直线与圆的方程.doc

第七章 直线和圆的方程知识梳理1.直线方程的五种形式2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系:（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°180°.（2）直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan（90°）.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（，+）.（4）求直线斜率的方法定义法：已知直线的倾斜角为，且90°，则斜率k=tan.公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，则斜率k=.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角=90°；当x1x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k0时，=arctank，k0时，=+arctank.（5）到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为，则tan=,tan=.（6）平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1/l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。（7）两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=。（8）点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：。3直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().4简单的线性规划问题:若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方(或称右方)的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方(或称左方)的部分。注:解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。直线系与对称问题（一） 主要知识及方法：点关于轴的对称点的坐标为 ；关于轴的对称点的坐标为 ； 关于的对称点的坐标为 ；关于的对称点的坐标为 .点关于直线的对称点的坐标的求法： 设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上.直线与直线的斜率互为负倒数，即直线关于直线的对称直线方程的求法： 到角相等； 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； 轨迹法(相关点法)； 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.直线系方程：直线（为常数，参数；为参数，位常数）.过定点的直线系方程为及与直线平行的直线系方程为（）与直线垂直的直线系方程为过直线和的交点的直线系的方程为：（不含）（二）典例分析： 例1 （1）求点关于直线的对称点（2）求关于直线的对称点（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B（8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m，n）重叠，求m+n；例2：试求直线关于直线对称的直线的方程。练习： （2）求直线关于直线x=3对称的直线方程；（3）求直线关于直线对称的直线方程；例3 （1）已知，在直线上找一点P，使最小，并求最小值； （2 ）已知，在直线上找一点P，使最大，并求最大值； 例4 光线由点A(2，3)射到直线反射，反射光线经过点B（1，1）求反射光线所在直线方程。练习：1、 光线从射出，被x轴反射后经过点B（3，2），求入射光线所在直线方程；2、 光线沿着直线射向直线，求反射光线所在直线方程。3、 直线关于直线的对称直线方程是，求直线的倾斜角；4、 直线和直线关于直线对称，求直线的方程；5、一张坐标纸对折后，点A(0，2)与点B（4，0）重叠，若点C(2，3)与D（m，n）重叠，求m+n；6、求直线关于点A（2，3）对车的直线方程7、与关于直线对称，求直线的方程；8（选）、入射光线沿直线射到x轴后反射，这时又沿着直线射到y轴，由y轴再反射沿着直线射出，求直线的方程；二、圆的方程及有关问题（一）、圆及圆的一般方程1.圆的一般方程 ：2推导：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2. 展开整理得：令则得将方程左边配方得：。（1）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆。（2）当时，由方程得它表示一个点。（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。因此，当时，方程表示一个圆，方程叫做圆的一般方程。3 圆的一般方程的特点（1）的系数相同且不等于零；（2）不含的项。具有以上两个特点的二元二次方程仅符合方程的形式，还需要满足的条件，才能表示圆，因此，上述两个特点是二元二次方程表示圆的必要条件，不是充分条件。4、圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为（为参数）。（二）、直线与圆直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法：1、方法一:利用判别式来讨论位置关系方法二:圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较2圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，根据垂径定理，则有：；（2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则注意：求直线被圆截得的弦长问题一般用几何法。3直线与圆相切（1）若点在圆；则过点点的切线方程为：；（2）已知斜率为且与圆相切的切线方程为：；已知斜率为且与圆 相切的切线方程的求法，可设切线为，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求；（3）当点在圆外面时，可设切方程为，利用圆心到直线之距等于半径即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上。（4）当直线和圆相切时，切点的坐标为的方程和圆的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线垂直的直线与切线联立的方程组的解。（5）若点在圆外一点；则过点点的切线的切点弦方程为：；若点在圆；则过点点的切线的切点弦方程为：； 题型二：圆的方程的综合应用例2： 已知方程（1）若此方程表示圆，求实数a的范围；（2）求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程。【变式与拓展】：已知方程表示的图形是圆。（1）求t的取值范围；（2）其中面积最大的圆的方程。题型三：与圆有关的最值问题例3 已知圆的方程为，求圆上的点到直线x-y-8=0的距离的最大值和最小值。【变式与拓展】已知圆C：点A（-1，0），B（1，0），点P在圆上运动，求的最值及相应的点P的坐标。（二）、直线与圆（例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。 2.求圆的方程例：求圆的圆心在直线y=-4x上，并且与直线a：x+y10 相切， 求切于点p(3、-2)的圆的方程。解：求圆的方程存在下列两种思路思路1：思路2：4.求字母参数取值范围例：已知圆的方程为 x2+ y2+ ax+ 2y+ a2=0，一定点为A(1、2)，要使过定点(1、2)，作圆的切线有两条，求a的取值范围。直线与圆相交一条直线与圆相交可以求相交弦长例：已知圆的方程为：x2 + y2 =9,直线y=x+1与圆相交于A、B，求相交弦的长。直线与圆相离已知圆的方程 x2 2x+ y2 + 6y = 6，求圆与直线4x-3y+12=0的距离的最大值和最小值。三、圆与圆1、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为两圆外离； 两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含；注意：判断两圆的位置关系多用几何法。2两圆相切时，两圆心所在直线经过切点，外切时有3条公切线，内切时有1条公切线。3两圆外离时，有4条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆连心线垂直平分公共弦。注意：两圆相交时，相交弦的方程是将两圆方程相减，消去和后得到的直线方程。4圆系方程：（1）经过两个圆：与圆： 的交点的圆系方程是（不含圆，）；当时，表示过两个圆交点的直线；（2）经过直线与圆的交点的圆系方程是（）；灵活使用圆系方程解题，可以起到简化计算的目的，避免求交点坐标。题型一 圆与圆位置关系的判断判断下列两圆的位置关系。（1）：，：；（2）：，：。题型二 两圆相交例2 已知两圆和相交于A、B两点。（1） 求弦AB所在直线方程；（2） 求A、B两点坐标；（3） 求弦长AB。【变式与拓展】：若两圆和相交，其中一个交点为(1,3)，求另一个交点坐标。题型三 圆系方程的综合应用例5 已知圆的方程为，其中。（1）求证：当a为不等于1的实数时，上述圆过定点。（2）求圆心的轨迹方程。（3）求恒与圆相切的直线方程。直线和圆的方程测试题一、选择题（4分×12=48分）1、过定点P(2,1)，且倾斜角是直线l：xy1=0的倾斜角两倍的直线方程为（ ）（A）x2y1=0 （B）2xy1=0 （C）y1=2(x2) （D）x=22、下列四个命题中的真命题是（ ）（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程yy0=k(xx0)表示 （B）经过两个任意不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)=(xx1)(y2y1)表示 （C）不经过原点的直线都可以用方程表示 （D）经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示3、直线l与两直线y=1,xy7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，1)，则直线l的斜率是（ ）（A） （B） （C） （D）4、已知两条直线l1:y=x；l2:axy=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（ ）（A）(0,1) （B） （C） （D）5、已知，则x+y的最大值和最小值分别是（ ）（A）4,18 （B）4,8 （C）18,4 （D）8,46、直线y=绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x2)2+y2=3的位置关系是（ ）（A）直线过圆心 （B）直线与圆相交，但不过圆心 （C）直线与圆相切 （D）直线与圆没有公共点7、圆x2+y24x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若APB=90°，则c的值为（ ）（A）3 （B）3 （C）8 （D）28、圆x2+y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于（ ）（A） （B） （C）1 （D）59、若直线：ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是（ ）（A）在圆外 （B）在圆上 （C）在圆内 （D）不确定10、过圆x2+y2=4外一点M(4,1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为（ ）（A）4xy4=0 （B）4xy4=0 （C）4xy4=0 （D）4xy4=011、动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点轨迹方程是（ ）（A）(x3)2y2=4 （B）(x3)2y2=1 （C）(2x3)24y2=1 （D）(x)2y2=12、曲线y=1+2,2)与直线y=k(x2)+4有两个公共点时，实数k的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题（3分×4=12分）13、若直线l1：2xy10=0，l2：4x+3y10=0，l3：ax+2y+8=0，相交于一点，则a= ；14、以点(2,3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ；15、一个以原点为圆心的圆与圆x2+y2+8x4y=0关于直线l对称，则直线l的方程 ；16、过点P(1,2)的直线l把圆x2+y24x5=0分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线l的方程是 。三、解答题（12分×4=48分）17、（本题8分）三角形的两条高所在直线方程为：2x3y+1=0和x+y=0，点A(1,2)是它的一个项点，求：（1）BC边所在直线方程. （2）三个内角的大小.18、（本题10分）某校食堂长期以面粉和大米为主食，面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才即科学又费用最少？19、（本题10分）已知直线l：kxy3k=0，圆M：x2y28x2y9=0（1）求证：直线l与圆M必相交；（2）当圆M截l所得弦最短时，求k的值，并求l的直线方程。20、（本题12分）已知与曲线C：x2y22x2y1=0相切的直线l交x，y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a>2,b>2）.（1）求证：(a2)(b2)=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求AOB面积最小值。