双模量温克尔地基上梁的弯曲.doc

双模量温克尔地基上梁的弯曲 摘要：本文利用最小势能原理，将梁的挠度展开为正弦级数，对双模量温克尔地基上梁的弯曲问题进行了分析和数值计算。对比了传统温克尔地基、无拉力温克尔地基和双模量温克尔地基上梁的计算结果，计算结果表明，温克尔地基上梁弯曲时的线性解与非线性解有较明显的差异。所采用的方法具有计算简单，收敛速度快的特点。 关键词：梁 双模量温克尔地基 正弦级数 最小势能原理 在对土建结构分析时，经常要进行弹性地基梁的计算。目前，计算此类问题时通常按线性问题处理，即假定温克尔地基基床系数为常数。这种计算方法虽然简单，但与实际有差异。文献1-4用不同方法对无拉力温克尔地基上梁的弯曲问题进行了研究，但是该地基模型又走向了另外一种极端。因为，真实地基的抗拉能力并不为零，其拉伸时的基床系数通常为压缩基床系数的10%-20%。 本文基于最小势能原理，通过将梁的挠度展开为正弦级数对双模量温克尔弹性地基上梁的弯曲问题进行了研究。 1、双模量温克尔弹性地基模型 图1温克尔模型 图2无拉力温克尔模型 图3双模量温克尔模型 温克尔模型是捷克工程师温克尔于1867年在计算铁路路轨时提出一种的假设，根据这一假设，地基上某点的位移与其它点的应力无关。这实质上就是把地基看作是由许多独立的且互不影响的弹簧组成他认为地基表面任一点的作用力p与该点的位移w成正比，即 ，式中k称为地基基床系数或地基反力系数，该模型的力-位移关系见图1。 考虑到土体的抗拉能力极弱，后人提出了无拉力温克尔模型，其力-位移关系见图2。 但大量的工程实践表明，土体的抗拉能力尽管同抗拉能力相比很弱，通常仍为抗拉能力的10%-20%。因此，若不考虑其抗拉能力，就不可能准确的分析弹性地基梁。鉴于此，双模量温克尔弹性地基模型的应用是有必要的，该模型的力-位移关系见图3。 2、双模量温克尔地基上梁的求解方法 图4所示的两端自由的弹性地基梁，受任意分布载荷q和r个集中力P及s个集中力偶m 的作用，该系统的总势能可表示为： （1） 其中Ub、Us和Wp依次为梁、地基的应变能和荷载的势能，即 图4 弹性地基梁 （2） 上式中的EI为梁的抗弯刚度，k为温克尔地基基床系数， （3） 若 ，即为传统的温克尔地基；若 ，即为无拉力温克尔地基。 对两端自由的弹性地基梁，假设梁的挠度可表示为如下形式： （4） 将（4）式代入（1）式，即可得到弹性地基梁的总势能。 根据最小势能原理， （5） 得到 （6） 方程组的前两实际上是梁的平衡方程，其余式才与梁的弯曲有关。 为了使问题具有一般意义，对（6）式进行无量纲化处理，即令 则以上方程组可整理成如下的方程组： （7） 方程组（7）即为本文所得到的控制方程组。该方程组为无穷方程组，计算时可只取bn的前N项，这样实际上要求解的是一个（N+2）元的方程组。 由于梁挠度事先是未知的，因此计算时可按逐次逼近法来求解。具体做法是：（1）首先假定地基处于完全压缩状态，求解出梁的挠度w；（2）确定受压区域（w>0）和受压区域（w0）的区域，按（3）式重新设定各区域相应的基床系数k后，求解方程组（7）；（3）重复以上过程，直至梁的挠度w收敛。 3、计算实例 图5所示的两端自由基础梁，受均布载荷及集中力作用，k1=k，k2=0.15k，kl4/EI=48024。为了进行比较，还计算了传统温克尔地基梁和无拉力温克尔地基梁。 图5 受均布荷载及集中荷载的弹性地基梁 4、结论 计算结果表明，温克尔地基上梁的挠度和弯矩，其线性解与非线性解有着较明显的差异，在设计时应予以考虑。 本文所采用的计算方法不仅可以计算等刚度梁，且可计算变刚度梁受任意载荷作用的弯曲问题。 本方法具有计算程序设计简单，解题规模小，收敛快的特点。 参考文献： 1Weitsman，Y.， On foundation that react in compression only， J. Appl. Mech.， 1970（4） 2Tsai，N.and westmann，R.A.， Beam on Tensionless Foundation，Proc. of Eng. Mech. ，ASCE， 1967（5） 3张仕铮，用富氏级数及迭代法解无拉力温克勒尔地基上的梁，天津大学学报，1982（3） 4郑建军、周欣竹，无拉力温克尔地基梁静力分析的积分方程法，水利学报，1993（3）