通信原理ppt课件第3章_随机过程分析.ppt

通 信 原 理 电 子 教 案第 3 章 随机过程,西 北 工 业 大 学2009.3,2023/3/28,2,第 3 章 随机过程本章是本书的重要数学基础。研究内容：3.0 引言 3.1 随机过程的一般描述 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声,2023/3/28,3,3.0 引言 通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不可预测，不能用确定函数表示的信号。随机噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪声）。简称噪声。随机过程：从统计学的观点看，随机信号和随机噪声均可表示为随机过程。定义：随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。,2023/3/28,4,3.1 随机过程的一般描述3.1.0 基本概念考察：假设有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。（n-足够大的正整数）得到一系列噪声波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t)。理想时，波形应一致，但实际不然。,找不到两个完全相同的波形！,2023/3/28,5,讨论：每一条曲线i(t)都是一个随机起伏的时间函数随机函数。全部随机函数的集合随机过程：(t)=1(t),2(t),n(t)每一条曲线i(t)都是随机过程的一个实现/样本为确定的时间函数。,在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值(t1)，发现他们的值是不同的 是一个随机量（随机变量）。,角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。,2023/3/28,6,讨论：在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的为随机量。换句话说，随机过程在任意时刻t1的值(t1)是一个随机变量。因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。,角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。,2023/3/28,7,概括：随机过程(t)的含义属性有两点：（1）(t)是t 的函数；（2）(t)在任一时刻 t1上的取值(t1)不是确定的，是一个随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。概率论：随机变量分析分布函数和概率密度研究内容随机过程统计特征：3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征,2023/3/28,8,3.1.1 随机过程的分布函数设(t)表示一个随机过程，它在任意时刻t1的值(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。（1）随机过程(t)的一维描述一维分布函数,一维概率密度函数,若上式中的偏导存在的话。,2023/3/28,9,（2）随机过程(t)的二维描述若随机过程(t)在时刻 t1 的取值是随机变量(t1)，时刻t2的取值是随机变量(t2)，则(t2)与(t2)构成一个二元随机变量(t1),(t2)。二维分布函数,二维概率密度函数,若上式中的偏导存在的话。,2023/3/28,10,（3）随机过程(t)的多维描述n维分布函数,n维概率密度函数,2023/3/28,11,目的/意义：可以把随机过程(t)当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。统计独立:对于任何n个随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）=f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。,2023/3/28,12,3.1.2 随机过程的数字特征引言 问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时间平均”两种。统计平均:对随机过程(t)某一特定时刻不同实现的可能取值(ti)随机变量，用统计方法得出的种种平均值叫统计平均。时间平均:对随机过程(t)的某一特定实现i(t)，用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。,2023/3/28,13,随机过程在任意给定时刻t的均值。,1.均值（数学期望）随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值,式中 f(x1,t1)(t1)的概率密度函数。由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t，x1改为x，这样,2023/3/28,14,a(t),(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：,2023/3/28,15,2.方差,均方值,均值平方,方差常记为 2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为,所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 相对于均值a(t)的偏离程度。,2023/3/28,16,3.协方差与相关函数(t)不同时刻取值之间的相互关系假定：(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。（1）相关函数同一随机过程的相关程度,f2(x1,x2;t1,t2)(t)的二维概率密度函数。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。R(t,)（2）协方差函数,2023/3/28,17,相关函数和协方差函数之间的关系：,特别：若a(t1)或 a(t2)为0，则 B(t1,t2)=R(t1,t2),4.互相关函数两个随机过程的相关程度,(t)和(t)是不相关的-正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是不相关的。,式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。相应地：R(t1,t2)称为自相关函数。特别：,2023/3/28,18,3.2 平稳随机过程1.定义若一个随机过程(t)，它的任意有限维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数，有,则称(t)是严格意义下的平稳随机过程或狭义平稳随机过程。,2023/3/28,19,2.性质该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：,3.数字特征,而二维分布函数只与时间间隔=t2 t1有关：,可见：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。,2023/3/28,20,严平稳随机过程的数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。4.广义平稳随机过程 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。意义：具有各态历经性平稳随机过程十分有趣，非常有用。通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具有各态历经性的随机过程。,2023/3/28,21,3.2.2 各态历经性问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的：平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。条件？,2023/3/28,22,各态历经性条件设：i(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：,如果平稳过程使下式成立,则称该平稳过程具有各态历经性。,2023/3/28,23,“各态历经”的含义：随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。各态历经随机过程的特点好处 在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,2023/3/28,24,例3-1 设一个随机相位的正弦波为,其中，A和c均为常数；是在(0,2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。,【解】（1）先求(t)的统计平均值。均值：,与t 无关,2023/3/28,25,仅只与时间间隔 有关。所以：(t)是广义平稳过程。,自相关函数：,令t2 t1=，得到,2023/3/28,26,结论：随机相位余弦波是各态历经的。,（2）求(t)的时间平均值,综上，有,2023/3/28,27,3.2.3 平稳过程的自相关函数特别重要，因为：平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述；相关函数揭示了随机过程的频谱特性。（1）平稳过程自相关函数的定义：,（2）平稳过程自相关函数的性质,(t)的平均功率 的偶函数 R()的上界，R()在=0有最大值。(t)的直流功率(t)的交流功率,特别：均值为0时，有 R(0)=2,2023/3/28,28,（3）|R()|R(0)-R()的上界。证：由于 E(t)(t+)2 0 从而 E(t)(t+)2=E2(t)+2(t+)2(t)(t+)=E2(t)+E2(t+)2E(t)(t+);-平稳=2R(0)2R()0 所以，得 R(0)R()即|R()|R(0),2023/3/28,29,（4）R()=E2(t)=a2-(t)的直流功率。证：,注：这里利用了当时(t)与(t+)变得没有依赖关系，即统计独立，且认为(t)不含有周期分量。,（5）R(0)-R()=2-方差，(t)的交流功率。证：由 D(t)=E(t)-a(t)2=E2(t)-2a(t)+a2=E2(t)-a2=R(0)-a2 得 2=R(0)-R(),2023/3/28,30,3.2.4 平稳随机过程的功率谱密度P()相关函数R()的又一重要性质。设：(t)平稳，R()绝对可积,则,在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。,简记为：,维纳-辛钦关系,2023/3/28,31,讨论：（1）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：,从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。（2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，任一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数。,2023/3/28,32,【解】由例3-1已经得知随相信号是一个平稳过程，且其相关函数为,例3-2 求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数、功率谱密度和和平均功率。,又由,得 功率谱密度 平均功率,2023/3/28,33,3.3 高斯随机过程 通信中最重要也是最常见的过程。3.3.1 定义如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式见 式（3.3.1）（3.3.3）特点：高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。一维时：,2023/3/28,34,3.3.2 重要性质由定义可分析出（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳。（2）高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间若不相关，则它们也是统计独立的。fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）f1（x1，t1）f2（x2，t2）.，fn（xn，tn）（2.5.3）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线性系统）角度。,2023/3/28,35,则称为服从正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。a均值，2方差。,3.3.3 高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的取值。1.定义/概率密度函数 若随机变量的概率密度函数可表示成,曲线：,2023/3/28,36,性质：,1）对称于直线x=a;2）在 内单调上升，在 内单调下降，且在a点处达到极大值;,3）4）a 表示分布中心，表示集中的程度。一定时，。,2023/3/28,37,2.正态分布函数（1）一般表示式,这个积分不易计算，常引入误差函数或Q函数（可查表）来表述。,2023/3/28,38,（3）用误差函数表示 正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。1）误差函数定义,误差函数：互补误差函数：,附录B,2023/3/28,39,2）误差函数的性质误差函数是递增函数，它具有如下性质：,互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：,2023/3/28,40,3）用误差函数表示正态分布函数,或：,2023/3/28,41,（2）用Q函数表示正态分布函数 Q函数定义：,Q函数和erfc函数的关系：,Q函数和分布函数F(x)的关系：,Q函数值也可以从查表得到。,2023/3/28,42,3.4 平稳随机过程通过线性系统3.4.1 线性系统复习设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为：h(t)、H()，则：H()h(t)。,周知：线性系统响应v0(t)等于输入信号vi(t)与冲击响应h(t)的卷积，即：,确知信号通过线性系统：,2023/3/28,43,系统满足物理可实现条件:h(t)=0，t0；输入有界（满足狄里赫利条件）。则有：,理解：上式对于确知信号是没有问题的。当输入是随机过程(t)的一个实现i1(t)随机函数时，便有输出随机过程o1(t)。进一步：当输入是随机过程i(t)时，便有输出随机过程o(t)。且有：,随机信号通过线性系统：,2023/3/28,44,任务：假设i(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求0(t)的统计特性。注：考察一个实现就够了。假设：i(t)是平稳的输入随机过程，a 均值，Ri()自相关函数，Pi()功率谱密度；求输出过程o(t)的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。,2023/3/28,45,3.4.2 o(t)的统计特性 1.o(t)的平稳性（1）均值,结论：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H(0)相乘。且E0(t)与t无关。,与t无关。,2023/3/28,46,（2）相关函数,仅与有关。,综上:o(t)平稳。,2023/3/28,47,由进行傅里叶变换，得令=+-，代入上式，得到即结论：应用：由Po(f)的反傅里叶变换求Ro()。,2.0(t)的功率谱密度及分布函数（1）输出过程o(t)的功率谱密度,2023/3/28,48,由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和输出过程也为高斯过程。注：与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。,（2）输出过程o(t)的分布函数结论：,证：从积分原理看,可以表示为：,2023/3/28,49,3.5 窄带随机过程窄带过程3.5.1窄带随机过程的概念1.什么叫窄带随机过程？频谱：所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫。时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。,2023/3/28,50,问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的?可以看出：(t)的统计特性由a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性确定.若(t)的统计特性已知，则a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。,2.表达式两种！,2023/3/28,51,3.5.2 已知(t)的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性结论1若(t)：均值为0、方差为2、窄带、平稳、高斯随机过程。则：（1）c(t)、s(t)同样是平稳高斯随机过程；（2）E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同(都为0)；（3）c2=s2=2=2方差相同，同于(t)；（4）在同一时刻（即=0）上得到的c及s互相关函数为0，即c与s互不相关，或说统计独立。,2023/3/28,52,2.5.3 已知(t)的统计特性，求 a(t)、(t)的统计特性 结论2若(t)：均值为0、方差为 2、窄带平稳高斯随机过程。则：（1）其包络a(t)的一维pdf 呈瑞利分布；（2）其相位(t)的一维pdf呈均匀分布；（3）a(t)与(t)统计独立。,2023/3/28,53,3.6 正弦信号加窄带高斯噪声3.6.1 合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为：,其中：,-正弦载波:假定A、c为常数;为随机变量，其一维pdf 均匀分布，即：f()=1/(2)，02,-窄带随机过程:nc(t)-n(t)之同相分量；ns(t)-n(t)之正交分量。,2023/3/28,54,代入，整理：,其中：,2023/3/28,55,3.6.2 统计特性（1）同相分量和正交分量的统计特性,结论1若：n(t)均值为0、方差为2、窄带平稳高斯随机过程;给定。则：（1）zc(t)、zs(t)同样是窄带平稳高斯随机过程；（2）且zc2=zs2=n2=2方差相同，同于n(t)；（3）但：Ezc(t)=Ezs(t)=（4）在同一时刻（即=0）上得到的zc及zs互相关函数为0，即zc与zs互不相关，或说统计独立。,2023/3/28,56,（2）合成信号振幅z(t)和相位(t)的统计特性可以证明：1）随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布）,图3-5 正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布 讨论：,2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。,2023/3/28,57,3.7 高斯白噪声和带限白噪声3.7.1 白噪声 1.定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即：双边谱密度：单边谱密度：,其中：n0为常数，W/Hz。一般默认白噪声为平稳的。,2023/3/28,58,2.自相关函数据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。,白噪声的功率谱密度与自相关函数,结论：对白噪声而言，只有当=0时（同一时刻）才相关，而在0的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。问：高斯白噪声？,2023/3/28,59,3.白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或,讨论：真正“白”的噪声不存在，它只是构造的一种理想化的噪声形式。实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远大于通信系统的工作频带，就可视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还统计独立。,2023/3/28,60,3.7.2 带限白噪声1.低通白噪声定义：白噪声经理想低通滤波器(-f0，f0)后而形成的噪声，被称为带限白噪声。功率谱密度：,2023/3/28,61,自相关函数,N-噪声平均功率，取决于n 0 f0-P()的面积。,2023/3/28,62,结论：按抽样定理对带限白噪声抽样的话，各抽样值是互不相关的随机变量(各抽样点处的随机变量是互不相关的)。问：窄带、高斯、白噪声的含义。,2023/3/28,63,2.带通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度：设理想带通滤波器的传输特性为式中：fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为,2023/3/28,64,自相关函数：,2023/3/28,65,3.窄带高斯白噪声通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。平均功率,2023/3/28,66,例 功率谱密度n0/2白噪声，经LPF：,求输出的：Po()、Ro()、噪声功率N。解：,