信号去噪方法研究毕业论文.doc

摘 要信息时代,科技飞速发展,信息资源中的信号应用日益广泛,信号的结构越来越复杂,为了更加清楚地分析和研究实际工程中信号的有用信息,对信号进行消噪处理是至关重要的。信号消噪后,在语音识别方面,可以提取有效的语音信号;在图像处理方面,可以观察到清晰的图像等等，总之,在实际的工程应用中,信号消噪具有重要意义。本文对基于小波变换的信号去噪方法进行了深入的研究分析,详细介绍了傅里叶变换和几种经典的小波变换去噪方法。结合相关的理论分析和Matlab实验结果，讨论了在一维与二维空间的去噪方法：分析了在一维空间阈值去噪过程中的小波的选取、阈值形式的选择以及阈值选择等因素对去噪效果的影响，介绍了模极大值去噪和小波阈值去噪等方法；探讨了在二维图像中，传统去噪与小波去噪的实现方法与比较。通过本文的研究，可以得出结论：小波去噪比传统去噪效果更佳；采用不同的阈值选取形式所得去噪效果不同；选择软阈值的去噪效果比硬阈值的去噪效果要好。关键词 小波变换，信号去噪，Matlab AbstractAt the information age, technology is rapidly developing ,The use of signal in the information resources becomes increasing, the signal structure is become more complex, in order to analysis and research the useful information of signal more clearly in the actual engineering , the signal de-noising processing is critical .After the signal is be denoised, in the area of speech recognition, you can extract a voice signal more effective , in the area of image processing, you can be observed clear images, and so, in short, the signal de-noising is of great significance in practical engineering applications.The subject deeply analysis the signal de-noising method based on wavelet transform, provide the knowledge of details in the Fourier transform and several classic wavelet transform denoising method. Combined with the theoretical analysis and Matlab experimental results it discussed denoising method in one-dimensional and two-dimensional space :it analysis the wavelet choice during the threshold denoising in one-dimensional space , the selection of threshold forms and threshold selection , it introduce the modulus maxima denoising method and wavelet threshold denoising method; it also discusses the method and the comparative in two-dimensional image between the traditional denoising and the wavelet denoising.Through this study, it can be concluded : wavelet denoising is better than the traditional denoising ; selecting the different thresholds form will obtain different denoising income; selecting soft threshold denoising is better than the hard threshold denoising.Keywords wavelet transform, signal denoising, Matlab目 录摘要 IAbstract II目 录 III第一章 绪论11.1 课题背景11.2 信号去噪的现状21.3 课题的意义和所做工作21.4 论文组织结构2第二章 傅里叶变换到小波变换的理论42.1 傅里叶变换42.2 加窗傅里叶变换52.3 小波变换62.3.1 连续小波变换72.3.2 离散小波变换82.3.3 多分辨率分析92.3.4快速小波变换算法( Mallat 算法 )102.4小波变换对于傅里叶变换的对比132.5 本章小结14第三章 一维信号的小波去噪研究153.1 基于模极大值去噪方法153.2 小波阈值去噪方法183.3 一维信号各种去噪方法的对比193.4 去噪实验193.4.1 小波阈值去噪法193.4.2 小波去噪与傅里叶变换去噪对比实验243.5 本章小结26第四章 二维图像信号的小波去噪方法研究274.1 图像去噪概述274.2 图像噪声分类284.3 空域去噪方法294.3.1均值滤波294.3.2中值滤波294.4 频域低通去噪方法304.5 基于小波变换的去噪方法314.6 图像去噪实验344.6.1小波阈值去噪法344.6.2均值去噪与中值去噪364.7 本章小结40第五章 结论与展望41结论41展望41致 谢42参考文献43第一章 绪论1.1 课题背景自从1822年傅里叶(Fourier)提出非周期信号分解概念以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中应用最广泛的分析手段和方法，傅里叶变换是一种纯频域的分析方法，在时域无任何定位性，即不能提供任何局部时间段上的频率信息。为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换并进一步发展为短时傅里叶变换。其基本思想是给信号加一个小窗，信号的傅里叶变换主要集中在对小窗内的信号进行变换，可以反映出信号的局部特征。短时傅里叶变换已经在许多领域得到了广泛应用。但是由于窗函数选定后，时频窗窗口的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变，不利于分析包含丰富频率成份的非平稳信号,而小波变换恰恰解决了这个问题。小波变换是80年代后期迅速发展起来的新兴学科，它是继傅里叶变换后的重大突破，克服了傅里叶变换和短时傅里叶变换的缺点，具有时域和频域局部化的特点，适合分析非平稳信号，可以由粗及精地逐步观察信号，适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并显示其成份，有“数学显微镜”的美称。小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。1984年法国的地质物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，首先引入了小波的概念对信号进行了分解。在上世纪80年代末与90年代初，Meyer、Grossman、Coifman和Daubechies等人建立了小波分析的理论框架。1988年比利时数学家I.Daubechies提出了具有紧支集光滑正交小波基Daubechies基。 Mallat巧妙地将多分辨率分析思想引入到小波函数的构造和小波变换分解与重构中，将小波理论与信号分解、重构紧密结合，研究了小波变换的离散化情况，并将对应的算法应用于图像的分解与重构，这就是著名的Mallat算法。1991年， Coifman和Wickerhauser等人提出小波包概念及算法，从此小波分析的理论和方法在科学技术界得到越来越广泛的应用1。小波分析是科学家、工程师和数学家们共同创造出来的，反映了大科学时代各学科之间综合、渗透的趋势，它是Fourier分析的新发展，小波分析已经成为科学发展的强大推动工具。小波变换在信号分析中的应用十分广泛，可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。1.2 信号去噪的现状信号的采集与传输过程中，不可避免会受到大量噪声信号的干扰，对信号进行去噪，提取出原始信号是一个重要的课题。Mallat 于 1992 年利用奇异信号和随机噪声在小波变换尺度空间中模极大值的不同传播特性，提出了一种基于模极大值的小波去噪算法，但是这种方法对奇异性大的信号效果比较好，而对奇异性小的信号效果不太理想。1994 年,斯坦福大学的D.L.Donoho 和 I.M.Johnstone在小波变换基础上提出了小波阈值去噪的概念，小波变换由于具有时频局部化，小波基选择的灵活性，计算速度快，成为信号去噪的一个强有力的工具，用小波去噪可以有效去除噪声而保留原始信号，从而改提高信号的信噪比2。Donoho 的硬阈值和软阈值去噪方法在实际中得到广泛的应用，而且也取得了较好的效果。但是硬阈值函数的不连续性导致重构信号容易出现 Pseudo-Gibbs（伪吉布斯）现象；而软阈值函数虽然整体连续性好，但估计值与实际值之间总存在恒定的偏差，具有一定的局限性。1.3 课题的意义和所做工作该课题对基于小波变换的信号去噪方法进行了深入的研究分析,详细介绍了傅里叶变换和几种经典的小波变换去噪方法。结合相关的理论分析和Matlab实验结果，讨论了在一维与二维空间的去噪方法：分析了在一维空间阈值去噪过程中的小波的选择、阈值形式的选择以及阈值选择等因素对去噪效果的影响，介绍了模极大值去噪的方法；探讨了在二维图像中，传统去噪与小波去噪的实现方法与比较。1.4 论文组织结构本文的正文部分主要分为五章：第一章 绪论 主要介绍课题的背景以及信号去噪方法的现状与劣势，以及本课题的意义与所做的工作。第二章 傅里叶变换到小波变换的理论本章对傅里叶与小波变换的发展史进行了简单的回顾，同时给出了关于小波分析的一些基本概念、定理及算法。第三章 一维信号的小波去噪研究本章内容主要是介绍了小波变换在一维信号去噪方法中的应用，主要介绍了模极大值与小波阈值去噪方法的研究，重点研究了阈值去噪方法中各个因素对于去噪效果的影响，并且通过小波阈值去噪的实验，给出了实验数据的支持。第四章 二维图像信号的小波去噪方法研究 本章内容主要是讲述了二维图像小波图像去噪方法的研究，介绍了空域去噪法、频域低通去噪法以及小波去噪法的算法，重点对比了空域去噪方法与小波去噪方法，通过实验给出了均值去噪、中值去噪和小波阈值去噪的实验结果与效果对比。第五章 结论及展望对本文所做的工作进行了总结，同时对小波去噪方法的发展进行了展望。第二章 傅里叶变换到小波变换的理论傅里叶变换一直是信号处理领域中应用最广泛的分析手段和方法，傅里叶变换是一种纯频域的分析方法，在时域无任何定位性，即不能提供任何局部时间段上的频率信息。小波变换能对几乎所有的常见函数空间给出简单的刻画，也能用小波展开系数描述函数的局部性质。小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特性，克服了传统Fourier分析的不足，由于小波分析对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节。小波分析与Fourier分析的区别在于：Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，时频分析在时频平面上表示非平稳信号；小波分析则联合时间尺度函数分析非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在时间尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基本特征。本章对傅里叶与小波变换的发展史进行了简单的回顾同时给出了关于小波分析的一些基本概念、定理及算法2。2.1 傅里叶变换傅里叶变换是众多科学领域(特别是信号处理、图像处理、量子物理等)里的重要的应用工具之一。从实用的观点看，当人们考虑傅里叶分析的时候，通常是指(积分)傅里叶变换和傅里叶级数。定义函数f (t)L1(R)的连续傅里叶变换定义为 （2.1）F(w)的傅里叶逆变换定义为 （2.2）为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。定义给定实的或复的离散时间序列f0，f1，fN1，设该序列绝对可积，即满足，称 （2.3）为序列 fn的离散傅里叶变换，称 （2.4）为序列X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)。在式(2.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶变换序列X(k)是以2p为周期的，且具有共轭对称性。若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)L2(0，2p)，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即 （2.5）傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可将对原函数f(t)的研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换F(w)的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特性。从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。2.2 短时傅里叶变换由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力，因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为 （2.6）其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为窗口函数，S(w，t)大致反映了时刻为t、频率为w时f(t)的“信号成分”的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在td，td、w e ，w e 这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，d和e分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高3。很显然希望d和e都非常小，以便有更好的时频分析效果，但海森堡(Heisenberg)测不准原理(Uncertainty Principle)指出，d和e是互相制约的，两者不可能同时都任意小，变换如图2.1所示。图2.1 短时傅里叶变换由此可见，短时傅里叶(STFT)虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，t、w只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说STFT实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率(即d要小)，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求比较高的频率分辨率(即e要小)，而短时傅里叶不能兼顾两者3。2.3 小波变换小波变换的分析窗口大小(窗口面积)固定但其形状可改变，小波变换是时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。这种自适应性正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，不仅可将图像的结构和纹理可以分别表现在不同分辨率层次上，而且具有检测边沿(局域突变)的能力，因此，利用小波变换在去除噪声时，可提取并保存对视觉起主要作用的边沿信息。由此可见，与傅里叶变换去噪方法相比，小波变换去噪方法具有明显的优越性。2.3.1 连续小波变换设y(t)L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅里叶变换为Y(w)。当Y(w)满足允许条件(Admissible Condition)： （2.7）我们称y(t)为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为 （2.8）其中，a为伸缩因子；b为平移因子。对于离散的情况，小波序列为 （2.9）对于任意的函数f(t)L2(R)的连续小波变换为 （2.10）其逆变换为 （2.11）小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形baDy，baDy×(±w0DY)/a，(±w0DY)/a，窗口中心为(b，±w0/a)，时窗和频窗宽分别为aDy和DY/a。其中，b仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时，小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点4。这便是它优于经典的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。2.3.2 离散小波变换计算机中的图像信息是以离散信号形式存放的，所以需要将连续小波变换离散化。而最基本的离散化方法就是二进制离散，一般将这种经过离散化的小波及其变换叫做二进小波和二进变换。需要注意的是这里的离散化都是针对连续的尺度因子和连续平移因子的，而不是针对时间的。这儿限制尺度因子总是正数。（1）尺度与位移的离散化对连续小波基函数尺度因子和平移因子进行离散化可以得到离散小波变换，从而减少小波变换系数的冗余度。在离散化时通常对尺度因子和平移因子按幂级数进行离散化，即取（为整数，但一般都假定），得到离散小波函数为： （2.12）其对应系数为： （2.13）（2）二进制小波变换二进小波变换是一种特殊的离散小波变换，特别地令参数，则有。该二进尺度分解的原理在二十世纪三十年代由 Littlewood 和 Paley 在数学上进行了研究证明。离散小波变换为： （2.14）离散二进小波变换为： （2.15）二维离散小波变换：我们考虑二维尺度函数是可分离的情况，也就是： （2.16）设是与对应的一维小波函数，则有： （2.17） （2.18） （2.19）以上三式就建立了二维小波变换的基础。2.3.3多分辨率分析Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis）的概念，从空间概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，并将在此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。小波变换是一种多分辨率分析的有利工具。所有的闭子空间都是由同一尺度的函数伸缩后平移系列张成的的尺度空间，称为多分辨率分析的尺度函数。尺度函数的傅里叶变换具有低通滤波的特性，小波函数的傅里叶变换具有高通滤波特性。这样利用尺度函数和小波函数构造信号的低通滤波器和高通滤波器。则可以对信号进行不同尺度下的分解4。多分辨率分析可形象地表示为一组嵌套的多分辨率子空间（如图2.2所示）。W1W2W3V3图2.2 嵌套的多分辨率子空间假设原信号的频率空间为，经第一级分解后被分解成两个子空间：低频的和高频的；经第二级分解后被分解成低频的和高频的。这种子空间的分解过程可以记为： （2.20）其中符号表示两个子空间的“正交和”；代表与分辨率对应的多分辨率分析子空间；与尺度函数相对应的小波函数的伸缩和平移构成的矢量空间是的正交补空间；各是反映空间信号细节的高频子空间，是反映空间信号概貌的低频子空间。由离散小波框架可得到子空间的以下特性： （2.21）这一结果表明：分辨率为20：1的多分辨率分析子空间可以用有限个子空间来逼近。多分辨率分析的频带逐级剖分还可以直观地表示为图2.3。图中假设原信号的总归一频带为，从图中可以看出，被逐级分解后各子空间所占频带的变化情况：、。0 V3 W3 W2 W1V2V1V0图2.3 多分辨率频带的逐级剖分2.3.4快速小波变换算法( Mallat 算法 )Mallat 算法的基本思想如下：假定已经计算出一函数或信号 在分辨率下的离散逼近，则在分辨率的离散逼近可以通过用离散低通滤波器对滤波获得5。令和分别是函数在分辨率逼近下的尺度函数和小波函数则其离散逼近和细节部分可分别表示为： （2.22） （2.23）其中和分别为分辨率下的近似分量分解系数和细节分量分解系数。根据 Mallat 算法的分解思想， 可以分解为近似分量 与细节分量 之和： （2.24）由式(3.8), (3.9)和式(3.10)可以得到 和的分解迭代公式如下： 和 （2.25）其中和同时，由(3.10)和(3.11)还可以得到和的合成迭代公式： （2.26）式(3.11)便是一维 Mallat 塔式分解算法，而式(3.12)是 Mallat 重构算法。它们分别如图 3.1(a)和(b)所示。 . （a） 分解 （b）重构图3.1 分解与重构我们可以把一维 Mallat 算法推广到二维的情况。二维 Mallat 分解算法为： （2.27）这里，是的低频近似分量部分，是水平方向上的高频部分，是垂直方向上的高频部分，而则是对角方向上的高频部分。相应的，二维 Mallat 重构算法可以表述如下: （2.28）二维 Mallat 分解与重构算法如图 3.2(a)(b) 图 2.4 二维 Mallat 算法：(a)分解；(b)重构 2.4 小波变换对于傅里叶变换的对比小波分析是傅里叶分析思想方法的发展和延拓。自产生以来，就一直与傅里叶分析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅里叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同5：（1）傅里叶变换的实质是把能量有限信号分解到以为正交基的空间上去；而小波变换的实质是把能量有限的信号分解到由小波函数所构成的空间上去。两者的离散化形式都可以实现正交变换，都满足时频域的能量守恒定律。（2）傅里叶变换用到的基本函数只有 ， 或，具有唯一性；小波分析用到的小波函数则不是唯一的，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析时有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题也是小波分析研究的一个热点问题，目前往往是通过经验或不断的实验，将不同的分析结果进行对照分析来选择小波函数。一个重要的经验就是根据待分析信号和小波函数的相似性选取，而且此时要考虑小波的消失矩、正则性、支撑长度等参数。（3）在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，但在时域中，傅里叶变换没有局部化能力，即无法从信号的傅里叶变换中看出的在任一时间点附近的性态。因此，小波变换在对瞬态信号分析中拥有更大的优势。（4）在小波分析中，尺度的值越大相当于傅里叶变换中的值越小。（5）在短时傅里叶变换中，变换系数主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗函数确定，则分辨率也就确定了。而在小波变换中，变换系数虽然也是依赖于信号在时间窗内的情况，但时间宽度是随尺度的变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析的能力。因此，小波变换也可以看成是信号局部奇异性分析的有效工具。（6）若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽则正比于中心频率，即: (为常数) (2.33)也就是滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构（Q为滤波器的品质因数，且.有Q=中心频率/带宽）。我们希望在对低频信号分析时，频域用高分辨率，在对高频信号分析时，频域用低分辨率，该等Q结构恰好符合该要求。（7）从框架角度来说傅里叶变换是一种非冗余的正交紧框架，而小波变换却可以实现冗余的非正交非紧框架。 2.5 本章小结本章主要对小波分析的理论基础进行了阐述，为后面将小波变换用于图像的边缘检测提供理论上的准备。本章先介绍了小波的概念、连续小波变化和离散小波变换的性质，然后针对数字图像中常用的多分辨分析进行了阐述，根据多分辨率理论介绍了著名的Mallet分解和重构算法，为小波变换分解重构做理论上的准备。第三章 一维信号的小波去噪研究噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收信息进行理解或分析的各种因素。不特别说明，本文的噪声都是指加性高斯白噪声。一个含噪声的一维信号模型可以表示为f(t)=s(t)+ e(t),其中s(t)为原始信号，f(t)为含噪声的信号，e(t)为噪声。小波去噪模型的基本依据是:(1)信号和噪声的小波系数在不同尺度上有着不同的特征表现；(2)对于空间不连续函数，大部分行为集中在小波空间的一小部分子集内；(3)噪声污染了所有的小波系数，且贡献相同；(4)噪声向量是高斯形式，它的正交变换也是高斯形式。我们可以将噪声看成是一个普通的信号,对它进行小波分析。如果它是一个平稳、零均值的白噪声，则它的小波分解系数是不相关的，并且高频系数的幅值随着分解层次的增加而很快地衰减，同时高频系数的方差也很快地衰减；如果是一个高斯噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布。当对噪声e进行小波分解时，它同样会产生高频系数，所以，一个含噪声信号的高频系数分量是有用信号f和噪声信号e的高频系数的叠加。Grossman证明白噪声的方差和幅值随着小波变换尺度的增加会逐渐减小, 而信号的方差和幅值与小波变换的尺度变化无关。根据白噪声和信号的不同小波变换特性, 就可以对信号进行降噪处理。用小波进行信号的消噪可以很好的保存有用信号中的尖峰和突变部分，而消噪的关键就是对小波系数的量化处理。具体说来，小波去噪的成功主要在于小波变换有如下特点10:(1)低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；(2)多分辨率特性。由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨率下根据信号和噪声分布特点进行去噪；(3)去相关性。因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；(4)选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择小波包、平移不变小波等，对不同相应场合，可以选择不同的小波母函数。3.1 基于模极大值去噪方法1992 年，Mallat 提出用奇异点模极大值法检测信号的奇异点，根据有用信号与噪声在奇异性上存在差异，采用多分辨率理论，由粗及精地跟踪各尺度 j 下的小波变换极大值来消除噪声。去噪原理为：信号的 Lipschitz 指数是大于 0的，噪声的 Lipschitz 指数 = 2 ，其中>0，因此噪声的 Lipschitz 指数小于 0，随着尺度的增大，信号和噪声所对应的小波变换系数分别是增大和减小。根据不同尺度间小波变换模极大值变化的规律，去除幅度随尺度的增加而减小的点，保留幅度随尺度增加而增加的点，然后再由保留的模极大值点用交替投影法进行重建，从而达到去噪的目的11。对含噪信号进行二进小波变换,一般尺度取为J = 4 ,然后寻找每一尺度上所有小波变换系数的模极大值点,对最大尺度2J 上的模极大值进行阈值处，若极大值点对应的幅值的绝对值小于阈值T ,则去掉该极值点; 否则予以保留。选取阈值T为：，其中A = ，即最大模极大值点的幅值, N 为预设的噪声功率, J 为所取的最大尺度, Z 为一常数, 经验表明,一般取为2 较好。设是尺度2J 上的模极大值点, 、是 前后相邻的2 个模极大值点, 是 传播到下一尺度2 j (1 j J - 1) 上的相应模极大值点,则对应的传播点将在区间,之间搜索。具体如下:1) 若存在模极大值点,且= ,且满足 和 符号相同,则是的传播点;2) 若不存在这样的点,则在区间,内,寻找与最接近的那个模极大值点作为,即满足:| | | - | | | | | | - | |（ ）;3) 若在区间内找到 的传播点满足| | 2 | , 或没有找到对应的传播点,根据Mallat理论,若在一个尺度下的某一区域内无极大值时,则在其它尺度这个区域不存在能被所用小波基检测出来的奇异性,因此,可将和作为噪声的模极大值点而剔除;4) 重复以上过程,直至所需的尺度。信号处理进程将搜索到的各尺度上的极值点，, , ,顺序存储,利用基于单调分段三次Hermite插值的重构算法重构小波系数,再进行小波逆变换,则得到去噪信号。理论上讲,可选取的最大尺度,但实际中一般只取35 ,虽然J 越大,信号和噪声表现的不同特性越明显,越有利于信噪分离;但另一方面,分解的尺度过大,也会引起有用信号的模极大值的衰减,从而使重构误差变大。所以二者要兼顾。另外,最大分解尺度J 应该与原始信号的信噪比SNR 有关,若SNR 较大,则J可取得稍微小一些即可分离噪声;而SNR 较小时,J 应取大一些才能更好的抑制噪声。而且小波函数的选取直接关系到运算结果,因此寻找一种既有较好去噪又能精确定位奇异点的小波函数很重要。再者由小波变换模极大值重构小波系数是一个困难的问题,选取不同的算法对去噪方法的计算量影响很大。3.2 小波阈值去噪方法噪声在的小波分解有以下特性：如果信号 n(t)是一个平稳、零均值的白噪声，则其小波分解系数是不相关的；如果信号 n(t)是一个高斯白噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布的；如果信号 n(t)是一个有色、平稳、零均值的高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯序列。对每一尺度，其系数也是一个有色、平稳序列。Don