基于绳结理论的研究.doc

关于绳结理论的研究目录1 问题重述12 模型假设13 符号说明14 模型的建立与求解24.1整体分析24.2 模型的建立与求解44.2.1 基于几何分析理论的力学模型44.2.2 基于弹性分析理论的摩擦力模型54.2.3力的损失预测模型85.模型的评价125.1 模型的优点135.2 模型的缺点136.参考文献13附录131 问题重述鞋带是我们日常生活中比较常见的同时也是接触较多的物体之一，不同的打结方法所产生的效果是不一样的，而且鞋带的机械性能对其结实程度也有较大影响。对于不同机械性能的鞋带，建立数学模型分析其受力特性，研究机械因素对其影响，从而确定最佳方案2 模型假设所取鞋带的单元几何尺寸相同在施加力的时候绳结的不同截面所受的是相等的鞋带的每个截面是均匀的连续体软鞋带为理想的线弹性体硬鞋带满足弹性小变形假设开始的时候鞋带处在自然状态（即外力或其他载荷作用之前物体内部没有应力，亦无应变）每次对鞋带施加的力的大小是相等频率相同，满足周期函数鞋带为理想的圆截面3 符号说明脚对结点所施加的外力鞋带的紧箍力摩擦力对鞋带所施加的轴向张拉力鞋带与水平面的夹角摩擦系数鞋带对鞋面的作用力微元体发生微小变形的夹角鞋带截面的直径鞋带与鞋带之间的交接面积微元体的线应变鞋带的松动力鞋带的松弛度鞋子横截面的长度鞋子材料的弹性模量鞋带的回弹指数松动系数硬化指数分项系数4 模型的建立与求解4.1整体分析鞋带之所以可以工作主要是因为鞋面与第一层表面的摩擦力、第一层与第二层表面的摩擦力两部分，所要绑扎的鞋带在连打两次单结的时候，无论这两次使用相同的打法还是互为镜像，所受的力都可以简化为一种的形式，如图一所示。图 1在轴力的作用下，鞋带之间产生了切向力，在二者相互作用下产生了竖向压力，鞋带由自由状态开始最大静摩擦力逐渐增大，撤出轴力后鞋带的松动力小于最大静摩擦力，则鞋带与鞋面相对静止。要对两次的摩擦力进行分析首先应该对整体分析，而在相同的条件下，力越大变形越大，所以通过对变形的观察与分析来侧向反应出前后力的变化。用有限元软件SAP2000 14 对鞋带的整体模型进行分析结果如图2（变形前）、图3（变形后）图 2图 3取出单独一面的鞋带进行受力分析，讨论起整体受力作用下的平衡鞋带与鞋面之间的相互作用图中：N为外部对鞋带的结所施加的外力；q为鞋带对鞋面的作用力；为摩擦系数；为鞋带与水平地面的夹角；F为外界对鞋带所施加的轴力;L为鞋带的长度。由图中的条件，结合理论力学中的平衡方程可知情况一：如果没有外力施加即脚面对结点没有作用力的话，则此时鞋带对鞋面的作用力随F、的增大而增大，此时为紧箍的趋势不易发生松动。情况二：如果有外力施加到结点即脚面对结点有作用力的话，则此时鞋带对鞋面的作用力随着N的增大而增大，此时为松动趋势结点易打开。4.2 模型的建立与求解对于整体模型的建立，我们只是得到了一个普遍化的结论，并没有能够具体区分不同打结方式的受力性能，对于不同的打结情况其内部受力特性是不一样的，因此整体分析并不能够满足我们解决问题的需要，因此我们进行局部分析方法，对不同打结方法做进一步分析。4.2.1 基于几何分析理论的力学模型如图所示为鞋带的正向与反向系法正向系法反向系法设鞋带为不易发生变形的实心柱体，在所施加外力相同的条件下，鞋带的松弛度m只与摩擦力f的大小有关。由3d Max做出的效果图如图所示：我们将其简化为两个基本的模型A（正向）、B（反向），并将两根鞋带分开考虑如图所示： A组第一根鞋带 B组第一根鞋带 A组第二根鞋带 B组第二根鞋带由简化的图形可以看出，A 中的第一根鞋带与B中的第一根鞋带所受摩擦力相同，因此并不影响整体摩擦力的大小，它们所作用的面积为两绳交接所包围的面积。而相比较第二根鞋带来说A中的第二根鞋带与另一个鞋带所接触的面积为两个与鞋带周长长度相等的圆柱的表面积；B中的第二根鞋带与另一根鞋带所接触的面积为一个与鞋带直径长度相等的圆柱加上一个与鞋带周长长度相等的圆柱通过比较可得：互为镜像的打法与相同的打法相比更为结实，结点不易发生松动。4.2.2 基于弹性分析理论的摩擦力模型鞋带的松弛其中最主要的因素应为摩擦力的大小，设鞋带为实心柱体，两种扎结方式的鞋带都发生的是小变形，即满足小变形假设的条件。我们取鞋带截面的微元进行分析，如下图所示图 4 微分体上的作用力有：体力-，坐标正向为正应力-面，面，分别表示应力及其增量，应力同样以正面正向、负面负向的应力方向为正平衡条件1：再连续性以及小变形的假定下，考虑通过为分体行心C的、向以及矩的平衡，列出三个平衡条件-通过行心C的向合力为0，-通过行心C的向合力为0，略去三阶微量，保留到二阶微量，得-通过行心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得而对于鞋带来说一般不会发生环向位移，只会发生径向位移，由弹性理论如下图所示图 5P、A、B 为变形前的三个点，其变形后分别为P、A、B在小变形的假定下下，则PA的线应变：PB的线应变对所建立的模型采用积分及物理变量转换的方式（其中要用到拉普拉斯算子变换2），将应力问题转化为应变问题，三个平衡条件下的平衡方程变为:我们通过转换将力的问题转换为变形的问题，通过变形的大小来别判别摩擦力的大小，从而确定不同的打结方式的松弛度情况。虽然对求解进行这种转变，但这种方式求解十分繁琐，而且所考虑的只是单因素对松紧程度的影响，因此，下面我们将建立考虑三因素的综合模型来解决鞋带的机械性能对松弛度的影响。4.2.3力的损失预测模型我们预施加的力F随时间的增长会发生力的损失，当损失的值达到一定限度的时候，鞋带就会发生松弛现象。同时人们低下头系鞋带并不是鞋带完全解开，而是当人们感觉松动时就会停下来系鞋带。因此，我们设置一个松弛系数b，假定鞋带消耗后的残余力为初始施加力的30%时鞋带就发生松弛现象。b=(1-残余百分比）100%4.2.3.1 摩阻力因素鞋面与鞋带之前有一定的角度，该角度影响其摩擦里的大小，在这里，我们称之为摩阻力。假设鞋带与鞋面的外边缘相贴，取微段为脱离体，如图所示，相应的弯曲角，曲率半径为，则。由此可以求解微分段与鞋面间的径向压力为：鞋带与鞋面的摩擦系数为，则微段的影响摩擦力为由图可知这是一个比较简单的积分式子，是的函数，积分后为：式中：脚对结点所施加的外力单位长度内应力对鞋面的径向压力单位长度内应力对鞋带的摩擦力4.2.3.2 鞋子的变形人在走路的时候对鞋带节点所施加的力可以近似的认为是周期函数，大小不变假设初始值为10N，用matlab模拟出来的效果为图 6假设鞋带的影响范围只有与鞋子相交及延长到鞋底的部分，我们假设鞋的横截面为圆形，计算可以简化成如图所示的结构：图 7人在行走的过程中，当脚踩到地面，此时脚对鞋带施加的力为0，相当于鞋带与鞋面之间没有相互作用力。当脚离开地面的时候，鞋带与鞋面才有了相互作用力，若鞋子材料的弹性模量为E，由虎克定律3可知：式中：鞋带对鞋面的作用力鞋带对鞋面影响作用面的面积4.2.3.3 鞋带的弹性回复力我们把鞋带等效为弹性系数不同的弹簧，其在来回的运动过程中，受到摩擦力的影响，恢复力在一点点的消耗，等效后的效果图用matlab模拟图 8鞋带的回复力与摩擦系数、硬化系数（即鞋带的柔软度指标）的大小有一定关系，我们分别给定三个值，用ABAQUS分析4其对回复力的影响，在这里我们用回弹角5来表示：摩擦系数 u1=0.05 u2=0.15 u3=0.25结果如下图所示图 9硬化系数 n1=0.025 n2=0.17 n3=0.085 结果如图所示图 10由实验结果分析可以得到，时间越长鞋带弹性回复力的效果越明显，且随着摩擦系数的增大回复力的大小也是增大的，而且增加基本成比例；随着硬化指数的提高（即鞋带越来越硬）其回复力的大小逐渐减小。绳子的回复力是反映鞋带中的力衰减情况的指标，由分析结果可以得到，鞋带表面越粗糙，鞋带越不容易松脱，相反，鞋带表面越光滑，鞋带越硬，鞋带越容易松脱。4.2.3.4 综合因素考虑当我们对鞋带施加力之后，鞋带损失的力是由多种因素共同作用的结果，而不是单一因素的影响，因此我们综合考虑以上分析的三种因素的影响建立力学平衡方程式，考虑其不同因素所占比例不同，乘以不同的分项系数。只要满足如下式子鞋带就不会发生松弛：打结的方法不同使两个鞋带之间的摩擦角度不同，因此我们将其转化为一个变量，研究其残余力与角度的关系，从而确定不同打结方法的自动松脱难易程度。图 11考虑到在力的损失过程中，摩擦力占主要部分回弹力次之，因此其分项系数可以分别取为：对于柔软的鞋带可以达到80%以上，一般普通鞋带在30%左右。而弹性系数与回复力为正相关，其中：带入设定参数整理公式：常数项不予考虑，最后确定出角的大小与K、C以及鞋带的直径有关。而一般情况下，鞋带的打结方法在两次相同时所施加的力与鞋带机械性能之间要满足如下关系鞋带才不容易发生松脱：若要使鞋带的打结发方法在两次镜像的时候不易发生松脱，所施加的力与鞋带机械性能要满足：5.模型的评价5.1 模型的优点1 本文是以力学理论为依据，结合国内知名文献，建立的精确性模型。2 影响鞋带松脱的因素很多，建立的力学损失预测模型将各种因素联系起来，使其整合为一个参考变量，使结果直观简单。5.2 模型的缺点1 在考虑各种因素对松脱程度的影响时，主要分析了两种情况，而直接简化掉其他情况对松脱的影响2模型在求解过程中缺乏真实的数据，大部分数据依靠经验假设，可能与实际不相吻合，缺乏说服力6.参考文献1 徐芝纶，弹性力学简明教程（第4版），高等教育出版社，2013-06-012 崔迪生、徐建平，拉普拉斯变换与试井分析，石油工业出版社，20023刘鸿文，材料力学（第5版），高等教育出版社，2011-1-14 石亦平、周玉蓉，ABAQUS 有限元分析实例详解，北京：机械工业出版社，2006-7-15 秦龙海，回弹角的应用，航空工艺技术，1982年03期附录1.鞋子的变形施加力的模拟close allclccleart=0:pi/20:4*pi;hold onaxis(0 4*pi 0 10)plot(t,10*sin(t),'r+:')2. 鞋带的等效振动matlab程序closeall;clear;clc;rectangle('position',12,8,2,0.3,'FaceColor',0.1,0.3,0.4);axis(0,15,-1,10);hold on;plot(13,13,7,8,'r','linewidth',2);y=2:.2:7;M=length(y);x=12+mod(1:M,2)*2;x(1)=13;x(end-3:end)=13;D=plot(x,y);C=0:.1:2*pi;r=0.3;t1=r*sin(C);F1=fill(13+r*cos(C),2+t1,'r');set(gca,'ytick',0:2:9);set(gca,'yticklabels',num2str(-1:3');plot(0,15,2,2,'black');H1=plot(0,13,2,2,'g');Q=plot(0,2.5,'color','r');td=;yd=;T=0;text(2,8,'鞋带的等效阻尼振动','fontsize',24);set(gcf,'doublebuffer','on');while 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