等差数列的概念及性质.docx

等差数列的概念及性质一选择题（共12 小题）1等差数列 an 中， a27， a6 23，则 a4（）A 11B 13C 15D 172在等差数列 an 中， a4 6， a3+a5 a10，则公差 d（）A1B 0C 1D 23等差数列 an 的前 n 项和为Sn，且 a8 a5 9， S8S5 66，则 a33（）A 82B 97C 100D 1154在等差数列 an 中，已知 a2+a5+a12+a15 36，则 S16（）A 288B 144C 572D 725已知 an 为递增的等差数列，a4+a7 2， a5?a6 8，则公差 d（）A 6B 6C 2D 4n1与 a11 的等差中项是 15， a123 9，则 a9（）6在等差数列 a 中，已知a+a +aA 24B 18C 12D 67已知等差数列nn，且 a18 12 12，则 S13（） a 的前 n 项和为 S+a +aA 104B 78C 52D 398等差数列 an 的前 n 项和为Sn，若 a1 3，S5 35，则数列 an 的公差为（）A2B 2C 4D 79在等差数列 an 中，若 a3+a5+2 a104，则 S13（）A 13B 14C 15D 1610在等差数列 an 中，若2a8 6+a11，则 a4+a6（）A 6B 9C 12D 1811等差数列 an 中， a2 与 a4 是方程 x2 4x+3 0 的两根，则a1+a2+a3+a4+a5（）A 6B 8C 10D 1212等差数列 an 满足 4a3+a11 3a5 10，则 a4（）A5B 0C 5D 10二填空题（共5 小题）13数列 an 中，若 an+1 an+3， a2+a8 26，则 a1214在等差数列 an 中， a1+3a8+a15120，则 3a9 a11 的值为第1页（共 11页）15已知等差数列 an ， bn 的前 n 项和分别为Sn，Tn，若，则16等差数列 an 中，前n 项和为 Sn， a1 0， S17 0， S18 0，则当 n时， Sn 取得最小值17等差数列 an 、 bn 的前 n 项和分别为Sn、 Tn，若，则三解答题（共5 小题）18已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a3 7， a5+a7 26（）求an 及 Sn；（）令bn（nN+），求证：数列 bn 为等差数列19已知等差数列 an 满足 a1+a2 10， a5 a3 4（）求 an 的通项公式；（）设等比数列 bn 满足 b2 a3， b3 a7，问： b6 是数列 an 中的第几项？20在等差数列nn 为其前 n 项的和，已知a1 3 22， S545 a 中， S+a（ 1）求 an， Sn；（ 2）设数列 Sn 中最大项为 Sk，求 k 及 Sk21观察如图数表，问：（ 1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？（ 2）此表第 n 行的各个数之和是多少？（ 3） 2012 是第几行的第几个数？22（理）在 ABC 中， a， b，c 分别是角A， B， C 的对边，且角B，A， C 成等差数列（ 1）若 a2 c2 b2 mbc，求实数 m 的值；（ 2）若 a ，求 ABC 面积的最大值第2页（共 11页）等差数列的概念及性质参考答案与试题解析一选择题（共12 小题）1等差数列 an 中， a27， a6 23，则 a4（）A 11B 13C 15D 17【分析】 利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】 解：等差数列 an 中， a2 7，a6 23，解得 a1 3，d 4 a4 a1+3d 3+12 15故选： C【点评】 本题考查等差数列的第 4 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2在等差数列 an 中， a4 6， a3+a5 a10，则公差 d（）A1B 0C 1D 2【分析】 根据等差数列的性质和通项公式即可求出【解答】 解： a4 6， a3+a5 a10， 2a4 a4+6d， d a4 1，故选： C【点评】 本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题3等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a8 a5 9， S8S5 66，则 a33（）A 82B 97C 100D 115【分析】 先求出公差 d，再根据求和公式求出a1 4，即可求出 a33【解答】 解：等差数列 ann，且 a8 a5 9， 的前 n 项和为S 3d9， d 3， S8 S5 66，第3页（共 11页） 8a1+× 35a1×3 66， a1 4， a33 a1+32d 4+32× 3 100，故选： C【点评】 本题考查等差数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题4在等差数列n2 512 15 36，则 S16（） a 中，已知a +a +a+aA 288B 144C 572D 72【分析】 根据等差数列的性质和求和公式计算即可【解答】 解： a2+a5+a12+a15 2（ a2+a15） 36， a1+a16a2+a15 18， S16 8× 18 144，故选： B【点评】 本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题5已知 an 为递增的等差数列， a4+a7 2， a5?a6 8，则公差 d（）A 6B 6C 2D 4【分析】 a5， a6是方程 x2 2x8 0 的两个根，且 a5 a6，求解方程得答案【解答】 解： an 为递增的等差数列，且a4+a72， a5?a6 8， a5+a6 2， a5， a6 是方程 x22x 8 0 的两个根，且 a5 a6， a5 2， a6 4， d a6 a5 6，故选： A【点评】 本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题6在等差数列n1 与 a11 的等差中项是 15， a12 3 9，则 a9（） a 中，已知a+a +aA 24B 18C 12D 6【分析】 利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出a9 的值【解答】 解：在等差数列 an 中， a1与 a11 的等差中项是15， a1+5d 15， a1+a2+a3 9，第4页（共 11页） a1+d 3， 联立 ，得 a1 0， d 3， a9 a1+8d 0+24 24故选： A【点评】 本题考查等差数列的第 9 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1+a8+a12 12，则 S13（）A 104B 78C 52D 39【分析】 数列 an1 812 可以用首项和公差表示，进而得到a7，求出 为等差数列，故a +a +a13S【解答】解：因为已知等差数列 ann，且 a18 12 3a1712， 的前 n 项和为 S+a +a+18d 3a故 a7 4，所以 S1313a7 13×4 52故选： C【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，等差中项，前n 项和公式，属于基础题nn，若 a1 3，S5 35，则数列 an 的公差为（）8等差数列 a 的前 n项和为 SA2B 2C 4D 7【分析】 利用等差数列的求和公式即可得出【解答】 解： a1 3， S5 35， 5× 3+ 35，解得 d 2故选： B【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9在等差数列 an 中，若 a3+a5+2 a104，则 S13（）A 13B 14C 15D 16【分析】 由 a3+a5+2 a10 4，可得 4a7 4，解得 a7，利用 S1313a7 即可得出【解答】 解： a3+a5+2 a10 4， 4a7 4，解得 a7 1，则 S1313a7 13故选： A【点评】 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第5页（共 11页）10在等差数列 an 中，若 2a8 6+a11，则 a4+a6（）A 6B 9C 12D 18【分析】 由等差数列 an 中， 2a8 6+a11，可得 a5 2a8 a11，利用 a4+a6 2a5，即可得出【解答】 解：由等差数列 an 中， 2a8 6+a11， a5 2a8 a11 6，则 a4+a6 2a5 12故选： C【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11等差数列 an 中， a2 与 a4 是方程 x2 4x+3 0 的两根，则a1+a2+a3+a4+a5（）A 6B 8C 10D 12【分析】 利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出【解答】 解： a2 与 a4 是方程 x2 4x+3 0 的两根， a2+a4 4 2a3，解得 a3 2，则 a1+a2+a3+a4+a55a3 10故选： C【点评】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12等差数列 an 满足 4a3+a11 3a5 10，则 a4（）A5B 0C 5D 10【分析】 利用通项公式即可得出【解答】 解：设等差数列 an 的公差为 d， 4a3+a11 3a5 10， 4（ a1+2d） +（a1+10d） 3（ a1+4d） 10，化为： a1+3d 5则 a4 5故选： C【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题（共5 小题）13数列 an 中，若 an+1 an+3， a2+a8 26，则 a1234【分析】 先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案【解答】 解： an+1 an+3，第6页（共 11页）数列 an 为等差数列，其公差d 3， a2+a8 26， 2a1+8d 26， a1 1， a12 1+11× 3 34，故答案为： 34【点评】 本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题14在等差数列 an 中， a1+3a8+a15120，则 3a9 a11 的值为48 【分析】 an1815 120? 5a18 24，然后将 3a9 为等差数列，所以a +3a +a+35d 120? a a11 也表示为用a8 表示即可【解答】 解：因为数列 an 为等差数列，所以a1+3a8+a15 120 可化为 5a1+35d 120 可化为 a8 24，又因为3a9a11 2a1+14d 2a8 48，故填： 48【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题15已知等差数列nnn，Tn，若，则 a ， b 的前 n 项和分别为S【分析】由等差数列的性质得，由此能求出结果【解答】 解：等差数列 an ， bn 的前 n 项和分别为Sn， Tn，故答案为：【点评】 本题考查等差数列的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16等差数列 an 中，前n 项和为 Sn， a1 0， S17 0， S18 0，则当 n9时， Sn 取得最小值【分析】 推导出 a8+a9 0，a9 0， a8 0，由此能求出当n 8 时， Sn 取得最小值第7页（共 11页）【解答】 解：等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn，a1 0， S170， S18 0， a9 0， a9+a100， a9 0， a10 0， a1 0，当 n 9 时， Sn 取得最小值故答案为： 9【点评】本题考查等差数列的前 n 项和最小时 n 的值的求法， 考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17等差数列 an 、 bn 的前 n 项和分别为 Sn、 Tn，若，则【分析】 由题意可设 Sn kn（n+1）， Tn kn（ 2n 1），（ k0）由此求得a8， b9，则答案可求【解答】 解，依题意，设Sn kn（ n+1）， Tnkn（ 2n1），（ k 0）则 a8 S8 S7 72k 56k 16k， b9 T9 T8 33k，所以，故填：【点评】 本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的应用，是中档题三解答题（共5 小题）18已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a3 7， a5+a7 26（）求an 及 Sn；（）令bn（nN+），求证：数列 bn 为等差数列【分析】（）设等差数列的首项为a1，公差为d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1 3， d 2，由此能求出an，Sn（）由，能证明数列 bn 为等差数列【解答】 解：（）设等差数列的首项为a1，公差为 d， a3 7， a3+a2 26由题意得，第8页（共 11页）解得 a1 3， d 2， an a1+（ n 1）d 3+2 （n 1） 2n+1 n（n+2）证明：（），bn+1 bn n+3（ n+2） 1，数列 bn 为等差数列【点评】 本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的求法，考查等差数列的证明，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19已知等差数列 an 满足 a1+a2 10， a5 a3 4（）求 an 的通项公式；（）设等比数列 bn 满足 b2 a3， b3 a7，问： b6 是数列 an 中的第几项？【分析】（）设 an 公差为 d，由已知列式求得首项与公差，则an 可求；（）由 b2a3 8， b3 a7 16，得公比 q 2，进一步求得 b6，代入等差数列的通项公式求得 n 值得答案【解答】 解：（）设 an 公差为 d，由 a5 a3 4 2d? d 2，由 a1+a2 10 2a1 +d? a14， an 2n+2；（）由 b2 a38， b3 a7 16，得公比 q 2，令 an 2n+2 128，得 n63即 b6 为 an 中的第 63 项【点评】 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题20在等差数列 an 中， Sn 为其前 n 项的和，已知a1+a3 22， S545（ 1）求 an， Sn；（ 2）设数列 Sn 中最大项为 Sk，求 k 及 Sk【分析】（ 1）利用已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解an， Sn；（ 2）利用变号的项，求解最值即可【解答】（ 10 分）解：（ 1）由已知得，所以，第9页（共 11页）所以 an a1+（ n1） d 2n+15 ；（ 2 ） 由an 0 ， 即 2n+15 0 ， 可 得n 7 ， 所 以S7 最 大 ， k 7 ， S7 49【点评】 本题考查等差数列的性质，数列求和以及通项公式的应用，考查计算能力21观察如图数表，问：（ 1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？（ 2）此表第 n 行的各个数之和是多少？（ 3） 2012 是第几行的第几个数？【分析】（ 1）写出此表n 行的第 1 个数，且第n 行共有求出第 n 行的最后一个数；（ 2）由等差数列的求和公式求出第n 行的各个数之和；（ 3）设 2012 在第 n 行，列不等式求出n 的值，再计算2n1 个数，且成等差数列，由此2012 在第该行的第几个数n1，【解答】 解：（ 1）此表 n 行的第 1 个数为 2n 1个数，依次构成公差为1 的等差数列； （4 分）第 n 行共有 2由等差数列的通项公式，此表第n 行的最后一个数是n 1n11）× 1n1； 2+（ 22（8 分）（ 2）由等差数列的求和公式，此表第n 行的各个数之和为 22n2+22n3 2n 2，或 2n 1n 12n 2 2n 3n2； （8 分）×2+×12+2 2（ 3）设 2012 在此数表的第 n 行则 2n 12012 2n1，可得 n 11，故 2012 在此数表的第11行； （ 10 分）设 2012 是此数表的第11行的第 m 个数，而第 11 行的第 1 个数为 210，第 10 页（共 11 页）因此， 2012 是第 11 行的第 989 个数 （12 分）【点评】 本题考查了等差数列的应用问题，是中档题22（理）在 ABC 中， a， b，c 分别是角A， B， C 的对边，且角B，A， C 成等差数列（ 1）若 a2 c2 b2 mbc，求实数 m 的值；（ 2）若 a ，求 ABC 面积的最大值【分析】（ 1）由角 B，A， C 成等差数列以及三角形内角和公式知A 60°，再由余弦定理和条件可得cos A，由此求得 m 的值（ 2）由 cos A可得 bc a2，故 S ABCsin A×，由此求得结果【解答】 解：（ 1）由角 B， A， C 成等差数列以及三角形内角和公式知A 60°222可以变形得 又由 a c b mbc再由余弦定理可得cos A， m 1 （4 分）（ 2） cos A ，22222 bcb+c a 2bc a ，即 bc a ，故 SABCsin A×， ABC 面积的最大值为 （ 8 分）【点评】 本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及解三角形的方法，属于中档题第 11 页（共 11 页）