Logistic模型分析三江平原雪兔种群的影响.doc

目 录摘要iAbstractii第一章 绪论1 §1.1数学模型产生的来源及背景1 §1.2生态数学模型的发展及研究方法2第二章 关于三江平原地区的雪兔现状及其存在问题4 §2.1有关雪兔的介绍4 §2.2雪兔种群的问题以及问题的分析5第三章 Logistic模型的介绍7第四章 关于该种群模型的建立以及改进10 §4.1模型的建立10 §4.2模型的求解16 §4.3模型的应用与讨论19参考文献 22谢辞 23摘要：Logistic模型是对生物种群数量所作的模拟近似方程。目前国内外在研究生物种群数量时往往都会用Logistic模型来描述其动态变化特征，但是单纯的运用Logistic模型来描述生物种群数量的增长方式有着明显的缺陷。它没有考虑到种群的生长状况在不同环境条件下而产生的差异，与生物种群数量增长的实际情况存在着较大的差异,因而不能正确反映出环境条件的变化对种群增长所产生的影响。 本文在Logistic模型基础上，考虑自然资源的破坏、人为的捕杀、肉食动物的猎杀等等一些外部因素对三江平原雪兔种群的影响，总结出了用来描述雪兔种群数量随时间和外界条件变化时的数学模型。根据雪兔种群的统计数据，确定模型中的各个参数值的大小，利用Matlab这一数学软件对历年来的统计数据进行拟合，经计算所得到的数值与雪兔的实际数量非常接近，拟合率较Logistic模型有较大提高，最后对该雪兔种群数量在捕获的情况下的增长方式进行了预测。又由于雪兔具有较高的经济价值，所以我们在研究出雪兔种群数量增长方式的同时，也给该保护区管理局提出一些相应的建议，使其能够为人类创造更大经济效益。关键词：Logistic 模型 生物种群 种群竞争 经济效益。第一章 绪 论 §1.1 数学模型产生的背景及来源近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。用数学方法解决实际问题不论是在科技和生产领域，还是与其它学科相结合.所形成的交叉学科中，最为关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。所以知识经济时代中，运用数学建模和计算机技术来解决实际问题可谓是如虎添翼。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理伦与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实提供精确的数据或可靠的指导。§1.2 生态数学模型的发展及研究方法生态的数学模型，作为应用数学发展的一支重要的分支，近20年来得到了迅速的发展，各门学科的数学化表现是当代科学的特点之一。国外已有不少专门的生态数学的杂志，召开国际会议发表其论文集，文献之多数不胜数。但由于多方面的原因，我国在这一领域起步晚了一些，直到1980年在马思骏教授的倡导下才召开了第一次全国数学生态学术讨论会。对生态数学模型感兴趣的有很多人是科学工作者，诸如生态、农业、渔业、林牧业等等，他们可以从模型中吸取许多有用的建议或者启发。生态的数学模型往往能提供某种预见，从事实际工作的科学家可以把实验得到的许多数据与从数学模型中得出的理论结果加以比较，这一方面能对可观察到的现实的个别生态系统有更深刻的了解。便于从特例的观察中归纳出比较普遍的结论，另一方面也可以纠正某些理论模型的错误假设，修改并完善已有的模型，使之符合实际。目前很多上述领域的科学工作者已经认识到把观察与实验所得的分析与理论模型结合起来的好处。利用数学模型来描述种群的动态变化，首先遇到一个如何选择变量的问题，较为普遍的做法是选择生物中的个体数量作为变量，但这不是唯一可能的方法。我们首先从单个种群的数学模型开始，目的在于说明单个种群的个体数目或种群的密度x(t)的变化规律，即种群随时间的动态规律。若被研究的种群，其世代之间有完全的重叠，如人类种群，则种群的动态可以用一个微分方程来描述，即建立种群密度的变化率dx(t)/dt与种群密度x(t)之间的关系式，这个关系式通常就是一个微分方程。生态学家通过实验室或野外的实际观察来获得有关种群增长率的信息，从而建立起描述种群动态的数学模型。最直接的想法是种群的变化率正比于现在时刻的种群密度，这就是所谓的Malthusian模型： 比较一般的考虑，认为种群的增长率依赖于现在时刻的种群密度，若这种依赖 关系与时间无明显的关系，则种群增长被描述为一阶自治方程 其中 对应于.更一般的，应当认为种群的增长率，不仅依赖于现时的种群密度x(t),而且明显地依赖于时刻t,这样，种群的动态应被描述为满足一个一阶自治微分方程。或一般的写法 但是现实的生态系统中，由于种群本身的年龄结构或离散的繁殖季节，考虑具有时间延迟的微分方程模型是有必要的。第二章 关于三江平原地区的雪兔现状及其存在问题§2.1有关雪兔的介绍 雪兔，又名白兔，是我国的三类保护动物，雪兔在历史上的冰河时代曾广泛分布于欧洲，以后随着冰河的后退而迁移，现在残存于北极极其附近的冻原地带和阿尔卑斯山的高山地区，包括欧洲北部、俄罗斯、日本北海道和蒙古等，在我国分布于黑龙江、内蒙古东北部和新疆北部一带。由于雪兔的冬皮柔软，毛长绒厚，毛皮比其它野兔皮好，所以其拥有较高的经济价值，在上世纪80年代，雪兔遭到了许多不法分子的大量捕杀，导致黑龙江三江平原地区的雪兔数目急剧下降，所以国家将其列为国家三级保护动物。当然雪兔也有许多的天敌，雪兔几乎是所有猛兽、猛禽和蛇类等猎捕对象，其主要的天敌有猞猁、狼、狐、猫头鹰等。而且自然条件对雪兔数目的影响也非常大，有时候气候、雨水不利，幼兔死亡率太高，或者是水源枯竭、水源被农药污染等都使雪兔的数目在一定的程度上有了减少。但是由于近些年来，在自然保护区的科学管理下，雪兔的数目有了很大程度上的回升，并且自然区规定每年在特定的时候猎人们可以跨进保护区进行狩猎，从而创造出更大的经济效益，使其能为人类造福。§2.2 雪兔种群的问题以及问题的分析 下面是黑龙江三江平原地区某自然保护区的雪兔的数量在连续十年的统计数量（单位十万）： 分析雪兔的统计数量，在考虑种群内个体的竞争、环境的供养能力、人类和肉食动物的猎杀等因素对种群增长率的影响，总结出符合雪兔生长规律的数学模型，同时得出三江平原地区雪兔的生长规律，并指出在哪些年内雪兔的增长有异常的现象，分析其大概的原因，并预测在2009年该地区的雪兔的数量。由于雪兔具有较高的经济利用价值，在适时的情况下对雪兔进行捕获从而为人类获得最大的财富，是我们最希望看到的结果。所以我们在给三江平原地区管理局提出一些如何管理好保护区建议的同时，也建议管理人员在适当的时候开放保护区让人们进入保护区进行适量的捕获，并计算出持续捕获时所能获得的最大的利润。问题的分析：雪兔的数量随时间而变化，变化的趋势受到种内竞争和人为因素破坏的制约。据统计数据绘出折线图如下：图一：雪兔数量的动态变化图由图所绘折线图可知该雪兔种群的数量变化趋势大致成S型曲线增长，类似于其他生物种群数量的动态变化趋势。对于生物种群的这种S型曲线的动态变化趋势，往往用Logistic模型来描述。雪兔群体个体之间自相食习性和由于密度制约引起的个体之间的竞争是导致种群群体变化的内在机制。考虑环境条件所能容纳的种群数量等种种因素，Logistic模型中必定涉及到多个参数，而这些参数可根据野兔数量的统计数据，利用数学软件Matlab处理而得。利用建立的模型对历年的雪兔数量来进行推算预测，以便检验模型的精确度，从而改进我们所做的模型。第三章 Logistic模型的介绍我们已经知道在研究生物种群的数量的研究中往往利用Logistic模型来描述其动态变化特征，所以在以下我们将会对Logistic模型的定义以及应用作一个简单的介绍。由于Logsitic模型是在马尔萨斯（Malthus）模型的基础上修改来的，所以在此我们先介绍一下马尔萨斯（Malthus）模型. 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本是一个常数，(r=b-d,b为出生率，d为死亡率)，即： 或 （3.1.1）（3.1.1）的解为： （3.1.2） 其中为初始时刻时的种群数。马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 故 Malthus模型的特征是指数的无限增长，这显然不符合事实，考虑到自然资源是有限的，因此在经过一段时间后种群个体之间将为争夺自然而竞争，这时马尔萨斯模型就必须要进行修正，其中一种重要的反映资源有限性的模型就Logistic模型。所以马尔萨斯模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。人口净增长率应当与人口的数量有关，即：r=r(N)从而有： （3.1.3）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令此时得到的微分方程： 或 （3.1.4）（3.1.4） 还可以改写成： （3.1.5）对（3.1.5） 进行分离变量得到： 两边积分并整理得： 令，求得： 故（3.1.5）的满足初始条件的解为： （3.1.6）易得： ， Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。 第四章 雪兔种群模型的建立以及改进§4.1 模型的建立4.1.1 模型的假设：（1）假设三江平原地区环境条件所允许的雪兔的数量有一个最大值，即环境容纳量N，当种群数量达到环境的最大容纳量的时候，雪兔的种群数量将不再增长。（2）雪兔种群数量的增长是种群个体死亡与繁殖的共同作用的结果，即简单利用净增长率来描述。（3）种群中每个个体处于同一水平，在种群增长的过程中个体的差异如年龄结构等不予考虑。（4）在三江平原地区只考虑该地区内部的种群的数量，不考虑雪兔在不同区域间的迁入与迁出。（5）由于雪兔种群的数量较大，可以认为种群总数是随时间连续变化的。（6）种群数量的增长率受种群数量的影响，但增长率的变化总是落后于种群数量的变化，即种群数量的变化不会引起增长率的立即变化，此模型暂不考虑这种时滞效应。（7）在捕获雪兔时，所投入的总资金是固定的。（8）从2009年开始，保护区内由于肉食动物的猎杀或其他自然因素而造成的雪兔的死亡数很小，几乎可以忽略不计。4.1.2 符号说明：t: 时间 ；a: 雪兔的出生率 ；b: 雪兔的死亡率 ；r: 雪兔的净增长率 ；A: 最大相对捕食系数 ；B: 达到最大捕食系数时的时间 ； N: 环境所能供养的最大雪兔数目； 初始雪兔的数目 ；e(t): 相对捕食系数 ；Q(t): t时刻雪兔的实际数量 ；X(t): 在不考虑捕食情况下，t时刻雪兔的数目；。m : 单个雪兔的平均价值；M : 对雪兔进行持续捕获时所获得的最大的利润； ：每次捕获时所投入的资金4.1.3 模型的建立：4.1.3.1 在不考虑被捕食，也不考虑种内竞争（即生存竞争）的情况下对雪兔增长模型的分析：在一段时间内雪兔数目变化的情况可表示为： 由于时间不是很长，所以可以不考虑雪兔的迁入迁出情况。很显然，雪兔的出生数和死亡数应该与这段时间的长短成正比，且还与这个时间段开始时的雪兔数目（X（t）成正比。设在时间段内野兔的出生数等于，死亡数等于，a,b,r分别为野兔的出生率死亡率和净增长率，则有：r=a-b通过这样的分析可以得到：再令上式中的t 0，我们就得到了X (t )在不考虑任何竞争的情况下的常微分方程： 即：马尔萨斯模型设已知的初始时刻时的雪兔总数为。就有初始条件：，求解微分方程的Cauchy 问题（r 为常数）即雪兔的总数按指数增长（J 型增长）。显而易见，在无限的环境中，雪兔生长不受任何条件限制，也就是说食物、空间等能充分满足野兔需求的情况下，雪兔就能充分发挥其增长能力，数量迅速增加，呈现指数增长规律，也称为“J”型增长。这种增长变化的曲线如下图所示：图：种群J 型增长曲线4.1.3.2 在考虑雪兔种内生存竞争，但不考虑捕食情况下，对雪兔数目增长的模型的分析：当雪兔总数量达到一定数目后，由于受到有限空间资源和其他生活条件利用的限制，不仅有一个自然增长项aX(t)，还应有一个竞争项来部分抵消这个增长，使雪兔增长的规律更接近于实际情况，此竞争项可取为： 与上面的r都可称为是生命常数。当X不太大时，可以略去竞争项，而回到最初的无限增长模型（J模型），雪兔总数服从指数增长规律。当 X 增大时，竞争项的影响就逐渐变得不能忽略了，即野兔总数不再按指数增长。一般来说，地域的环境越好，资源越充沛， r 的值越大， 的值越小。由此可见，X(t)满足的微分方程及初始条件就变为： 分离变量后再进行积分： 从而可以计算得到： 在上式中，若，显然解。若，则有上式，在时恒成立，但因、此在时恒有： 从而上式中的绝对值号可以去掉，即得到： 从上式解得： 由此式可见，当。综上所述：不论初值如何，雪兔群体的总数在，此值为饱和值。饱和值可以认为是环境所能供养的最大雪兔数目，设之为N。则有： 再对该结果进行分析，当时，,X(t)单调上升趋，从而，又由于因此在X(t)增长过程中，当（饱和值的一半）时，成立，所以此图形在这一段表现为凹曲线；而当时，成立，图形在这一段表现为凸曲线。上述函数X=X(t)的形状呈S型，如下图所示： 图：种群的S型增长曲线此S型增长曲线与Logistic模型是等同的，是种群在有限环境条件下连续增长的一种最简单的形式。野兔在有限环境中的增长将不是“J”型，而是呈“S”型增长。S 型曲线有上渐近线，即S型增长曲线渐近于N(即)，但却不会超过最大值水平，此值即为环境容纳量。曲线变化是逐渐的，而不是骤然的。从曲线的斜率来看，开始变化速度慢，以后逐渐加快，到曲线中心有一拐点，变化速率加快，以后又逐渐变慢，直到上渐近线。对Logistic数学模型用分离变量法可以求解得： （4.1） 其中， 式中： X (t )为t时刻的数量，r为野兔的净增长率， N 为环境容纳的最大野兔数量，t代表时间。Logistic模型反映出了生物资源饱和增长的基本特征，并且形式比较简单。由于=N, 可对该模型的初始情况进行一些简化，简化结果为： 4.1.3.3 在考虑种内生存竞争，又考虑捕食情况下对雪兔数目增长模型的分析：为研究此外问题我们引入一个新的函数： （4.2）称之为相对捕食系数函数，此函数关于对称轴t=B对称，在t=B时刻取得最大值A（最大捕食系数）。在一个不太长的时间段当中，此函数可以比较精确的描述雪兔单位个体被捕食的概率，或者说是被捕食的雪兔的数目对雪兔群体总数的影响的大小。由实际捕食影响因素造成雪兔数量下降的大小为：e(t)×X(t)因此，用不考虑捕食时的雪兔数量减去捕食影响因素造成雪兔下降的数量便可得到雪兔在t时刻的实际数量 Q(t)=X(t)-e(t)×X(t) （4.3）把式（4.1）、（4.2）代入到（4.3）可得： （4.4）由此可得到一个比较符合实际的雪兔的增长曲线，如下图： 图：雪兔生长曲线§4.2 模型的求解我们将统计的三江平原的雪兔的数量制成如下表格（单位十万只）：T=0T=1T=2T=3T=41.001582.319694.508536.905686.00512T=5T=6T=7T=8T=95.564955.328077.561018.93929.5817我们对以上的模型代入数据求值：由已知条件可知，则（4.1）式可化简为如下式： （4.5）由于此函数是在没考虑捕食关系等外部影响的情况下建立的，并且前几年中捕食对雪兔总群体影响不是很大，而随着时间的推移，被捕食的雪兔的数目逐渐变得不可忽视，所以在求解N，r的过程中考虑了前三年的数值，也就是说考虑的方式只有种，结果如下表所示：N，r计算结果序号年份NR11，210.0381970.99722021，310.0070210.99781032，39.9925490.998827由以上表格中的N，r值得出其平均值分别为：N=10.0110.00，r=.99801.00。把N，r代入（4.4）（4.5）式可得X(t),Q(t)的函数为： （4.6） （4.7） 由于存在捕食情况，（4.7）式考虑了捕食者影响使雪兔减少的数量，但前几年受捕食影响相对较小，所以我们从第4年开始考虑，共有种方式计算A、B的值，结果如下表： A、B 计算结果序号年份AB14，50.417214.8101224，60.623155.2077634，70.825735.4218544，81.349535.7332454，92.728356.1004865，60.492175.6054775，70.533975.7277185，80.704416.0409595，91.127926.42307106，70.460485.85001116，80.47085.74127126，90.579946.69562137，80.251216.66744147，90.239377.11843158，90.113427.56942 由以上表格中的A，B值得出其平均值分别为：A=0.73，B=6.05。于是把A，B的值代入式（4.7）可得Q(t)的最终计算式为： （4.8）为了验证最终计算式的准确性，我们采用对比的方式分别把前九年的时间t代入到最终计算式（4.8）中，得到与实际值的比较，如下表所示： 计算值与实际值的比较计算值实际值两者差误差率T=12.319692.3196900.00%T=24.507634.508530.00090.00%T=36.857546.905680.048140.70%T=47.818396.00512-1.81327-30.20%T=55.462295.564950.10266-1.84%T=62.650015.328072.6780650.26%T=75.307577.561012.2534429.80%T=88.882698.93920.056510.63%T=99.894919.5817-0.31321-3.27%§4.3 模型的应用与讨论由计算值与实际值的相比较最后可看出第四、六、七年的值误差较大，说明是异常年份。其他的值都与实际值符合的比较好，这说明该模型相对来说还是比较精确的，是值得接受的。现在对模型的正确性进行分析，由上述模型所求得的第十年的雪兔的数量是9.99293，即在第十年时雪兔的数量几乎要达到环境所容许的最大量N，也就是说到第十年的时候雪兔的数量增长已经严重的受到了环境的影响。所以说在第十年的时候，由于该保护区中雪兔的数量已经达到了环境所能承受的最大的能力，我们就应该考虑对保护区中雪兔进行持续的捕获，从而获得较大的经济利润，为人类造福，所以在下面我们将会讨论三江平原地区雪兔种群资源的合理捕获的最优策略问题以及在捕获情况下雪兔种群的一个长期的增长趋势。我们通常所说的最大持续产量（MSY），是以生物增长模型为基础的，它假定在某种群的数量水平小于K时，就有一个可以永远收获而不改变群体的剩余产量，由于每一种群水平，其剩余产量等于持续产量，所以MSY是在剩余产量最大时的种群水平取得。所以我们在对雪兔种群进行的捕获所建立的模型，是在建立在雪兔种内关系的情况下来对该模型进行改进的，现在我们假设单位时间内捕获者捕获的数量与雪兔的数量X(t)成正比，比例系数为k，表示单位时间内的捕获率，k可以进一步的分解为k=qE,E称之为捕获强度，q称之为可捕系数，表示单位强度下的捕获率。在这里我们去q=1,则单位时间内的捕获量为：h(x)=EX(t) h(x)为常数表示一个特定的捕获策略则捕获情况下雪兔的数量就变为：令，得当E<r时：是唯一平衡稳定点，且是渐近稳定的。 当E>r时：是不稳定的， 也就是说当E>r（即捕获强度大于雪兔的净增长率）时，雪兔的数量将会减至0，这时雪兔的数量就会大量的减少，直至到零，这当然不是我们所希望看到的结果。所以说我们在捕获雪兔时，必须是适量的，也就是E<r。 相对于公式我们可得当时，。所以当h(x)=,雪兔种群将会存在一个最大的持续产量。捕获量-捕获强度曲线：，它相应与E的平衡捕获率（）如下图： 图：雪兔种群捕获量-捕获强度曲线 随着捕获强度的增加，持续捕获量光滑的上升，并在时取得最大值。然后在平滑的下降，在时，持续产量取零值。所以说持续捕获的时候所能获得的最大的利润就为： 将上述的结果代入该方程就可得到这就是说，只要人类的捕获量保持在一定的水平，即：E<r的时候，雪兔的数量总是能自动的调节到，反之则雪兔的数量就会逐渐减至零。用Logistic模型来描述生物种群数量的生长曲线，有着明显的缺陷。首先，它没有考虑到种群在不同环境下生长状况的差异，种群生长与环境的相互关系是很密切的，环境条件影响着种群的生长、发展，种群适应环境，两者间保持相对的稳定。种群具体生长的环境是相互作用的综合体末尾种群的生长条件提供条件。因此描述种群的增长规律，必须考虑环境条件。其次，Logistic模型不能反映出环境条件对种群增长的影响。事实上，种群的生长环境是随时间不断变化的，其原因有自然因素，也有人为因素。这种环境的变化必然会对种群的增长造成影响。式(4.4)，即本文提出的描述生物种群生长曲线的新模型，由于增加了捕食影响等代表外部环境因子的修正项，既反映了种内竞争对种群实际增长率的影响，又反映了不同的环境条件或环境条件变化对种群实际增长率的影响，因而克服了Logistic模型即(4.1)式的不足和局限性。式(4.4)在理论上更为严密合理，能够更加准确地描述种群的实际生长进程。当然在式(4.4)中的相对捕食系数函数，是不依赖于生物种群数量Q的一个随时间t 变化的变量。对不同的外部环境条件和不同的环境条件变化，可以选取不同的捕食系数函数作为修正项，因而式(4.4)具有广泛的代表性和适用性。本文从理论上给出了描述生物种群生长曲线的数学模型。在实际问题中，关于式(4.4)中修正项的确定是一件复杂的工作，需通过观察、统计，掌握种群具体的环境条件及其变化规律和发展趋势，在科学分析的基础上确定出修正项。如果种群的外部环境条件相对稳定，则可以选取修正项为一常数；当种群所处的外部环境在发生变化，如持续恶化或改善时，则可分别取修正项为减函数或增函数。修正项选取得正确与否，直接关系到式(4.4)的准确性和实用性。但无论如何，与Logistic模型相比，式(4.4)具有较大的优越性和较高的准确性。参考文献1C.M克洛斯, D.K弗雷德里克著,动态系统模型的建立和分析(张惠桥等译),机械工作出版社,19872姜启源编,数学模型,高等教育出版社,19873杨启帆 方道元，数学建模，浙江大学出版社，1999.94胡守信 李柏年，基于Matlab 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Republished in Wild Mammals of North Amercia,199012Rorres , Chris , and Anton , Howard : Applications of Linear Algebra , second Edition , John Wiley &Sons ,new York ,1979谢 辞 在整个毕业论文的研究过程中，首先，我要衷心的感谢我的指导老师廖基定教授。感谢廖老师在百忙之中抽出时间为我的毕业论文提供耐心的指导，给我指明了论文研究的方向，提供我研究论文的资料，教给我研究的方法，帮助我解决了很多疑难问题。廖老师认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论知识使我受益匪浅。正是有了廖老师的指导与帮助，才使我在短期内获得了一定程度的提高，这将对我以后的人生道路中起到良好推动作用。同时也感谢数理学院全体领导、老师及各位同学在学习和生活中对我的关心和帮助，感谢他们给予我的支持，正是在他们的鼓励和帮助下，我才得以顺利完成论文。其次，通过这次毕业论文的研究我学到了很多东西。通过对相关文献的阅读，使我了解了数学的魅力，徜徉于数学的海洋中让我的思维更为严谨；通过对论文的制作，使我学会了论文的写作格式；与此同时，在此次论文的制作中锻炼了我的独立思考能力及解决问题的能力，并且使我更热爱学习科学知识，充实了我的头脑，对科学的求是、求实有了更高层次的理解。