相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总.docx

相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么1. 动点函数型-横竖型问题2. 动点函数型-斜线型问题3. 动点几何型-二次相似问题4. 动点几何形-A-A问题知识点梳理1. 本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型.题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解.2. 本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似典型例题分析1、动点横竖型问题例1. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像经过点、（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与相似，试求点E的坐标AC Oxy1【答案：（1）过点、 当时， 点在该二次函数的图像上；AC Oxy1DBEE（2）二次函数的对称轴为直线 点E在对称轴上，且对称轴平行y轴又，易得，从而若以点C、D、E为顶点的三角形与相似则有以下两种情况：）当时，即，解得：点E的坐标为）当时，即，解得：点E的坐标为综上点E的坐标为或.】例2. 如图，已知在中，经过这个三角形重心的直线，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别作，垂足分别为点M、F、G，设，四边形AFPG的面积为y（1）求PM的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；MP ABCDEFG（3）联结MF、MG，当与相似时，求BM的长【答案：解：（1）过点A作，垂足为点H，交DE于点Q，又，Q是的重心，（2）延长FP，交BC于点N，于是，由，得又由，得，四边形AFPG是矩形，即所求函数解析式为定义域为（3）四边形AFPG是矩形，由，可知，当与相似时，有两种情况：或（）如果，那么即得解得即得（）如果，那么即得解得，即得或当与相似时，BM的长等于或或】2、 动点斜线型问题例3. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点，该函数图像的对称轴与直线、分别交于点和点（1） 求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2） 求证：；（3） 如果点在直线上，且与相似，求点的坐标yxOAB11-1-1【答案：（1）解：由题意，得解得所求二次函数的解析式为对称轴为直线（2）证明：由直线OA的表达式，得点C的坐标为，又，（3）解：由直线OB的表达式，得点D的坐标为由直线AB的表达式，得直线与x轴的交点E的坐标为与相似，或（i）当时，由，得点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合点P的坐标为（ii）当时，由，得而，又，作轴，垂足为点H，轴，垂足为点F，而，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为或】3、 动点几何型二次相似问题例4. 如图，在中，是斜边上的中线，点是延长线上的一动点，过点作，交延长线于点，设（1）求关于的函数关系式及定义域；（2）联结，当平分时，求的长；（3）过点作交于，当和相似时，求的值ABCEPQ（备用图）ABCE（备用图）ABCE【答案：（1）在中，是斜边上的中线，即 ，定义域为（2）过点作，垂足为平分，垂足为（3）， 当和相似时，可得和也相似分两种情况：1)当时，在E中，解得；2)当时，在中，解得；综合或】4、 动点几何型A-A问题例5. 如图，已知等边的边长为6，点D是边上的一个动点，折叠，使得点恰好与边上的点D合，折痕为（点、分别在边AB、AC上）（1）当时，求的长：（2）当时，求的值；（3）当以、为顶点的三角形与相似时，求的长EDB FC AB C A备用图【答案：（1）是等边三角形，.由题意可知，.ABCDEF.，.又，.，.方法，.设，则由知，.设，则.即整理，得解得，即.方法，（相似三角形的周长的比等于相似比）.ABCDEFMN又，.解得：.方法过点E作，过点D作设，依题意易得，.在中，在中，易证，.进而可得，整理，得（1）在中，依据勾股定理可得（2）整理（2），并将（1）代入（2），可得.解得（不合题意，舍去）ABCDEFHDEH.即.（2）当时，如图.过点作，垂足为.，.在中，在中，在中，.（3）分两种情况讨论：当以、为顶点的三角形与相似，顶点、分别与、对应时，可得.，.易得、是四个边长相等的等边三角形.当以、为顶点的三角形与相似，顶点、分别与、对应时，可得.又，.易得、四个边长相等的等边三角形.综上所述，当以、为顶点的三角形与相似时，.】课后练习练1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为，与y轴交于点，顶点为D（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；（2）联结AC、BC，求的正切值；（3）点P是抛物线的对称轴上一点，当与相似时，求点P坐标【答案：（1）抛物线过点，顶点D的坐标为（2）抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左侧）又，过点A作，垂足为H，（3）抛物线的对称轴为直线点P是抛物线对称轴上一点，可设点P的坐标为把对称轴直线与x轴的交点记为E，则点E的坐标为，当与相似时，点P在点D的上方，并存在以下两种情况：1)2)综上所述，当与相似时，点或】练2. 如图，二次函数的图像经过点.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段上是否存在点（不含、两点），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案：（1）由题意得：，解得：.此函数解析式为.（2）.顶点为.（3）假设存在点，使与相似，则或.当时，.（不合题意，舍去）当时，.由题意易得直线的解析式为：，设，其中，则.解得：（舍去）.】练3. 如图，已知梯形ABCD中，点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经过BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E（1）当时，求BP的长度；（2）当点E落在线段CD上时，设，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域；（3）联结PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与相似，试求BP的长度ADBD（备用图）DABCEP【答案：（1）根据已知，得，（方法一）即时，（方法二）即时，（2）延长PE与AD的延长线交于点F， 即点E在线段CD上函数定义域为<8（3），若与，则有如下两种情况：（）时，推出时，；（）时（法一）又解得，经检验，均符合题意故时，；当BP为2，时，与相似（法二）过点D作于点H解得经检验，均符合题意故时，；当BP为2，时，与相似】课后小测验1. 如图，抛物线与x轴相交于A、B，与轴相交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D（1）求梯形ABCD的面积；（2）若梯形ACDB的对角线AC、BD交于点E，求点E的坐标，并求经过A、B、E三点的抛物线的解析式；（3）点P是射线CD上一点，且与相似，求符合条件的P点坐标【答案：（1）、.由抛物线的对称性有过E作，（3）当点P在C的右侧，由题意有，若，即时，；此时，；若，即时，；此时，