为 这里，不是特征根，为此设，代入原方程，有，比较系数有得，于是原方程的一个特解为所以，原方程的通解是（2）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为 这里，最高多项式次数，是单重特征根，为此设，代入原方程，有，比较系数有得，于是原方程的一个特解为 所以，原方程的通解是（3）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为对方程，是单重特征根，为此设，将代入到（）中，得，于是方程的一个特解为；，不是特征根，为此设，代入到方程中，有，比较系数有得，于是方程的一个特解为原方程的一个特解为所以，原方程的通解是 （4）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为 对原方程，是单重特征根，为此设，代入到原方程中，有，即，得，于是原方程的一个特解为所以，原方程的通解是3求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解：（1），；（2），解：（1）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为 对原方程，多项式最高次数是单重特征根，为此设，代入到原方程中，有，比较系数有，得，于是原方程的一个特解为所以，原方程的通解是，由初始条件，得，所以方程满足初始条件的特解为 （2）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为 对原方程，多项式最高次数不是特征根，为此设，代入到原方程中，有，比较系数有得于是原方程的一个特解为，原方程的是 ，由初始条件，有得，所以原方程满足初始条件的特解是4若连续函数满足，求解：，于是函数满足微分方程，初始条件是是二阶常系数线性非齐次微分方程，相应齐次方程是，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为对原方程， 不是特征根，为此设，代入到原方程中，得，于是原方程的一个特解为 所以，原方程的通解是，由初始条件，有得，所以所求函数是总习题六1填空题： （1）若函数是微分方程的解，则 ；（2）若一阶线性微分方程有两个特解，则该方程通解为 ；（3）以为一个特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 ；（4）过点，且在点的切线斜率为的曲线方程为 ；（5）微分方程的特解形式为 解：（1）将代入到方程中，有，得，填： （2）根据线性方程解的性质，是相应齐次方程的一个特解，相应齐次方程的通解是，由于线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与相应齐次方程的通解之和，所以原方程的通解是，填： （3）通过二阶常系数线性齐次微分方程有通解，可以看到该微分方程有特征根，从而也是特征根，于是特征方程为，即，所以该微分方程是，填：（4）设曲线方程为，根据已知有，分离变量为，积分得，即，由初始条件，得，所以所求曲线为（），填：（） （5）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为对，不是特征根，因此；对，是单重特征根，因此；对，是单重特征根，因此，所以方程有形如的特解，填：2单项选择题： （1）微分方程是（ ）；(A) 变量可分离方程； (B) 齐次方程； (C) 关于的一阶线性方程； (D) 关于的一阶线性方程.（2）已知是二阶线性齐次微分方程的两个解，则（其中是任意常数）（ ）；(A) 是方程的通解； (B) 是方程的一个特解； (C) 是方程的解； (D) 不是方程的解.（3）微分方程的特解形式是（ ）；(A) ； (B) ；(C) ；