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初三数学 圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合2判定一个点P是否在O上设O的半径为R，OPd，则有d>r点P在O 外；dr点P在O 上；d<r点P在O 内3与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半4圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦(5)平行弦夹的弧相等5三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点6切线的判定、性质：(1)切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径经过圆心作圆的切线的垂线经过切点经过切点作切线的垂线经过圆心(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角7圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等8直线和圆的位置关系：设O 半径为R，点O到直线l的距离为d(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R(2)直线和O有唯一公共点直线l和O相切dR(3)直线l和O 有两个公共点直线l和O 相交d<R9圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>Rr(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<Rr(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切dRr(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切dRr(5)有两个公共点相交Rr<d<Rr10两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点11圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C2R圆心角为n°、半径为R的弧长圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2Rl，全面积为圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为O直径，C为上一点，CDAB于D，OCD的平分线CP交O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律解：连结OP，P点为中点小结：此题运用垂径定理进行推断例2 下列命题正确的是( )A相等的圆周角对的弧相等B等弧所对的弦相等C三点确定一个圆D平分弦的直径垂直于弦解：A在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确B等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确C三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆D平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦故选B例3 四边形ABCD内接于O，ABC123，求D分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等解：设Ax，B2x，C3x，则DACB2xx2x3x2x360°，x45°D90°小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于O，周长为20，且ABBCCD123，求AD的长例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径若测得PA5cm，则铁环的半径是_cm分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解解：小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB16，求两圆的圆心距解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，又AB16AC8在中，在中，故(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结垂直平分AB，又AB16，AC8在中，在中，故注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题 三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1 已知P为O内一点，O半径为，过P任作一弦AB，设，则关于的函数关系式为     。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA·PB例2 已知PT切O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即   ，（舍）由切割线定理，  由勾股定理，      四、辅助线总结1.圆中常见的辅助线1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边2、圆中较特殊的辅助线1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线2)将割线、相交弦补充完整3)作辅助圆例1如图23-10，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么AE的长为( )A2B3C4D5分析：连结OC，由AB是O的直径，弦CDAB知CDDE设AEx，则在RtCEO中，即，则，(舍去)答案：A 例2如图23-11，CA为O的切线，切点为A，点B在O上，如果CAB55°，那么AOB等于( )§8-4情境因素与消费者行为 2004年3月20日A35°B90°参考文献与网址：C110°D120°分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道AOB2BAC2×55°110°答案：C成功秘诀：好市口个性经营例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( )1、你一个月的零用钱大约是多少？A B C D体现市民生活质量状况的指标-恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即答案：B 例4 如图23-12，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交O于E，且EM>MC，连结OE、DE，求：EM的长简析：(1)由DC是O的直径，知DEEC，于是设EMx，则AM·MBx(7x)，即所以而EM>MC，即EM4上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到万元。 例5如图23-13，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根(1)求证：BEBD；价格便宜些 服务热情周到 店面装饰有个性 商品新颖多样(2)若，求A的度数（4） 创新能力薄弱3、竞争对手分析简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m2所以，原方程为得故BEBD价格便宜些 服务热情周到 店面装饰有个性 商品新颖多样(2)由相交弦定理，得，即而PB切O于点B，AB为O的直径，得ABPACB90°又易证BPDAPE，所以PBDPAE，PDCPEB，则，所以，所以在RtACB中，故A60°