514652144应用数学毕业论文概率论在彩票中的应用研究.doc

中文摘要彩票是我们日常生活中很常见的一种娱乐性、公益性游戏，随着人们生活水平的提高，越来越多的人开始玩彩票。其中一部分人是本着为社会福利事业、体育事业贡献的原则，但是大部分人却是希望通过购买几张彩票来中头奖，这就是概率论中谈到的一种小概率事件。概率论就是分析事件发生的概率，使人们对某些事件的发生有客观的认识。任何一种类似彩票的游戏都是有一定概率的。本文将研究现在市场上流行的各种彩票的中奖概率，以用这样的数据来说服购买者放平心态。经过计算，本文得出了相关的数据，包括3D双色球、超级大乐透等以及在香港地区流行的六合彩，中奖概率都小于0.1，而中头奖的概率约为。在许多彩票中有多种玩法，包括单式投注、复式投注和胆拖投注等。复式投注和胆拖投注都是通过选出多余中奖号码个数的中奖号码，然后通过排列组合来确定每一注的号码，这样每次中奖的概率都会大大的增加，但所需资金也很多。关键词：概率，彩票，小概率事件Abstract A lottery ticket is one of the most excieting games in our dailylife,and more and more people begin to buy a lottery ticket.Someone want to make a contratebution to the social sports and welfare,but a lot of people hope that they can get much money though a piece of lottery ticket.We call it little probability event in our probability theory. The probability theory is used to analyse the probability about some events.Then people could understand external to something happen.Any games like a lottery ticket will be haven a little probability.The paper will research the probability about some kinds of lottery ticket in the market,we use this date to persuade buyers giving up this psychology.According to the date,the probability some popular lottery ticket are under 0.1,the probability about first award about .We have many ways to buy a lottery ticket,including single investment and doubke investment and so on.Keywords：probability，a lottery ticket，little probability event 目 录第一章 引言11.1彩票简介11.1.1 概率论简单介绍11.1.2 彩票简介11.1.3 我国彩票发展史21.1.4 彩票的分类2第二章 概率论在彩票中的具体应用42.1 福利彩票42.1.1 社会福利彩票42.1.2 3D双色球62.1.3 七乐彩82.2 体育彩票92.2.1 排列392.2.2 排列5102.2.3 超级大乐透112.2.4 22选5152.2.5 七星彩172.2.6 足球彩票192.3其它类型彩票202.3.1 六合彩20第三章 结 论22参 考 文 献23致谢24第一章 引言1.1彩票简介1.1.1 概率论简单介绍概率论的巨大发展得益于法国数学家帕斯卡处理分赌本问题，按照确定概率的古典方法，人们在总结经验事实、加之逻辑分析的基础上产生了许多模型，如：抽样模型、盒子模型、会面问题和蒲丰投针问题。其中抽样模型又可分为：放回抽样和不放回抽样。本文要研究的各种类型彩票的概率问题有部分就属于放回抽样，而大多数是不放回抽样。放回抽样即每一次在一个样本空间中选取时，样本点的个数都保持不变，而不放回抽样恰相反，样本点随着抽取的次数而减少。1.1.2 彩票简介 彩票是我们日常生活中很常见的一种娱乐性、公益性游戏，它建立在机会均等、公平竞争的基础上。因每注彩票的投入较低，并且有可能获得很高的收益，所以在社会上有越来越多的人投入到买彩票中。同时国家也将彩票业作为筹集社会公益资金的重要渠道，所以彩票业由政府主办，并受国家法律所保护。但是任何一种赌博类游戏都是有一定概率的。该篇我们就将用概率论的方法计算各类型彩票的中奖概率。1.1.3 我国彩票发展史我国的彩票事业开始于上世纪50年代初至文革前期，真正的开启我国现代彩票模式是始于1987年，从此之后我国的彩票业进入了高速发展的时期。经过这么多年的发展，我国的彩票事业已经初具规模。主要有省级和国家级彩票两种。省级彩票通常是社会福利彩票，主要表现形式为35选7等。国家级彩票有很多种玩法。按照发行单位分类主要有福利彩票和体育彩票两种，福利彩票有3D双色球和七乐彩，体育彩票有排列3、排列5，大乐透，22选5、七星彩和足球彩票。1.1.4 彩票的分类按照开奖方式分类主要有：即开型、传统型、乐透型、数字型四种。即开型彩票，是指购票者在一个销售点上一次完成购票和兑奖全过程的一种彩票。其优点首先是即开即兑，再次是保安性能好，安全可靠，防伪性能好，很难作弊，市面上的刮刮奖就是即开型彩票。传统型彩票又称被动型彩票，由发行部门事先将固定编组、中奖形式、奖金等级和得奖金额或实物公布于众。彩票销售一段时间后，进行集中公开摇奖，由购买者"对号入座"兑奖、领奖的一种彩票。这种彩票是事先在彩票上印好顺序号码，通常是5至7位数字，在规定的抽奖日期按规则利用摇奖等办法选出若干组中奖号码，分别作为各中奖等级。凡所购彩票的号码与中奖号码一致，则中该项奖等；中、低奖级一般依据中奖号码尾数中的位数个数多少确定。乐透彩票即lotto，这种彩票是目前世界彩票的主流。本文用概率论研究的这些彩票玩法很多是乐透型的。乐透彩票趣味性强，不像传统型彩票，顾客被动购买已印好号码的彩票，无选择余地，乐透彩票可由顾客自己选号码。目前，乐透彩票在世界各国的玩法已经多达30多种。数字型彩票即Numbers Game，这种彩票更简单、明了、方便，贴近百姓，它采用61或选3 选4的方式，每个数字从09中选出，因此7个数字是可重复的，特等奖不仅要对中7个数字，而且顺序也不能错。组合方式的不同决定于奖金的多少，最基本的分类是排列和组合两种,前者要求所预测的号码必须与开奖的号码在顺序上一致,后者则无论顺序如何,很自然前者预测难度大，中奖机会小，故奖金也高。第二章 概率论在彩票中的具体应用2.1 福利彩票2.1.1 社会福利彩票有很多的福利彩票通常采用多少个数中选几个的模式，我们以35选7为例说明这种彩票的中奖概率。一种称为幸福35选7的福利彩票，即从01，02，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。奖项设置：中奖级别中 奖 规 则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全中中6个基本号码及特殊号码中6个基本号码中5个基本号码及特殊号码中5个基本号码中4个基本号码及特殊号码中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点。要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码；第二类号码：1个特殊号码；第三类号码：27个无用号码。若记为中第等奖地概率（），可得各等奖地中奖概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：；四等奖：；五等奖：；六等奖：；七等奖：。若记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得 这就说明：一百个人中约有3个人中奖；而中奖的概率只有，即两千万个人中约有3个人中头奖。2.1.2 3D双色球投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成。红色球号码从01-33中选择；蓝色球号码从01-16中选择。单注最高奖可达1000万元人民币。奖项设置：中奖等级中 奖 规 则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖7个号码相符（6个红色球号码和一个蓝色球号码）6个红色球号码相符5个红色球号码和1个蓝色球号码相符5个红色球号码或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符4个红色球号码或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）因为3D双色球涉及到两组号码，因此要将红、蓝两种球分开计算。将红球分为两个类型：红球第一类型号码：6个选中号码；红球第二类型号码：27个无用号码。同理，蓝球也应分为两个类型：蓝球第一类型号码：1个选中号码；蓝球第二类型号码：15个无用号码。红球的样本空间含有个样本点，蓝球的样本空间含有个样本点。购买者中各等奖的概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：；四等奖：；五等奖：；六等奖：。若记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得这就说明：每一百人左右有6个人中奖，而中头奖的概率只有，即每一亿人当中有大约5个人中头奖奖，中头奖的概率远低于其它类型的彩票。所以，3D双色球头奖的奖金非常的高。2.1.3 七乐彩七乐彩采用组合式玩法，从130共30个号码中选择出7个不重复号码组成一注七乐彩投注号码进行投注。奖项设置： 中奖等级中 奖 规 则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全中中任意6个基本号码及特别号码相同中任意6个基本号码中任意5个基本号码及特别号码相同中任意5个基本号码中任意4个号码及特别号码中任意4个基本号码相同同解决社会福利彩票地解法，样本空间含有个样本点，将30个球分成三种类型进行抽取：第一类号码：7个基本号码；第二类号码：1个特殊号码；第三类号码：22个无用号码。若记为中第等奖地概率（），可得各等奖地中奖概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：；四等奖：；五等奖：；六等奖：；七等奖：；同样记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得这就说明：一百个人中大约有3个人中奖；二中头奖的概率只有，即两百多万个人中约有1个人中头奖。2.2 体育彩票2.2.1 排列3 购买者从000-999的数字中选取1个3位数为投注号码进行投注，“排列3”的投注方式分为直选投注和组选投注。“直选投注”是将3位数以唯一排列方式进行的单式投注。“组选投注”是将投注号码的所有排列方式作为一注投注号码进行的单式投注。如果一注组选号码的3个数字各不相同，则有6种不同的排列方式，有6次中奖机会，这种组选投注方式简称“组选6”；如果一注组选号码的3个数字中有2个数字相同，则有3种不同的排列方式，有3次中奖机会，这种组选投注方式简称“组选3”。奖项设置：“直选投注”，单注固定奖金1000元。“组选3”，单注固定奖金320元。“组选6”，单注固定奖金160元。当购买者选择“直接选注”时，中奖概率为：；当购买者选择“组选6”时，中奖概率为：；当购买者选择“组选3”时，中奖概率为：。这就说明：当购买者选择买“排列3”这种彩票时，尽管“直接投注”获得的奖金较多，但是它的中奖概率较低，只有0.001，所以建议购买者在玩“排列3”时可以选择买“组选3”或“组选6”。当然相比较其它彩票的中奖率，“排列3”还是可以作为大家彩票投入的选择项目的。2.2.2 排列5购买者从00000-99999的数字中选取1个5位数为投注号码进行投注。其玩法比较简单，故其奖项只有一个即：一等奖：单注固定奖金10万元。因排列5只有一个奖项，且是从00000-99999的数字中选取1个5位数为投注号码进行投注，因此共有100000个选择，得该奖得概率为：，这说明，10万个人中只有1个人中奖。2.2.3 超级大乐透超级大乐透也称为“35选5加12选2”， 由购买者从0135共35个号码中选取5个号码为前区号码，并从0112共12个号码中选取2个号码为后区号码的组合为一注进行投注。超级大乐透有单式投注、胆拖投注、复式投注三种。 其中单式投注就是购买者从35个号码中选出5个号码作为前区号码，并从12个号码中选出2个号码作为后区号码作为一组进行投注。胆拖投注不做分析，复式投注分为三种： 第一种复式投注即前区复式：前区号码中要选取6个号码以上（含6个），后区号码选取2个号码； 第二种复式投注即后区复式：前区号码中选取5个号码，后区号码中选取3个号码以上（含3个）； 第三种复式投注即双区投注：前区号码中要选取6个号码以上（含6个），后区号码中要选取3个号码以上（含3个）。奖项设置：中奖等级中 奖 规 则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖八等奖选中5个前区号码及2个后区号码选中5个前区号码及2个后区号码中的任意1个选中5个前去号码选中4个前区号码及2个后区号码选中4个前区号码及2个后区号码中的任意1个选中3个前区号码及2个后区号码或选中4个前区号码选中3个前区号码及2个后区号码中的任意1个或选中2个前区号码及2个后区号码选中3个前区号码或选中1个前区号码及2个后区号码或2个前区号码及2个后区号码中的任意1个或只选中2个后区号码前区35个号码组成的样本空间共有个样本点，后区12个号码组成的样本空间共有个样本点。当购买者选择单式投注时，前区35个号码分为两种类型：第一种类型为5个选中的号码，第二种类型为其它30个无用的号码；同理后区12个号码也分为两种类型：第一种类型为2个选中的号码，第二种类型为其它10个无用的号码。购买者获得各等奖的概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：；四等奖：；五等奖：；六等奖：；七等奖: ；八等奖： 同样记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得 这就说明，当购买者玩超级大乐透时，选择单式投注玩法，中奖的概率为0.08534，即每一百人左右有8个人中奖。而中头奖的概率为，即每一亿人左右有4个人中头奖。 当购买者选择复式投注时，因超级大乐透有三种复式投注方式，本文选择前区复式为例说明当购买者选择复式投注时的中奖概率。 前区复式就是前区号码中要选取6个号码以上（含6个），后区号码选取2个号码。为方便本文以6个号码为例。以下是购买者选择前区复式时中各等奖的概率。 一等奖：；二等奖：；三等奖：；四等奖：；五等奖：；六等奖：；七等奖：；八等奖： 同样记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得这就说明：购买者选择前区复式的方式来买超级大乐透，中奖概率为0.09229，是单式投注的1.08倍，即每一百人中大约有9人中奖。而购买者选择前区复式的方式中头奖的概率为，即五百万人左右大约有1人中头奖，中头奖的概率大大增加。2.2.4 22选5购买“22选5”时，由购买者从0122共22个号码中选取5个号码为一注进行投注的彩票为单式票。从122中选取至少1个、至多4个号码作为每注都有的号码，称胆码，再选取除胆码以外的号码作为拖码，由胆码和拖码组合（胆码与拖码数量之和必须等于或多于6个号码）成基本号码，进行投注，称胆拖投注。当胆码为零、拖码选取6个以上号码（含6个），组合成多注彩票为复式票。奖项设置：中奖级别中 奖 规 则一等奖二等奖三等奖选中全部5个中奖号码选中其中4个中奖号码选中其中3个中奖号码 22选5有单式投注和复式投注两种。单式投注，样本空间共有个样本点。将22个号码分为两类：第一类号码：5个中奖号码；第二类号码：17个无用号码。若记为中第等奖地概率（），可得各等奖地中奖概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：。可见，在单式投注时，中奖的概率为。即一百人左右有5个人中奖，而在单式投注时，大约一千多万有4个人中头奖。复式投注时，购买者要从22个号码中选出614个号码，然后再将这些号码排列组合。若购买者选出了6个号码，然后这6个号码选出5个进行排列组合，这种前提下，购买者中各等奖的概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：。可见，选择6个号码的复式投注，中奖概率为，中奖概率为单式投注的1.83倍。 若购买者选出了7个号码，然后这7个号码中选出5个进行排列组合，购买者中各等奖的概率为： 一等奖：； 二等奖：；三等奖：。这就说明：选择7个号码的复式投注，其中奖概率为：，中奖概率为单式投注的2.92倍。购买者选择813个号码进行排列组合的情况省略，当购买者选择14个号码中的5个进行排列时，购买者中各等奖的概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：。这就说明：当购买者选择14个号码的复式投注时，其中奖概率为：，其中奖概率为单式投注时的13.97倍。可见购买者在玩22选5的复式时，要选的号码越多，中奖的概率越大。2.2.5 七星彩体彩七星彩也称为“七位数”，并有单式投注和复式投注两种玩法。购买者在买“七位数”时，要从00000009999999这一千万组7位排列号码中选择一组确定排列的号码进行投注称为单式投注；由购买者从09共10个自然数中选择210个号码排列成多组7位号码的投注称为复式投注。本文只以单式投注为例。其奖项设置为：中奖级别中 奖 规 则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖单注彩票的7位数号码与中奖号码相同且排列一致单注彩票的6位数号码与中奖号码相同位置的连续6位数相同单注彩票的5位数号码与中奖号码相同位置的连续5位数相同单注彩票的4位数号码与中奖号码相同位置的连续4位数相同单注彩票的3位数号码与中奖号码相同位置的连续3位数相同单注彩票的2位数号码与中奖号码相同位置的连续2位数相同当购买者选择单式投注时，其中奖概率为：一等奖：；二等奖：；三等奖：；四等奖：；五等奖：；六等级：。可见在购买者在选择单式投资时，中奖概率为，即每一百人有2个人中奖，而中头奖的概率为，即1千万人中有1个人中头奖。2.2.6 足球彩票足球彩票也称为“胜负游戏”，是以中国足球彩票胜负玩法所选择的足球比赛场次为竞猜对象，购买“胜负游戏”时，由购买者从中国足球彩票胜负玩法选择的所有竞猜场次每场比赛在全场90分钟（含伤情补时）比赛的胜平负的结果进行投注，对于所选竞猜场次的比赛成绩均只选择1种预测结果为单式投注，对于某一竞猜场次的比赛成绩选择2种（含）以上的预测结果为复式投注。本文只以单式投注为例说明足球彩票中奖的概率。中国足球彩票的奖项设置为： 一等奖：猜中全部14场比赛的胜平负结果； 二等奖：猜中其中13场比赛的胜平负结果。显然，足球彩票中选中的足球比赛场次该样本一共有14个样本点，每个样本点胜平负的概率都为，猜中与否的概率都为，要想中一等奖，购买者必须全部猜对14场比赛的结果，即全部猜对的概率为。购买者中二等奖的概率为，可见购买者中二等奖的概率是中一等奖的概率的14倍。2.3 其它类型彩票2.3.1 六合彩六合彩是一种在香港很流行得彩票，购买者从01到42这42个号码中任选6个不重复得数码组成一组彩票。开奖时，从42个数码中随机抽取7个数码，前6个属于正选数码，第7个属于特选数码。奖项设置：中奖级别中 奖 规 则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖选中6个正选数码选中5个正选数码和特选数码选中5个正选数码选中4个正选数码和特选数码选中4个正选数码选中3个正选数码和特选数码同上述35选7的解法，六合彩仍是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点。仍就把42号码分成三种类型：第一类号码：6个正选号码；第二类号码：1个特选号码；第三类号码：35个其它号码。若记为中第等奖地概率（），可得各等奖地中奖概率为：；若记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得这就说明：一千个人约有4个人中奖；而中头奖的概率，比大陆35选7的概率要大，但仍是两千多万人约有4个人中头奖。第三章 结 论综合本文分析，任何一种类型的彩票中奖概率都不高，约为一百人中有2人或3人中奖，所以买彩票的人只有多了以后才会有更多的人中奖。但是，彩票购买者有一部分买彩票的出发点是奔着中头奖去的，而本文经过分析发现无论任何一种彩票形式，中头奖的概率都非常的低，大约为，即几千万人中有1个或2个人中头奖。所以说买彩票中头奖发生的概率为小概率事件。小概率事件是指事件发生的概率在0.01或0.005以下的称为小概率事件，小概率事件一般在一次实验中不会发生，即使发生了也不能当做必然事件，所以只有在很多次的试验中才会有可能发生。现在社会上许多人也知道买彩票、中头奖是小概率事件，但是对彩票的投注热情依然高涨，这里，当然有人们愿意为福利事业、体育事业献爱心的一面，更多的是人们期望小概率事件在一次试验中发生（买几张彩票就中了头奖）的侥幸心理在作祟。所以说，我们每个人都渴望改变我们的生活质量，但是我们不可以将买彩票中大奖作为途径，而是应该要脚踏实地、勤勤恳恳的努力工作，用我们的付出去换取更加美好的生活。参 考 文 献1茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程M.高等教育出版社.2刘远图,刘秀芳.从“彩票没有概率”说起关于彩票概率的讨论J.数学通报,2001(7).3张朝霞,吴杰.日常生活中的小概率事件J.太原师范学院院报（自然科学版）,2006,5(4).4汪仁官.概率论引论M.北京大学出版社.致谢  走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已近尾声，四年多的努力与付出，随着本次论文的完成，将要划下完美的句号。  从课题选择到具体的写作过程，无不凝聚着老师的心血和汗水本研究及学位论文是在我的导师韩兆红老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务和科研项目，工作量之大可想而知，她还在百忙之中抽出大量的时间来指导我们。她的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，她的渊博的专业知识，精益求精的工作作风，严以律己、宽以待人的崇高风范，将一直是我工作、学习中的榜样在我的毕业论文写作期间，老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，没有这样的帮助和关怀，我不会这么顺利的完成毕业论文。在此向韩兆红老师表示深深的感谢和崇高的敬意。同时，论文的顺利完成，离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文。 最后，谢谢所有人对我大学四年的帮助！