一种基于向量图分析的迭代学习控制算法.doc
一种基于向量图分析的迭代学习控制算法摘要：本文基于向量图分析的思路，对迭代学习控制算法进行了研究。针对输出可测量的控制系统，提出了一种带角度修正的迭代学习控制算法。该算法利用同一三角形中角度和边长对应关系的原理，将相邻两次误差的大小关系转化为对应角度的大小关系，以此来判断控制量调整的方向，并用二者角度差二分之一的正弦对修正项进行“奖惩”，不断调整系统输入，使得系统输出能加快收敛到期望轨迹。仿真实例验证了该算法的有效性和优越性。关键词：迭代学习控制；向量图分析；角度修正An Algorithm of Iterative Learning Control Based on Vector Plots AnalysisABSTRACT: Based on vector plots analysis, the algorithm of iterative learning control is discussed in this paper. For the measurable-system output.,an algorithm of iterative learning control was proposed on the basis of the analysis in the previous. It used the geometric principle, that angle and side length of corresponding relationship in the same triangle, and transformed outputs error relationship into the relationship of the angel, to reward or penalize the learning law. By this means, the systems output converges to the desired trajectory. Some numerical simulations are given to show its efficiency and superiority.KEY WORDS: iterative learning control; vector plots analysis; algorithm design1 引言迭代学习控制适用于具有重复运动性质的被控系统，它的目标是实现有限区间上的完全跟踪任务。它通过对被控系统进行控制尝试，以输出信号与给定目标的偏差修正不理想的控制信号，使得系统的跟踪性能得以提高。由于迭代学习控制不依赖系统模型，且算法简单有效，而受到控制界的广泛关注。Arimoto11984年提出了简单的D型算法： （1）其中：为迭代次数，为常数增益阵。为输出误差的导数信号。自此，新算法的提出一直是迭代学习控制理论的研究热点。相继出现了PID的各种形式的算法2-4，以及高阶学习律5、基于脉冲响应的学习律6、带遗忘因子的学习律7等等。基于几何分析得到的算法具有与以上所介绍的算法完全不同的形式，但收敛速度和精度有明显提高8-13。本文基于文献14中奖惩机制的思想，提出了另一种算法，该算法利用角度关系比较误差大小，对控制量进行奖惩，以达到使控制量收敛于期望控制的目的，具有较快的收敛速度。2 几何分析及新算法构造考虑被控系统 （2）其中：为状态量， 输出量，控制量。为相应维数的确定性算子，为相应维数的矩阵。不失一般性，有界，是连续的，即： （4）我们所要解决的问题是：要求系统在给定的时间区间上跟踪期望输出。在期望控制不存在的情况下，要求通过设计迭代学习找到理想输入。对于预先给定的系统理想输出，通常用如下的学习算法来寻求控制系统的输入： （5）其中，是待定的学习增益矩阵，而是系统(2)的输入所对应的输出。我们的目的是使得收敛于零，使得系统输出收敛于期望轨迹。考虑、和，将三者看做向量，有如图1所示关系。图1 算法分析图Fig. 1 Algorithm analysis figure向量表示期望轨迹，表示第次迭代时的输出，表示第次的输出向量，则、分别为和，连接点和点。设，则其中，可以用于判断奖惩的指标，构造学习律：(6)由于同一三角形中，角度越大对应的边长就越长，反之，角度越小对应的边长就越小。故当时，说明输出是朝着误差减小的方向发展，学习律的修正项应该加强；当时，输出误差变大，系统输出正朝着不利的方向发展，学习律的修正项应该减弱；如果前后两次的误差相等，即，则，系统仍然采用普通的型算法。3 算法证明定义：定义误差函数的范数为引理：设、和是上的实值连续函数，且在上非负，如果 (7)那么 (8)另外，如果在上又是单调非减的，那么 (9)定理：如系统(2)中，参数满足：(1) ;(2) 有界；(3) 是确定性算子，存在唯一的期望输入使得系统输出跟踪到期望轨迹；则在学习律(6)的控制下，系统输出在有限时间区间0, 上一致收敛于期望轨迹。证明：两边取范数得：根据系统方程有由引理，得由控制律(6)：故两边同乘，取范数，有当适当大的时候，有所以序列收敛于零。即有：4 仿真研究为说明算法的有效性，考虑如下的二维控制系统 （7）其中：，.初始状态和初始控制都为零，期望轨迹为 ，仿真时间。普通型算法（5）仿真结果如图2所示，新构造的算法（6）仿真结果如图3所示 。图2(a)和图3(a)分别是两种算法在第19和第20次时关于期望轨迹第一分量的跟踪情况 ，而图2(b)和图3(b)分别是两种算法在第14和第15次时关于期望轨迹第二分量的跟踪情况。从图2和图3可以很清楚的看出，当改进算法(6)已跟踪到目标曲线时，算法(5)跟踪目标曲线还有很大误差。图2(a) 算法(5)跟踪正弦曲线Fig.2(a) Algorithm(5) tracking sinusoid图2(b) 算法(5)跟踪三次曲线Fig.2(b) Algorithm(5) tracking cubic curve图3(a) 算法(6)跟踪正弦曲线Fig.3(a) Algorithm(6) tracking sinusoid图3(b) 算法(6)跟踪三次曲线Fig.3(b) Algorithm(6) tracking cubic curve图4(a) 跟踪误差最大值变化曲线Fig. 4(a) Maximum tracking error curve of 图4(b) 跟踪误差最大值变化曲线Fig. 4(b) Maximum tracking error curve of 5 结论本文对迭代学习控制的算法进行了研究，利用向量图分析的方法，提出了一种新的迭代学习算法，该算法避开了以往囿于控制量之间向量关系的思路，通过比较前后两次误差的大小来判断控制量调整的方向。仿真结果可以看出：通过比较两次误差的大小实现对型算法中修正项的奖惩，以达到提高收敛速度的效果的方法是完全可行的。参考文献：1 ARIMOTO.S,KAWAMURA S,MIYAZAKI F. Bettering operation of robotics by learningJ. J of Robotic system, 1984, 12(2): 123-140.2 ARIMOTO S. learning control theory for robot motionJ. Int J of Adaptive Control Signal Processing, 1990, 4(4): 543-564.3 孙明轩，黄宝健，张学智. 任意初态下不确定时滞系统的PD型迭代学习控制J. 控制理论与应用，1998. 15(6): 853-858.4 PARK K H, BIEN Z, HUANG D H. A study on the robustness of a PID-type iterative learning controller against initial state errorJ. J of System Science, 1999, 30(1): 49-59.5 BIEN Z, HUN K H. Higher-order iterative learning control algorithmJ. IEE Pro D-Control Theory and Applications, 1989, 136(3): 105-112.6 孙明轩，黄宝健. 迭代学习控制. 北京：国防工业出版社，1999.7 HEINZINGER G, FENWICK D, PADEN B, et al. Stability of learning control with disturbances and uncertain initial conditions adaptive filtering theoryJ. IEEE Trans on Automatic Control, 1992, 37(1): 110-114.8 张君海，石成英，林辉. 基于向量图分析的一种迭代学习控制算法及其鲁棒性J. 控制理论与应用，2007. 24(1): 155-159.9 谢胜利，田森平，谢振东. 基于向量图分析的迭代学习控制非线性算法J. 控制理论与应用，2004. 21(6): 951-955.10 谢胜利，田森平，谢振东. 基于几何分析的迭代学习控制快速算法J. 控制理论与应用，2003. 20(3): 419-422.11 田森平，谢胜利，谢振东. 一类基于几何分析的迭代学习控制算法J. 控制与决策，2004. 19(9): 1038-1041.12 Xie Sheng-Li, Tian Sen-Ping, Xie Zhen-Dong. New Iterative Learning Control Algorithms Based on Vector Plots AnalysisJ, 2004, 30(2): 161-168.13 Tian Senping, Zhou Bo, and Tian Huiping. A class of Nonlinear ILC Algorithms Based on Vector Plots Analysis. 2011 International Conference on System Science, Engineering Design and Manufacturing Informatization. 2011. Vol, 164-167.14 张君海，石成英，林辉. 一种带角度修正的迭代学习控制算法J. 系统仿真学报，2006. 18(2): 602-604.
