PIDDMC算法及其在液位控制系统中的应用.doc

PID-DMC算法及其在液位控制系统中的应用摘 要预测控制具有超前、大范围预测的特性，这使得它在所有控制思想和策略中成为一个非常引人注目的亮点，给大迟延、大惯性过程控制带来希望，因而成为目前的高级控制算法研究中的一大热点。基于此，本论文提出了一种新的带PID校正环节的DMC算法，通过与传统的PID控制和DMC控制相比较，在论述其原理的基础上，将其应用于实际液位控制系统，实现了系统在模型失配明显的情况下对一阶，二阶液位对象的有效控制。由于控制阀的非线性特性使得本实验中的液位对象具有时滞弱非线性，常规DMC算法控制存在明显的模型失配问题并影响了系统的控制性能。为此在常规DMC算法中引入PID环节，从而得到了一种新的PID-DMC算法。通过MATLAB仿真，得出的实验结果表明：该算法能有效改善系统在模型失配情况下的控制性能，并且算法简单易行，在线计算量小。关键词：液位控制系统，动态矩阵控制，模型失配，PID-DMC算法PID-DMC Algorithm and its Application to theWaterlevel Control SystemAbstractThe forecast control has in advance, the wide range forecast characteristic, this causes it becomes an extremely noticeable luminescent spot in all controls thought and the strategy, for the big delay, the big inertia process control brings the hope, thus becomes present in a senior control algorithm research big hot spot. Based on this, the present paper proposed one kind new brings PID to adjust the link the DMC algorithm, through compares with the traditional PID control and the DMC control, in elaborates in its principle foundation, applies it in the actual fluid position control system, has realized the system in the model unbalance obvious situation to the first order, two steps fluids position object active control. Because the control valve nonlinear response enables in this experimental the fluid position object to have the time lag small nonlinearity, the conventional DMC algorithm control existence obvious model unbalance question and has affected the system control performance. Introduces the PID link for this in the conventional DMC algorithm, thus obtained one kind of new PID-DMC algorithm. Through the MATLAB simulation, the experimental result which obtains indicated that, This algorithm can effectively improve the system in model unbalance situation control performance, and the algorithm easy and feasible, on-line compute the quantity is small.Key words：Fluid position control system; Dynamic matrix control; Model unbalance; PID-DMC algorithm目 录摘 要IABSTRACTII1 绪论11.1 工业过程控制领域的发展过程与现状简介11.2 PID控制技术的发展概况31.3 预测控制的产生、发展及特征51.3.1 预测控制的基本思想51.3.2 非参数模型预测控制的一般特征71.4 论文主要研究的内容82 PID控制器及DMC算法的介绍92.1 PID控制器的介绍92.1.1 PID控制器的基本原理92.1.2 数字PID控制算法102.2 DMC算法的介绍122.1.2 预测模型122.2.2 滚动优化132.2.3 反馈校正153 液位控制系统介绍183.1 一阶液位控制系统183.2二阶液位控制系统204 MATLAB仿真的研究234.1一阶液位对象的仿真234.2 二阶液位对象的仿真25结 论27致 谢28参考文献29附录（MATLAB仿真程序）301 绪论1.1 工业过程控制领域的发展过程与现状简介在现代工业控制中, 过程控制技术是一历史较为久远的分支。在本世纪30 年代就已有应用。过程控制技术发展至今天, 在控制方式上经历了从人工控制到自动控制两个发展时期。在自动控制时期内，过程控制系统又经历了三个发展阶段, 它们是：分散控制阶段, 集中控制阶段和集散控制阶段。    从过程控制采用的理论与技术手段来看，可以粗略地把它划为三个阶段：开始到70 年代为第一阶段，70 年代至90 年代初为第二阶段，90 年代初为第三阶段开始。其中70 年代既是古典控制应用发展的鼎盛时期，又是现代控制应用发展的初期，90 年代初既是现代控制应用发展的繁荣时期，又是高级控制发展的初期。第一阶段是初级阶段，包括人工控制，以古典控制理论为主要基础，采用常规气动、液动和电动仪表，对生产过程中的温度、流量、压力和液位进行控制，在诸多控制系统中，以单回路结构、PID 策略为主，同时针对不同的对象与要求，创造了一些专门的控制系统，如：使物料按比例配制的比值控制，克服大滞后的Smith 预估器，克服干扰的前馈控制和串级控制等等，这阶段的主要任务是稳定系统，实现定值控制。这与当时生产水平是相适应的。     第二阶段是发展阶段，以现代控制理论为主要基础，以微型计算机和高档仪表为工具，对较复杂的工业过程进行控制。这阶段的建模理论、在线辨识和实时控制已突破前期的形式，继而涌现了大量的先进控制系统和高级控制策略，如克服对象特性时变和环境干扰等不确定影响的自适应控制，消除因模型失配而产生不良影响的预测控制等。这阶段的主要任务是克服干扰和模型变化，满足复杂的工艺要求，提高控制质量。1975 年，世界上第一台分散控制系统在美国Honeywell 公司问世，从而揭开了过程控制崭新的一页。分散控制系统也叫集散控制系统，它综合了计算机技术、控制技术、通信技术和显示技术，采用多层分级的结构形式,按总体分散、管理集中的原则，完成对工业过程的操作、监视、控制。由于采用了分散的结构和冗余等技术，使系统的可靠性极高，再加上硬件方面的开放式框架和软件方面的模块化形式，使得它组态、扩展极为方便，还有众多的控制算法(几十至上百种) 、较好的人机界面和故障检测报告功能。经过20 多年的发展，它已日臻完善，在众多的控制系统中，显示出出类拔萃的风范，因此，可以毫不夸张地说，分散控制系统是过程控制发展史上的一个里程碑。第三阶段是高级阶段，目前正在来到。从八十年代以来，模糊控制技术得到极大的发展并在社会生活的许多领域都有成功的应用。一个设计优秀的模糊控制系统，能体现出出色的控制品质。从本质上说，一个模糊控制器所能完成的工作是对某种优秀控制规律(如现场控制工程师的专家知识)的模糊逼近。以如下这条在模糊控制系统中常见的产生式规则为例:if E is E ； and is ；then is 这条规则实现的是对某种双入单出的控制规律的模糊逼近。但在具体构造模糊控制器时，一方面需要对己存在的如现场专家知识等进行某种处理以保证知识的正确性和有效性;另一方面对处理完的规则集，还须保证规则集满足如完整性(Completeness)，一致性(Consistency)，连续性(Continuity),互含性(Interaction)等要求，这样，便需要作另外一种更为专业的处理。在设计许多过程控制系统时，这些处理是非常复杂和耗时的。需要有专门的知识且工作量较大。所有这些都限制了模糊控制技术广泛和经济地在过程控制领域中的实际应用。几十年来，过程控制策略与算法出现了三种类型：简单控制、复杂控制与先进控制。通常将单回路PID控制称为简单控制。它一直是过程控制的主要手段。PID控制以经典控制理论为基础，主要用频域方法对控制系统进行分析与综合。目前，PID控制仍然得到广泛应用。在许多DCS和PLC系统中，均没有PID控制算法软件，或PID控制模块。    从20世纪50年代开始，过程控制界逐渐发展了串级控制、比值控制、前馈控制、均匀控制和Smith预估控制等控制策略与算法，称之为复杂控制。它们在很大程度上，满足了复杂过程工业的一些特殊控制要求。它们仍然以经典控制理论为基础，但是在结构与应用上各有特色，而且在目前仍在继续改进与发展。    20世纪70年代中后期，出现了以DCS和PLC为代表的新型计算机控制装置，为过程控制提供了强有力的硬件与软件平台。    从20世纪80年代开始，在现代控制理论和人工智能发展的理论基础上，针对工业过程控制本身的非线性、时变性、耦合性和不确定性等特性，提出了许多行之有效的解决方法，如解耦控制、推断控制、预测控制、模糊控制、自适应控制、人工神经网络控制等，常统称为先进过程控制。近十年来，以专家系统、模糊逻辑、神经网络、遗传算法为主要方法的基于知识的智能处理方法已经成为过程控制的一种重要技术。先进过程控制方法可以有效地解决那些采用常规控制效果差，甚至无法控制的复杂工业过程的控制问题。实践证明，先进过程控制方法能取得更高的控制品质和更大的经济效益，具有广阔的发展前景。预测控制是从上世纪七十年代开始发展起来的一种控制技术，在国外曾成功应用于化工生产的某些过程控制中。该算法是一种基于模型的优化控制算法，但对模型的精确度要求不高，从工业生产过程中直接测取如被控对象的阶跃响应或脉冲响应来作为对象模型即可达到满意的效果。加之在预测控制算法中采用了滚动优化、反馈校正等方法，从理论上保证了整个算法应具有的优秀的鲁棒性、准确性和及时性。在一些工业过程中成功应用的实例也确实表明预测控制具有对模型精度要求低、在线计算方便、控制效果好等特点，尤其对于一些大时间常数或滞后特性较严重的被控对象更是如此。总之，由于工业过程控制对象大都存在着随机性，时变性，分布参数性等特点，或者系统设计和实现经济性的原因，真正能在实际中成功应用的控制理论和控制算法并不是很多。1.2 PID控制技术的发展概况在工业过程控制中，PID控制是历史最悠久、生命力最强的控制方式。它是迄今为止最通用的控制方法。大多数反馈回路用该方法或其较小的变形来控制。我们今天所熟知的PID控制器产生并发展于1915-1940年期间。尽管自1940年以来，许多先进控制方法不断推出，但PID控制器以其结构简单，对模型误差具有鲁棒性及易于操作等优点，仍被广泛应用于冶金、化工、电力、轻工和机械等工业过程控制中。据日本电气计测器工业会先进控制动向调查委员会1990年统计，在日本有91%的控制回路采用的是PID调节器控制。在美国，据控制工程杂志(Control Engineering)编辑K.J.Kkompass估计，有90%以上的工业控制器采用的是PID调节器。而在我们国家现在PID调节器的应用就更加普遍。虽然随着控制理论的发展和控制手段的更新，许多基于现代控制理论的新型控制器不断出现，但PID控制仍是最重要的控制方式。PID调节器的特点是原理简单、适应性强、鲁棒性强，最突出的特点在于它不依赖对象的精确模型，可以解决工业过程精确建模的困难。而且其应用时期较长，控制工程师们已经积累了大量的PID控制器参数的调节经验。PID调节器的发展经历了液动式、气动式、电动式几个阶段，目前正由模拟控制器向着数字化、智能化控制器的方向发展；这些数字化、智能化的控制器有着传统的模拟控制器所无法比拟的优点，如:可以灵活的改变控制参数；可以灵活的改变控制策略等。PID控制器有几个重要功能：它提供一种反馈控制，通过积分作用可以消除静态偏差，通过微分作用可以预测未来。PID控制器能解决许多控制问题，尤其在动态过程是良性的和性能要求不太高的情况下。PID控制不仅是分布式控制系统的重要组成部分，而且嵌入在许多有特殊要求的控制系统中。在过程控制中，90%以上的控制回路采用PID类型的控制器。PID控制器应用如此广泛主要由以下几个原因:1.PID控制器有很长的应用历史，只要设计和参数整定合适，在许多应用场合都能获得较满意的效果。2.由于PID控制器有一个相对固定的结构形式，一般仅有三个参数需要设置，不需要精确的数学模型；并且PID控制器操作简单、维护方便，对设备和技术人员的要求不高；因而在现有控制系统中使用容易。3.随着微处理器性价比的不断提高，一些优于传统PID控制的复杂控制算法能够得到实现。控制技术的迅速发展导致了控制系统的组合化。然而在这种情况下，为什么PID控制器依然能在过程工业中得到广泛应用？而PID控制被用于最底层；上层多变量控制器给底层的PID控制器提供设定值。另一个原因是负责实际操作的技术人员要掌握复杂控制系统的原理和结构比较难。4.借助于电子管、半导体和集成电路技术，PID控制器发生了许多变化，从过去的气动式向今天的微处理器方向发展。微处理器的出现对PID控制器产生了重大影响，实际上今天几乎所有的PID控制器都是建立在微处理器基础上。这样也就给传统PID控制器提供了增加一些新功能的可能，这些新功能主要包括自整定、增益调度和自适应。自整定技术对于工程师设置控制器参数非常有用，尤其体现在一些复杂回路的控制器参数整定上。随着工业的发展，对象的复杂程度不断加深，尤其对于大滞后、时变的、非线性的复杂系统:其中有的参数未知或缓慢变化；有的带有延时或随机干扰；有的无法获得较精确的数学模型或模型非常粗糙。加之，人们对控制品质的要求日益提高，常规PID控制的缺陷逐渐暴露出来。对于时变对象和非线性系统，传统的PID控制更是显得无能为力。因此常规PID控制的应用受到很大限制和挑战。人们在对PID应用的同时，也对其进行了各种改进。主要体现在两个方面:一是对常规PID本身结构的改进，即变结构PID控制。另一方面，模糊控制、神经网络控制和专家控制是目前智能控制中最为活跃的领域，它与常规PID控制相结合，扬长避短，发挥各自的优势，形成所谓智能PID控制。这种新型控制器已引起人们的普遍关注和极大的兴趣，并已得到较为广泛的应用。它具有不依赖系统精确数学模型的特点，对系统参数变化具有较好的鲁棒性。1.3 预测控制的产生、发展及特征预测控制是70年代后期提出来的。到80年代，预测控制的研究和应用有了很大的发展。现在，预测控制算法己经有出现了多种商业化的软件。包括有建立预测模型方便；采用滚动优化策略；采用模型误差反馈校正。这几个特征反映了预测控制的本质，也正是这个控制算法和其他算法的不同之处。 预测控制伴随着工业的发展而来，所以，预测控制与工业生产有着紧密的结合，火电厂钢球磨煤机是一个多变量、大滞后、强耦合的控制对象，其数学模型很难准确建立。而目前国内火电厂所装设的控制器大部分是PID控制器。由于系统各变量耦合严重，PID控制器很难适应，致使钢球磨煤机不能投入自动运行。用8051单片机加上A/D8路接口及其接口电路，再加上控制键和显示器，组成了预测控制器。在采用了MAC算法之后，就能够弥补PID控制器的不足。 由于预测控制具有适应复杂生产过程控制的特点，所以预测控制具有强大的生命力。可以预言，随着预测控制在理论和应用两方面的不断发展和完善，它必将在工业生产过程中发挥出越来越大的作用，展现出广阔的应用的前景。1.3.1 预测控制的基本思想预测控制是近年来发展起来的一类新型的计算机控制算法。由于它采用多步测试、滚动优化和反馈校正等控制策略，因而控制效果好，适用于控制不易建立精确数字模型且比较复杂的工业生产过程，所以它一出现就受到国内外工程界的重视，并已在石油、化工、电力、冶金、机械等工业部门的控制系统得到了成功的应用。什么是预测控制呢? 下面简要地介绍它的基本思想。在图1.1中，初步显示出了预测控制算法的基本思想，即通过对控制系统历史行为的评估，对被控对象未来输出的预测，以及采取一系列措施，使得被控对象的输出尽.丁能地沿着人为设定的轨迹进行调整。图1.1预测控制的基本思想图图1.1中各符号的含义如下: 目标设定值 设定的被控制对象的期望输出轨迹值k 当前时刻u(k) 控制系统在当前时刻发出的控制指令L 控制步程P 预测步程根据己知的对象模型、己知的未来L个控制指令，就可以预测被控对象的模型在未来p个时刻的输出。预测控制算法就是根据某种算法及被控对象的模型，计算出被控制对象在未来L个控制输出量，使得被控对象未来的p个输出与设定的p个期望输出尽可能地接近。预测控制的算法主要有两类。一类基于非参数模型(阶跃响应或脉冲响应)，通过输出预测，反馈校正和滚动优化，计算当前时刻的控制量，使被控对象输出响应符合预先设定的轨迹。它的主要代表是动态矩阵控制(DMC ,dynamic matrix control)和模型算法控制(MAC ,model algorithmic control)。另一类，则是建立在模型辨识和最小控制基础上的广义预测控制(GPC ,generalized predictive control )。Brosilow于1978年提出推理控制(IC )，Garica于1982年提出内部模型控制(简内模控制，简称IMC)，他们分别从结构设计的角度提出了一类新算法。进一步分析表明，预测控制与这类新的算法在结构上有着密切的联系，预测控制具有内模控制结构。应用内模控制结构来分析控制系统有利于从结构设计的角度来理解预测控制的运行机理，可以深入地利用它来分析预测控制系统的闭环特性、稳定性和鲁棒性。内模控制结构为预测控制的深入研究提供了一种新方法，有力地推动了预测控制的进一步发展。此外，利用内模控制结构还可以找出各类预测控制算法的内在联系，导出它们的统一格式，为进一步研究各类预测控制算法提供了方便。预测控制形式多样，但在发展过程中都或多或少地吸取了其它算法的优点。1.3.2 非参数模型预测控制的一般特征基于脉冲响应或阶跃响应这一类的非参数模型设计的预测控制算法有下列三个基本特征:1.建立预测模型方便。用来描述过程动态行为的预测模型可以通过简单的实验得到，不需要深入了解过程的内部机理，也不需要通过复杂的系统辨识这类建模过程运算，即可获得模型。此外，山于采用了非最小化形式描述的离散用卷积和模型。信息冗余量大，有利于提高系统的鲁棒性。2.采用滚动优化策略。预测控制算法与通常的离散最优控制算法不一样，不是采用一个不变的全局优化口标，而是采用滚动式的有限时域优化策略。这意味着优化过程不是一次离线进行，而是在线反复进行优化计算、滚动实施，从而使模型失配、时变、干扰等引起的不确定性能及时得到弥补，提高了系统的控制效果。3.采用模型误差反馈校正。由于实际系统中存在非线性、时变、模型失配、干扰等因素的影响，在预测控制算法中，基于不变模型的输出，不可能与系统的实际输出完全一致，而在滚动实施优化过程中，又要求模型输出与系统实际输出保持一致，为此，在预测控制算法中，采用检测实际输出与模型输出之间的误差进行反馈校正来弥补这一缺陷，使滚动优化建立在预测模型输出反馈校正的基础上。这种利用实际信息对被控对象的输出进行校正，是克服系统中存在的不确定性、提高系统控制精度和鲁棒性的有效措施。1.4 论文主要研究的内容动态矩阵控制（DMC）是一种适用于渐进稳定的线性或弱非线性对象的预测控制算法，目前已广泛应用于工业过程控制。它基于对象阶跃响应系数建立预测模型，因此建模简单，同时采用多步滚动优化与反馈校正相结合，能直接处理大时滞对象，并具有良好的跟踪性能和较强的鲁棒性。但是DMC算法在实际控制中存在一系列问题，模型失配是其中普遍存在的一个问题，并会不同程度地影响系统性能。DMC在实际控制中产生模型失配的原因主要有两个。一是诸如建模误差、环境干扰等因素，它会在实际控制的全程范围内引起DMC的模型失配。二是实际系统的非线性特性，这一特性使得被控对象的模型发生变化，此时若用一组固定的阶跃响应数据设计控制器进行全程范围的控制，必然会使实际控制在对象的非建模区段内出现模型失配。针对DMC模型失配问题，已有学者进行了大量的研究，并取得了丰富的研究成果，其中有DMC的鲁棒稳定性研究，基于DMC控制参数在线辨识的智能控制算法以及基于模型在线辨识的自校正控制算法等。但这些方法计算量太大。基于上述背景，为解决在用常规DMC算法控制液位对象时出现的模型失配问题，本文给出了一种新的带PID校正环节的DMC算法。该算法简单易行，在线计算量小，实验结果将表明该算法的有效性及优越性。2 PID控制器及DMC算法的介绍2.1 PID控制器的介绍2.1.1 PID控制器的基本原理PID (Proportional Integral and Differential)控制器是一种基于“过去” 、“现在”和“未来”信息估计的简单算法。在控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图如图2.1所示。系统由PID控制器和被控对象组成。图2.1常规PID控制系统原理框图PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差如下: （2.1）将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称作PID控制器。其控制规律为: （2.2）或写成传递函数形式: （2.3）式中 比例系数； 积分时间常数； 微分时间常数。2.1.2 数字PID控制算法由于计算机技术的发展，数字PID控制器将逐渐取代传统的模拟PID控制器。数字PID控制算法通常分为位置式PID控制算法和增量式PID控制算法。一、位置式PID控制算法由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，因此式(2.2)中的积分和微分不能直接使用，需要进行离散化处理。按模拟PID控制算法的算式(2.2)，现以一系列的采样时刻点kT代替连续时间t，以和式代替积分，以增量代替微分，则可作如下近似变换: （2.4）其中:T是采样周期。 显然，上述离散化过程中，采样周期T必须足够短，才能保证有足够的精度。为了书写方便，将简化表示为等，即省去T。将式(2.4)代入式(2.2)可得离散的PID表达式 （2.5） （2.6）其中：k采样序号，k = 0,1,2,；第k次采样时刻的控制器输出值；第k次采样时刻的输入偏差值；第k-1次采样时刻的输入偏差值；积分系数，；微分系数，； 由于控制器的输出直接去控制执行机构(如阀门)，的值和执行机构的位置(如阀门开度)是一一对应的，所以通常(2.5)或(2.6)称为位置式PID控制算法。 这种算法的缺点是，由于全量输出，所以每次输出均与过去的状态有关，计算时要对进行累加，计算机运算的工作量大。而且，因为计算机的输出对应的是执行机构的实际位置，如计算机出现故障，的大幅度变化，会引起执行机构的位置的大幅度变化，这种情况往往是生产实践中不允许的，在某些场合，还可能造成重大的生产事故，因而产生了增量式PID算法。二、增量式PID控制算法当执行机构需要的是控制量的增量(如驱动步进电机)时，可由式(2.6)导出提供增量的PID控制算法。根据递推原理可得 （2.7）用式（2.6）减去式（2.7），可得 （2.8）其中：式（2.8）称为增量式PID控制算法。可以看出，由于一般计算机控制系统采用恒定的采样周期T，一旦确定了、和，只要使用前后三次测量值的偏差，即可由(2.8)求出控制增量。采用增量式算法时，计算机输出的控制增量对应的是本次执行机构位置(如阀门开度)的增量。对应阀门实际位置的控制量，目前采用较多的是利用算式通过执行软件来完成。增量式控制虽然只是在算法上作了一点改进，但却带来了不少优点:(1)、由于计算机输出增量，所以误动作时影响小，必要时可用逻辑判断的方法消除。(2)、手动/自动切换时冲击小，便于实现无扰动切换。此外，当计算机发生故障时，由于输出通道或执行装置具有信号的锁存作用，故依然能保持原值。(3)、算式中不需要累加，控制增量的确定仅与最近三次的采样值有关，所以较容易通过加权处理而获得较好的控制效果。2.2 DMC算法的介绍动态矩阵控制（Dynamic Matrix Control）是一种基于对象阶跃响应的预测算法，它适用于渐进稳定的线性对象。对于弱非线性对象，可在工作点处首先线性化；对于不稳定对象，可先用常规PID控制使其稳定，然后再使用DMC算法。DMC具有预测控制的基本原理，包括三部分。2.1.2 预测模型在DMC中，首先需要测定对象单位阶跃响应的采样值，,其中，T为采样周期。对于渐进稳定的对象，阶跃响应在某一时刻后趋于平稳，以至与的误差和量化误差及测量误差有相同的数量级。因而可以认为近似等于阶跃响应的稳态值。这样，对象的动态信息就可以近似用有限集合加以描述。这个集合的参数构成了DMC的模型参数，向量称为模型向量，N则称为建模时域。虽然阶跃响应是一种非参数模型，但由于线性系统具有比例和叠加性质，故利用这组模型参数，已足以预测控制对象在未来的输出值。在K时刻，假定控制作用保持不变时，对未来N个时刻的输出有出始预测值（例如在稳态起动时便可取），则当k时刻控制有一个增量时，即可算出在其作用下未来时刻的输出值： （2.9）同样，在M个连续的控制增量，作用下未来各时刻的输出值为： （2.10）其中，y的下标表示控制变量变化的次数，表示在k时刻对时刻的预测。显然，在任一时刻k，只要知道了对象输出的初始预测值，就可根据未来的控制增量由预测模型（2.10）计算未来的对象输出，在这里，式（2.9）只是预测模型（2.10）在M=1情况下的特例。2.2.2 滚动优化DMC是一种以优化确定控制策略的算法。在每一时刻k，要确定从该时刻起的M个控制增量，使被控对象在其作用下未来P个时刻的输出预测值，尽可能接近给定的期望值，。这里M，P分别称为控制时域和优化时域，它们的意义可在图2.2中直接看出，为了使问题有意义，通常。 图2.2 动态矩阵控制的优化策略在控制过程中，往往不希望控制增量变化过于剧烈，这一因素可在优化性能指标中加入软约束予以考虑。因此，k时刻的优化性能指标可取为： （2.11）其中是权系数，它们分别表示对跟踪误差及控制量变化的抑制。在不考虑约束的情况下，上述问题就是以为优化变量，在动态模型（2.10）下使性能指标（2.11）最小的优化问题。为了求解这一优化问题，首先可利用预测控制模型（2.10）导出性能指标中u的关系，这一关系可用向量形式写为： （2.12）其中：，这里，A是由阶跃响应系数组成的阵，称为动态矩阵。式中向量的前一个下标表示所预测的未来输出的个数，后一个下标则是控制量变化的次数。同样，性能指标（2.11）也可以写成向量形式： （2.13）其中： 由权系数构成的对角阵Q，R分别称为误差权矩阵和控制权矩阵。将式（2.12）代入式（2.13）可得： 在k时刻，均为已知，使取极小值的可通过极值的必要条件：得到： （2.14）它给出了，的最优值。但DMC并不把它们都当作应实现的解，而是取其中的即时控制量构成实际控制作用于对象，到下一时刻，又提出类似的优化问题求出，这就是所谓“滚动优化”的策略。根据式（2.14），可以求出： （2.15）其中，P维行向量 （2.16）成为控制向量。M维行向量表示取首元素的运算，一旦优化策略确定，（即P，M，Q，R已定），则可由式（2.16）一次离线算出。这样，若不考虑约束，优化问题的在线求解就简化为直接求解控制率（2.15），只涉及点积运算及向量之差，因而十分简易。2.2.3 反馈校正当k时刻把控制实际加于对象，相当于在对象输入端加上了一个幅值为的阶跃，利用模型（2.9），可算出在其作用下未来时刻的输出预测： （2.17）它实际上就是式（2.9）的向量形式，其中N维向量的构成和含义同前面所述相似。由于的元素是未加入时的输出预测值，故经位移后，它们可作为k+1时刻的初始预测值进行新的优化计算。然而，由于实际存在模型失配，环境干扰等未知因素，由式（2.17）给出的预测值有可能偏离实际值，因此，若不及时利用实时信息进行反馈校正，进一步的优化就会建立在虚假的基础上。为此，在DMC中，到下一采样时刻首先要检测对象的实际输出，并把它与由式（2.17）算出的模型预测输出相比较，构成输出误差： - （2.18）这一误差信息反映了模型中未包括的不确定因素对输出的影响，可用来预测未来的输出误差，以补充基于模型的预测。由于对误差产生缺乏因果性描述，故误差预测只能利用时间序列的方法，例如，可采用对加权的方式修正对未来输出的预测： （2.19）其中 为校正后的输出预测向量，由权系数组成的N维向量称为校正向量。在k+l时刻，由于时间基点的变动，预测的未来时间也将移到，因此，的元素还需要通过移位才能成为k+l时刻的初始预测值： （2.20）而由于模型的截断，可由近似，这一初始预测值的设置可用向量形式表示为: （2.21）其中： 为移位阵。有了，又可像上面那样进行k+l时刻的优化计算，求出。整个控制就是这种结合反馈校正的滚动优化方式反复在线进行的，其算法结构如图2.3所示。 图2.3 动态矩阵控制的算法结构由图2.3可见，DMC算法有预测、控制和校正三部分构成。在每一采样时刻，未来P时刻的期望输出与初始预测输出构成的偏差向量同动态控制向量点乘式(2.15)得到该时刻的控制增量，这一控制增量一方面数字积分运算求出控制量并作用于对象;另一方面，与模型向量a相乘并按式(2.17)计算其在作用后的预测输出，到下一采样时刻，首先检测对象的实际输出y(k+1)，并与预测值相比较后按式(2.18)构成输出误差e(k+1)。这一误差与校正向量h相乘作为误差预测，再与模型预测一起按式(2.19)得到校正后的预测输出并按式(2.21)移位后作为新的初始预测值。图2.3中，表示时间基点的记号后退一步，这样等于把新的时刻重新定义为k时刻，整个过程反复在线运行。3 液位控制系统介绍3.1 一阶液位控制系统关掉连接阀门CV1，通过进水阀门1对容器T1供水，同时通过泄水阀门LV1排水，以进水阀门1的开度为控制输入，以水箱T1的液位为系统输出，即可实现单入单出一阶惯性对象。一阶对象的原理图如图3.1所示： 图3.1 一阶对象设水箱T1的截面积用A表示，进水流量用表示，泄水流量用表示，水箱T1液位高度用h表示，进水阀门的开度用表示，则根据流量平衡原理有 （3.1）其中有： （3.2） （3.3）是决定于进水阀门特性的系数；k是与泄水阀门的开度有关的系数。则有 （3.4）上式是一个非线性微分方程，如果水位始终在其稳态值附近很小的范围内变化，那就可以将上式加以线性化。为此，首先要把原始的平衡方程改写成增量形式，其方法如下：对于上述系统而言，在起始的稳定平衡工况下，平衡方程变为 （3.5） 将方程（3.1）和（3.5）相减，并以增量形式表示各个量偏离其起始稳态值的程度。即考虑到，那么就得到 （3.6）考虑水位只在其稳态值附近的小范围内变化，故可以近似认为 （3.7）考虑到 （3.8）则有