功能梯度压电悬臂梁的弯曲问题毕业论文.doc

1 绪论1.1功能梯度材料（FGM）简介复合材料已在工程中得到广泛应用，然而传统的复合材料，由于由两种或以上的不同均匀材料结合在一起而存在明显的界面，因此材料的物性参数如弹性模量、热膨胀系数在该处不匹配，从而使得界面容易成为失效的源泉，界面设计也就成为复合材料设计的重要课题。另一方面随着现代科学技术的进步，超音速航天飞机、超音速民用交通、现代航天飞行器以及下一代电力系统装置都对材料的设计与应用提出了新的要求1。例如航天飞机的发展就面临许多技术问题，特别在先进隔热材料方面，通常使用的陶瓷复合材料弥散强化陶瓷，已经无法承受由于航天飞行环境中极端的温度梯度引起的高热应力。为了解决这类问题，日本材料学家新野正之(Masyuhi NINO)、平井敏雄(Toshio HIRA)和渡边龙三(Ryuzo WATANBE)等在20世纪80年代中后期提出了功能梯度材料的概念。此概念提出后，引起世界各国的广泛兴趣和关注，日本已将其列入日本科学厅资助的重点研究项目，德国、法国、俄罗斯等欧洲发达国家相继开展FGM的研究工作；1993年美国国家标准技术研究所开始开发以超高温耐热氧化保护涂层为目标的大型功能梯度材料的研究项目；同时，中国政府也把FGM的研究列入国家高新技术的“863”计划。随着FGM的研究和发展，其应用不再局限于宇航工业，已扩展到核能源、电子材料、光学工程、化学工业、生物医学工程等领域。功能梯度材料的研究开发最早始于1987年日本科学技术厅的一项“关于开发缓和热应力的功能梯度材料的基础技术研究”计划。所谓功能梯度材料是根据使用要求，选择使用两种不同性能的材料，采用先进的材料复合技术，使中间的组成和结构连续呈梯度变化，内部不存在明显的界面，从而使材料的性质和功能沿厚度方向也呈梯度变化的一种新型复合材料2。也就是材料组分在一定的空间方向上连续变化的一种复合材料。功能梯度材料示意图见图a。由于功能梯度材料的这种特点，因此它能有效地克服传统复合材料的不足，与传统复合材料相比功能梯度材料有如下优势: 1)将功能梯度材料用作界面层来连接不相容的两种，可以大大地提高粘结强度；2)将功能梯度材料用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力； 3)将功能梯度材料用作涂层和界面层可以消除连接材料中界面交叉点以及应力自由端点的应力奇异性； 4)用功能梯度材料代替传统的均匀材料涂层。既可以增强连接强度也可以减小裂纹驱动力。 图a 功能梯度材料示意图1.1.1功能梯度材料的组成特点从材料的组成方式看，功能梯度材料可分为金属/陶瓷、金属/非金属、陶瓷/陶瓷、陶瓷/非金属和非金属/塑料等多种结合方式。从组成变化看，功能梯度材料可分为:功能梯度整体型(组成从一侧到另一侧呈梯度渐变的结构材料)，功能梯度涂覆型(在基体材料上形成组成渐变的涂层)和功能梯度连接型(粘结两个基体间的接缝呈梯度变化)。因在制备过程中，选取了两种或几种不同性质的材料，连续地控制材料的微观组成、结构和空隙形态与结合方式，使界面的成分和组织呈连续性变化，因而材料内部热应力得以大大缓和，如图b所示，对高温侧壁采用耐热性好的陶瓷材料，低温侧壁使用导热和强度好的金属材料。在金属与陶瓷中间的梯度过渡层里，其耐热性能、机械性能等呈连续变化，热应力在材料两端均很小，使其成为可在高温环境下应用的新型耐热材料7。 图b金属、陶瓷构成的材料特性1.1.2 FGM发展前景功能梯度材料自产生以来，得到了长足的发展。以材料设计为核心，开发各种尺寸、形状复杂的FGM，进一步拓展其应用领域。随着组元设计多样化的发展，组元成分的选择也更加合理，梯度材料的设计也将向着多组元设计、更为经济和更为实用的制备方向不断发展9。制备方法也将进一步得以丰富。从设计上分析，随着非均质材料的组成结构性能体系的深入研究，以及连续介质理论，量子理论及微观结构模型的不断完善，将建立起比较完备的FGM数据系统。人们从具体要求出发，假设不同的组分及其分布，在合适的物理、化学模型构建下，进行优化设计，最终获得满足具体要求的最佳材料组合及空间梯度分布。1.2压电材料简介1.2.1压电效应压电(piezoelectric)现象最早由Jacques Curie和Pierre Curie兄弟于1880年发现。压电材料在一定温度环境中被电场极化后，材料中的晶体以电场极化方向的晶粒为主，但部分晶粒仍然偏离电场极化方向，从而存在剩余极化强度，并以偶极矩的形式表现出来。 当对压电材料施加机械变形时，剩余极化强度将因材料的变形而发生变化，引起材料内部正负电荷中心发生相对移动产生电极化，从而导致材料两个表面上出现符号相反的束缚电荷，电荷密度与外力成正比，这种现象称为正压电效应。正压电效应反映了压电材料具有将机械能转变为电能的能力。检测出压电元件上电荷的变化，即可得知压电元件处的变形量，利用压电材料的正压电效应，可将其制成结构振动控制或结构健康监测中的智能传感器。与此相反，当在压电材料两表面上通以电压，所有晶粒极化方向趋于电场方向，造成压电元件内部正负电荷中心的相对位移，导致压电材料的变形，这种现象称为逆压电效应。逆压电效应反映了压电材料具有将电能转变为机械能的能力。利用压电材料的逆压电效应，可将其制成结构振动控制中的智能驱动器13。1.2.2压电陶瓷自然界中，许多材料都呈现压电材料的性质，在实际应用中，一般将其分为压电晶体、压电纤维、压电聚合物和压电陶瓷等几类，应用最多的是后两类材料。压电陶瓷多是型化合物或几种型化合物的固溶体。应用最广泛的压电陶瓷是钦酸钡系和钻钦酸铅系(PZT)陶瓷。钦酸钡陶瓷具有较好的压电性，是钻钦酸铅陶瓷出现之前，广泛应用的压电材料。但是，钦酸钡陶瓷的居里点不高(120 )限制了器件的工作温度范围:(居里温度:对于所有的磁性材料来说，并不是在任何温度下都具有磁性。一般地，磁性材料具有一个临界温度Tc，在这个温度以上，由于高温下原子的剧烈热运动，原子磁矩的排列由有序变成无序。在此温度以下，原子磁矩一致排列，产生自发磁化，材料呈铁磁性，将临界温度Tc称为居里温度)以及常温介电性和压电性不稳定等缺点。于是在50年代中期，在研究氧八面体结构特征和离子置换改性的基础上，美国B.Jaffe发现了钻钦酸铅系(PZT)固溶体，其居里温度、机电祸合系数、压电常数和稳定性等都比钦酸钡压电陶瓷有了很大的改善和提高，因而在应用上很快取代了钦酸钡陶瓷。1.3功能梯度压电材料（FGPM）的研究现状1.3.1功能梯度压电材料（FGPM）概念的提出压电材料由于具有正、逆压电效应，已经广泛用作智能结构的传感器(sensor)和执行器(actuator)，应用于结构的形状控制、振动和噪声控制以及结构的损伤监测等诸多领域。这些应用通常要求压电作动器有较大的位移及较强的承载能力。为达到上述目的，常常将两个压电陶瓷薄片以板的形式粘接在一起，将压电激励器做成压电双晶片形式。这种设计，在提供大位移的同时，也带来了缺点。当粘接两个不同的压电材料，或者极化方向不同的两个同种的压电材料时，将产生严重的应力集中，并会在低温下会发生裂纹、高温下产生蠕变以及剥落，导致压电双晶片的电场诱导位移特性降低，器件的寿命缩短，难以应用在要求高可靠性的计测控制装置上。为了克服传统压电双晶片元件的缺点，Wu等人和Zhu等人发展了一种新的被一称作功能梯度压电材料(FGPM)的新型压电材料。功能梯度压电材料可以用于单一压电装置、或是两个不同压电装置之间的粘结过渡层。这种材料的优点是由于组成和性能在空间连续变化的特点，使压电性能、介电性能等性能参数得到恰当的分配，没有明显的内在边界，降低应力峰值，而且可以避免应力集中导致的传统元件故障，产生较大的位移。因此，功能梯度压电激励器可以在产生大位移的同时，减缓分界面处的应力集中，从而大大提高了压电元件的可靠性和寿命。随着现代材料制造技术的发展，使得满足各种梯度组成的材料能够制造出来。功能梯度压电材料(FGPM)作为一种全新的材料设计理念，其应用前景十分广阔4。1.3.2功能梯度压电材料（FGPM）的研究现状目前对功能梯度压电结构的研究已悄然兴起。Reddy和Cheng用渐进展开式结合传递矩阵公式得到了智能功能梯度(FG)结构(由弹性FGM层和压电层组成)的渐近解27。Huang用有限元方法分析了智能功能梯度压电结构的热电响应。Chen和Ding基于状态方程分析了四边简支压电功能梯度板的弯曲问题。陈伟球和丁皓江研究了功能梯度压电材料矩形板的自由振动问题45。吴瑞安对功能梯度压电材料平板进行了力电祸合结构分析;并从压电材料基本方程出发，导出并求解了四边简支、接地条件下功能梯度压电材料矩形板的自由振动方程仲政，尚尔涛对四边简支、接地、等温的功能梯度热释电材料矩形板进行精确三维分析17。Li和Weng，胡克强，仲政基于三维弹性理论和压电理论，对材料系数按指数函数规律分布的功能梯度压电板条中的裂纹问题进行了求解；JinB, Zhong Z等对功能梯度压电材料的反平面裂纹问题进行了研究。Liu和Tan 研究了波在功能梯度压电板中的传播问题。Lim和He给出了复合梯度压电层合结构的三维精确解。Pin Lu,H, P等利用Stroh-like方法计算了四边简支功能梯度压电板问题。E.Pan和F.Han研究了四边简支功能梯度层合板的磁、电、弹耦合问题。黄小林，沈惠申基于Reddy高阶剪切变形理论和广义Karman型方程，求得了热环境下带压电层的功能梯度复合材料混合层合板的自由振动及动力响应的解析解43。Oota和Tanigawa利用近似层合模型，用级数展开的办法分析了简支FGM压电矩形板的三维瞬态温度场分布及其热应力分布。伍晓红，沈亚鹏基于三维弹性理论和压电理论，用幂级数展开的方法求解了四边简支的有限长矩形FGM压电板的自由振动频率16。刘玮，闰铂基于经典板理论，研究了四边简支压电功能梯度矩形薄板的屈曲问题陈江义，熊滨生，陈柳利用状态空间法对功能梯度电磁弹性多层板场变量的精确解进行了分析。朱昊文，李尧臣，杨昌锦利用变分原理和功能梯度压电材料的本构关系、几何关系、板的边界条件等，推导出功能梯度板的有限元方程。1.4本文主要研究内容从弹性力学的基本方程出发，利用半逆解法，假设材料的所有电弹性常数沿厚度方向按同一函数规律变化，研究功能梯度压电悬臂梁在上表面受均布荷载、自由端受集中力和集中力矩联合作用问题的力电耦合场，求得了相应的应力和位移。给出数值算例，假设梯度函数为指数形式，验证功能梯度压电材料悬臂梁简化理论，分析不同的梯度变化对功能梯度压电梁静力响应的影响。2 功能梯度材料梁、板、壳结构的分析方法梁、板、壳以及它们的组合是目前功能梯度材料的常见结构形式，分析方法主要以简化的结构理论为主，也有一些是从三维方程出发进行直接求解。由于以往针对均匀材料建立的经典梁、板、壳结构理论并不能完全适用于功能梯度材料，因此必须发展针对功能梯度材料特点的梁、板、壳结构分析方法，寻找功能梯度材料梁、板、壳结构的解析解、半解析解以及简化理论解，下面将分别阐述。2.1解析解对于功能梯度材料梁、板、壳结构，由于控制方程通常为变系数的微分方程，其边值问题的解析求解难度非常大，因此在现有文献中，解析解非常少。解析解的价值在于它们能为其他理论模型或计算方案提供假设的依据和验证的考题。Sankar 针对材料常数沿厚度为指数分布的正交各向异性功能梯度梁受任意垂直载荷作用的情形推导得到了弹性力学精确解。稍后Sanka等给出了考虑温度效应的一个精确解。这些工作都假设材料参数沿厚度以同一指数变化。对于沿厚度非指数变化的情况，还没有弹性力学精确解的报道。在解析解方面，Lekhnitskii在其名著中给出了正交各向异性悬臂梁端部受剪、弯的解，但其后近40年几乎没有任何进展。 最近，仲政等和丁皓江等系统发展了考虑力、热、电、磁等作用的各向异性功能梯度材料直梁二维问题的广义应力函数解法，获得的解析解适用于各材料参数沿厚度方向的任意梯度分布情况，可在Saint-Venant意义上考虑简支、固支等不同的位移约束边界条件和集中力、弯矩等端部载荷作用。这一方法将Lekhnitskii 在各向异性平面弹性问题上的研究推进了一大步，丰富了非均匀材料力学的求解手段，具有重要的科学意义。Huang等进一步研究了功能梯度压电执行器的响应特性，给出了解析表达式并与一维梁理论、有限元和实验结果等进行了比较，说明了解析解的有效性及一维梁理论解的不足之处。Jiang等则发展了基于调和函数表示的通解解法，求得了密度功能梯度材料悬臂梁的两个解析解。智能功能梯度结构的响应特性近年得到了很多研究者的关注。已有的研究大都假设压电层和功能梯度材料主体结构之问粘结完好。计算发现，由于界面的弱化，使得结构系统的静动力特性发生了一定程度的改变，从而可能导致作动器或者传感器性能的变化，必须加以重视6。 陈伟球等将辛空间的弹性力学解法推广应用到功能梯度材料结构的解析研究中，提出了移位Hamilton矩阵的概念，并且发现材料的功能梯度属性将改变有关特征函数的形式，对不同的特征函数建立了辛正交关系，并提出了稳定的数值计算方法。最近，他们又将工作进一步推广到功能梯度压电材料，详细研究了非均匀参数对Saint-Venant解的影响。在轴对称载荷作用下的圆/环板的弯曲问题是弹性力学的一个经典问题。Horgan等假设弹性模量沿径向按幂律分布，考察了功能梯度旋转圆盘的一维轴对称变形问题。Li等将Ding等提出的直梁的分析方法进一步推广应用于功能梯度弹性圆板。对于横观各向同性功能梯度圆板的纯弯曲问题，首次给出了解析形式的弹性力学解。与直梁问题类似，这一方法可以考察材料常数沿厚度方向的任意变化以及圆周边界上的简支或固支边界条件。Li等通过在位移表达式中引入适当的对数函数项，获得了内外圆周边界条件任意组合时在均布载荷作用下横观各向同性功能梯度圆环板的解析解，该解可以考虑材料常数沿厚度方向的任意分布。对于均匀电势作用下的功能梯度圆板和均布载荷作用下的功能梯度压电压磁板，同样通过假设位移、电势和(或)磁势的适当形式，导出了相应的轴对称解析解24。 针对沿厚度方向材料常数任意变化的情形，Kaprielian等及Mian等提出了一种非常有效的求解方法，即通过假设位移的适当形式将三维问题化为二维问题以简化求解过程。但与经典的板壳理论不同，在位移模式中含有很多与厚度坐标有关的未知函数，因此可以考虑材料特性沿板厚的任意变化。但他们的研究仅局限于各向同性材料，且板的上下表面没有载荷作用。Yang等推广了非均匀材料板的Spence分析方法，并求解了均布载荷作用下横观各向同性材料环板的位移和应力场，从二维简化解构造出相应的材料沿厚度方向任意变化的圆环板的三维解。对于对边简支矩形板的弯曲问题，通过在级数项外引入适当的多项式项，一方面简化了求解，另一方面也加快了解的收敛37。 张晓日等假设材料的力学和电学性质沿板厚方向按统一的指数函数形式梯度分布，获得了周边为广义刚性滑动和广义简支两种边界条件下轴对称功能梯度压电圆板自由振动问题的精确频率方程，数值求解不同板厚和不同梯度变化情况下的轴对称圆板自由振动的固有频率。Chen等通过假设径向位移和轴向位移的适当形式，获得了匀速旋转的横观各向同性功能梯度圆板和圆环板问题的解析解，该解可考虑材料参数沿厚度方向的任意分布情形14。 Zhong等假设材料的力学、电学和热学性质沿板厚方向按统一的指数函数形式梯度分布，获得了四边简支、接地和等温的正交各向异性功能梯度压电材料矩形板，在上下表面作用机械载荷、电载荷和热载荷情况下的三维静力精确解。Zhang等对于任意的材料梯度分布形式，利用Haar小波级数展开法，得到四边简支功能梯度材料矩形板和功能梯度压电材料矩形板弯曲问题的三维Haar小波级数解。Huang等考察了双参数地基对功能梯度材料板弯曲特性的影响，发现地基参数的变化对结构的应力分布影响较大，尤其是对于较厚的梁板，地基参数越大，中性面的位置逐渐向加载的表面移动，应力分布也逐渐趋于缓和，即应力水平逐渐减小46。 高立名等采用分层法、Frobenius法和同伦分析法研究功能梯度平板表面波的传播问题，发现表面波的两种变化模式在功能梯度材料中的效应是不同的。分层法虽然概念简单，但收敛速度较慢，Frobenius法可以求出精确解，但求解过程繁琐，而且对数值计算过程的精度要求比较高。同伦法可以求得包括Frobenius解的一般解，而且收敛速度和精度可以通过选择适当的参数来调整。潘永东等利用Peano级数展开法研究功能梯度材料中波的传播特性，求解了圆杆和圆管表面上功能梯度涂层的表面波频散曲线，通过数值计算说明了表面波频散曲线对涂层材料声速梯度分布的依赖性，为激光超声实验测量表征材料梯度分布特性提供了理论依据。针对功能梯度材料厚板中波的传播问题，Chen等提出了回传射线矩阵分析方法，采用均匀层合模型将各向同性功能梯度材料板划分成若干层，在每层建立互反的两个局部坐标系并获得层内的相位关系，根据界面处连续条件获得散射关系，最终建立体系的回传矩阵整体代数方程。由于采用了两个局部坐标系，该方法摒除了具有正实部指数的指数函数，从而在计算中避免了传统状态空问法中普遍存在的大数相减，得到了绝对稳定的数值计算结果，表明回传射线矩阵法对于结构高频振动计算具有不可替代的优越性。从上述最一般的理论出发，文献对非均匀弹性杆、各向异性功能梯度板(包括层合板)和功能梯度压电薄膜及其体波谐振器内的波传播问题进行了系统的研究13。2.2半解析半数值解 传统的状态空间法只能适用于具有特殊边界条件(如简支、滑支)的结构的求解。为了克服这一限制，范家让提出用叠加原理和广义函数的Fourier级数展开来求解具有固支和自由边界的板壳结构静动力响应。Chen等针对复合材料梁板提出了一种有效的半解析半数值方法，该方法将状态空间法和微分求积法结合在一起，在面内采用微分求积法离散可以处理任意侧面边界条件，而在厚度方向采用状态空间法进行精确求解。该方法拓宽了弹性力学传统状态空问法的求解范围，可以用于分析层合和厚度方向功能梯度梁、板、壳结构静动力问题。Li等利用该方法获得了功能梯度层合梁以及压电层合板在简支、固支、自由等边界条件下的自由振动与静力弯曲问题的解答。在计算中发现，当微分求积法中点数取值较大时，会产生一定的数值不稳定问题，为此Li等采用Nagem和Williams针对空间结构分析提出的耦合节点矩阵法，进行功能梯度梁的热应力分析和多跨板的振动分析，克服了数值不稳定的现象6。 Nie等对状态空间法和微分求积法相结合的半解析半数值方法进行了改进，提出了将位移和位移的一阶导数作为状态变量的求解方法，与应力和位移混合作为状态变量的状态空问法相比较，更易处理某些边界条件和圆板中心的正则性条件。利用该方法，研究了功能梯度圆板、圆环板、扇形板在简支、固支、自由等各种边界条件下的静力响应与自由振动问题。基于状态空间的微分求积法还被推广应用于求解双向功能梯度材料梁和双向功能梯度材料圆板的分析。2.3简化理论解 曹志远等人采用经典板壳理论，获得了各类功能梯度矩形板固有频率与振型的解析解和各类功能梯度复合材料圆柱壳固有频率的解析解。 为了对更复杂条件下功能梯度梁、板、壳结构进行分析，必须发展适合于功能梯度材料特点的梁、板、壳简化理论。在各种高阶板理论中，Soldatos等提出的含有随厚度坐标变化的翘曲函数理论独具优势。Bian等将Soldatos层合板理论推广用于功能梯度板的分析，构造了状态空间列式来确定翘曲函数的厚度方向分布，然后针对Soldatos层合板理论构造了状态空间列式对单跨以及多跨柱形板的弯曲进行求解。 Li等针对功能梯度材料薄膜，基于经典薄板假设，提出了考虑表面弹性的连续介质模型。研究表明，对于给定的表面材料性质，当薄膜厚度减小到微米尺度时，其抗弯刚度和固有频率表现出明显的尺度效应，并随厚度的进一步减小，表面效应的影响越来越明显。采用Soldatos板理论的位移假设，以表面力学基本方程代替经典理论中表面剪应力为零的约束条件，确定自适应形函数的具体形式，获得了无限长功能梯度材料薄膜的解析解。 李尧臣等基于若干基本假设，提出了指数型功能梯度压电材料圆板在轴对称载荷作用下的简化理论与解析解，获得了板的周边固定或简支并接地情况下中性层法线转角的解和用Fourier-Bessel级数表示的电势解，这个解有足够的精度，在形式上比精确解简洁得多，便于数值计算和应用6。3 功能梯度压电悬臂梁的弯曲分析3.1问题描述 考虑如图1的正交各向异性功能梯度压电悬臂梁，从弹性力学的基本方程出发，利用半逆解法，假设材料的所有电弹性常数沿厚度方向按同一函数规律变化。梁长，宽，厚度，上表面受到均布载荷，自由端作用剪切载荷和力矩。 (1)其中是梯度函数，分别是弹性、压电和介电系数,是相应的材料参数在处的值 图1 功能梯度压电悬臂梁示意图当三维压电介质在轴方向的尺寸较其他两轴方向尺寸小得多，且全部载荷均匀作用在平面内且不沿轴方向变化时，问题可以简化为平面内的平面应力问题；而当三维压电介质在轴方向的尺寸较其他两轴方向尺寸大得多，且全部载荷均匀作用于平面内且不沿变化时，问题可以简化为平面内的平面应变问题。由于问题的相似性，本文只讨论平面应变问题。3.2基本方程设是位移分量 ,是应力分量,为应变分量，,是电场分量，是点位移分量，是电势 则有：电学平衡方程 (2) 力学平衡方程 (3) 本构方程 (4) (5)应力应变关系 (6) 电场与电势之间的关系 (7)应变协调方程 (8)3.3边界条件对于悬臂梁，边界条件如下：力边界条件： 在 处 (9) (10) (11) 电边界条件：在 和处 (12) (13) 固定端位移边界条件：在处 (14)3.4应力函数法引入艾利应力函数,满足 (15)将(5)，(7)和(15)式代入电平衡方程(2)，得到 (16)将(4)，(7)和(15)式代入应变协调方程(8)，得到 (17)弯曲应力主要是由弯矩产生的，切应力主要是由剪力产生的，而挤压应力主要是由荷载q产生的，现因q为常数，可以假设仅仅是y的函数 即于是有 而 假设 (18) (19)引入如下符号 将(18)(19)代到(16)和(17)得到下列关系 (20) (21) (22)其中求解(20)(22)式，可以得到和，由此求的出应力函数以及电势函数，由此可以求得应力、应变、电场和电位移为 (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)， (31) (32)其中 , , , , , .将(26)式对积分，得到(33)将(27)式对积分,得到 (34)将(28),(33)和(34)式代到(6)式的第三式可求得: (35) (36)(22)(36)式中各系数可由边界条件(9)(14)确定，见附录3.5算例考虑一功能梯度压电悬臂梁仅受均布压力作用的情况，假设梯度函数为，其中是梯度指数，在这里我们应分别取为0,1,2。在z=0处的材料常数为PZT-4材料的相应数据，如下表表1 PZT-4材料的物性参数弹性模量/ 压电常数/ 介电常数/ -5.52 16.1 39.1 -135 300 525 1.301 1.151 下面给出了梁的一些物理量随坐标z的变化情况，由此可见，无论是功能梯度压电梁（）还是均质压电梁，位移沿厚度方向几乎不发生变化，近似为常量。所有的物理量的变化曲线与均匀压电梁情况比都有一定偏离，而且梯度参数越大，偏离越大。对于功能梯度压电梁（），厚度方向呈非线性变化，而位移沿厚度方向保持为线性分布，但在处，当时，位移并不为零。法向应力和电位移分别比其他应力和电位移小的多，实际上可以忽略。上述这些特征在建立功能梯度压电梁的简化理论时可以考虑。 图2自由端位移u(0,z)/m 图3自由端位移w(0,z)/m 图4固定端应力(1,z)/Pa 图5固定端应力(1,z)/Pa 图6固定端应力 图7固定端电位移 图8固定端电位移4 全文总结与工作展望4.1总结利用半逆解法，本文给出了功能梯度压电材料悬臂梁二维弯曲问题的解析解。假设所有电弹性材料常数沿厚度方向按同一函数规律变化，获得了功能梯度压电梁在上表面受均布压力、自由端受集中力及集中力矩联合作用问题的力电耦合场。该解适用于任意梯度函数分布的情况，因此可以用来作为校验功能梯度压电材料梁简化理论以及近似数值方法的依据。所采用的方法还可用于求解其他边界条件下的功能梯度压电梁问题。4.2展望1、本文研究的主要方法采用的是半逆解法，在今后的研究过程中还可以尝试着用其他方法，比如：逆解法、数值分析法等等。2、开展对功能梯度材料相关结构的实验研究，从实验结果方面进一步验证本文得到的一些结果参 考 文 献1于涛,仲政.功能梯度压电臂梁的弯曲问题分析.中国科学G辑，2006,36(5):5185292向宏军,石志飞.功能梯度压电智能梁的特性分析及其应用.博士学位论文,北京:北京交通大学,2007 3黄彬彬,石志飞.梯度功能压电悬臂梁的几个解析解.复合材料学报，2002,19(4):1071134陈盈,石志飞梯度功能压电悬臂梁的一组基本解及其应用.固体力学学报,2004,25(2):2422455黄德进,丁皓江.各向异性功能梯度平面梁的弹性力学解.博士学位论文,浙江:浙江大学,20096仲政,吴林志.功能梯度材料与结构的若干力学问题研究发展.力学进展,2010,40(5):5295417方诗圣,许在明.功能梯度压电板的静力问题研究.硕士学位论文,合肥:合肥工业大学,2006 8 李华东,朱锡.均布载荷作用下功能梯度简支梁弯曲的解析解.力学与实践,2004,34(1):40469于涛,仲政.均布载荷作用下功能梯度悬臂梁弯曲问题的解析.固体力学学报,2006,27(1):162010向宏军,石志飞.梯度功能压电材料的一组参数识别.北京交通大学学报,2006,30(1):3139 11刘婷婷,石志飞.梯度压电悬臂梁的解析解及其逆问题.北方交通大学学报,2004,28(1):485012杨永波,陈盈.线性分布载荷作用下梯度功能压电悬臂梁的解.力学学报,2004,36(3):30631013王建哲,傅衣铭.压电功能梯度梁非线性静动力学行为研究.硕士学位论文,湖南:湖南大学，201214黄德进,丁皓江.线性分布载荷作用下功能梯度各向异性悬臂梁的解析解.应用数学和力学,2007,28(7):76476815张晓日，仲政. 功能梯度压电圆板自由振动问题的三维精确分析. 力学季刊，2005，26(1): 81-8616伍晓红, 沈亚鹏. 压电功能梯度板自由振动的三维解. 固体力学学报, 2003, 24(1): 75-8217仲政, 尚尔涛. 功能梯度热释电材料矩形板的三维精确分析. 力学学报，2003，35(5)：542-55218Kashtalyan M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates. European Journal of Mechanics, A/Solids, 2004, 23(5): 853-86419Yang J., Shen H. S. Vibration characteristics and transient response of shear-deformable functionally graded plates in thermal environments. Journal of Sound And Vibration, 2002, 255(3): 579-60220Shen H. S. Nonlinear bending response of functionally graded plates subjected to transverse loads and in thermal environments. International Journal of Mechanical Sciences, 2002, 44 (3): 561-58421Yang J., Shen H. S. Free vibration and parametric resonance of shear deformable functionally graded cylindrical panels. Journal of Sound and Vibration, 2003, 261(5): 871-89322Yang J., Kitipornchai S., Liew K. M. Non-linear analysis of the thermo-electro- mechanical behaviour of shear deformable FGM plates with piezoelectric actuators. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 59 (12): 1605-163223Kitipornchai S., Yang J., Liew K. M. Semi-analytical solution for nonlinear vibration of laminated FGM plates with geometric imperfections. International Journal of Solids and Structures, 2004, 41 (9-10): 2235-225724Huang X. L., Shen H. S. Nonlinear vibration and dynamic response of functionally graded plates in thermal environments. International Journal o