一般条件期望的研究与应用 毕业论文.doc

学科分类号 0701 本科生毕业论文(设计)题目（中文）： 一般条件期望的研究与应用 （英文）： The Research and Application of General Conditional Expectation 学生姓名： 学号： 0809402024 系别：数学系 专业：数学与应用数学 指导教师： 起止日期：2011.122012.52012年 5 月 7 日怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计),是在指导老师的指导下,独立进行研究所取得的成果,成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外,论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。本科毕业论文（设计）作者签名：年 月 日目 录摘 要I关键词IAbstractIKey wordsII1前言12关于一般数学期望的说明22.1一般数学期望的定义32.1.1一般数学期望的性质43一般条件期望的定义与性质53.1条件期望的定义及相关概念53.1.1事件的条件期望53.1.2随机变量的条件数学期望63.1.3条件期望的性质74一般条件期望的应用104.1 用条件计算期望114.2 一般条件期望在实际问题中的应用144.3一般条件期望与预测185讨论20参考文献21致 谢22一般条件期望的研究与应用摘 要 一般条件期望在工程和预测论领域乃至经济和其他社会学科中有着十分广泛应用,尤其是在预测中的应用已经形成了一门实用的学科. 本文主要从一般的数学期望出发,归纳出一般条件期望的相关定义和性质,同时介绍了一些一般条件期望相关计算和实际应用.一般条件期望的定义和性质的研究能让我们更好的把握它的应用,对一般条件期望应用的把握,能让我们对事情做出最佳的选择和判断.一般条件期望有利于我们把握生活中的机会和预测未来. 关键词数学期望；条件分布；条件期望；预测The Research and Application of General Conditional Expectation Abstract General conditional expectation is widely used in engineering and prediction theory field and economic and other social science. Especially the application of General conditional expectation in Prediction has formed a practical subject. This article, from the general expectation of mathematics, mainly summarized the relative definitions and properties, and some of calculation and application of the general conditional expectation. The research of the definition and properties of the general conditional expectation can make us master the application of the general conditional expectation and let us make a best choice for things and judgment and grasp the opportunity in life and to predict the future.Key wordsMathematical expectation; conditional distribution; conditional expectation; prediction 1前言法国著名数学家和天文学家拉普拉斯侯爵（人称法国牛顿）曾经说过："我们发现概率论其实就是将常识问题归结为计算." 尽管许多人认为,这位对概率论的发展作出重大贡献的著名侯爵说话有点过头,然而今日,概率论已经成为几乎所有的科学工作者、工程师、医务人员、法律工作者以及企业家们手中的基本工具,这是一个不争的事实.事实上,现代人们不再问"是这样么?"而是问"这件事发生的概率有多大?"概率论中的期望值是研究自然界和人类社会中随机现象数量规律的分支.期望的理论和方法与数学的其他分支、自然科学、工程和人文及社会科学各个领域相互交叉渗透,已经成为这些学科中的基本方法.期望中的数学期望1又称为均值,是随机变量按概率的加权平均,表征其概率分布的中心位置.概率论发展的初期,研究的问题大多与赌博相关.有一赌者梅果向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的问题："两个赌徒相约赌若干局,谁先赢局就算谁赢,现在赌徒赢局,而赌徒赢局时赌博中止了,问应该如何分法？"帕斯卡将这个问题和他的解法寄给了费马,这是1654年7月29日的事情.费马也从不同理由出发给出了正确的解法,他们的解法首先都涉及到数学期望的概念,解法的基础都是按赢得整局赌博的概率的比例来分赌这个原则.帕斯卡在"关于算数三角形"一文中提出的一般解法是,令,于是赌徒与按来分.1657年荷兰数学家惠更斯是从帕斯卡差不多的理由出发解决了这个问题,即：如果某人在个等概率场合中有个场合可赢得,而有个场合可赢得,则他所期望的收入可用来估计.这是以比帕斯卡更为明显的形式导出的数学期望的概率.条件期望1是随机变量按条件概率的平均.研究随机事件之间的关系时,在已知某些事件发生的条件下来考虑另一些事件的统计规律是十分重要的.1933年,原苏联数学家柯尔莫戈罗夫给出了一般情形下的条件概率和条件期望的严格定义,这使得概率统计的一些重要内容建立在严密的基础上,例如数理统计中的充分统计量、贝叶斯统计都用到这一概率.马尔可夫过程2和鞅论2的整个内容更是离不开对条件概率和期望的研究.因而它已成为近代概率论和数理统计学中的重要的基本概念.条件数学期望是概率论中的一个重要概念.因为条件数学期望往往能够比较准确、清楚地表明各个随机变量之间的关系,某些随机过程还直接利用条件数学期望来定义.此外,条件数学期望在随机过程的预测理论、近代控制论等领域有着重要的应用.本文首先对一般数学期望做了相应的一些说明,之后由条件概率和条件分布函数引出条件期望,并对条件期望的的概念和相关性质做了详细的叙述和相应证明,以及对条件期望的应用、条件期望与测论的相关知识和实际应用做了一些说明.2关于一般数学期望的说明2.1一般数学期望的定义1定义2.1.1若的分布函数为,且则称 （2.1）为的数学期望.当为离散型随机变量,其分布列为则（2.1）式化为当为连续型随机变量,其概率密度为,则（2.1）式化为在近代概率论中,随机变量的数学期望应是在概率空间上对的积分,为此给出下面定义. 定义2.1.2设是概率空间上的一个随机变量,若在在上关于概率测度的积分存在,则称此积分为的数学期望,记为 （2.2）注意,上式右端的积分是一种在测度空间上的积分,它与普通微积分中遇到的在欧式空间上的积分是有区别的,这里仅给出一个形式而已.自然会产生这样一个问题：定义2.1与定义2.2是否等价?要回答这个问题,需要下面的一个定理.定理2.1.1（积分转化定理）设是概率空间 上的一个随机变量, 的分布函数为,又设为任意一个函数,则有 （2.3）上式两端一个存在,另一个也存在且两者相等.这个定理在概率论中起着重要作用.利用它可以把概率空间上的积分转化为欧式空间上的比较具体、易于研究的积分.利用这个定理,可以证明,当 时,定义2.1和定义2.2是等价的.事实上,若取, ,则有这表明,两种定义是等价的.关于数学期望,我们在上面已经给出了一般数学期望的定义,下面我们将归纳出数学期望的相关性质.2.1.1一般数学期望的性质3我们约定任意一个随机变量,并将其定义在概率空间上.（1） 为常数.（2） 线性性质：设为任意常数,则 ( 3 )若,独立,则 其中为函数,这个性质可以推广到个相互独立的随机变量场合.( 4 )若且存在,则.( 5 )若,且存在,则.( 6 )若存在,则.( 7 )若存在（）,则对任何,存在.( 8 )(不等式）若存在,则存在,且有另一种写法为：.定理2.1.24 ( 1 )设随机变量的分布函数为,是一元函数,若存在,则( 2 )设随机变量的分布函数为,是元函数,.若存在,则特别地,若为连续型随机变量,概率密度为,则.定理2.1.2的优越之处在于,求或时,不必求出或的分布,而直接借助于或的分布便可获得结果.3一般条件期望的定义与性质3.1条件期望的定义及相关概念3.1.1事件的条件期望5设为概率空间上的一个随机变量,为事件（即）,且关于事件的条件分布函数为.则定义关于的条件数学期望为 （3.1）若关于具有条件分布列,则（3.1）变为 （3.2）若关于具有条件分布概率密度,则(3.1)式变为 （3.3）注：若和独立,则.类似可以定义关于事件的条件数学期望.3.1.2 随机变量的条件数学期望设为概率空间上的两个随机变量,在条件下,的条件分布函数为为一元函数.定义3.1.1 在的条件下,的条件数学期望定义为 （3.4）若为离散型随机变量,的可能取值为则当时有 （3.5）若为连续型随机变量,联合概率密度为,的概率密度为,在条件下,的条件概率密度为,则当时有 （3.6）特别地,若取,则（3.4）、（3.5）式分别变为 这就是在条件下,的条件期望的计算公式,这种情况比较常用.根据条件数学期望定义知：当固定时,是一个常数；当变化时,就成为的一个的函数.若以代,则随机变量的函数,记为,即 （3.7）称为关于的条件数学期望6.在通常情况下,它是一个随机变量,当时,它取值为.类似的,我们可以定义等. 3.1.3 条件期望的性质7设以下为随机变量；为常数；均为函数；概率密度均以表示；所遇到的数学期望和条件数学期望都假定存在.性质1 若,则.证 由(3.6)式,把换成便得.推论1 推论2 如果,则性质2 证 设在条件下,条件概率密度分别记为 则易得 故 把换成便得证.性质3 若独立,则 证 由条件期望的定义,有 ,故.推论3 设是常数,则.证 因为为常数与任意随机变量独立,利用性质3便可以得证.性质4 .证 由定理2.1.2得 ,其中为的联合概率密度,证毕.性质5 （重期望公式）证 在性质4中,取,便可以得证.这个性质说明,条件期望的期望等于无条件期望.利用这个性质,还可以得到一些常用的公式.注意到是的函数,故利用定理2.1.2得 ,故取,又可得 .性质6 .证 在的条件下, 将换成便可得证.性质7 .证 在性质6中,取便可以得证.这个性质也可以写为 .由此还可以得 .性质8 .证 把视为,的函数,利用性质7便可以得证.性质9 .证 令,只要证明,在的条件下, .由条件期望的定义（3.6）式 ,但 代人前一式得 则8成立,证毕.4 一般条件期望的应用条件数学期望是概率论中的一个重要概念.因为条件数学期望往往能够比较准确、清楚地表明各个随机变量之间的关系,某些随机过程还直接利用条件数学期望来定义.此外,条件数学期望在随机过程的预测理论、近代控制论等领域有着重要的应用.但是条件数学期望应用的严格论述需要较多的测度论知识,这里仅从工程应用的角度出发,比较直观的应用条件数学期望的定义与相关性质.4.1 用条件计算期望 例4.1 设和独立同分布,其公共分布为二项分布,其参数为.计算在的条件下的条件期望. 解：首先计算的条件之下,的条件分布列,对于, 此处,我们利用了的分布列为二项分布.因此,在的条件下的分布为超几何分布.我们得到 类似地,设和的联合分布连续,其联合密度函数为,对于给定的,只要,的条件密度函数由下式给出： 很自然地,给定条件下,的条件期望由下式给出： 例4.2 和的联合密度函数其中,计算. 解：先计算条件密度 因此,在给定条件下的条件分布刚好为指数分布,其期望为,计算如下： 例4.3 设为随机变量,对给定的常数,记事件,若:（1）(设）；（2）.试求.解 （1）由且,知关于的条件概率密度为 故 （2） 由知,关于的条件概率密度为 式中,分别为的概率密度与分布函数,故 例4.43 设随机变量序列同分布,每个取非负值,且存在.又设随机变量取正整数值,且存在.假定与相互独立.令,试求.解 利用全数学期望公式以及独立性假定得 例4.5 设随机变量具有联合分布,为一元函数,证明： 证 剩下只需证明上式中的第二项等于0.依次利用一般条件期望的性质5,6,2,7可得 4.2 一般条件期望在实际问题中的应用例4.6 一矿工在井下迷了路,迷路的地方有三个门,从第一个门出来,经过3个小时后,可到达安全之处.若从第二个门出去,经过5小时后,他会回到原地.若从第三个门出来,经过7个小时后才会回到原地.假定工人在任何时候都是随机地选择一个门.问这个工人为了走到安全之处,平均需要多少时间. 解：设表示该矿工为到达安全之处所需要的时间,又设为他选择的门的号码,则 然而 由此可得 从而.例4.7 假设在某一天进入百货商店的人数是一个随机变量,其平均数为50.进一步假定这些顾客在店里花费的钱数是相互独立且同分布的随机变量,每一位顾客花费钱数的期望为8元,并且顾客花钱数与进入百货店的人数也是相互独立的.求那一天百货店营业额的期望值. 解:记为进入百货店的顾客人数,是顾客在店内的消费额,则百货店内的总消费额为. 但 （由与相互独立） 从而 因此,当天百货店的营业额的期望值为400元.例4.89 掷骰子的游戏是这样的,每次掷两枚骰子,开始时,如果得到的点数之和是2,3或12则玩者输,若得到的是7或11,则玩者赢,若得到是其他点数,则需继续玩下去,一直到掷出7或为止.若玩者最后得到的点数为7,则玩者输,若最后玩者得到的点数是,则玩者赢.记为掷骰子的次数,求：(1) ; (2)|玩者赢; (3)|玩者输. 解：记为每次掷骰子得到的两个骰子之和为之概率,易知 记为第一次掷出来的点数,则 其中 在上式中,若第一次得到,则玩游戏者必须继续进行直到出现或7为止,而掷骰子得次数服从几何分布,参数为,因此,掷骰子的期望次数为,其中+1表示加上第一次掷骰子,这样就有 现在计算,为此先计算游戏者赢的概率.将第一次掷骰子的结果作为条件, 上面等式中当,就是在后续掷骰子过程中,在7之前出现的概率,值为.现在需要确定完游戏者赢的条件下的条件概率,记,我们有 对于 这样 已知的条件之下,需要掷多少次骰子与最后的结果是赢还是输是相互独立的.（可以这样来看这个事实,在需要掷的次数为的条件下,是赢是输与已经掷了几次无关.)这样我们得到 虽然我们可以仿照计算一样,计算.但是由下面的公式 可立即求得 4.3一般条件期望与预测有时候,在实际问题中会遇到这种情况,某人观察到随机变量的值,基于的观察值,要对第二个随机变量的值进行预测值.通常用表示预测值,即当的值被观察到以后,就是的预测值.当然我们希望选择接近,选择的一个准则是极小化.现在我们指出这个准则之下,的最好预测值为.例4.910 命题1：证明：然而,对于给定的值,就是一个常数,因此 这样可得 对上面不等式两边期望即可得命题结论.注：此处可以给出一个更加直观的证明,当然,在证明的严格性上要差一点.很容易证明在时达到极小值.因此在我们没有任何数据可用时,在均方误差最小的意义下,的最优预测值就是.现在设得到了的观察值,此时预测问题与没有任何数据时的预测问题完全一样,只是原来的条件期望改为事件之下的条件期望.因此,的最优预测是在之下的条件期望.例4.10设身高为英寸的父亲,其儿子的身高具有正态分布,均值为,方差为4.现设父亲的身高为6英寸,试预测其儿子成长以后的身高. 解：设父亲的身高为,儿子的身高为,两者的关系可表示为 其中为正态分布的随机变量,独立于,并且期望值为0,方差为4.对于6英寸的亲,其儿子的身高最优预测为. 5 讨论本文给出了一般条件期望的定义和相关性质,尤其在给出一般条件期望的定义时,我们对不同条件期望给出了相应的定义.如关于事件的条件数学期望和关于随机变量的条件数学期望.关于事件的数学期望我们只从单一事件下的条件数学期望而非多条件下的数学期望.关于随机变量的条件数学期望我们从离散型随机变量和连续性随机变量来定义条件数学期望,同时我们也定义了随机变量函数的条件数学期望.然而,有些随机变量既不是离散型的,也不是连续性的,它们照样可以有期望值.在此我们举一个简单的例子.设为伯努利随机变量,其分布参数为.又设是一个上的具有均匀分布的随机变量,又假定相互独立.现在定义一个新的随机变量 显然,不是离散型的（它的取值范围为）,也不是连续型的 ().同样可以根据期望的定义，易求的.当然条件期望的应用是非常广阔且复杂的,尤其在预测论和工程方面,所涉及的知识也很多,可见Sheldon M.Ross(美）著的概率论及应用5中关于条件期望的应用,其中涉及到马尔可夫链和鞅论等知识,因此在本文中只有稍微的提及而没有太多分析与举例. 参考文献1中山大学数学系编.概率论与数理统计（上册）M:194-195.2中山大学数学系编.概率论与数理统计（下册）M:256-257.3叶尔骅与张德平著.概率论与随机过程M.人民邮电出版社,2005年:58-64. 4陈家鼎与郑忠国著.概率与统计M.北京大学出版,2007年:106-107.5Sheldon M.Ross(美）著.郑忠国与詹从赞译.概率论及其应用M.人民邮电出版社, 2007年:143-146.6Sheldon M.Ross(美）著.郑忠国与詹从赞译.概率论基础教程M.人民邮电出版社, 2007年:102-103.7华东师范大学数学系编.数学分析（下册）M.高等教育出版社,2007年:211-212.8华东师范大学数学系编.数学分析（上册）M.高等教育出版社,2007年:224-225.9约翰·黑格著.机会的数学原理M.高等教育出版社,2007年:99-100.10 华东师范大学数学系编.概率论与数理统计教程M.高等教育出版社，1984年.76-77.致 谢在此论文的撰写过程中,首先要特别感谢我的指导老师李玉梅老师的指导与督促,从课题的选择到最终课题的完成,李老师给予了我细心的指导和不懈的支持,在此次论文的撰写中,我被老师们严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作态度深深感染,用一颗积极热诚的心来完成了本篇论文.其次,我要感谢和我探讨论文的同学们,和同学们的积极讨论是我完成此论文不可缺少的后盾力量.最后我要感谢的是学术界的一些前辈们,因为本文的完成是在参考了大量文献资料的条件下,所以我在此向学术界的前辈们致以崇高的敬意.