零件的变形及强度计算课件.ppt

零件的变形及强度计算,主讲人：李文达,班级：机械,1301,零件的变形及强度计算,?,零件的拉伸和压缩,?,?,零件的剪切和挤压,圆轴的扭转,?,?,直梁的弯曲,零件组合变形的强度计算,?,交变应力作用下零件的疲劳强度,学习任务,.,明确材料力学的基本任务，理解构件的强度、刚度和稳定,性的力学意义。,.,理解内力的概念，能熟练利用截面法求解内力。,.,理解应力、变形和应变的概念。,.,能熟练地计算轴力，作轴力图。,5.,理解零件强度条件，并能够熟练解决强度校核、设计截面,和确定许可载荷问题,变形分析的基本知识,一、变形固体及其基本假设,任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都将产生相对,运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为,变形,。,例如，橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变形；工厂车间,中吊车梁在吊车工作时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。,在外力的作用下会产生变形的物体可统称为,变形固体,。,变形固体在外力的作用下会产生两种不同的变形：,?,当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为,弹,性变形,；,?,外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形，,称为,塑性变形,。,当物体的外力在一定的范围时，塑性变形很小，,可以把构件当作只发生弹性变形的理想弹性变形体。,假设弹性体内连续不断地充满着物质，各点处的材,料性质完全相同，且各方向上的性质都相同。这就是,变形固体的基本假设。,即本单元研究的对象为构件是均,匀连续的、各向同性的理想弹性,体，限于小变形的范围内。,二、变形的基本形式,杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的变形。,变形的基本形式有四种：,?,?,?,?,轴向拉伸（压缩）变形,剪切（挤压）变形,扭转变形,弯曲变形,其它复杂的变形都,可以看成是这几种,基本变形的组合。,零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿,命，甚至发生破坏。,为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作，,必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称,承载能力,。,构件的承载能力分为：,强度、刚度、稳定性,一、强度,构件抵抗破坏的能力。,强度要求是对构,件的最基本要求。,构件在外力作用下不破坏必须具有足够的强度，例如房屋大,梁、机器中的传动轴不能断裂，压力容器不能爆破等。,二、刚度,构件抵抗变形的能力。,在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若受力后变形,过大，即刚度不够，也会影响正常工作。例如机床主轴变,形过大，将影响加工精度；吊车梁变形过大，吊车行驶时,会产生较大振动，使行驶不平稳，有时还会产生“爬坡”,现象，需要更大的驱动力。因此对这类构件要保证有足够,的刚度。,三、稳定性,构件受载后保持原有平衡状态的能力。,例如千斤顶的螺杆，内燃机的连杆等。,本单元主要研究构件在载荷,（外力）作用下的变形、受力,与破坏的规律，在保证构件既,安全适用又尽可能经济合理的,前提下，为构件选择合适的材,料、确定合理的截面形状和尺,寸提供必要的基础知识和实用,的计算方法。,第一节,零件的拉伸和压缩,一、拉伸和压缩的概念,工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件。如图,a,所示的起,重机吊架中的拉杆,AB,（拉伸），图,b,所示的建筑物中的支柱,（压缩）。,受力零件的共同特点是：外力的作用线与零件的轴线重,合，零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。,二、轴向拉伸和压缩时的内力,构件上的载荷和约束力统称为,外力,。,零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位,置的变化，材料内部会产生一种附加,内力,，力图使各,质点恢复其原来位置。,附加内力的大小随外力的增加而增加，当附加内力,增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在研究,零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面,的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。,1,截面法,截面法是用以确定零件内力的常用方法。,通过取截面，使零件内力显示出来以便确定其数值的方法。,如图,a,所示的杆在外力,F,p,的作用下处于平衡状态，力,F,p,的,作用线与杆的轴线重合，求截面,m,m,上的内力。,用假象平面在,m,m,处将杆,截开，分成左右两段，,根据,?,F,N,作用力与反作用力定理,F,和,N,?,大小相等、方向相反。,F,N,取左段为研究对象,?,F,X,?,0,F,N,?,F,P,?,0,F,N,?,F,P,综上所述，用截面法求内力的步骤为：,1.,一截为二。即在欲求内力处，假想用一截面将零件一截,为二；,2.,弃一留一。即选其中一部分为研究对象并画受力图（包,括外力和内力）；,3.,列式求解。即列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。,2,轴力,与杆轴线重合的内力又称为轴力。,轴力的符号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线方,向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力,为正，压杆的轴力为负。,为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。,作法是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的轴为横坐标轴，,其值表示各横截面位置，取垂直于,轴的,F,N,为纵坐标轴，其值表示对应,截面的轴力值，正值画在轴上方，负值画在轴下方。,例,1,试计算如图,a,所示等直杆的轴力，并画出轴力图。,解：,（,1,）求约束反力,取全杆为研究对象，作受力图，如图,b,所示。,根据平衡方程：,?,F,则,x,?,0,P,1,?,P,2,?,P,3,?,R,?,0,得,R,?,P,1,?,P,2,?,P,3,?,(18,?,8,?,4),kN,?,6,kN,（,2,）分段计算轴力,按外力作用位置，将杆分成三段，并在每段内任意取一个,截面，用截面法计算截面上的轴力，如图,c,所示,AB,段,?,F,x,?,0,F,N,1,?,R,?,0,得,F,N,1,?,R,?,6,kN,计算结果为正值，表明图示,N,1,的方向正确，,AB,段受拉伸。,BC,段,得,?,F,x,?,0,F,N,2,?,P,1,?,R,?,0,F,N,2,?,R,?,P,1,?,(6,?,18),kN,?,?,12,kN,计算结果为负值，表明图示,N,2,的方向相反，,BC,段受压缩。,CD,段,得,?,F,x,?,0,?,F,N,3,?,P,3,?,0,F,N,3,?,?,P,3,?,?,4,kN,计算结果为负值，表明图示,N,3,的方向相反，,AB,段受压缩。,（,3,）绘制轴力图,正轴力画在,x,轴上方，负轴力,画在,x,轴下方，如图,d,所示,轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在,截面的位置，而且还明显地表示了杆件各段是受拉还是受压。,三、拉伸和压缩时的应力,?,杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而取,单位面积上的内力称为,应力,，它所反映的是内力在截面,决于单位面积上所分布的内力大小。,?,上的分布集度。,?,其单位为帕斯卡（,Pa,），工程上常用兆帕（,MPa,）。,1Pa=1N/m2,，,1Mpa=106Pa,。,通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况,取一等直杆，在其侧面上划两条垂直于轴线的直线,ab,、,cd,，,如图,a,所示。并在杆的两端加一对轴向拉力,FP,，使其产生拉,伸变形。,如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受,力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面,上各点的应力也是相等的。若以,F,N,表示内力（,N,），,A,表示,横截面积（,mm,2,），则应力,(MPa),的大小为,这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。,的方向与,F,N,一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称为正,应力，都用,表示。和轴力的符号规定一样，规定拉应力为,正；压应力为负。,四、拉伸和压缩时的变形,1,变形与应变,杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横向尺寸缩小。受轴向,压缩时，轴向尺寸缩短，横向尺寸增大。设等直杆的原长为,l,，,横向尺寸为,b,。变形后，长为,l,1,，横向尺寸为,b,1,，如图所示。,杆件的轴向变形量为,横向变形量为,l,称为轴向绝对变形，,b,称为横向绝对变形。,拉伸时，,l,为正，,b,为负；压缩时，,l,为负，,b,为正。,绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通,常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度，即,，,分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者的,符号总是相反的，它们是无量纲量。,2,虎克定律,实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一,限度时，轴线变形,l,与轴向载荷,F,N,及杆长,l,成正比，与杆,的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即,引进比例常数,E,，则有,比例常数,E,称为弹性模量，其值随材料不同而异。,EA,乘积越大，零件变形越小，,EA,称为抗拉（压）刚度。,则有,=,E,上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述,为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。,五、零件拉伸与压缩时的强度计算,（一）极限应力,在应力作用下，零件的变形和,破坏还与零件材料的力学性能有关。,力学性能是指材料在外力作用下表,现出来的变形和破坏方面的特性。,金属材料在拉伸和压缩时的力学性,能通常由拉伸试验测定。,把一定尺寸和形状的金属试,样（图,a,）装在拉伸试验机上，然,后对试样逐渐施加拉伸载荷，直至,把试样拉断为止（图,b,）。,根据拉伸过程中试样承受的应力,和产生的应变,之间的关,系，可以绘出该金属的,曲线。,通过对低碳钢的,曲线分析可,知，试样在拉伸过程中经历了,弹性变形（,oab,段）、塑性变,形（,bcde,段）和断裂（,e,点）,三个阶段。,?,上述比例极限,?,、屈服点,和抗,p,s,拉强度,分别是材料处于弹性比,?,b,例变形时和塑性变形、断裂前,能承受的最大应力，称为极限,应力。,塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变形。该阶,弹性变形阶段，试样的变形与应力,段又分屈服阶段（,bc-,塑性变形迅速增加）、强化阶段（,cd-,始终呈线性关系。应力,p,称为比例,材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（,de-,试样局部出现颈缩）。,极限。图中直线,oa,的斜率就是材料,应力,s,称为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引,的弹性模量,E,。,起显著的塑性变形。应力,b,称为抗拉强度，当零件实际应力,达到抗拉强度应力值时，将会出现破坏。,（二）许用应力,零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力，称为失效。零件在失效前，,允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用,表示。为了确保零件的,安全可靠，需有一定的强度储备，为此用极限应力除以一个大于,1,的系数,（安全系数）所得商作为材料的许用应力,。,对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失,效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为,式中，,n,S,是塑性材料的屈服安全系数。,对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。,考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有,式中，,nb,是脆性材料的断裂安全系数；,l,和,y,分别是拉伸许用应力,和压缩许用应力；,bl,和,by,分别是材料的抗拉强度和抗压强度。,（三）强度条件,为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力,max,不,超过材料的许用应力,。即,上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的,依据。式中，,F,N,是危险截面上的轴力；,A,是危险截面面积。,根据强度条件式，可以解决三类问题：,强度校核：已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力。,设计截面：已知零件所承受的载荷和材料的许用应力。,确定许可载荷：已知零件的尺寸及材料的许用应力。,例,2,某车间自制一台简易吊车（图,a,）。已知在铰接点,B,处吊起,重物最大为,F,P,=20kN,，杆,AB,与,BC,均用圆钢制作，且,d,BC,=20mm,，材料的许用应力,=58Mpa,。试校核,BC,杆的强度，,并确定,AB,杆的直径,d,AB,（不计杆自重）。,解,由受力分析可知，,AB,杆和,BC,杆分别为轴,向受拉和轴向受压的,二力杆，受力图如图,b,所示。,（,1,）确定,AB,、,BC,两,杆的轴力,用截面法在图,a,上按,m-n,截面取研究对象，其受,力图如图,c,所示，可得,F,N,2,?,F,BC,F,N,1,?,F,AB,?,F,y,?,0,F,N,1,sin,60,?,F,P,?,0,3,o,列平衡方程求解：,F,P,20,?,10,F,N,1,?,?,(,),N,?,23.09,kN,o,sin,60,0.866,o,?,F,N,2,?,F,N,1,cos,60,?,0,?,F,x,?,0,F,N,2,?,?,F,N,1,cos,60,?,?,23.09,kN,?,0.5,?,?,11.55,kN,o,（,2,）校核,BC,杆强度,?,BC,F,N,2,F,N,2,4,?,11.55,?,10,?,?,?,Pa,2,?,3,2,A,BC,?,d,BC,?,?,(20,?,10,),4,6,?,36.76,?,10,Pa,?,36.76,MPa,?,?,3,故,BC,杆满足强度要求。,（,3,）确定,AB,杆直径,F,N,A,?,?,其中,A,AB,?,?,d,2,AB,/,4,所以,d,AB,取,4,F,N,1,4,?,23.09,?,10,3,?,3,?,?,m,?,22.5,?,10,m,?,22.5,mm,6,?,?,?,?,58,?,10,d,AB,?,23,mm,第二节,零件的剪切和挤压,一、剪切和挤压的概念,工程实际中常用的一些连接件，例如螺栓、螺钉、铆钉、,销钉、键、剪板机中的板材、木榫接头、焊接接头等，在,外力作用下将主要产生剪切变形和挤压变形。,实例一,用铆钉连接两块钢板如图,a,所示，铆钉受到钢板传递来的两个,横向力,F,（垂直于零件轴线方向作用的力）的作用如图,b,所示。,实例二,用键连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）如,图,a,所示，使轴和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。,键的受力如图,b,如图,b,所示，在外力,F,P,的作用下，截面发生相对错动的变形称,为剪切变形。产生相对错动的截面,m,m,称为剪切面，剪切变,形是零件的一种基本变形。剪切变形的受力特点是作用在零件,两侧面的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。,螺栓除受剪切作用外，,还在螺栓圆柱形表面和,钢板圆孔表面相互压紧,（图,d,），这种局部受,压的现象称为挤压。作,用在挤压面上的压力叫,挤压力，承受挤压作用,的表面叫挤压面，在接,触处产生的变形称为挤,压变形。如果挤压变形,过大，会使联接松动，,影响机器正常工作，甚,至造成挤压破坏。,二、剪切和挤压的实用计算,（一）剪切强度实用计算,应用截面法假想地沿剪切面,m,m,将螺栓分为两段，任,取一段为研究对象，如图,c,所示。由平衡条件可知，剪切面,上必有一个与该外力,F,P,等值、反向的内力，该内力称为剪力，,常用符号,F,Q,表示。,剪力,F,Q,形成与剪切面相切的工作应力称为切应力，用符,号,表示。切应力分布规律比较复杂，工程上常采用以实际,经验为基础的实用计算法来确定。即假设切应力是均匀地分,布在剪切面上的，切应力的计算公式为,式中，,F,Q,是剪切面上的剪力；,A,是剪切面的面积。,为了保证零件安全可靠地工作，其强度条件为,式中，,为材料的许用切应力实验表明，许用切应力与许用拉,应力之间有如下关系：,塑性材料,=,（,0.60.8,）,脆性材料,=,（,0.81.0,）,(,二,),挤压强度实用计算,如图,d,所示为了计算简化，假定挤压应力是均匀分布,在挤压面的。由此，挤压强度的条件为,式中，,jy,为挤压应力，,P,jy,为挤压力；,A,jy,为挤压计算面积，,jy,是材料的许用挤压应力，可查设计手册而得。,对于钢材，有,jy,=,（,1.72.0,）,如果两个相互接触零件的材料不同，应对许用挤压,应力低者进行挤压强度计算。,挤压面面积的计算，要根据实际接触的情况而定。,挤压面为平面，则挤压面面积就是接触面面积，如图,a,所示的,键联接，其挤压面面积为,若接触面为半圆柱面，如螺栓、铆钉、销等，其挤压面面积,为半圆柱面的正投影面面积，如图,c,所示,hl,A,jy,?,2,A,jy,?,dt,d,为螺栓或铆钉的直径，,t,为螺栓或铆钉与孔的接触长度。,例,3,如图,a,所示的铆接件，主钢板通过上下两块盖板对接。,铆钉与钢板的材料相同，,=160Mpa,，,=140Mpa,，,jy,=320Mpa,，铆钉直径,d=16mm,，主板厚度,t,1,=20mm,，盖,板厚度,t,2,=12mm,，宽度,b=140mm,。在,P=240kN,作用下，试校,核该铆接件的强度。,解,铆接件的强度计算中，,通常需要考虑三种可能的破坏形,式：铆钉被剪断；铆钉或钢板的,铆钉孔壁被挤压坏；被铆钉孔削,弱后的钢板被拉断。,下面一一校核。,（,1,）校核铆钉的剪切强度,外力,P,由五个铆钉共同承担，通常假定平均分担。因此每,个铆钉受力,P/5,，而每个铆钉有两个受剪面，故,P,/,5,?,?,?,2,A,2,?,?,d,/,4,3,240,?,10,?,4,?,MPa,?,119,MPa,?,?,?,?,2,2,?,3.14,?,16,?,5,F,Q,（,2,）校核铆钉的挤压强度,因主板厚度小于两盖板厚度之和，而主板铆钉孔壁所受的,挤压力等于两盖板铆钉孔壁所受的挤压力之和，故应校核,铆钉与主板之间的挤压强度，即,P,/,5,240,?,10,3,?,jy,?,?,?,MPa,?,150,MPa,?,?,?,jy,?,?,?,A,jy,t,1,d,5,?,20,?,16,F,pjy,（,2,）校核钢板的拉伸强度,主板厚度小于两盖板厚度之和，故只需校核主板的拉伸强,度即可。主板受力如图,b,所示。,校核,-,和,-,截面的强度：,对于,-,截面：,3,P,3,?,240,?,10,?,?,?,MPa,?,78.3,MPa,?,?,?,?,5(,b,?,3,d,),t,1,5,?,(140,?,3,?,16),?,20,对于,-,截面：,3,P,240,?,10,?,?,?,MPa,?,111,MPa,?,?,?,?,(,b,?,2,d,),t,1,(140,?,2,?,16),?,20,由以上校核可知，整个铆接件的强度是足够的。,3,第三节,圆轴的扭转,一、扭转的概念,如图所示的汽车转向轴和传动系统的传动轴,AB,，工,作时，轴的两端都受到转向相反的一对力偶作用而产生扭,转变形，轴上任意两截面皆绕轴线产生相对转动。扭转零,件的受力特点是,(,图,c),：零件两端受到一对大小相等、转向,相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。,二、圆轴扭转时横截面上的内力,扭矩,如图,a,所示，一圆轴,AB,在一对大小相等、转向相反的,外力偶矩,Me,作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。取,左段为研究对象，如图,b,所示。由平衡关系可知，扭转时,横截面上内力合成的结果必定是一个力偶，其内力偶矩称,为扭矩或转矩，用符号,T,表示。由平衡条件,T-Me=0,T=Me,为使从左右两段所求得的扭矩,正负号相同，通常采用右手螺旋法,则来规定扭矩的正负号。如图,a,所示，,如果以右手四指表示扭矩的转向，,则拇指的指向离开截面时的扭矩为,正；反之为负（图,b,）。,为了形象地表示各截面扭矩的,大小和正负，常需画出扭矩随截面,位置变化的图像，这种图像称为扭,矩图（前图,d,）。,例,2,4,图,a,所示的传动轴，转速,n=200r/min,，,功率由,A,轮输入，,B,、,C,轮输出，已知,PA=40kW,，,PB=25kW,，,PC=15kW,。要求：,画出传动轴的扭矩图；确定最大扭矩,Tmax,的值；设将,A,轮与,B,轮的位置对调，,试分析扭矩图是否变化？最大扭矩,max,值,为多少？两种不同的载荷分布形式，哪一种,更为合理？,三、圆轴扭转时横截面上的切应力,（一）圆轴扭转时横截面上应力分布规律,如图,a,所示，在圆轴表面上画出圆周线和纵向线，形成矩,形网格。在扭转小变形的情况下（图,b,），可以观察到下,列现象：,1,）各圆周线均绕轴线相对地旋转了一个角度，但形状、,大小及相邻两圆周线之间的距离均未改变；,2,）所有纵向线都倾斜了一微小角度,，表面上的矩形网格,变成了菱形。,根据上述现象，可以推出这样的假设：圆轴扭转时，各,横截面像刚性平面一样地绕轴线转动。各横截面仍保持为,平面，其形状、大小都不变，各截面间的距离保持不变。,利用变形的几何关系分析应变的分布规律。,上式说明，横截面上任意点的剪应变,与该点到圆心,的距离,成正比。,根据剪切虎克定律，横截面上距圆心为,的任意点处,的剪应力,，与该点处的剪应变,成正比，即,上式表明，横截面上各点剪应力的大小与该点到圆心,的距离成正比，圆心处的剪应力为零，轴周边的剪应力最,大，在半径为,的同一圆周上剪应力相等。圆轴横截面上,剪应力沿半径的分布规律如图所示。,（二）扭转剪应力的计算,横截面上距圆心为,的剪应力,的计算公式为,当,=R,时，,此时由式（,2-15,）可得,I,P,令,，,W,P,?,R,则上式可写成,式中，,W,P,是仅与截面尺寸有关的几何量，称为抗扭截,面系数。,对于实心圆轴（图,a,），有,对于,d,?,?,D,的空心圆轴（图,b,），有,四、圆轴扭转时的强度和刚度计算,（一）强度计算,为了保证圆轴能安全地工作，应限制轴上危险截面的最大,工作应力不超过材料的许用剪应力，即圆轴扭转的强度条,件为,式中,与,分别为危险截面上的扭矩和抗扭截面系数。,（二）刚度计算,1,圆轴扭转时的变形,圆轴扭转时的变形是以两个横截面的相对扭转角,来度量。,直径圆轴两截面间的扭转角计算公式为,GI,p,称为扭转刚度。,工程上常常采用单位长度的扭转角,来衡量扭转变形的程,度，即,其单位为弧度,/,米（,rad/m,）。,2,刚度条件,为了保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值,不超过轴单位长度的许用扭转角,。即,工程上，,的单位习惯上用度,/,米（,/m,）表示。故用,1rad=180,/,代入上式换算成度，得,的数值可从有关手册中查得。一般情况下，可大致按下列,数据取用：,精密机器的轴,=,（,0.250.5,）,/m,一般传动轴,=,（,0.51.0,）,/m1,要求不高的轴,=,（,1.02.5,）,/m,例,2-5,一汽车传动轴由无缝钢管制成，外径,D=90 mm,，内,径,d=85mm,，许用剪应力,=60Mpa,，传递的最大力偶矩,T=1.5kNm,，,=2,/m,，,G,=80GPa,。试校核其强度和刚,度；若保持扭转强度或扭转刚度不变，将传动轴改为同材,料的实心轴，试分别确定其直径；并分别求出空心轴和实,心轴的重量比值。,第四节,直梁的弯曲,一、直梁平面弯曲的概念,直杆类零件（图,a,、,b,、,c,），其受力变形特点是：外,力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线变形后成曲线，这种形,式的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件习惯上称,为梁。,当作用在梁上的所有载荷都在纵向对称面内时，则,弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条平面曲,线，这种弯曲称为平面弯曲。,二、梁的计算简图,作用在梁上的载荷通常可以简化为下列三种类型：,集中力,集中力偶,分布载荷,经过简化，梁有三种典型形式：,1,简支梁,梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链,支座。如图,f,所示。,2,外伸梁,外伸梁的支座与简支梁完全一样，所不同的是,梁的一端或两端伸出支座以外，如图,d,所示。,悬臂梁,一端固定，另一端自由的梁，如图,e,所示。,以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡,条件就可以确定。,三、梁横截面上的内力,剪力和弯矩,梁如图,a,所示,AB,，用截面沿,n,n,将梁分为左、右两段,(,图,b,、,c),。若以左段为研究对象，由于外力,F,A,有使左段上,移和顺时针转动的作用，因此，在横截面,n,n,上必有垂直,向下的内力,F,Q,和逆时针转动的内力偶矩,M,与之平衡，如图,b,所示。,由静力平衡方程即可求出,F,Q,与,M,之值,上面分析可知，,AB,梁发生弯曲变形时，横截面上的内,力由两部分组成：作用线切于截面、通过截面形心并在纵,向对称面内的力,F,Q,和位于纵向对称面的力偶,M,，它们分别,称为剪力和弯矩。,工程中，对于一般的梁,(,跨度与横截面高度之比,l,h5),，弯矩起着主要的作用，而剪力则是次要因素，在强,度计算中可以忽略。因此，下面仅讨论有关弯矩的一些问,题。,弯矩符号规定：梁变形后，若凹面向上，截面上的弯矩为,正；反之，若凹面向下，截面上的弯矩为负，如图,2-26,所,示。,弯矩的计算有以下的规律：若取梁的左段为研究对,象，横截面上的弯矩的大小等于此截面左边梁上所有外力,(,包括力偶,),对截面形心力矩的代数和，外力矩为顺时针时，,截面上的弯矩为正，反之为负。若取梁的右段为研究对象，,方法类似。,有了上述规律后，在实际运算中不必用假想截面将截面,截开，再用平衡方程去求弯矩，而可直接利用上述规律求,出任意截面上弯矩的值及其转向。,四、弯矩图,为了形象地表示弯矩沿梁长的变化情况，常需画出,梁各截面弯矩的变化规律的图像，这种图像称为弯矩图。,例,2-6,简支梁如图所示。在跨度内某一点受集中力的,作用，试作此梁的弯矩图。,五、弯矩图的作图规律,由以上例题可以总结出弯矩图与载荷之间的几点普,遍规律：,1),在两集中力之间的梁段上，弯矩图为斜直线。,2),在集中力作用处，弯矩图出现折角。,3),在均布载荷作用的梁段上，弯矩图为抛物线。,4),在集中力偶作用处，其左右两截面上的弯矩值发生突,变，突变值等于集中力偶矩之值,。,利用以上规律，不仅可以检查弯矩图形状的正确性，而,且无需列出弯矩方程式，只需直接求出几个点的弯矩值，,即可画出弯矩图。,例,2-9,试作简支梁,(,图,a),受集中力,F,P,和集中力偶,M=F,P,l,作用,时的弯矩图。,六、平面弯曲时梁横截面上的正应力,由于一般的梁（通常指跨度与截面高度之比大于,5,的,梁）影响其弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，所以这里,只讨论梁横截面上的弯曲正应力。,纯弯曲时梁横截面上弯曲正应力的分布规律,在弯曲小变形的情况下，可推出这样的假设：梁作,平面弯曲时，其横截面仍保持为平面，只是产生了相对转,动，梁的一部分纵向“纤维”伸长，一部分纵向“纤维”,缩短。由缩短区到伸长区，存在一层既不伸长也不缩短的,“纤维”，称为中性层,(,图,c),。距中性层越远的纵向“纤维”,伸长量,(,或缩短量,),越大。,中性层与梁横截面的交线称为中性轴,(,图,c),。中性轴,是横截面上压、拉应力的分界线，中性轴以上各点为压应,力,，中性轴以下的各点为拉应力,。由虎克定律,可知，横,截面上各点的应力大小应与所在点到中性轴,z,的距离,y,成正,比，距中性轴越远的点应力越大。离中性轴距离相同的各,点,(,截面宽度方向,),正应力相同，中性轴上各点,(,y=0,处,),正,应力为,0,。,（二）弯曲正应力的计算,如图所示，当梁横截面上的弯矩为,时，该截面距中,性轴,轴为,的任一点处的正应力计算公式为,式中，,是横截面对,轴的惯性矩，是只与截面的形状、尺,寸有关的几何量，其单位为,m,4,或,mm,4,。,由上式可知，当,y=y,max,时，,弯曲正应力达到最大值，即,令,则,式中,称为抗弯截面系数，也是衡量截面抗弯强度的一个,几何量。,常用截面的,I,、,W,计算公式,七、梁弯曲时的强度计算,梁的弯曲强度条件是：梁内危险截面上的最大弯曲,正应力不超过材料的许用弯曲应力,，即,式中，,M,是梁危险截面处的弯矩（,N,m,）；,W,Z,危险截面,的抗弯截面系数（,m,3,）；,材料的许用应力（,Pa,）。,运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设,计截面和确定许可载荷等三类问题。,例,2-10,螺栓压板夹具如图,a,所示。已知板长,3a=150mm,压,板材料的许用应力,=140MPa,。试计算压板传给工件的,最大允许压紧力,P,。,