基于信号先验信息的DOA估计算法研究硕士学位论文.doc

硕士学位论文基于信号先验信息的DOA估计算法研究RESEARCH OF DOA ESTIMATION ALGORITHMS BASED ON PRIORI KNOWLEDGE OF SIGNALS国内图书分类号：TN974 学校代码：10213国际图书分类号：654.1 密级：公开 工学硕士学位论文基于信号先验信息的DOA估计算法研究硕士研究生：导 师：申请学位：工学硕士学科：信息与通信工程所 在 单 位：信息与电气工程学院答 辩 日 期：授予学位单位：Classified Index: TN974 U.D.C: 654.1 Dissertation for the Master Degree in EngineeringRESEARCH OF DOA ESTIMATION ALGORITHMS BASED ON PRIORI KNOWLEDGE OF SIGNALSCandidate：Yang LeiSupervisor：Prof.Mao XingpengAcademic Degree Applied for：Master of EngineeringSpeciality：Information and Communication EngineeringAffiliation：School of Information and Electrical EngineeringDate of Defence：June, 2013Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology摘 要随着通信技术的发展，作为阵列信号处理领域的一个重要分支，DOA估计技术的研究已经取得了巨大的进步。传统的DOA估计技术在对来波信号完全未知的情况下就可以实现波达角度的估计检测。近些年来，DOA估计技术的应用不仅局限在导航定位、电子侦查与对抗等军事领域。在许多民用应用领域，如机电测量、生物医学等方面也取得了广泛的应用。在这些应用中，来波信号的先验信息通常是完全已知的，这便推动了基于信号先验信息的DOA估计算法研究的兴起。本文针对先验信息已知信号的DOA估计算法进行了探讨研究，主要分析了两大类算法，一类是以最大似然准则为基础的最大似然估计类算法，如DEML算法、CDEML算法、WDEML算法等。最大似然估计类算法具有极高的测角精度与分辨力，相比于传统的DOA估计算法在性能上有着极大的提升，但其存在着运算量大的问题。另一类是利用信号先验信息进行迭代运算的DOA估计算法，如MSWF-MUSIC算法、线阵PASI算法等。相比于传统的DOA估计算法，利用迭代技术的算法通常有着突出的性能，如能够适应低信噪比、少快拍的恶劣环境，能够提高测角精度或者是能降低算法的运算复杂度等。对于最大似然估计类算法，本文主要分析了影响其算法性能的各个因素条件，并与MUSIC算法进行了对比，总结得到了算法的优势与不足。同时分析了接收端所用参考信号先验信息的变化对算法性能的影响，得到了相应的结论与规律。对基于迭代技术的DOA估计算法，本文主要研究了其所拥有的一些特点，分析了迭代对于算法性能和运算复杂度所带来的优势。针对线阵PASI算法应用的局限性问题，本文提出了一种基于阵列平移的圆阵PASI算法，解决了PASI算法在其他阵列形式中因难以构造合适的子阵而无法应用的问题。该算法利用阵列平移的方式构造平滑子阵，再通过平移形成的子阵接收来波信号。由此获得的各个子阵的接收数据便可以应用PASI算法进行DOA估计。对所提出算法进行了性能的仿真分析，并与其它基于信号先验信息的DOA估计算法进行了比较。关键词：DOA估计；最大似然；先验信息；迭代；阵列平移AbstractWith the development of communication technology, the DOA estimation technology has achieved great progress as an important branch of array signal processing. Traditional DOA estimation technique can estimate the direction of arriving signals in the case that the signals are completely unknown for the receiver. In recent years, DOA estimation technology is not only confined to the military fileds, such as the navigation and positioning, the electronic surveilance and combat, etc. but also applied to many civilian fileds, such as mechanical and electrical measurements, biomedicine, etc. In these applications, the priori knowledge of the signals is usually completely known for the receiver. This has promoted the research of DOA estimation algorithm based on priori knowledge of signals.The paper makes discussions and researches to DOA estimation algorithms based on priori knowledge of signals. The paper mainly analyzes two types of algorithm. One type is the maximum likelihood estimation algorithms based on the maximum likelihood criterion, such as DEML algorithm, CDEML algorithm, WDEML algorithm, etc. The maximum likelihood estimation algorithm has a very high accuracy and resolution. Compared to the traditional DOA estimation algorithm, it has made great improvement in performance, but it has the problem that the computation is large. The other make DOA estimation through the iterative technology by using the priori knowledge of signals, such as MSWF-MUSIC algorithm, PASI algorithm in linear array, etc. Compared to the traditional DOA estimation algorithms, the algorithms using the iterative technology usually has outstanding performance, for example it can adapt to low SNR and low snapshops, it can improve the accuracy and reduce the computational complexity, etc.For maximum likelihood estimation algorithms, this paper mainly analyzes various factors which influence the performance of algorithms and makes a comparison to the MUSIC algorithm, then sums to obtain the advantages and disadvantages of the algorithm. We also analyzes the influence of changes of signals priori knowledge used by receiver on this algorithm and gets the corresponding conclusions and laws. For the DOA estimation algorithm using iterative technique, the paper mainly studies some of the characterstics that it has and analyzes the advantages of algorithms performance and computational complexity which iterative technique brings.For the limitations problem of the application of the PASI algorithm in the linear array, this paper proposes a PASI algorithm based on array translation in the circular array, which solves the problem that the PASI algorithm cant be used in other forms of array because of the difficulty to construct appropriate subarray. This algorithm constructs subarrays by using the way of array translation and receives signals through these subarrays. Then the signals receiving through this way can be used in PASI algorithm to estimate the direction of signals. We make the simulation analysis of performance for the proposed algorithm and make comparisons with other DOA estimation algorithms based on the priori knowledge of signals.Keywords: DOA estimation, maximum likelihood, priori knowledge, iteration, array translation目 录摘 要IABSTRACTII第1章 绪 论11.1 课题背景及研究的目的和意义11.2 相关理论的研究历史与现状分析21.2.1 传统的DOA估计理论21.2.2 先验信息已知的信号DOA估计理论31.3 本文的主要研究内容及结构4第2章 DOA估计算法的理论基础62.1 DOA估计算法的理想化条件62.2 信号源的数学模型72.2.1 窄带信号源的数学模型72.2.2 相干信号源的数学模型82.3 天线阵列的数学模型92.3.1 均匀线阵92.3.2 均匀圆阵102.4 DOA估计技术的基本原理112.5 MUSIC算法122.5.1 MUSIC算法的基本原理122.5.2 空间平滑算法的基本原理132.5.3 MUSIC算法的仿真分析152.6 本章小结17第3章 最大似然估计类算法183.1 DEML算法183.1.1 DEML算法的原理183.1.2 仿真实验及分析213.1.3 DEML算法的特性优势253.2 CDEML算法253.2.1 CDEML算法的原理253.2.2 CDEML算法的仿真分析273.3 WDEML算法283.3.1 WDEML算法的原理283.3.2 WDEML算法的仿真分析293.4 参考信号先验信息对算法性能的影响313.4.1 幅度差对算法性能影响的仿真分析313.4.2 频率差对算法性能影响的仿真分析323.4.3 相位差对算法性能影响的仿真分析333.5 本章小结34第4章 基于迭代的已知信号DOA估计算法354.1 MSWF-MUSIC算法354.1.1 多级维纳滤波器的结构及原理354.1.2 MSWF-MUSIC算法的原理364.1.3 MSWF-MUSIC算法的仿真分析384.2 线阵PASI算法404.2.1 线阵PASI算法的基本原理404.2.2 线阵PASI算法的仿真分析424.3 本章小结43第5章 基于阵列平移的圆阵PASI算法445.1 信号模型445.2 适用于圆阵的基于信号先验信息的DOA估计算法455.3 基于阵列平移的圆阵PASI算法的基本原理455.3.1 阵列平移构造子阵的原理455.3.2 基于圆阵的PASI算法初次DOA估计的原理465.3.3 基于圆阵的PASI算法的迭代估计原理475.4 基于阵列平移的圆阵PASI算法的算法仿真485.4.1 单信源多径信号的测角仿真485.4.2 存在多个多径的多个信源测角仿真505.5 基于阵列平移的圆阵PASI算法的性能仿真515.5.1 阵列半径与阵元数对PASI算法性能的影响525.5.2 信噪比与快拍数对PASI算法性能的影响525.5.3 迭代次数对PASI算法性能的影响535.6 本章小结53结 论55参考文献57攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果62哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限63致 谢64第1章 绪 论1.1 课题背景及研究的目的和意义随着现代通信技术和信息处理技术的迅速发展，信号与信息处理已经成为一个研究应用十分广阔的领域。其中，阵列信号处理是一个重要的分支。近几十年来，阵列信号处理不仅在声纳、雷达定位、目标检测、目标侦查和电子对抗等诸多军事领域得到了广泛的应用，同时在民用领域也获得了十足的发展，例如在地震勘测、射电天文、导航、机电测量和生物医学工程等方面都取得了十分巨大的成就。阵列信号处理是利用空间中不同位置的多个传感器构成的传感器阵列对空间中的声音、电磁等信号进行接收处理的过程，其目的是抑制或去除干扰和噪声等不感兴趣的信息，更好的提取有用信号以及信号所包含的信息。阵列信号处理主要包括了自适应阵列处理和空间谱估计两个方面的研究内容1，这两方面的研究虽然有所区别，但通常两者是相互依存，密不可分的。自适应阵列处理通常又称自适应空域滤波，主要是通过利用有用信号与干扰信号、噪声之间的差别实现对后者的抑制，从而增强目标信号。空间谱估计主要是对信号的参数进行测量，如角度信息，频率信息，极化信息等，从而对信号实现检测、方向估计、定位、跟踪等。自适应阵列处理的研究要早于空间谱估计，目前已经在工程中得到了广泛的应用。而不同于自适应阵列处理，空间谱估计的研究虽然近三十年来也得到了飞速的发展，但其在实际应用中并不是很多。研究阵列信号处理，将两者结合起来，对于分析识别日趋复杂的电磁环境，从其中提取所需的有用信息有着极其重要的作用。当今的社会已经发展成为一个信息化的社会，携带各种信息的电磁波遍布在我们周围的各个角落。空间中传输的不同电磁波有着不同的波形信息、角度信息、频率信息、极化信息等。通过对信号波形进行匹配识别可以从中得到发射信源的相关信息；对角度信息的获取可以实现对辐射源的空间定位；通过测量信号的相关频率来获取信源的状态信息；通过对极化信息的利用可以排除干扰与噪声的影响，更好的区分、识别、提取所需信号。面对日益复杂的电磁环境，对于空间电磁信号的处理通常需要将阵列信号处理中自适应阵列处理技术与空间谱估计技术相结合，充分利用信号的时域、空域、频域、极化域的信息来提升阵列信号处理的性能。研究信号的空间谱估计问题对于国民经济以及军事应用都有着重要的意义与价值。本课题是基于某型号导弹导引头导航定位算法进行的研究，在已知信号某些先验信息的基础上，对来波信号的波达角度进行估计的问题。该问题主要涉及到对信号一维方位角、二维方位角俯仰角的估计问题。同时涉及到如何利用信号的先验信息，如信号频率，信号的波形等来提升DOA（Direction of Arrival）估计的精度，如何利用信号的先验信息减少去除干扰，噪声的影响，提升算法性能，减少算法的运算复杂度以及所知的信号信息与实际信号存在一定偏差时，算法性能的变化等问题。1.2 相关理论的研究历史与现状分析1.2.1 传统的DOA估计理论近几十年来，阵列DOA估计理论作为阵列信号处理领域的一个重要研究内容已经取得了飞速的发展。阵列DOA估计理论发展到现在经历了四个主要的时期：（1）最早期的以波束形成为基础的DOA估计算法；（2）由时域非线性谱估计推广而来的早期的高分辨DOA估计方法；（3）子空间分解类的DOA估计算法；（4）子空间拟合类的DOA估计算法。最早的DOA估计算法是由M.S.Bartlett于20世纪50年代提出的常规波束形成法2，但受限于阵列的物理孔径，常规波束形成对波达角度的估计精度很低，为提高DOA估计的精度，许多研究者开始寻求新的方法，这就促成了由非线性信号处理技术推广而来的早期的高分辨DOA估计方法。这其中主要包括由Burg于1967年提出的最大熵法4,5（MEM, Maximum Entropy Method），Capon于1969年提出的最小方差法6（MVM, Minimum Variance Method），Burg通过将线性预测算法应用到谱估计领域所得到的最大熵法成功的打破了瑞利限的限制，随后随着研究的深入，Kay与Marple7进一步提出了AR（Autoregression）算法。DOA估计技术的发展取得突破性的飞跃是在20世纪70年代末期，在这个时期DOA估计方面涌现了大量的研究成果，其中最为突出的就是Schmidt R O.于1979年提出的MUSIC（Multiple Signal Classification）算法8，MUSIC算法的提出开创了空间谱估计研究的新时代，MUSIC算法利用噪声子空间与信号子空间的正交性来进行波达角度估计，它极大的提高了DOA估计的精度与分辨率，同时也推动了子空间分解类算法的兴起。随后人们对MUSIC算法进行了推广研究，提出了像加权MUSIC算法11,12，求根MUSIC算法13-15等许多由MUSIC延伸出来的DOA估计算法。在子空间分解类算法中，除了以MUSIC为代表的DOA估计算法之外，还有另一类旋转不变子空间算法（ESPRIT, Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques）16-19。它是由Roy R，Paulraj A等人于1985年提出的，ESPRIT算法是通过利用子阵之间的旋转不变性进行DOA估计的，这个旋转不变性即指相邻子阵间的固定间距所反映的相邻子阵间的固定关系20186。ESPRIT算法提出后，为提高算法的性能或是为满足实际需要，许多由其衍生而来的算法应运而生，如在1986年Kung S Y等人提出了Toeplitz算法21,22，1992年Swindlehurst A L等人提出了MI-ESPRIT（Multiple Invariance ESPRIT）算法23，1994年Eriksson A等人提出了加权ESPRIT算法24,25等。MUSIC算法与ESPRIT算法的提出将DOA估计技术带到了真正的高分辨波达角估计的时代，为空间谱技术的进一步发展起到了极大的推动作用。在子空间分解类算法之后，20世纪80年代后期，又出现了另一类比较有代表性的算法即子空间拟合类算法。子空间拟合的基本思想是通过利用阵列流型矩阵与阵列接收数据的子空间所存在的拟合关系来对未知参数进行估计，以实现接收数据与理想数据之间的拟合。这其中最具有代表性的就是在1988年由Ziskind I和Wax M提出的最大似然算法26-28与1991年Viberg M提出的加权信号子空间拟合算法29,30。子空间拟合类算法相比于子空间分解类算法，有更高的算法精度，但算法的运算量也相当大，是一类以运算复杂度换取精度的算法。随后，为减少算法的复杂性许多减少运算复杂度的算法被提了出来，如Wax提出的轮换投影（AP, Alternating Projection）算法31,32等。1.2.2 先验信息已知的信号DOA估计理论对于DOA估计理论的研究最初大都集中在不考虑信号先验信息的情况下，近些年来，空间谱估计理论不仅仅只应用在雷达，电子对抗等军事领域，在医学检测，导航定位等一些民用领域中也开始取得应用。这就推动了基于信号先验信息的DOA估计理论的兴起与发展。最早的利用信号信息来进行的DOA估计算法研究主要集中在信号形式为循环平稳信号33和恒模信号34两个方面。这类算法主要是在20世纪90年代初期由C.Chen, W.A.Gardner33等人提出的，通过对这类信号形式特点的利用来进行角度估计，提升算法的性能。随后在1993年，由J.Li和R.T.Compton首次提出了利用信号波形的最大似然角度估计算法35，利用信号波形通过粗略的初始估计和精确的再估计来获取来波信号的角度值，这里初始估计是通过IQML36（Iterative Algorithm Maximum Likelihood）算法进行的，再估计是通过EM37（Estimate Maximize）算法或者AM31（Alternating Maximization）算法实现的。其后在1995年，Jian Li等人又提出了一种以最大似然准则为基础的大采样的分离最大似然估计算法（DEML, Decoupled Maximum Likelihood）38，该算法将最大似然估计中的一个多维搜索问题分解为多个一维搜索问题，极大的降低了最大似然估计类算法的运算量，但DEML算法无法处理相关性较强的信号，当来波信号相关性较强时，算法便会失效。为了解决DEML算法无法处理相干信号的问题，Mats Cedervall与Randolph L.Moses等人于1996年对DEML算法进行改进，提出了相干分离最大似然估计算法（CDEML, Coherent Decoupled Maximum Likelihood）39，解决了DEML算法无法处理相干信号的问题。随后在1998年，针对DEML算法与CDEML算法所存在的需要大采样数，比较高的信噪比以及比较高的计算复杂度等问题，Jian Li等人又提出了白噪声环境下的分离最大似然估计算法（WDEML, White Decoupled Maximum Likelihood）40，进一步降低了DEML算法与CDEML算法的复杂度，增强了算法的时效性。随后针对先验信息已知信号的DOA估计研究主要集中在如何通过对先验信息的利用来提高算法的精度和降低算法的运算复杂度这两个方面。Atallah和Marcos等人在2004提出了一种性能与最大似然类方法相似但拥有更小复杂度的PADEC（Parallel Decomposition）算法41，PADEC算法主要通过最小二乘准则、平滑技术以及特征分解进行DOA估计。尽管其运算量相比最大似然类算法有所降低，但算法的复杂度还是比较高。在2005年黄磊等人针对MUSIC算法特征值分解过程中运算量巨大的问题，提出了通过多级维纳滤波器（MSWF, Multistage Wiener Filter）的权矢量来构造信号子空间与噪声子空间的方法42，减少了特征值分解过程中的运算复杂度。2007年，A.Rahim Leyman与Kin Mun Lye等人提出了以子阵列数据迭代为基础的PASI（Pilot-aided Subarray Iterative）算法43，PASI算法能够处理存在多个多径多个信源的复杂情况，并具有较高的精度。1.3 本文的主要研究内容及结构本文主要研究分析了基于信号先验信息的DOA估计算法。对以最大似然准则为基础的DEML算法，CDEML算法，WDEML算法进行了详细的仿真与性能分析，并与传统的DOA估计算法进行比较。分析了MSWF算法，线阵PASI算法等需利用迭代技术的DOA估计算法，针对PASI算法只能应用在可以构造子阵的阵列形式中的问题，提出了基于阵列平移的圆阵PASI算法，解决了PASI算法应用在圆阵中进行二维相干信号源估计的问题。全文的主要内容安排如下：第1章，介绍了阵列信号处理理论中DOA估计技术的研究背景及其意义；然后分别对传统DOA估计理论和先验信息已知的信号DOA估计理论的研究历史和发展现状做了简要的概括，并对一些理论算法做了简要的介绍；最后介绍了论文的结构与安排。第2章，对波达角估计的数学模型进行详细的介绍，分析常用的阵列形式与信号模型，阵列形式中主要对线阵、圆阵两种常用的基本阵列形式进行介绍。信号模型主要对本文中要用到的窄带信源，相干信源进行介绍。分析介绍传统DOA估计算法中的典型算法：MUSIC算法。分析其测角原理，处理相干信号的原理等。第3章，主要研究以最大似然准则为基础的分离最大似然估计类算法，包括DEML算法，CDEML算法，WDEML算法。对算法进行了理论与仿真分析，从算法的测角成功概率，测角精度，算法的运算复杂度等方面进行了对比分析，并与传统DOA估计算法MUSIC算法做了比较，分析了阵元数，阵列半径，快拍数，信噪比等因素对算法性能的影响情况。同时对接收端的参考信号与实际来波信号存在频率差、相位差、幅度差时算法的性能变化情况进行了分析研究。第4章，首先分析了MSWF算法，线阵PASI算法等利用迭代技术的DOA估计算法原理，对其进行仿真分析，比较其与MUSIC算法相比在性能方面的提升情况，分析算法性能随着快拍数，信噪比等因素变化时的改变情况。第5章，针对PASI算法只能应用在适合构造子阵的阵列形式中的问题，分析其无法应用于圆阵的原因，提出基于阵列平移的圆阵PASI算法。简述阵列平移构造平移子阵的原理，对圆阵PASI算法进行了数学上的理论推导分析，分析算法的理论可行性，对所提出的的基于阵列平移的圆阵PASI算法进行仿真分析，验证了其可以处理存在多个多径多个信源的复杂情况。分析总结了阵元数、阵列半径、快拍数、信噪比、迭代次数等因素对算法测角成功概率与测角精度的影响。最后，总结了基于阵列平移的圆阵PASI算法的优势与不足。最后，分析总结了本文所做的研究工作，得出了相应的结论，并指出了论文所存在的不足和今后需进一步研究、解决的问题。第2章 DOA估计算法的理论基础DOA估计理论发展到现在已经形成了比较系统的体系结构，在探索研究中，对于所用的信号源、空间环境、天线阵列等数学物理模型有了统一的一些假设与规定，DOA估计的一些理论基础性知识也有了比较成熟的数学基础。本章主要对DOA估计算法的理想化条件、信号源的模型、天线阵列模型、DOA估计的基本原理等进行简单的介绍，为后续的研究做准备。同时对经典的MUSIC算法进行理论的分析介绍。2.1 DOA估计算法的理想化条件实际环境中，信号在空间中的传播情况以及空间环境的变化情况都极其复杂，在进行DOA估计时，无法将所有的情况都模拟成与实际情况相同，因而，为了便于DOA估计算法的分析研究，这里对DOA估计时涉及到的实际环境情况进行如下的理想化假设。假设如下：（1）信号源：对于天线阵列来说，所有的信号源均为远场信号源，距离天线阵列的距离为无限远，所有信号源均为理想化的点信号源，到达天线阵列的信号视为平行到达。且所有信号源的功率相同，并与噪声相互独立。（2）噪声源：阵列天线接收信号中的噪声只存在空间传输过程中的加性高斯白噪声，其均值为零。其余的热噪声，天线、接收机等一些器件的噪声在这里均忽略不计，且各个加性白噪声之间，以及噪声与信号之间均不相关。（3）信号源个数：文中不对信号源个数进行估计研究，假设认为来波信号个数是已知的。（4）阵列天线：天线阵列中所有的天线阵元均不考虑极化信息的影响，阵元对于来波信号的接收没有方向性差别，即均为全向天线。天线阵列为理想化的阵列，阵元的方向图误差，阵元通道的幅相误差以及阵元之间的互耦误差等均忽略不计。每个天线阵元均为理想化的模型，没有实际大小。（5）传输介质：信号在空间传输介质中传播时，认为信号的能量不会发生衰减；信号的波形不会发生畸变；传播路径为直线传播，不会发生弯曲。即信号源发出信号的参数信息与天线阵列接收信号的参数信息相同。本文中在没有特殊说明的情况下，所有的仿真分析研究都是在以上假设下进行的。2.2 信号源的数学模型在DOA估计算法的研究中，信号模型大致可以分为三大类，即窄带信号源模型、相干信号源模型和宽带信号源模型。本文中不对宽带信号进行仿真分析，因而这里只对窄带信号源模型和相干信号源模型作一个简单的介绍。2.2.1 窄带信号源的数学模型对于窄带信号与宽带信号通常情况下是没有严格意义上的定义的，两者之间的定义是相对的，通常不满足窄带信号定义的即被认为是宽带信号，而在不同的领域对于窄带信号也有着许多不同的定义，令信号的中心频率为，信号的频带宽度为，时域带宽为，则对于窄带信号的定义有如下几种：（1）从信号相对带宽的角度来定义，即如果信号的相对带宽，则认为信号为窄带信号，在不同的应用场合对于相对带宽的限定值也不同，通常情况下即认为信号为窄带信号。（2）当研究系统为一个相对运动的系统时，如果相对于信号的距离分辨率，在时间内，目标没有明显的相对运动，即，其中，是阵列与目标的相对径向速度，是信号在介质中的传播速度。则视信号为窄带信号44。（3）在空间谱估计的理论研究中，若来波信号通过整个阵列的最大传播时间远远小于信号频域带宽的倒数44，即，为阵元数，为阵元间距。便认为信号为窄带信号。（4）从阵列接收信号数据的自相关矩阵角度来对窄带信号进行定义：如果信号协方差矩阵特征分解得到的大特征值个数与信号个数相等，即认为是窄带信号。在以上所有窄带信号的定义中，（1）的定义方式是采用较多的，本文中对于窄带信号的定义便采用（1）中的定义方式，即信号的相对带宽小于0.1时便认为来波信号为窄带信号。在信号源为窄带信源的情况下，信号模型的数学表达形式为， (2-1)式(2-1)中，为信号的幅度，为信号的角频率，为信号的相位，由于信号均为远场信号，因而， (2-2)由式(2-1)和(2-2)可知， (2-3)则阵元数为的天线阵列中第个阵元的接收信号为， (2-4)其中表示所有来波信号中第个信号到达第个阵元与该信号到达参考阵元的时间差值；表示第个阵元接收到的噪声，这里的噪声是均值为零的高斯白噪声。2.2.2 相干信号源的数学模型在实际电磁信号的传播环境中，由于广泛存在着由信号反射、散射和衍射等原因而造成的多径现象，同时也存在着由于有意人为因素而产生的干扰信号，因而，相干信号的存在是一种十分常见的现象。如何分辨相干信源，以及去除相干信源的影响，从中得到真实信源的信息已成为DOA估计领域中的一个重要研究内容。因此这里对相干信号源的数学模型进行简单的研究介绍。对于两个平稳信号和，其相关系数的定义为2122： (2-5)由Schwartz不等式可知，因而，信号之间的相关性定义如下： (2-6)由以上相干信源的定义可知，对于两个相干信源与，他们之间必定满足如下的关系式： (2-7)是一个复常数。2.3 天线阵列的数学模型天线阵列是DOA估计技术的物理基础，所要估计信号的角度信息均是通过天线阵列的阵列流型得到的，不同的阵列形式其测角性能也各不相同。目前在进行DOA估计研究时常用的阵列形式有：均匀线阵，均匀圆阵，面阵，带中心阵元的圆阵等。本文在进行DOA估计算法研究时，主要以线阵和圆阵为主，因而下面仅对均匀线阵与均匀圆阵两种阵列形式进行分析介绍。2.3.1 均匀线阵所有天线阵元相互分离且排列在一条直线上时所构成的阵列形式称为线阵45，在满足线阵的条件下，若所有的相邻两个阵元之间的间距均相等，则此时的阵列形式即为均匀线阵。由个阵元所构成的间距为的均匀线阵，以左侧第一个阵元为基准参考阵元，垂直于阵列的方向为法线方向47，其结构如图2-1所示，012图2-1 均匀线阵设每个阵元的坐标为，信号到达第一个阵元的相位为零，则第个阵元的相位为， (2-8)当有个来波信号，来波信号的波达角度分别为时，天线阵列的阵列流型为， (2-9)从上述均匀线阵的阵列流型可以看出，均匀线阵的阵列流型矩阵具有范德蒙结构46，因而当入射信号的波达角度不同时，则的列是互不相关的，即是一个列满秩矩阵。均匀线阵是比较常用的阵列形式，它可以通过进行空间平滑技术来处理相干信号，同时它的结构是最简单的，应用处理起来也十分方便，但均匀线阵只能处理一维角度，无法对二维空间角度进行处理。2.3.2 均匀圆阵均匀圆阵是一种性能比较优越的阵列形式，与均匀线阵只能进行一维角度估计不同，均匀圆阵可以进行方位角和俯仰角的二维角度估计，这使得均匀圆阵的阵列形式能够更好的应用到实际中。如图2-2所示，由个阵元均匀分布在半径为的圆周上所构成的均匀圆阵48，阵列半径为，垂直于阵列所在平面的方向为法线方向，空间中来波信号与轴正方向夹角为方位角，与轴正方向夹角为俯